數(shù)學(xué)建模課件3.4層次分析法

1、1.用MATLAB或C+編制程序，分別計(jì)算n=330時(shí)的n階 矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo)RI2.假設(shè)釣魚(yú)島爭(zhēng)端最終解決方案有如下幾種：武力解決最終歸屬、政治談判決定歸屬、提交國(guó)際法庭并接受判決、無(wú)限期擱置或中日共管，作為專家，請(qǐng)用AHP方法為我國(guó)政府決策部門提供合理化決策。 層次分析法層次分析法(AHPAHP: Analytic Hierarchy Process: Analytic Hierarchy Process) 是美國(guó)著名的運(yùn)籌學(xué)家是美國(guó)著名的運(yùn)籌學(xué)家T.L.SaatyT.L.Saaty等人于等人于2020世紀(jì)世紀(jì)7070年代提出的一年代提出的一種決策方法。其主要特點(diǎn)是種決策方法。其主要特

2、點(diǎn)是按照思維、心理的規(guī)律把決策過(guò)程層次化、數(shù)量化，合理地將定性問(wèn)題定量化處理。AHP方法發(fā)展簡(jiǎn)介v1972年，Saaty為美國(guó)科學(xué)基金會(huì)研究根據(jù)工業(yè)部門貢獻(xiàn)分配電力問(wèn)題。初步形成了AHP理論的核心，即很多復(fù)雜系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為有序的遞階層次結(jié)構(gòu)，決策問(wèn)題通常表現(xiàn)為一組方案優(yōu)先順序的排列問(wèn)題，而這種排序又可以通過(guò)簡(jiǎn)單的兩兩比較形式導(dǎo)出。v1972年和1975年內(nèi)部出版用于排序和計(jì)劃的特征根分配模型和層次和排序特征根分析。v1977年Saaty在第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)建模會(huì)議上發(fā)表無(wú)結(jié)構(gòu)決策問(wèn)題的建模層次分析理論。從此AHP開(kāi)始引起人們的注意。v1980年Saaty出版了AHP的專著，全面系統(tǒng)地論述AHP的原

3、理、應(yīng)用及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。隨后他又陸續(xù)寫出兩本側(cè)重論述AHP應(yīng)用的著作，即1981年出版的排序的邏輯（與L.G.Vargas合著）和1982年出版的領(lǐng)導(dǎo)者的決策。v近年來(lái)，Saaty和近百位學(xué)者在發(fā)展AHP的理論和推廣AHP在各類問(wèn)題的應(yīng)用方面完成了許多工作。AHP后被推廣為ANP：Analytic Network Process網(wǎng)絡(luò)分析法v權(quán)重思想權(quán)重思想v先分解后綜合的系統(tǒng)思想先分解后綜合的系統(tǒng)思想nnxwxwxwz2211在決策問(wèn)題中，通常要把決策變量在決策問(wèn)題中，通常要把決策變量Z表成指標(biāo)變量表成指標(biāo)變量x1,x2, , xn的線性組合的線性組合:nwww,.,2110,1niiiww其中其

4、中 . 則則 叫各指標(biāo)對(duì)于決策變量叫各指標(biāo)對(duì)于決策變量Z的權(quán)重的權(quán)重, 稱為權(quán)向量稱為權(quán)向量. 12(,.,)TnWw ww 1. 建立層次結(jié)構(gòu)模型建立層次結(jié)構(gòu)模型 深入分析問(wèn)題，將有關(guān)各因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層深入分析問(wèn)題，將有關(guān)各因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι弦粚右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι弦粚右蛩赜杏绊懀瑫r(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用下層因素的作用.同一層的因素之間應(yīng)盡量獨(dú)立。同一層的因素之間應(yīng)盡量獨(dú)立。2. 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣構(gòu)造成對(duì)比較矩陣 從層次結(jié)構(gòu)模型的第從

5、層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開(kāi)始，對(duì)于從屬于層開(kāi)始，對(duì)于從屬于(或影響及或影響及)上一層每個(gè)因素的同一層因上一層每個(gè)因素的同一層因素，用成對(duì)比較法和素，用成對(duì)比較法和1-9比較尺度比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，直到最下層。構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，直到最下層。3. 計(jì)算相對(duì)權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算相對(duì)權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn) （層次單排序） 對(duì)于每個(gè)成對(duì)比較陣，計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)的權(quán)向量，并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每個(gè)成對(duì)比較陣，計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)的權(quán)向量，并做一致性檢驗(yàn)。若不能通過(guò)檢驗(yàn)，則重新構(gòu)造。若不能通過(guò)檢驗(yàn)，則重新構(gòu)造。4. 計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn) 一一般般的的思思維維

