第 03章 1 次課 -- 動量定理和守恒定律

1、上海師范大學上海師范大學1/18上海師范大學上海師范大學2一一、沖量沖量 質點的動量定理質點的動量定理 動量動量vmp 3.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理 牛頓第二定律牛頓第二定律dtd(mdtpda) mF下面分析一個力作用一個物體上下面分析一個力作用一個物體上, 經(jīng)過一段時間后累積的效果經(jīng)過一段時間后累積的效果.1v1tF2t2vF設力設力F作用在物體上作用在物體上, 在在t1到到t2時間內時間內, 物體物體的速度從的速度從 變化到變化到1v2vpppmmtFtt121221dvv上式兩邊積分上式兩邊積分, 得得(2)( dddvmptF則由牛頓第二定律得則由牛頓第二定律

2、得,(1)可見可見, 沖量是描述力的時間累積作用的物理量沖量是描述力的時間累積作用的物理量.沖量的沖量的單位單位是是 Ns . 沖量是沖量是過程矢量過程矢量, 其大小和方向取決于力的大小和方向及其作用時間其大小和方向取決于力的大小和方向及其作用時間.1. 沖量沖量沖量定義沖量定義: 力對時間的積分力對時間的積分(矢量矢量)21dtttFI(3)/18上海師范大學上海師范大學3動量定理動量定理: 在給定的時間內在給定的時間內, 外力作用在質點上的沖量外力作用在質點上的沖量, 等于質點在此等于質點在此 時間內動量的增量時間內動量的增量. 直角坐標系中的分量形式直角坐標系中的分量形式3.1 質點和質

3、點系的動量定理質點和質點系的動量定理pppmmtFtt121221dvv(2)(2)式左邊是力的沖量式左邊是力的沖量, 右邊是質點動量的增量右邊是質點動量的增量.2. 質點的動量定理質點的動量定理動量定理的數(shù)學表達式就是動量定理的數(shù)學表達式就是(2)式式.(ii) 動量定理動量定理kIjIiIIzyx(i) 沖量沖量(4)zzttzzmmtFI1221dvvyyttyymmtFI1221dvvxxttxxmmtFI1221dvv(5)(2)或或(5)式是單個質點的動量定理式是單個質點的動量定理, 如果一個體系由如果一個體系由多個質點多個質點構成構成, 結果如何結果如何 ?/18上海師范大學上海

4、師范大學4二、質點系的動量定理二、質點系的動量定理(8)式表明式表明, 作用于作用于兩質點系統(tǒng)兩質點系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質點動量之和的增量的合外力的沖量等于系統(tǒng)內兩質點動量之和的增量.質點系質點系1m2m3.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理設一系統(tǒng)由二個質點設一系統(tǒng)由二個質點m1和和m2組成組成.系統(tǒng)內的質點一般既受系統(tǒng)內的質點一般既受外力外力又受又受內力內力的作用的作用.外力外力: 外界對系統(tǒng)內質點作用的力叫外力外界對系統(tǒng)內質點作用的力叫外力.內力內力: 系統(tǒng)內質點間的相互作用力叫內力系統(tǒng)內質點間的相互作用力叫內力.10111121d)(0vvmmtFFtt根據(jù)動量

5、定理根據(jù)動量定理, 對對質點質點1有有(6)20222212d)(0vvmmtFFtt對對質點質點2有有(7)(6)式式+(7)式式, 且考慮到且考慮到 2112FF可得可得)()(d)(2021012211210vvvvmmmmtFFtt(8)又設質點又設質點m1所受的外力為所受的外力為1F質點質點m2所受的外力為所受的外力為 .2F而兩質點間相互作用的內力分別為而兩質點間相互作用的內力分別為 和和21F12F12F21F1F2F/18上海師范大學上海師范大學5 質點系動量定理質點系動量定理: 作用于作用于系統(tǒng)系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量.質點系質點系

6、1m2m12F21F1F2F3.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理)()(d)(2021012211210vvvvmmmmtFFtt(8)兩質點系統(tǒng)兩質點系統(tǒng), 將將(8)式的結論推廣到由式的結論推廣到由n 個質點所組成的系統(tǒng)個質點所組成的系統(tǒng).00ex0dppmmtFIiiiiiittii vv (9)(i) 作用于系統(tǒng)的合外力是指作用在系統(tǒng)內所有質點上的外力矢量和作用于系統(tǒng)的合外力是指作用在系統(tǒng)內所有質點上的外力矢量和.注意注意:(ii) 只有外力才對系統(tǒng)的動量變化有貢獻只有外力才對系統(tǒng)的動量變化有貢獻.(iii) 系統(tǒng)的內力對系統(tǒng)的動量變化沒有貢獻系統(tǒng)的內力對系統(tǒng)的動量變化

