等離子體物理學二ppt課件

1、等離子體物理學二李毅2021.10 等離子體中，電場、磁場、速度、密度、壓力、溫度等任何一個物理量 普通會隨空間和時間變化。 擾動量原那么上它可以分解為各個平面波的疊加，即： 其中 為波的幅度，是物理量的Fourior分解： 對于其中恣意一支平面波來說，k為波矢，w為頻率。 這里我們用復數來表示波是方便的，取其實部就是實踐的值。等離子體中的線性波()( , )( ,)itkted d k xxkk()1( ,)( , )2itkt ed dt k xkxx( ,)kk 波的速度可以用相速度和群速度來描畫。相速度是波在堅持相位不變的情況下的運動速度。相位為： 相位不變的條件下： 得到相速度：波的

2、相速度pdxvdtk()0ddkxtdtdttk x 波的群速度描畫波包整體運動的速度，而波包是由滿足一定色散關系的各種頻率的波組成。假設該波包的色散關系為 只需頻率滿足此關系的波才存在，可以表示為： 因此由式積分，在波沿x方向直線傳播情況下得：波包( ) )( , )( )i k xk tkx tk edk( ,)( )( )kkk kk( )k 假設波包的主要波數為k0，對應的頻率 近似有： 其中群速度定義為： 代入可得： 可見波包的包絡以群速度vg的速度前進。波的相速度可以超越光速。但群速度一定不能超越光速，由于群速度可以傳送信息和能量，否那么會違背愛因斯坦的狹義相對論原理。 波的群速度

3、0000()()()( , )( )(, )gggik x v ti k vtki k vtgx tk edk exv t t e0gdvdk00()k00( )()gkvkk 一支波沿x方向傳播，在y、z兩個垂直方向上，電場矢量的分量Ey和Ez普通可以表示成： 其中， Ey0和Ez0 ，a，b均為常數。 在yz平面上的電場分量滿足：波的旋轉與偏振00cos(),cos()yyzzEEkxtEEkxt02222000cos()cos() sin()sin()cos()sin ()(1)zzyyzzyyEkxtkxtEEEEEEE 這闡明，電場矢量端點在yz平面內的軌跡是橢圓二次曲線中只需橢圓離

4、原點間隔有限，因此是橢圓偏振。 特殊情況下，可以是線偏振a=b或|a-b|=p，偏振方向與y軸夾角為 也可以是圓偏振Ey0=Ez0且|a-b|=p /2 。 當 a-b=p /2 時，例如a=0 而 b =-p /2 ，此時 隨著波沿著x方向前進，相位添加，E矢量做右手旋轉。所以是波是右旋的。波的旋轉與偏振00cos(),sin()yyzzEEkxtEEkxt00arctan(/)yzEE 當 a-b=-p /2 時，例如，當 a=0 而 b =p /2 時： 隨著波沿著x方向前進，E矢量按左手旋轉。所以這時波是左旋的。 普通情況下，無妨取|a-b|p， 當a-b 0時，是右旋；而a-b0 時

5、，是左旋；a-b =0或p時，是線偏振。波的旋轉與偏振00cos(),sin()yyzzEEkxtEEkxtxyz 將等離子體中的擾動作Fourior分解，也即化為多個平面波的線性疊加。假設方程組是線性的，對于一切滿足方程組的平面波來說，其線性疊加也滿足方程組。因此，從研討最簡單的平面波入手，我們就可以研討擾動在等離子體中的傳播和開展。方程組中的非線性項應該被忽略，這是由方程的線性特性所決議的。另外，非線性項都是二階或二階以上的小量，在解線性動搖問題時，可以忽略。波的線性化和平面波分解()( , )( ,)itkted d k xxkk 普通來說，對于等離子體中的動搖來說，其頻率和波長有一定的

6、對應關系?；蛘哒f，對于一個給定的頻率，只需對應波長的動搖才干存在。這種對應關系即為波的色散關系： 波的群速度的計算需求用到波的色散關系： 更重要的是有了色散關系，就知道了初始的擾動 在隨后的開展變化：線性波的色散關系 ( ,)0Dk( )gdvkdk( ) )01( )( ),( , )( )2iitkkedted k xk xkkxxxkk0( )x 等離子體中，電子的運動會引起電荷分別，使得等離子體偏離電中性，從而產生靜電場。在這個靜電場的作用下，電子會改動運動形狀，力圖使等離子體恢復電中性，但是在等離子體恢復了電中性之后，電子依然具有一定的動能，其運動又會使等離子體產生非電中性。我們稱電