6、過(guò)過(guò)程程首先首先,確定這些準(zhǔn)則在你心目中各占的比重多大確定這些準(zhǔn)則在你心目中各占的比重多大;最后最后,將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合,作出選擇作出選擇.其次其次,就每一準(zhǔn)則將三個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行兩兩對(duì)比就每一準(zhǔn)則將三個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行兩兩對(duì)比;例例1:(假日旅游假日旅游) 有有P1,P2,P3三個(gè)旅游地供選擇三個(gè)旅游地供選擇, 假如選擇的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)有假如選擇的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)有:景色景色,費(fèi)用費(fèi)用,飲食飲食, 居住和旅途居住和旅途.景景色色居居住住旅旅途途飲飲食食費(fèi)費(fèi)用用準(zhǔn)準(zhǔn) 則則(C)層層 為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而為實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施采取的各種措施和方案和方案P1P2P3方方 案案(P

7、) 層層 用于解決問(wèn)題的用于解決問(wèn)題的各種措施和方案各種措施和方案選擇旅游景點(diǎn)選擇旅游景點(diǎn)目目 標(biāo)標(biāo)(O)層層 解決問(wèn)題的目的解決問(wèn)題的目的(也叫總目標(biāo)也叫總目標(biāo))2 4 6 8假設(shè)假設(shè)wi表示第表示第i個(gè)指標(biāo)的相對(duì)重要性個(gè)指標(biāo)的相對(duì)重要性1 3 5 7 9 成對(duì)比較結(jié)果成對(duì)比較結(jié)果 相同相同 稍強(qiáng)稍強(qiáng) 強(qiáng)強(qiáng) 明顯強(qiáng)明顯強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng) 根據(jù)層次分析模型示意圖所示，決策者可以依據(jù)個(gè)人對(duì)上一層某個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的主觀評(píng)價(jià)，對(duì)下一層關(guān)聯(lián)各指標(biāo)之間進(jìn)行兩兩比較，然后按19 尺度尺度排定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的相對(duì)重要性順序，依次構(gòu)造出判斷矩陣。iijjwaw成對(duì)比較結(jié)果成對(duì)比較結(jié)果 相同相同 稍強(qiáng)稍強(qiáng) 強(qiáng)強(qiáng) 明顯強(qiáng)明

8、顯強(qiáng) 絕對(duì)強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)關(guān)于選擇19尺度的原因：1.心理學(xué)證據(jù)：Magic seven2.實(shí)例驗(yàn)證 某人用上述方法得到了某人用上述方法得到了”假日旅游假日旅游”中景色，費(fèi)用，居住，中景色，費(fèi)用，居住，飲食，旅途飲食，旅途5個(gè)因素對(duì)于目標(biāo)個(gè)因素對(duì)于目標(biāo)Z的比較矩陣如下的比較矩陣如下:1234511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311xxxxxA旅途飲食居住費(fèi)用景色54321xxxxx得到矩陣得到矩陣:A=(aij), aij0,aji=1/aij，aii=1正互反矩陣正互反矩陣 其中，其中，a12=1/2表示景色表示景色x1與費(fèi)用與費(fèi)用x2對(duì)選擇旅游地這個(gè)

9、目對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)的重要性之比為標(biāo)的重要性之比為1:2。即認(rèn)為費(fèi)用比景色略微更重要。即認(rèn)為費(fèi)用比景色略微更重要。 如果一個(gè)正互反矩陣如果一個(gè)正互反矩陣A滿足滿足aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, , n，則稱則稱A為為一致矩陣一致矩陣.一致矩陣的性質(zhì)一致矩陣的性質(zhì):1. A的秩為的秩為1,A的的唯一非零特征值為唯一非零特征值為n;2. A的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于特征根的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于特征根n的特征向量的特征向量.12(,.,)TnWw wwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA/212221212111jiijwwa AWnW層次單排序：層次單排序：用權(quán)向量確定

10、下層各因素對(duì)上層某因素影響程度用權(quán)向量確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度 的過(guò)程。的過(guò)程。對(duì)于一般的判斷矩陣對(duì)于一般的判斷矩陣(即即A不一定一致不一定一致)，近似計(jì)算權(quán)重，近似計(jì)算權(quán)重(權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù))maxAww 若若A為一致矩陣為一致矩陣,則對(duì)應(yīng)于特征根則對(duì)應(yīng)于特征根n的的歸一化歸一化的特征向量的特征向量(即分量之和為即分量之和為1)即表示即表示各因素對(duì)上一層因素的權(quán)向量各因素對(duì)上一層因素的權(quán)向量,各分量即為各因素對(duì)于上一層因素的權(quán)重各分量即為各因素對(duì)于上一層因素的權(quán)重!1niiwWwmaxmaxn ，而且對(duì)應(yīng)的特征向量為正向量（稱為主特征向量）maxAnA設(shè) 為 階判斷矩陣,為 的模最大特

