函數(shù)的求導(dǎo)法則(25)課件

1、二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、導(dǎo)數(shù)基本公式、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)基本公式、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)的運算法則 第二二章 定理定理2.1的和、的和、 差、差、 積、積、 商商 (除分母除分母為為 0的點外的點外) 也都在點也都在點 x 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，都在點都在點及及函數(shù)函數(shù)xxvvxuu)()( )()(xvxu及及)()( )()()1(xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu )

2、0)( xv )()1uC )()3wvuuC wvuwvuwvu ( C為常數(shù)為常數(shù) ).( )( )()( )42121xvkxukxvkxuk 常數(shù)因子可常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)符以從導(dǎo)數(shù)符號中提出來號中提出來 )(2wvu）wvu )0)()()()(152 xvxvxvxv） )(cscx)sin1( xx2sin )(sin xx2sin ,sec)(tan2xx 證證 .cotcsc)(cscxxx )cossin()(tan xxx x2cosxx cos)(sin )(cossin xx x2cosx2cosx2sin x2sec xcos xxcotcsc 類似可證類似可證:,c

3、sc)(cot2xx .tansec)(secxxx ，xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc 解解）xsin4 1(21)1sin , )1sincos4(3 xxxy.1 xyy 及及求求 y)( xx )1sincos4(213xxx23(xx) 1xy1cos4 )1sin43( 1cos21sin2727 )1sincos4(3 xx)1sincos4(3 xx).(,sin)(3xfxxxf 求求設(shè)設(shè)解解,0時時當(dāng)當(dāng) x)(sinsin)()(331 xxxxxfxxxxcossin31332 0)0()(lim)0(0 xfxffx,0時時當(dāng)當(dāng) xxxxxsinli

4、m30 xxxx0sinlim30 010 .0, 00,cossin31)(332 xxxxxxxf注注下下列列推推導(dǎo)導(dǎo)不不正正確確：03310)(sinsin)()()0( xxxxxxxff錯誤原因：錯誤原因：3x在在 x = 0 處不可導(dǎo)，故不能用乘積處不可導(dǎo)，故不能用乘積的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則.定理定理2.2 若函數(shù)若函數(shù) x = (y)在某區(qū)間在某區(qū)間 Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且且 (y) 0，則其反函數(shù)則其反函數(shù)y = f (x) 在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間 Ix 內(nèi)也可導(dǎo)，且內(nèi)也可導(dǎo)，且)()(1)()(xxfyIxyxf 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函

5、數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得，211)(arctanxx )(arcsin x.11)(arccos2xx .11)cot(arc2xx )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc xx2csc)(cot xxxtansec)(sec 在點在點 x 0

6、 處處 可導(dǎo)可導(dǎo),定理定理2.3)(xu )(ufy 在對應(yīng)在對應(yīng))(00 xu 處可導(dǎo)，則處可導(dǎo)，則 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) fy )(x 且且0ddxxxy 在點在點x 0 處可導(dǎo)處可導(dǎo),點點00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf 即因變量對自變量求導(dǎo)即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), 乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t有有若若),(0bax 則可將則可將 x0 換成換成 x :xydd即即)()()()(xufxfxu xuuydddd 0ddxxxy 00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf )(

7、)()(xufxu x2cos )()()(xfufxu 記記).()(xfxf 一般地，一般地，如：如：,sin)(uuf ,2sin)(xxf )( xf )(xf ,2)(xxu )2(sin xxuuf2)( xuu2cos 例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvx uydd vuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由由外外向向內(nèi)內(nèi)逐層求導(dǎo)逐層求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則稱為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則稱為鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則.對于復(fù)合函數(shù)，不能直接用對于復(fù)合函數(shù)，不能直接用基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式.xxcos)(s

8、in 如：如：即即xxxcosdsind ( 一致一致 )但但,2cos)2(sinxx 事實上事實上)2(sin x( 不一致不一致 )xuuudddsind )2(2cosxuu ( 一致一致 )xxd2sind x2cos2 .sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd u1xxsincos xcot xcos熟練后，可不寫出中間變量：熟練后，可不寫出中間變量：)sin(ln xy xsin1xxcossin1 )(sin xxcot , )cos(lnxey 設(shè)設(shè)求求.ddxy解解xydd)cos(1xe )sin(xe )( xe).

9、tan(xxee )cos( xe)cos(1xe )sin(xe xe )cos(1xe 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 )(C0 )( x1 x )(sinxxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(lnxx1 )(log xaaxln1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu vu2vvuvu ( C

10、為常數(shù)為常數(shù) )0( v )( xf1 )(1 yf dd xy或或yxdd1),(, )(xuufy xydd)()(xuf uyddxudd 又如又如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf uydd vuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: : 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由由外外向向內(nèi)內(nèi) 逐層求導(dǎo)逐層求導(dǎo)., )1(ln2 xxy.y 求求解解 y 112xx112 x)1(2 xx1112 xx)1(2 x 112xx 1(1212 xx2 )求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則注意注意: 1),)(vuuv vuvu 2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) ,

11、由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .,)()(00處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)，在在若若xxxvxxxu 問：問：處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)？是是否否一一定定在在0)()(xxxvxu 1.答：答：不一定不一定. 反例見反例見例例3.41)1(43 x2.)1( xx)1(43 x 對嗎對嗎?答：答：不對不對.正確解法：正確解法：21x )1( xx)1(43 x41)1(43 x,1)(lnxx ,1)(lnxx 對嗎？對嗎？不對！不對！事實上，事實上，,0時時當(dāng)當(dāng) x)(ln)(ln xx,1x ,0時時當(dāng)當(dāng) x) )(ln()(ln xx)1(1 x,1x 綜上所述：綜上所述：)0(1)(ln

12、 xxx此結(jié)論今后常用此結(jié)論今后常用xxxysin223 解解23xy x4 例例2-2xxyln2sin 解解xxyln)2(sin )(ln2sinxx .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 求求的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).求求的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).xxln22cos xx12sin axafxfafax )()(lim)(axxaxax )()(lim )(limxax )(a 正確解法正確解法: 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf 其中其中)(x 在在ax 因因)()()()(xaxxxf 故故).()(aaf )(af 時時, 下列做法是否正確下列做法是否正確?處連續(xù)處連續(xù). 在求在求解解錯錯存存在在的的條條件件題題設(shè)設(shè)中中無無)(x ),99()2)(1()( xxxxxf).0(f 求求解解 (方法方法1) 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99 (方法方法2) 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式. )(xf)( xx )99()2)(1( xxx)99()2)(1( xxx!99)0( f解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex)1(1cos21si