7、子的這種振蕩為電子靜電波，也叫Langmuir波。 這種波維持了等離子體的準電中性。電子靜電波 在冷等離子體中，這種動搖可以用一維方程組描畫： 將方程組進展線性化和平面波分解，得到方程組：冷等離子體中的電子靜電波00()0,()() ,eeeeeenn vtxe nndvEn mne Edtx1011100/eeei nikn vi m veEikEen 經過化簡成為： 這闡明，假設要 ，即動搖存在，必需有 在電子熱壓力不可忽略的情況下，方程改寫為 這里g為多方指數，而對于電子做1維運動的電子靜電波情況，取 g=3。而對于普通電子做3維運動的情況，取我們熟知的 g=5/3。電子靜電波的頻率20

8、1201(1)0en eikEm0E 200peen em2(),0,eeeeeepdvdDn mne Ep ndtxdtD 方程組經過線性化和平面波分解，成為： 得到色散關系，也即這組方程存在非0解的條件為： 這里vse是電子的聲波速度。熱等離子體中的電子靜電波10101010100/0eeeeeeei nikn vi m veEikpnikEenppnn 2222,epseseeTk vvm 在 的冷等離子體近似的條件下，回到冷等離子體時的電子靜電波色散表達式，此時對應的Langmuir波的群速度為0，因此是不傳播的局域震蕩。而在熱等離子體中，Langmuir波的群速度與電子熱運動速度可達

9、同樣的量級，類似于電子壓力引起的縱波。 電子靜電波的頻率必需不小于電子等離子體頻率 wpe，通常這是較高的頻率。在這個頻率下，離子由于其質量遠大于電子質量，它來不及呼應這么高的頻率變化。其運動可以忽略。 熱電子靜電波的討論0eT 對于長波情況，色散關系可近似為 其群速度遠小于電子的熱速度vthe ： 對于短波情況，當 時， 群速度為 與電子熱速度相當，這時會產生劇烈的波與電子的相互作用，需求用動力學才干加以研討。 熱電子靜電波的討論223(1)2pDek3()gDethethedvkvvdk1Dek2pe1.5gthevv 離子的運動可以產生頻率較低的動搖。在研討較低頻率的等離子體動搖時，需求

10、同時思索電子和離子的運動其中，a代表等離子體中的一切粒子，即電子和各種離子 ：思索離子成分時的靜電波10101001100()011()0nkvnn vntxikpdvpim vq En mn q EndtxEq nikEq nxdpnp ndtpn 將以上做過線性化和平面波分解之后的方程組再進展消元化簡，得到色散方程 ： 其中wpa和vsa分別是a類粒子對應的等離子體振蕩頻率和聲速。 由于離子質量遠大于電子質量，那么 因此在高頻時wwpe，色散關系公式中的求和的各項中，離子項遠小于電子項，因此可以忽略。只保管電子項，此色散關系回到電子靜電波的色散關系式。 思索離子時的靜電波色散關系22220

11、222010,ppssnqTvk vmmpipe 思索低頻情況為簡化分析起見，無妨假設只需一種氫離子成份。 離子聲波： 對于低頻長波，klDe1，色散關系公式中的電子項和離子項均遠大于1由于它們的分母均很接近于0，因此可以忽略第一項常數1，得到離子聲波色散關系：離子聲波,eeiissiTTkvvm 這很像在普通氣體中傳播的聲波。由于波長很長，在這種長尺度條件下等離子體可以很好地堅持電中性，因此引起的擾動類似于中性氣體中產生的緊縮波。但由于離子和電子必需堅持電中性，當離子運動時，電子必需跟隨，兩者牢牢地結合在一同。這時電子的壓力影響也經過這種結合傳送給離子，即使離子溫度為0，由于有電子壓力的存在