11、征值，則limkkm最大特征值的近似值最大特征值的近似值00101,2,max */1,2,kkkkkkkuxvAukmvuvmkmax *kkvv表示取 中首次出現(xiàn)的模最大的分量。limkkwu主特征向量主特征向量 111knikiiunw最大特征值的近似值最大特征值的近似值 14)max,1,2kkkiiimuukk若停止；否則，轉(zhuǎn) ） 01)1,0;ku設(shè)置精度 ，任取初始向量 12);kkuAu迭代計(jì)算 13),kknkiiuwu歸一化max1nCInmax判斷矩陣通常是不一致的判斷矩陣通常是不一致的,因此必須對(duì)判斷矩陣做因此必須對(duì)判斷矩陣做一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)，當(dāng)判斷矩陣和，當(dāng)判斷矩

12、陣和一致矩陣誤差較小時(shí)，稱為能一致矩陣誤差較小時(shí)，稱為能通過(guò)一致性檢驗(yàn)通過(guò)一致性檢驗(yàn)，可以用它的對(duì)應(yīng)于最大特征根，可以用它的對(duì)應(yīng)于最大特征根 的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量。的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量。一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)RICICR 一致性比率一致性比率隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)當(dāng)當(dāng)CR0.1時(shí)時(shí),A通過(guò)一致性檢驗(yàn)通過(guò)一致性檢驗(yàn)!對(duì)于多個(gè)層次對(duì)于多個(gè)層次(假設(shè)共假設(shè)共N層層)的決策問(wèn)題的決策問(wèn)題, 若第若第k1層有層有m個(gè)因素，第個(gè)因素，第k層有層有n個(gè)因素個(gè)因素,記記第第k層層對(duì)對(duì)第第k-1層層中中第第j個(gè)因素個(gè)因素的權(quán)向量為的權(quán)向量為:121( ),TkjjjnjPbbbjm1

13、2( )( )( ),kkkn mmkPPPRP定義矩陣定義矩陣假設(shè)假設(shè) 是第是第k層對(duì)最上層層對(duì)最上層(目標(biāo)層目標(biāo)層)的的組合權(quán)向量組合權(quán)向量，則，則:1323()()()( ),NNNPPPNWW( )kW1( )()kkkPWW P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P3P1P2P3W(2)W1(3)W2(3)W3(3)W4(3)W5(3)0.26360.47580.05380.09810.10870.59540.27640.12830.08190.23630.68170.42860.42860.14290.63370.19190.17440.16670.16670.6667說(shuō)明應(yīng)

14、以說(shuō)明應(yīng)以P3作為首選地點(diǎn)作為首選地點(diǎn)一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下表一致性檢驗(yàn)結(jié)果如下表:(3)kPkkCRk由上表知由上表知A以及各以及各Bk均通過(guò)一致性檢驗(yàn)均通過(guò)一致性檢驗(yàn)!注意注意:若以上有沒(méi)通過(guò)一致性檢驗(yàn)者若以上有沒(méi)通過(guò)一致性檢驗(yàn)者,則必須返回重新構(gòu)造判斷矩陣則必須返回重新構(gòu)造判斷矩陣(叫一致性改進(jìn)叫一致性改進(jìn))!在在“旅游問(wèn)題旅游問(wèn)題”中計(jì)算得到第中計(jì)算得到第2層層(準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層)對(duì)于第對(duì)于第1層層(目標(biāo)層目標(biāo)層)的權(quán)向量的權(quán)向量,記為記為(2)(0.2636,0.4758,0.0538,0.0981,0.1087)TW 25.0721,0.01610.1CR ( )( )( ),3,4,kk

15、kCICRkNRI進(jìn)行組合一致性檢驗(yàn)進(jìn)行組合一致性檢驗(yàn),以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù).( )( )( )(1)1( )( )( )(1)1,kkkkmkkkkmCICICIWRIRIRIW( )2NkkCRCR( )( )1,kkmCICI組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行.若第若第k層的一致性指標(biāo)為層的一致性指標(biāo)為( )( )1,kkmRIRI(m是第是第k-1層因素的數(shù)目層因素的數(shù)目),隨機(jī)一致性指標(biāo)為隨機(jī)一致性指標(biāo)為 ,定義定義則第則第k層的一致性比率為層的一致性比率為1 .0)(1PCR第第k層通過(guò)組合一致性檢驗(yàn)的條