7、沒有貢獻. 如兩掌相擊不能改變人的動量如兩掌相擊不能改變人的動量. ixiiixttexixxpptFI0i21d (10)直角坐標系中直角坐標系中的分量形式的分量形式 iyiiiyttexiyypptFI0i21d iziiizttexizzpptFI0i21d/15上海師范大學上海師范大學61vm2vmvmtpttmmtttFFtt12121221dvv動量定理常應用于求解動量定理常應用于求解碰撞問題碰撞問題的作用力大小的作用力大小. FmF2tFto1t如在木頭上釘釘子的過程中如在木頭上釘釘子的過程中, 作用時間很短作用時間很短, 產(chǎn)生的沖力產(chǎn)生的沖力很大很大. 因此才能將釘子釘進因此才

8、能將釘子釘進木頭中木頭中.注意注意越小越小, 則則 越大越大.tF3.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理如從高處下落的球如從高處下落的球, 被木板反彈被木板反彈, 如圖所示如圖所示.F在球與木板碰撞過程中在球與木板碰撞過程中, 球和木板間的相互球和木板間的相互作用力是變的作用力是變的, 如右下圖所示如右下圖所示.根據(jù)動量定理根據(jù)動量定理, 碰撞過程的平均作用力為碰撞過程的平均作用力為/18上海師范大學上海師范大學73.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理應用動量定理解題的一般步驟：應用動量定理解題的一般步驟：1. 確定研究對象確定研究對象2. 分析對象受力分析對象受力

9、, 確定哪些是外力確定哪些是外力, 哪些是內力哪些是內力.3. 選參照系建坐標系選參照系建坐標系4. 計算過程中合外力的沖量及始末態(tài)的動量計算過程中合外力的沖量及始末態(tài)的動量;5. 由動量定理列方程求解由動量定理列方程求解三三、例題分析例題分析例例 1 一質量為一質量為0.05kg、速率為、速率為10ms-1的鋼球的鋼球, 以以與鋼板法線呈與鋼板法線呈45角的方向撞擊在鋼板上角的方向撞擊在鋼板上,并以相同并以相同的速率和角度彈回來的速率和角度彈回來. 設碰撞時間為設碰撞時間為0.05s. 求在此求在此時間內鋼板所受到的平均沖力時間內鋼板所受到的平均沖力 .F1vm2vmxy解解 以鋼球為研究對

10、象以鋼球為研究對象.鋼球受到重力和鋼板的沖力鋼球受到重力和鋼板的沖力, 相比較重力可忽略不計相比較重力可忽略不計.建立坐標系如圖所示建立坐標系如圖所示.根據(jù)質點的動量定理的分量形式根據(jù)質點的動量定理的分量形式, 可列出方程并求解可列出方程并求解./18上海師范大學上海師范大學8cos2 vm0sinsinvvmmtmFFxcos2 vFx的方向沿的方向沿x軸正向軸正向. Fx是鋼板對鋼球的沖力是鋼板對鋼球的沖力. xxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv3.1 質點和質點系的動量定理質點和質點系的動量定理yyttyymmtFI1221dvvxxttxxmmtFI12

11、21dvv由由得得, 由此可得由此可得, 0yFN1 .1421005. 045cos1005. 0201vm2vmxyFx根據(jù)牛頓第三定律根據(jù)牛頓第三定律, 鋼球對鋼板的沖力鋼球對鋼板的沖力F x大小為大小為14.1N, 方向沿方向沿x軸負方向軸負方向.F x/18上海師范大學上海師范大學93.2 動量守恒定律動量守恒定律二、質點二、質點系系動量守恒定律動量守恒定律一、質點動量守恒定律一、質點動量守恒定律(1)式的意義式的意義: 在某一過程中在某一過程中, 當質點所當質點所 受合外力為零時受合外力為零時, 質點動量守恒質點動量守恒.2121,mmPP或(1)121221dppmmtFttvv

12、根據(jù)質點動量定理根據(jù)質點動量定理可得到可得到, 若若質點所受的質點所受的合外力為零合外力為零 , 即即0F則質點的總動量保持不變則質點的總動量保持不變, 即即 iiiittiipptFI0ex0d根據(jù)質點系動量定理根據(jù)質點系動量定理0exexiiFF可得到可得到, 若若質點系所受的質點系所受的合外力為零合外力為零 , 即即iiiipp0(2)(2)式表明式表明, 體系在任意時刻的總動量等于初始時刻的總動量體系在任意時刻的總動量等于初始時刻的總動量.動量守恒定律動量守恒定律: 當當系統(tǒng)系統(tǒng)所受合外力為零時所受合外力為零時, 系統(tǒng)的總動量保持不變系統(tǒng)的總動量保持不變(守恒守恒)./18溫瑞安驚艷一