12、，也可以產生離子聲波?，F實上，在以后的動力論中我們知道，假設離子熱運動速度與離子聲波的速度相當的時候，會產生阻尼景象，離子聲波不能存在，因此離子聲波大多在Tivs情況vAvA情況下，可忽略位移電流，與MHD結果一致。1222(1)AAvkvc22 2(1)piik c平行傳播的右旋圓偏振波 右旋圓偏振波。色散關系為： 偏振關系為右旋圓偏振： 頻率較高時，右旋圓偏振波的色散關系又能寫為 截止頻率為也是垂直傳播的X模的截止頻率221(|)peekc 22222121()11(|)()ppepieikcn 0,0 xyzEiEE2224eeRpe平行傳播的右旋圓偏振波討論 接近電子盤旋頻率、波長較短

13、時，是電子盤旋波： 在電子盤旋頻率上共振。共振時，電子可繼續(xù)從右旋圓偏振波中獲得或失去能量。 頻率極低時，成為右旋圓偏振Alfven波： 在cvA情況下，可忽略位移電流，與MHD結果一致。1222(1)AAvkvc22 2|(1)peek c 哨聲波 右旋偏振波在頻率遠低于電子盤旋頻率但又遠高于離盤旋頻率時，成為哨聲波： 它的群速度為會隨著頻率升高： 當擾動發(fā)生時，高頻成分的波群速度較快，會先被觀測到，而低頻成分的波隨后才干被觀測到。在地球外表，雷電引起的電磁脈沖擾動在電離層激發(fā)低頻的哨聲波，可以收到沿地球磁場傳播到另一端，可以聽到由高到低的類似哨聲的信號。2 22|epek c222|2|e

14、gepepekcdcvdkAlfven波 線性的Alfven波是左旋和右旋圓偏振波的疊加： 反之，圓偏振波也能看成是兩個相互垂直、相位差為90度、振幅一樣的線偏振波的疊加。 左旋或右旋圓偏振Alfven波，線偏振Alfven波，它們都具有一樣的色散關系。 Alfven波是沿磁場傳播的左旋和右旋偏振波的低頻長波極限情況。在頻率趨于0時，波數k也趨于0，但與普通的截止情況不同，這不是通帶與阻帶的分界點。()()()000()()22i kzti kzti kztyxyxyEEEeieieEeeeee平行磁場和垂直磁場傳播的波的色散關系圖kcikcHHLHRLvARLvAkB0k | B0哨聲波離子

15、盤旋波電子盤旋波電磁波X模O模AlfvenAlfven電磁波X模高混雜低混雜法拉第旋轉 高頻電磁波在等離子體中沿磁場傳播時，左旋的波和右旋的波遵守不同的色散關系，他們的相速度也不同。假設初始時一個線偏振的電磁波，可以分解為左旋波和右旋波的疊加。設電磁波在z=0處為 ，那么在等離子體中傳播之后，波場為 這兩支波在等離子體中傳播一樣一段間隔之后，由于旋轉的角度不同，從而兩者疊加之后的線偏振波的偏振方向就會有所改動。0(0, )i txztE eEe()()00( , )()()22LRi k zti k ztxyxyEEz teieiEeeee法拉第旋轉 其中，kL和kR分別是左旋波和右旋波的波矢

16、，記 ： 那么 可知角度j即為偏振方向轉動的角度。而 ： 在磁場知的情況下，可以用丈量電磁波偏振方向的旋轉角度來得到等離子體的密度。 ()0( , )(cossin)i k ztxyz tE e Eee(),22LRLRkkkk zk22222222222()1122(|)()(|)()(|)|2 ()()2 ()pepeLReieipeeipeeeiekkzzczzcc 法拉第旋轉 當等離子體密度隨空間變化時，可以丈量等離子體電子密度的線積分： 電離層電子密度的線積分是地球空間物理的一項重要的探測內容。220202()|zeeeemcn dze動實際動搖實際 動力論方程是描畫等離子體分布函數

17、的變化的。對于處置熱效應、波與粒子相互作用、多種速度成分的帶電粒子等景象時，用磁流膂力學的描畫顯然是不全面的，這時應該選用動力論來處置。 對于動搖的問題，磁流體描畫適宜于冷等離子體，且波與粒子相互作用較弱的情況，除此之外，用動力論方程來研討動搖問題更加準確全面，且能得到一些流體的動搖實際中沒有的結果。 對于空間等離子體，無碰撞的Vlasov動實際方程為：()0tqfffmxvvEvB一維靜電動搖 思索一維靜電波擾動，線性化之后為： 留意此時v僅僅是坐標變量，它不是1階小量。經Fourier變換解得 ： 色散關系為： 1100txvqfvfEfm 101xEqf dv01()viqEffm kv

