自然科學(xué)插值學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共36頁(yè)。拉格朗日插值分段(fn dun)線性插值三次(sn c)樣條插值一 維 插 值一、插值的定義(dngy)二、插值的方法三、用MATLAB解插值問(wèn)題返回第1頁(yè)/共36頁(yè)第二頁(yè)，共36頁(yè)。返回(fnhu)二 維 插 值一、二維插值定義(dngy)二、網(wǎng)格(wn )節(jié)點(diǎn)插值法三、用MATLAB解插值問(wèn)題最鄰近插值分片線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值第2頁(yè)/共36頁(yè)第三頁(yè)，共36頁(yè)。一維插值的定義(dngy)已知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)(,) (0,1, ,jjxyjn 其中jx互不相同，不妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點(diǎn))(*jxx 處的插值.*y0 x1xnx

2、0y1y節(jié)點(diǎn)(ji din)可視為由)(xgy 產(chǎn)生(chnshng),g表達(dá)式復(fù)雜或 未知.*x*y第3頁(yè)/共36頁(yè)第四頁(yè)，共36頁(yè)。 構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡(jiǎn)單的)函數(shù)),(xfy 通過(guò)全部節(jié)點(diǎn), 即()(0,1,)jjfxyjn再用)(xf計(jì)算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回(fnhu)第4頁(yè)/共36頁(yè)第五頁(yè)，共36頁(yè)。 稱為(chn wi)拉格朗日插值基函數(shù)0( )( )nniiiL xl xy 已知函數(shù)(hnsh)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)(hnsh)值為 y0,y1,yn 求一n次多項(xiàng)式函數(shù)(hnsh)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,

3、i=0,1,n. 解決此問(wèn)題(wnt)的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下其中l(wèi)i(x) 為n次多項(xiàng)式：01110111()()()()()( )()()()()()iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxx拉格朗日(Lagrange)插值第5頁(yè)/共36頁(yè)第六頁(yè)，共36頁(yè)。拉格朗日(Lagrange)插值特別(tbi)地:兩點(diǎn)一次(線性)插值多項(xiàng)式: 101010110 xxxxL xyyxxxx三點(diǎn)(sn din)二次(拋物線)插值多項(xiàng)式: 1202012012010210122021x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxxxxxxxxx第6頁(yè)/共36頁(yè)

4、第七頁(yè)，共36頁(yè)。拉格朗日(Lagrange)插值用 次插值多項(xiàng)式 來(lái)近似函數(shù)(hnsh) 時(shí)的誤差，記n( )nL x fx nnrxfxLx稱 為插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差或插值余項(xiàng)。 nrx 1( )1 !nrxfxL xfw xn01( ).()nw xxxxxxx第7頁(yè)/共36頁(yè)第八頁(yè)，共36頁(yè)。例1 根據(jù)(gnj)下表給出的平方根值，用線性插值計(jì)算5149161234xx解 取最接近(jijn) 5x 014,9xx的兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)(ji din)，運(yùn)用線性插值公式，得 1595455232.24994L 第8頁(yè)/共36頁(yè)第九頁(yè)，共36頁(yè)。例2 根據(jù)(gnj)例1的數(shù)據(jù)，用拋物線法計(jì)算5

5、解 選擇(xunz)與5x 0121,4,9xxx最近(zujn)三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，根據(jù)拋物線插值公式，有254595 1 595(5)1214194149L (5 1)(54)32.279194 第9頁(yè)/共36頁(yè)第十頁(yè)，共36頁(yè)。插值余項(xiàng) 與節(jié)點(diǎn)數(shù)有關(guān)，但不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為節(jié)點(diǎn)數(shù)越多誤差越小，因?yàn)?增大(zn d)時(shí) 也許很大10( )()(1)!nnniifRxxnn 1nf例21( )125fxx在1,1取等距節(jié)點(diǎn)(ji din)作10次拉格郎日插值多項(xiàng)式。 拉格朗日多項(xiàng)式插值的這種振蕩(zhndng)現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象返回第10頁(yè)/共36頁(yè)第十一頁(yè)，共36頁(yè)。分段(fn dun)線性插值

6、0111111()(),(),0,nnjjjjjjjjjjjjjjLxy lxxxxxxxxxxlxxxxxx其 他計(jì)算量與n無(wú)關(guān)(wgun);n越大，誤差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxy第11頁(yè)/共36頁(yè)第十二頁(yè)，共36頁(yè)。To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回(fnhu)66,11)(2xxxg例用分段(fn dun)線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在-6,6中平均(pngjn)選取5個(gè)點(diǎn)作插值(xch11)4.在-6,6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(xch14)2.在-6,6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(xch12

7、)3.在-6,6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值(xch13)第12頁(yè)/共36頁(yè)第十三頁(yè)，共36頁(yè)。比分(b fn)段線性插值更光滑xyxi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在(cnzi)且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性 光滑性的階次越高，則越光滑是否存在(cnzi)較低次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子三次(sn c)樣條插值第13頁(yè)/共36頁(yè)第十四頁(yè)，共36頁(yè)。 三次(sn c)樣條插值1( ) ( ),1, iiiS xs x xxxin 32201)( )(1,)2)()(0,1,)3)( ),iiiiiiinsxa xb

8、 xc xdinS xyinS xCxx) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiiig(x)為被插值函數(shù)(hnsh)()(limxgxSn第14頁(yè)/共36頁(yè)第十五頁(yè)，共36頁(yè)。例66,11)(2xxxg用三次(sn c)樣條插值選取11個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值(ych)To MATLAB ych(larg1)第15頁(yè)/共36頁(yè)第十六頁(yè)，共36頁(yè)。小結(jié)： 以上(yshng)為一維插值，它們有如下特點(diǎn)：拉格朗日插值（高次多項(xiàng)式插值），其插值函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是一個(gè)解析表達(dá)

