北京理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)分析常系數(shù)線性微分方程組學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1北京理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)分析常系數(shù)線性微北京理工大學(xué)工科數(shù)學(xué)分析常系數(shù)線性微分方程組分方程組第一頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。注意：注意：這幾個(gè)微分方程聯(lián)立起來(lái)共同確定了幾這幾個(gè)微分方程聯(lián)立起來(lái)共同確定了幾 個(gè)具有同一自變量的函數(shù)個(gè)具有同一自變量的函數(shù)第1頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。.程組程組階方程可以化為一階方階方程可以化為一階方一般一般 n0),()( nyyyyxF,1yy 記記,1個(gè)新的未知函數(shù)個(gè)新的未知函數(shù)再引進(jìn)再引進(jìn) n)1(11312, nnyyyyyy:階方程組階方程組個(gè)未知函數(shù)的一個(gè)未知函數(shù)的一為含有為含有于是高階方程就可以化于是高階方程就可以化

2、n第2頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 0),(2113221nnnnyyyyxFyyyyyy第3頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 )()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111xfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdynnnnnnnnnnn一階線性微分方程組：一階線性微分方程組：(1)第4頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。上的已知連續(xù)函數(shù)。上的已知連續(xù)函數(shù)。間間都是某區(qū)都是某區(qū)以及以及個(gè)未知函數(shù)，個(gè)未知函數(shù)，為為其中其中Inixfnjixanyyy

3、iijn, 2 , 1),(, 2 , 1,),(,21 ，則方程組為，則方程組為若若nixfi, 2 , 1, 0)( 第5頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 nnnnnnnnnnyxayxayxadxdyyxayxayxadxdyyxayxayxadxdy)()()()()()()()()(22112222121212121111稱為稱為齊次線性方程組齊次線性方程組，否則稱為，否則稱為非齊次線性方程組非齊次線性方程組。第6頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。一。一。滿足初始條件，且解唯滿足初始條件，且解唯上有一個(gè)解上有一個(gè)解在區(qū)間在區(qū)間方程組方程組條件：條件：

4、則對(duì)于任意給定的初始則對(duì)于任意給定的初始上連續(xù)，上連續(xù)，都在區(qū)間都在區(qū)間若若)(,),(),()1(,)(,)(,)(, 2 , 1,),(),(221100002020101xyyxyyxyyIIxyxyyxyyxyInjixfxannnniij 第7頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 )()()(2211222221212112121111xfyayayadxdyxfyayayadxdyxfyayayadxdynnnnnnnnnnn第8頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。常系數(shù)線性微分方程組常系數(shù)線性微分方程組解法步驟解法步驟: :第一步第一步 用消元法消去其

5、他未知函數(shù)用消元法消去其他未知函數(shù) , 得到只含一個(gè)得到只含一個(gè) 函數(shù)的高階方程函數(shù)的高階方程 ;第二步第二步 求出此高階方程的未知函數(shù)求出此高階方程的未知函數(shù) ;第三步第三步 把求出的函數(shù)代入原方程組把求出的函數(shù)代入原方程組 ,注意注意: 一階線性方程組的通解中一階線性方程組的通解中,任意常數(shù)的個(gè)數(shù)任意常數(shù)的個(gè)數(shù) = 未知函數(shù)個(gè)數(shù)未知函數(shù)個(gè)數(shù)一般通過(guò)一般通過(guò)求導(dǎo)求導(dǎo)得其它未知函數(shù)得其它未知函數(shù) .如果通過(guò)積分求其它未知函數(shù)如果通過(guò)積分求其它未知函數(shù) , 則需要討論任意常數(shù)則需要討論任意常數(shù)的關(guān)系的關(guān)系.第9頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。步驟步驟: :從方程組中消去一些未知