18、200( , )10()pvfDkdvnk kv 一維靜電波色散方程 思索長波，k很小，相速度很大，展開： 取平衡時的分布函數為Maxwellian分布： 進而色散方程為：2023011()().0pvfkvkvkvdvnk20000exp(),22vmmvmvfnffTTT 223001()1()().0pm vkvkvkvfdvn kT積分展開項 因對稱性，只需偶次項積分不為0： 運用定積分公式： 及 ，遞推得 因此22340301.0pmkvk vfdvn kT222122111222xnnxnxnnnnIex dxxdexedxI0I2(21)!2mmmI22220(21)!10mmp

19、mmmmk Tm主值積分的結果 取頭兩項，并思索主要是電子的奉獻，那么 ： 進一步近似可得 ： 這個結果和流體實際得到的色散關系完全一致。而朗道以為，以上運算過程中，積分存在奇點問題，即在速度等于波的相速度時，積分的分母為0。以上的處置方法只是主值積分，正確的計算需求沿著奇點下方的途徑進展。22221(13)0peeek Tm2222(1 3)peDek朗道積分圍道 假設按照朗道指出的途徑積分，結果為： 這時，w不再為實數，而是含有虛部的復數。普通對于形如 其中虛部是小量，那么 這里下標r、i對應為實部和虛部。22202220/1(13)0pepeveeeevkfk Timn k( , )(

20、, )0riDkiDkIm(v)Re(v)積分圍道(, )(, )irirrDkDk朗道阻尼率 運用到此處，可以得到電子靜電波的阻尼率 ： 至于為什么要運用朗道圍道進展積分，還需求從問題本來的物理過程看。2240023300/423233222/2exp()22213exp()822rpevepeerieereevkeeerreeepeDeDefmfn kn kTmmmkTTT kkk 靜電動搖的物理過程 假設最初有擾動，可以對Vlasov方程進展時間t的Laplace變換求得以后的擾動電場，而不是做Fourier變換空間上依然做Fourier變換： 積分可得 代入電場方程1100()0ptt

21、xvqefvfEfdtm 01110( )( )( )0vtqE pfpfpfikvfpm0110( )1( )vtqE pffpfpikvm01110( )( )( )0vtqE pfpfpfikvfpm朗道圍道的數學解釋 可解出電場 ： 經Laplace反變換 這里s是充分大的實數，使得一切積分奇點都在積分線路的左邊。而這些奇點使分母為0就是經過對應 之后的色散方程。而s是充分大的條件對應于色散方程對速度 v 的積分中，奇點 具有充分大的虛部，因此積分是從奇點下方經過的。 2110000( )() ()ptvvvfdvf dvqE pikpikvnpikv1( )( )2iptiE te

22、E p dpi pi /kip k朗道阻尼的物了解釋 有趣的是，朗道闡明了要處理這個物理問題，積分圍道需從下方繞過，才干滿足數學上的要求。而一些數學家那么以為這種做法只是純數學的東西，沒有物理意義。直到后來實驗和模擬都證明了朗道阻尼的存在，朗道的處置方法才被普遍的接受。 從物理上看，朗道阻尼其實是波與電子的共振相互作用。當電子的運動速度與波的相速度相差不大時，電子就被波的勢阱捕獲，從而與波一同運動。開場時速度小于波速的粒子得到加速，而開場時速度大于波速的粒子被減速，最后被捕獲的粒子平均速度都與波的速度一樣。朗道圍道的物了解釋 對于Maxwellian分布，運動速度在波速附近的粒子中，速度慢的比

23、速度快的粒子更多。從而獲得加速的粒子多于減速的粒子。總體看來，波失去能量而粒子獲得能量。波的幅度就會逐漸減小，構成阻尼。f(v)v通行粒子和波的勢阱中捕獲粒子被波加速的粒子綠色和被波減速的粒子藍色磁化等離子體中動搖的動實際 設磁場沿z方向，而波矢為 ： 對于動力論方程 線性化之后 在速度空間的柱坐標系 中，有zzxkkkee0ffftm Fvxv011110()()()0ffqqiifmm k vEv Bv Bvv(, ,)zvv01111()()0ffqifm k vEv Bv磁化等離子體波中的分布函數 對于Maxwellian的初始分布 ： 代入得 解此微分方程： 其中，232020002