9、式，便于再次開(kāi)發(fā)利用；曲線光滑；誤差估計(jì)有表達(dá)式；收斂性不能保證（振蕩現(xiàn)象），用于理論分析，實(shí)際意義不大。分段線性和三次樣條插值（低次多項(xiàng)式插值):曲線不光滑（三次樣條已有較大改進(jìn)）；誤差估計(jì)較難（對(duì)三次樣條插值）；收斂性有保證，簡(jiǎn)單實(shí)用，應(yīng)用廣泛。返回(fnhu)第16頁(yè)/共36頁(yè)第十七頁(yè)，共36頁(yè)。用MATLAB作插值計(jì)算(j sun)一維插值函數(shù)(hnsh)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xi處的插值結(jié)果nearest 最鄰近插值；linear 線性插值；spline 三次樣條插值；cubic 立方(lfng)插值； 缺省時(shí) 分段線性插值 注意

10、：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過(guò)x的范圍第17頁(yè)/共36頁(yè)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。 例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)(xiosh)內(nèi)，每隔1小時(shí)(xiosh)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24試估計(jì)每隔1/10小時(shí)(xiosh)的溫度值To MATLAB (temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出(shch)數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,tem

11、ps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)第18頁(yè)/共36頁(yè)第十九頁(yè)，共36頁(yè)。xy機(jī)翼下輪廓線例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下(rxi)，求x每改變0.1時(shí)的y值To MATLAB(plane)返回(fnhu)第19頁(yè)/共36頁(yè)第二十頁(yè)，共36頁(yè)。二維插值的定義(dngy)xyO第一種（網(wǎng)格(wn )節(jié)點(diǎn)）：第20頁(yè)/共36頁(yè)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。 已知 mn個(gè)節(jié)點(diǎn)(ji din) (,) (1,2,.,;1,2, )ijijx yzim jn其中jiyx ,互不相同，不妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 2

12、1 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即再用),(yxf計(jì)算插值，即).,(*yxfz (,)(0,1,;0,1, )ijijf xyzim jn第21頁(yè)/共36頁(yè)第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。第二種（散亂(sn lun)節(jié)點(diǎn)）：yxO第22頁(yè)/共36頁(yè)第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)),.,2, 1(),(nizyxiii 其中),(iiyx互不相同， 構(gòu)造一個(gè)二元函數(shù)),(yxfz 通過(guò)全部已知節(jié)點(diǎn),即), 1 ,0(),(nizyxfiii 再用),(yxf計(jì)算插值，即).,(*yxfz 返回(fnhu)第23頁(yè)/共36頁(yè)第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。 注意：最鄰近(ln jn)插值一

13、般不連續(xù)具有連續(xù)性的最簡(jiǎn)單的插值是分片線性插值最鄰近(ln jn)插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的節(jié)點(diǎn)(ji din)的函數(shù)值即為所求返回第24頁(yè)/共36頁(yè)第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。 將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次(yc)簡(jiǎn)記為： 分片(fn pin)線性插值xy(xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4第25頁(yè)/共36頁(yè)第二十六頁(yè)

14、，共36頁(yè)。插值函數(shù)(hnsh)為：11()jjijiiyyyxxyxx12132( , )()()()()ijf x yfffxxffyy第二片(上三角形區(qū)域(qy)：(x, y)滿足11()jjiiiiyyyxxyxx插值函數(shù)(hnsh)為：14134( , )()()()()jif x yfffyyffxx注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足返回第26頁(yè)/共36頁(yè)第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。 雙線性插值是一片(y pin)一片(y pin)的空間二次曲面構(gòu)成雙線性插值函數(shù)的形式

15、如下：( , )()()f x yaxb cyd其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)(hnsh)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)(hnsh)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)雙線性插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O返回(fnhu)第27頁(yè)/共36頁(yè)第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。 要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出(choch)x0,y0的范圍z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(ji din)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest 最鄰

16、近(ln jn)插值；linear 雙線性插值；cubic 雙三次插值； 缺省時(shí) 雙線性插值.第28頁(yè)/共36頁(yè)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。例：測(cè)得平板表面35網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別(fnbi)為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形輸入(shr)以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度(wnd)分布曲線圖.2以平滑數(shù)據(jù),在 x、y

17、方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值.第29頁(yè)/共36頁(yè)第三十頁(yè)，共36頁(yè)。再輸入以下(yxi)命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB (wendu)第30頁(yè)/共36頁(yè)第三十一頁(yè)，共36頁(yè)。 通過(guò)此例對(duì)最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次(sn c)插值方法的插值效果進(jìn)行比較To MATLAB (moutain)返回(fnhu)第31頁(yè)/共36頁(yè)第三十二頁(yè)，共36頁(yè)。 插值函數(shù)(hnsh)griddata格式為: cz =griddata（

18、x，y，z，cx，cy，method）用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)(shj)的插值計(jì)算 要求(yoqi)cx取行向量，cy取為列向量被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest最鄰近插值linear 雙線性插值cubic 雙三次插值v4- MATLAB提供的插值方法缺省時(shí), 雙線性插值第32頁(yè)/共36頁(yè)第三十三頁(yè)，共36頁(yè)。 例 在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域(qy)（75，200）（-50，150）里的哪些地方船要避免進(jìn)入x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 x y z 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33