13、槍：溫瑞安驚艷一槍：趙畫四冷哼一聲。趙畫四冷哼一聲。 他左足忽踩自己的右足足踝之上。他左足忽踩自己的右足足踝之上。 于是便升上了一步。于是便升上了一步。 然后右腳又踏在左腳足踝上。然后右腳又踏在左腳足踝上。 于是再高升一步。于是再高升一步。 如此互踩而上，一口氣升了十六八如此互踩而上，一口氣升了十六八步，又凌身于追命之上。步，又凌身于追命之上。 追命笑了追命笑了 上海師范大學上海師范大學10(i) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的動量守恒動量守恒是指系統(tǒng)的是指系統(tǒng)的總動量不變，系統(tǒng)內任一物體的動量是可變的總動量不變，系統(tǒng)內任一物體的動量是可變的.3.2 動量守恒定律動量守恒定律三、直角坐標系下的動量守恒定律三、直

14、角坐標系下的動量守恒定律常量當ixixiexixmPF, 0(4)式表明式表明, 當系統(tǒng)在某一方向上當系統(tǒng)在某一方向上 的合外力為零時的合外力為零時,系統(tǒng)動量在該方向的分量守恒系統(tǒng)動量在該方向的分量守恒.常量當iyiyiexiymPF, 0常量當iziziexizmPF, 0(3)四、注意點四、注意點(ii) 各物體的動量必各物體的動量必相相 對于對于同一慣性參考系同一慣性參考系. (iii) 守恒條件守恒條件: 合外力為零合外力為零 0exexiiFF但當?shù)?時時, 可可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地認為系統(tǒng)動量守恒近似地認為系統(tǒng)動量守恒. inexFF例如在碰撞例如在碰撞, 打

15、擊打擊, 爆炸等問題中爆炸等問題中. 這些情況下這些情況下, 外力遠小于內力外力遠小于內力, 動量近似守恒動量近似守恒.(iv) 動量守恒定律只在動量守恒定律只在慣性參考系慣性參考系中成立中成立, 是自然界最普遍是自然界最普遍, 最基本的定律之一最基本的定律之一./18上海師范大學上海師范大學11例例 1 設有一靜止的原子核設有一靜止的原子核,衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個 新的原子核新的原子核. 已知電子和中微子的運動方向互相垂直已知電子和中微子的運動方向互相垂直, 且電子動量為且電子動量為 1.210-22 kgms-1,中微子的動量為中微

16、子的動量為6.410-23 kgms-1 . 問新的原子核的問新的原子核的 動量的值和方向如何動量的值和方向如何?解解 由于衰變的過程非常迅速由于衰變的過程非常迅速, 且衰變過程且衰變過程 中中, 粒子間的內力遠大于外界粒子間的內力遠大于外界 的作用力的作用力. 因此衰變過程中可以近似地看成合外力為零因此衰變過程中可以近似地看成合外力為零. 0Neppp即即3.2 動量守恒定律動量守恒定律根據(jù)動量守恒定律可知衰變過程前后系統(tǒng)的總動量守恒根據(jù)動量守恒定律可知衰變過程前后系統(tǒng)的總動量守恒.inexiiFF即即00iipp即即ep NppNeppp即即又因為又因為epp Np 22e2pppN所以所

17、以/18上海師范大學上海師范大學123.2 動量守恒定律動量守恒定律ep Npp Np 22e2pppN1-23106.4 smkgp122e102 . 1smkgp將將和和代入上式代入上式, 得新原子核的動量大小為得新原子核的動量大小為 22322222e)104 . 6()102 . 1 ( pppN122221036. 1108496. 1smkg設新原子核的動量方向與中微子動量方向的夾角為設新原子核的動量方向與中微子動量方向的夾角為 , 則由圖可得則由圖可得pptge875. 11064. 0102 . 12322093.61則則000007.11893.61180180即衰變產(chǎn)生的新

18、原子核的運動方向與中微子運動方向成即衰變產(chǎn)生的新原子核的運動方向與中微子運動方向成118.070的夾角的夾角./18上海師范大學上海師范大學13例例 2 一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以2.5 103 ms-1的速率相對地面沿水平方向飛行的速率相對地面沿水平方向飛行. 設空設空 氣阻力不計氣阻力不計. 現(xiàn)由控制系統(tǒng)使火箭分離為兩部分現(xiàn)由控制系統(tǒng)使火箭分離為兩部分,前方部分是質量為前方部分是質量為 100kg的儀器艙的儀器艙,后方部分是質量為后方部分是質量為200kg的火箭容器的火箭容器. 若儀器艙相對火箭若儀器艙相對火箭 容器的水平速率為容器的水平速率為1.0 103 ms-1. 求儀器艙和火