24、mvTfmmfnefTT vv11100()0fimffTB E vk v1010sin ,igigzzmfed e fBTk vk vgabab v E磁化等離子體波中的分布函數 利用Fourior展開式 ： 以及此式對 q 和 b 的偏導： 可積分得 其中，c是對q積分產生的常數，雖然它可以是 的函數，但由于對q 必需有 2p 的周期，應該取為0。sin( )ibinnneJb esinsincos( ),sin( )ibinibinnnnnneJ b eeiJ b eb()0110( )( )( )()i a nigz znxnynnf menfevJ bvJ bviJ bcBTi a

25、nbeeeE,zv v動實際伯恩斯坦波 利用Fourior展開式 ： 動實際伯恩斯坦波是磁化等離子體中的電子靜電波。對于靜電波，電場滿足 ： 為求色散方程，做k空間的平面波分解，得 在對速度空間的q做一個周期的積分之后， 的項積分為0，對求和只需 一項不為0。()0110( ) ()( )( )()i n nnzzxnynnnf menfJ bvvJ bviJ bBTi a nb eeeE1110,qf dEEv2()0201( )( )()0i nnnnzznnq f denJb J b k vk vkTanb vnnnn動實際伯恩斯坦波 因此化簡為： 利用定積分公式： 這里 In( ) 是

26、n階修正Bessel函數。進一步得 其中 220202( )1()0znzznq f v dv dvJbk vnkTan 222()/401()()()22sxpqsnnnpqeJpx J qx xdxeIss22221( )02zmvpezzTznnmk vnmdv eIkTTan 22kTm垂直磁場傳播的靜電波 思索垂直磁場傳播的靜電波 ，此時， 色散方程為： 利用 的性質化為 在極限情況下， 用此調查色散關系的極限情況。0,zkkk22( )10pennmenIk Tan( )( )nnI xIx2222212( )10pennen In( )( /2) / !0( )/ 2nnnInI

27、e垂直磁場傳播的靜電波 因此，在 的極限下，有 在 的極限下，有 這是動實際伯恩斯坦波。22(),2 ,3 ,.HHpe ,2 ,3 ,. 0/khh/12345斜向傳播的靜電波 假設 ，色散方程中，積分會出現奇點。好像朗道阻尼的處置，需求用朗道圍道做積分。即在滿足共振條件的情況下，色散方程中會出現虛部。 化簡 其中， 是等離子體色散函數。,( )2zmnZTk 221( ) ( ) 102pennzmmeIZk TkT22221( )02zmvpeTnznmmeIdvekTTan 0zk 斜向傳播的靜電波 等離子體色散函數的定義如下： 其中，s = 0, 1, 2 分別對應著積分圍道取從奇點

28、之上對應于主值積分，穿過奇點，以及從奇點之下穿過朗道圍道。 伯恩斯坦波沒有阻尼，而對于斜向傳播的靜電波，可產生阻尼。221( ),0,1,2xeZdxisesx等離子體的平衡 平衡時，等離子體不運動，滿足 這闡明，磁力線和電流線都是在等壓面內。 是沿著等壓面的法線方向，j和B都與它垂直，因此他們都平行于等壓面 對于平直的磁力線，在垂直方向，有 對于柱等離子體，由于對稱性，等壓面就是柱的同心圓面。磁場既有軸向也有徑向分量：pjB20costant2Bpp( )( )zzB rB rBeejB柱形等離子體的平衡 柱對稱平衡時，磁力線具有一定的曲率： 其中 因此，徑向的平衡方程為：200()02Bp

29、BB2200()02BdBpdrr211( )( )( )( )rB rB rBrr BBee無力場的平衡 在低b等離子體中，磁場力占主導位置，熱壓力梯度力可以忽略不計。平衡時，必需電流與磁場平行，滿足： 其中a為常數時，是線性無力場，系統(tǒng)到達整體勢能最小的平衡形狀。 做旋度，得Helmholtz方程： 可分別解其中的三個分量。太陽低日冕中常用無力場模型。 當a不為常數時，是非線性無力場，求解更困難些。 BB22()0 B平衡系統(tǒng)的MHD不穩(wěn)定性 MHD不穩(wěn)定性能量原理： 假設系統(tǒng)中的等離子體各處都有微小位移，假設系統(tǒng)整體的能量有所上升，那么系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡形狀，反之，那么不平衡。如下圖： 設