6、函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，從方程組中消去一些未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)， 得到只含有一個(gè)未知函數(shù)的高階常系數(shù)線性微分得到只含有一個(gè)未知函數(shù)的高階常系數(shù)線性微分 方程方程解此高階微分方程解此高階微分方程, ,求出滿足該方程的未知函求出滿足該方程的未知函數(shù)數(shù). .把已求得的函數(shù)帶入原方程組把已求得的函數(shù)帶入原方程組, ,一般說(shuō)來(lái)，不必經(jīng)一般說(shuō)來(lái)，不必經(jīng) 過(guò)積分就可求出其余的未知函數(shù)過(guò)積分就可求出其余的未知函數(shù)第10頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。一般常系數(shù)一階線性齊次微分方程組，可用一般常系數(shù)一階線性齊次微分方程組，可用矩陣形式寫出。矩陣形式寫出。,21 nxxxXAXX，,是對(duì)角陣是對(duì)角陣

7、若若 Aiiiixa x 即即，,1,2,.iia tixcein 是上三角陣，是上三角陣，若若 Annxaxaxax12121111 nnxaxax22222 nnnnxax .總可以寫出解總可以寫出解第11頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。則則逆逆線線性性變變換換對(duì)對(duì)一一般般矩矩陣陣，若若存存在在可可,TYXT ,YTX ATYYT YATTY)(1 .1為為約約當(dāng)當(dāng)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型ATT .的解的解是是AXXeAX .)(212級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)解解 AXAXIeAX第12頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。常系數(shù)一階線性微分方程組一般形式常系數(shù)一階線性微分方程組一般

8、形式：( )( )1112121222dxa xa yf tdtdya xa yf tdt第13頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。;23. 1 yxdtdyyxdtdx求求解解微微分分方方程程組組例例解解：從從(2)(2)中解出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx yydtdydtdydtyd3)(21)(2122 ydtdy2521 0522 ydtyd第14頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。irr5, 052, 12 tCtCty5sin5cos)(21 5cos55sin521)(11tCtCtx tCtC5sin215c

9、os2121 tCCtCC5sin)5(215cos)5(211221 第15頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 1)0(, 0)0(2cos23. 2yxyxdtdytyxdtdx求求解解非非齊齊次次線線性性方方程程組組例例解解：從從(2)(2)中解出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx tyydtdydtdydtydcos2)(23)(2122 ydtdydtyd212122 tcos 第16頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。tydtdydtydcos2222 1, 0122, 12 rrr,)(21*ttteCeCyty

10、tBtAysincos* ttBtAcos2cos2sin2: 代入方程得代入方程得tysin* ttCCetytsin)()(21 )(tx)(21ydtdy )2()sin(cos21221tCCCettt . 1, 1:1)0(, 0)0(21 CCyx代代入入解解得得將將第17頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。 txydtdxdtdxdtyddtxd305. 32222求求解解微微分分方方程程組組例例解解：次，得次，得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì)可對(duì)可對(duì)為了消去為了消去2)2(),(tty)3(03222233 dtxddtyddtxd3232(3)(1)450(4)d xd

11、 xdxdtdtdt 式式得得：.2, 0, 0543,2123irrrrr )sincos()()4(3221tCtCeCtxt 的的通通解解為為：第18頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。代入代入(2)(2)式得：式得：txdtdxty 3)(sin)(cos)(3322121tCCtCCetCt 第19頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。例例4.4. 解微分方程組解微分方程組 textytx dddd220dddd22 ytxty解解: ,ddtD 記記則方程組可表為則方程組可表為teyDxD )1(20)1(2 yDxD(1)(2)用代數(shù)方用代數(shù)方法法消

12、元自作消元自作 根據(jù)解線性方程組的克萊姆法則根據(jù)解線性方程組的克萊姆法則, 有有1122 DDDD y012DeDt 第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期日：十二點(diǎn) 十九分。即即teyDD )1(24其特征方程其特征方程: 0124 rr特征根特征根:2512, 1 r2154,3 ir記記 記記 i (3),teAy 令令代入代入(3)可得可得 A1, 故得故得(3)的通解的通解: tttetCtCeCeCy sincos4321(4)求求 x :(2)D(1)得得teyDx 3teyDx 3)(213tteCeC tetCtC2)cossin(433 (5)(4),(5)聯(lián)立即為原方程的通解聯(lián)立即為原方程的通解. hwhw：p395