19、箭容器相對地面的速度求儀器艙和火箭容器相對地面的速度.3.2 動量守恒定律動量守恒定律解解 建立坐標系如圖所示建立坐標系如圖所示.火箭分離后火箭分離后, 將運動坐標系將運動坐標系S 火箭容器上火箭容器上.13sm1052 .v13sm100 . 1v則儀器艙在則儀器艙在S 系中的速度為系中的速度為設儀器艙的質量為設儀器艙的質量為m1, 相對于地面的速度為相對于地面的速度為 v1; 火箭容器的質量為火箭容器的質量為m2, 相對于地面的速度為相對于地面的速度為 v2.火箭分離火箭分離前相對于地面的速度為前相對于地面的速度為v)(210mmp火箭分離前相對于地面的總動量為火箭分離前相對于地面的總動量

20、為分離后分離后, 火箭容器相對于地面的動量為火箭容器相對于地面的動量為2v22mp 則分離后則分離后, 儀器艙相對于地面的動量為儀器艙相對于地面的動量為1v11mp xzyo x z ys s ovv2v1v/18上海師范大學上海師范大學142112212(mmmmmv)v3.2 動量守恒定律動量守恒定律因為火箭分離過程中因為火箭分離過程中, 沒有外力作用沒有外力作用,0exixF即即則由動量守恒定律則由動量守恒定律, 可得可得210ppp3221101vvvv根據(jù)伽利略速度變換公式根據(jù)伽利略速度變換公式, 有有221121)(vvvmmmm即即將將v1代入動量守恒式子代入動量守恒式子, 得得

21、221221) (mmmmmv)由此解得由此解得, 2112mmmv13sm101v;sm105213 .vkg;2002mkg;1001m將將代入代入, 得到得到2112mmmv13331017.2200100101100105 .sm2131313211017. 3100 . 11017. 2smsmsmxzyo x z ys s ovv2v1/18上海師范大學上海師范大學153.2 動量守恒定律動量守恒定律;1017.2132sm1311017. 3smxzyo x z ys s ovv2v1計算結果計算結果v1 和和v2都為正值都為正值, 說明儀器艙和火說明儀器艙和火箭容器的速度方向相

22、同箭容器的速度方向相同, 且與分離前火箭且與分離前火箭的速度方向相同的速度方向相同.儀器艙相對于地面的速度儀器艙相對于地面的速度v1為為:火箭容器相對于地面的速度火箭容器相對于地面的速度v2為為:13sm1052 .v火箭分離火箭分離前相對于地面的速度為前相對于地面的速度為本題小結本題小結: 火箭分離后火箭分離后但火箭分離后但火箭分離后, 儀器艙的速度增大了儀器艙的速度增大了, 而而火箭容器的速度速率減小火箭容器的速度速率減小./18上海師范大學上海師范大學16功功: 力力在質點位移方向的在質點位移方向的分量分量與與位移大小位移大小的的乘積乘積. 0d,900W0d,18090W一、功一、功

23、0dd90WrFFrdiF1drirdB*i1A1F3. 4 動動 能能 定定 理理由動量定理由動量定理12ttdF21ppt可知可知, 外力的時間累積結果使質點的動量增加外力的時間累積結果使質點的動量增加.因此因此, 質點的動能增加質點的動能增加. 質點增加的質點增加的動能動能從何而來從何而來 ?- 外力做功的結果外力做功的結果 !即力的即力的空間累積空間累積效果效果( 即即 對對 積累積累)是使質點的動能增加是使質點的動能增加.Fr 下面幾節(jié)從能量角度來研究物體的運動下面幾節(jié)從能量角度來研究物體的運動.設一質點在外力設一質點在外力 作用下作用下, 沿曲線沿曲線AB運動運動. F注意注意: 功是標量功是標量, 是過程量是過程量.是是物體間能量交換的一種方式和量度物體間能量交換的一種方式和量度.1. 元功元功 外力外力 在一段在一段元位移元位移 上所做上所做元功元功為為 FrdsFrFWdcosdcosd(1)Fcos 是外力是外力 在位移在位移 上的分量上的分量.Frd由由(1)式或式或(2)式可以看出式可以看出rFWdd(1)式可簡寫為式可簡寫為(2)/18上海師范大學上