30、位移 速度可以表示為dddtttdttvv( , )( )i tte r r位移之后勢能添加，系統(tǒng)穩(wěn)定位移之后勢能減小，系統(tǒng)不穩(wěn)定擾動對系統(tǒng)的影響 延續(xù)性方程得到： 作為隨體運動，從絕熱方程得到 從磁場凍結方程得到 從牛頓方程得到 由于F與x成正比，系統(tǒng)能量的變化為10() BB10()100ppp 2010011p FjBjB220010011112212Wd dVd dVdVdVpdV F F jBjB系統(tǒng)能量的變化 其中： 留意到 ，即磁場與邊境面平行，否那么等離子領會沿著磁力線運動，邊境無法靜止。因此101001100022011100110011()()()11()()()dVdVd

31、VdB dVddB dV jBBB BBB B BBS B BSB B S00nBe201101110201110110011()()22111()222nWdB dVppdVpdSB dVpdV BB SjB BBjB 擾動滿足的邊境條件 在邊境兩邊總壓力是一樣的，即 思索到擾動時，其隨體的變化為： 在等離子體和真空的邊境，在跟隨等離子體運動的坐標系中，電場切向分量延續(xù)，且都為0，即知邊境附近的真空中 其中運用了磁場與邊境面平行的邊境條件。上式可簡化為 并留意到真空的外表和等離子體的外表的矢量方向相反，且真空中沒有電流，即 22010010100000()()22eeen nn nBBppB

32、 BBBee1100()()0neennett AeEvBeeB10nne eAB10e B220022eBBp金屬壁包圍等離子體的系統(tǒng) 運用 化簡， 上式中，在完全導電的金屬壁上，電場切向分量為零，因此在真空中的金屬壁邊境附近 因此可以不思索真空與金屬壁邊境面上的積分。11()00nnt AeeA11e BA0111111121111111neeneeevaceeeevacvacvacdSdSdddVdVB dV BBeABBASBASBABAAB系統(tǒng)能量的變化的各項 最后化簡能量公式得 分析式中各項的作用，第一項總是正的，起穩(wěn)定作用。等離子體形變時，引起真空區(qū)間的磁場變化，而真空中的磁場本

33、來處于能量最低形狀，任何改動真空磁場形狀的變化都要破費能量，因此這項抑制等離子體形變。222201001000001122222100100000100()222212()22221122neenenenevacBBBWpdSdVpdVBBBBdVpddVdVppdV BBejBSjB系統(tǒng)能量的變化各項的作用 第二項，假設從等離子體到真空時，總壓力磁壓加動壓增大，那么這項為正，起穩(wěn)定作用，反之那么是起不穩(wěn)定作用。因此要想穩(wěn)定，需求真空中的磁壓力要越來越大。第三項，是等離子體內部的磁場起的穩(wěn)定作用。第四項，經常引起不穩(wěn)定，即電流驅動的不穩(wěn)定性。第五項中的前一部分，經常引起壓力不均勻導致的不穩(wěn)定性

34、，后一部分總是正的，是等離子體的可緊縮性提供的穩(wěn)定作用對于不可緊縮等離子體，這項為0。交換不穩(wěn)定性 普通流體中的Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性，在等離子體中表現為交換不穩(wěn)定性。以磁場來平衡等離子體所遭到的非電磁力例如重力，就能夠會出現這種不穩(wěn)定性。 想象磁通一樣的兩束相鄰的流管1與2，交換過后體積互變，體積改動的同時，壓力變化滿足絕熱條件，以流管1為例，體積由V1變?yōu)閂2，壓力從P1變?yōu)镻1，設 內能的表達式為2121,VVVPPP11000000111VVVPV VPV VPVUPdVPV V dV交換不穩(wěn)定性 交換之后，內能變化為111 22 11 12 21 122 211 12