16、件為層通過(guò)組合一致性檢驗(yàn)的條件為定義最下層定義最下層(第第N層層)對(duì)第對(duì)第1層的組合一致性比率為層的組合一致性比率為對(duì)于重大項(xiàng)目對(duì)于重大項(xiàng)目,僅當(dāng)僅當(dāng)CR適當(dāng)?shù)匦r(shí)適當(dāng)?shù)匦r(shí),才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過(guò)一致性檢驗(yàn)才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過(guò)一致性檢驗(yàn).vSuper DecisionsANP(網(wǎng)絡(luò)層次分析法)應(yīng)用軟件,利用該軟件對(duì)項(xiàng)目方案進(jìn)行評(píng)價(jià).用同一組數(shù)據(jù)分別對(duì)ANP和AHP模型進(jìn)行計(jì)算,出現(xiàn)了倒序現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)用該軟件的ANP方法作為一種決策方法可以用于工程實(shí)際vyaahp新余高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)建模教練組 2005-08有三個(gè)干部候選人有三個(gè)干部候選人Y1, Y2, Y3, 選拔的標(biāo)準(zhǔn)有選拔

17、的標(biāo)準(zhǔn)有5個(gè)個(gè):品德品德,才能才能,資力資力,年齡年齡,群眾關(guān)系群眾關(guān)系.如何選擇三人之一如何選擇三人之一?選拔干部選拔干部品品德德資資力力群群眾眾關(guān)關(guān)系系年年齡齡才才能能Y1Y2Y3出現(xiàn)在準(zhǔn)則層中的情形出現(xiàn)在準(zhǔn)則層中的情形(準(zhǔn)則層與準(zhǔn)則層之間準(zhǔn)則層與準(zhǔn)則層之間)完全層次結(jié)構(gòu)完全層次結(jié)構(gòu):上一層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素上一層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素,或被下一層所有或被下一層所有因素影響因素影響.不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層次結(jié)構(gòu):準(zhǔn)則層中的一個(gè)因素準(zhǔn)則層中的一個(gè)因素,只支配下一準(zhǔn)則層的部分因素只支配下一準(zhǔn)則層的部分因素. 科技成果評(píng)價(jià)科技成果評(píng)價(jià)效益效益水平水平規(guī)模規(guī)模直直接接經(jīng)

18、經(jīng)濟(jì)濟(jì)效效益益間間接接經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)效效益益學(xué)學(xué)術(shù)術(shù)創(chuàng)創(chuàng)新新學(xué)學(xué)識(shí)識(shí)水水平平社社會(huì)會(huì)效效益益技技術(shù)術(shù)水水平平技技術(shù)術(shù)創(chuàng)創(chuàng)新新待評(píng)價(jià)的科技成果待評(píng)價(jià)的科技成果 ,)3(2)3(1)3()2()3()3(wwWwWw例例:學(xué)校要評(píng)價(jià)教師的貢獻(xiàn)學(xué)校要評(píng)價(jià)教師的貢獻(xiàn),粗略地考只考慮教學(xué)粗略地考只考慮教學(xué)與科研兩個(gè)指標(biāo)與科研兩個(gè)指標(biāo),若若P1,P2,P3,P4四位教師中四位教師中P1,P2只從事教學(xué)只從事教學(xué),P4只從事科研只從事科研,P3二者兼顧二者兼顧,層次層次結(jié)構(gòu)模型如圖結(jié)構(gòu)模型如圖.將不支配因素的權(quán)向量分量簡(jiǎn)單置為將不支配因素的權(quán)向量分量簡(jiǎn)單置為0.后果如何后果如何?Twww),()2(2)2(1)2

19、(設(shè)設(shè)C1,C2對(duì)第對(duì)第1層的權(quán)向量為層的權(quán)向量為 已確定已確定.Twwww)0 ,()3(13)3(12)3(11)3(1Twww), 0 , 0()3(24)3(21)3(2Tw)2/1 ,12/5 , 6/1 , 6/1 ()3(Tw)2/1 , 2/1 , 0 , 0()3(2Tw)0 , 3/1 , 3/1 , 3/1 ()3(1記記C1,C2對(duì)第對(duì)第3層權(quán)向量分別為層權(quán)向量分別為:于是有于是有:Tw)2/1 , 2/1 ()2(考察特殊情況考察特殊情況:教學(xué)與科研兩個(gè)準(zhǔn)則的重要性相同教學(xué)與科研兩個(gè)準(zhǔn)則的重要性相同,即有即有 4位教師無(wú)論位教師無(wú)論從事教學(xué)或科研從事教學(xué)或科研,能力都相同能力都