35、 211 11111121 1211221111111(1)(1)(1)1 (1)(1)1(1)()1 (1)12(1)(1)(1)2UPVPVPVPVPV VPV VPVPVPVVPVPVVPVPVPVVVVVPVVPVV 11112221 112211111112)(1)()(1)122PVP VPVP VPVVVP VP VVPP VVVP VP VV 交換不穩(wěn)定性 由于上式中的第一項總是正的，因此不穩(wěn)定性僅在于當第二項小于0時才有能夠出現。思索等離子體邊境處，等離子體通量管和它相鄰的真空通量管交換時，總有dP0，因此穩(wěn)定條件為dV0 ，即同樣磁通量的真空通量管的體積比相鄰的等離子體通量

36、管小，因此 式中，F是磁通量，B是磁場強度。00dldlVSdldlBBB Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 思索有重力的情況，在垂直方向y方向，流體密度不均勻，且上面的流體密度大于下面的密度，可以引發(fā)Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性。 設初始擾動： 且流體是不可緊縮的，即 思索系統(tǒng)擾動之后的受力變化為：()( , )(0,( ),( )i kztyztyye r0yzdikdy 1001000211000()( )pppppp F ggRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 將方程做旋度運算以便消去壓力項，并留意到平衡時的0階密度只與y有關，那么 利用不可緊縮條件消去得到 在

37、每一種介質里面，密度是常數，方程變?yōu)椋?002000()()()yzyyikikg g222000()yyykkg 02000( )0kyyyykyeykyeyxykRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 在邊境y=0附近區(qū)間對原方程積分得到 假設上面的密度大于下面的密度，那么得到虛的頻率，引發(fā)不穩(wěn)定性，其增長率為 對于有磁場的情況，留意到磁場散度為0，以及邊境處磁場法線方向分量為0，因此B0y=0，磁場只需x和z分量。 22002()()ululluulkkgkg ()/()ululkgRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 旋度作用后的受力方程中添加磁場力一項為 而 而 代入下式： 2

38、220001()() yyyxkkgik jB1010000,yzyzzzyzzyyzBikBBikBBBB2011111222201100100() (/2 () ) () ) () )() )() ()xxxzyzzyzzyyzzyBikikB BB Bk B BikBk B j BBBBBBBBB100000()()()zyikBB BBBBRayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性 因此， 或 同樣在分界面附近積分， 得到頻率的表達式： 磁場項永遠不小于0，在這里起穩(wěn)定作用。直觀地看，磁力線有張力而趨于平直，它與等離子體凍結，起固定等離子體的作用，抑制不穩(wěn)定性。2222222000000

39、()( ()/yyyyzz ykkg kBk B 22220000()2/)()0ulzulk Bkkg 22002()()luululkg k B222222220000000(/) )(/)0zyzyyk Bkk Bkg 柱形等離子體不穩(wěn)定性 假設等離子體分開平衡位置的位移可表示為： 且等離子體是不可緊縮的，即 思索柱形等離子體內部磁場和壓力是均勻且電流存在于等離子體柱外表的情況， 內部磁場 外部磁場 受力方程為( , )( )( )( )ikz imi trrzztrrre reee0 00izBBe00( ) ,( )1/ezzBB rB rrBee200()()2dBpdtvBB柱形

40、等離子體不穩(wěn)定性 記總壓強 ： 保管一階擾動小量時 而從磁感應方程及不可緊縮條件式可知 進而可得 取散度，由不可緊縮條件可得202Bpp2010120BptzB100()ikBB B2220010()k Bp 210p柱形等離子體不穩(wěn)定性 化為Bessell方程 ： 可解得滿足r=0處有限的解： 這里Im(x)是修正Bessell函數。對壓力梯度式取方向分量，可得2221221()0ddmkpdrr drr11()( )()ikz imi tmmIkrpp aeIka2220010()() ( )( )()mrmk BkIkaap aIka 柱形等離子體不穩(wěn)定性 在等離子體外部，由于沒有電流，故磁場可以用勢場表示： 由于磁場的散度總是為0，即有 同樣滿足與類似的Bessell方程，其解為在無窮遠處為0，在這個邊境條件下， 這里Km(x)是修正Bessell函數。因此， 1eB20()( )()ikz imi tmmKkraeKka1()( )( )()merzmkKkamaaiikKkaaBeee柱形等離子體不穩(wěn)定性 等離子體內部和外部的擾動場如今都曾經知道，還需求用邊境條件