數(shù)學(xué)分析15PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析153 格林(Green)公式曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件一、格林公式三、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義二、簡(jiǎn)單應(yīng)用第1頁(yè)/共43頁(yè)一、區(qū)域連通性的分類復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD設(shè) D 為平面區(qū)域，如果 D 內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域。第2頁(yè)/共43頁(yè)當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí)，區(qū)域 D 總在他的左邊。邊界封閉曲線的方向 正向規(guī)定: 第3頁(yè)/共43頁(yè)定理1第4頁(yè)/共43頁(yè)連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線L的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.2LD1L2L1LD第5頁(yè)/共43頁(yè)),()(),(21bxa

2、xyxyxD 證明(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標(biāo)軸的直線和坐標(biāo)軸的直線和L至至多交于兩點(diǎn)多交于兩點(diǎn).),()(),(21dycyxyyxD yxoabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 第6頁(yè)/共43頁(yè)dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx BA第7頁(yè)/共43頁(yè) 若若區(qū)區(qū)域域D由由

3、按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ第8頁(yè)/共43頁(yè) 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來(lái)說(shuō)為正方向來(lái)說(shuō)為正方向?qū)?duì)DLLL第9頁(yè)/共43頁(yè)GD3L2LFCE1LAB證明(3) 若區(qū)域不止由一

4、條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由(2)知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3第10頁(yè)/共43頁(yè) LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來(lái)說(shuō)為正方向來(lái)說(shuō)為正方向?qū)?duì)DLLL便于記憶形式便于記憶形式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重

5、積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.第11頁(yè)/共43頁(yè)xyoL解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,1. 簡(jiǎn)化曲線積分ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有第12頁(yè)/共43頁(yè) LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 第13頁(yè)/共43頁(yè)例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 簡(jiǎn)化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,第14頁(yè)/共4

6、3頁(yè)應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第15頁(yè)/共43頁(yè)則則當(dāng)當(dāng)022 yx時(shí)時(shí), , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉镈,解令令2222,yxxQyxyP ,xy0LD第16頁(yè)/共43頁(yè)L( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)D )0, 0(時(shí)時(shí), ,(2) 當(dāng)當(dāng)D )0 , 0(時(shí)時(shí),1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo

7、第17頁(yè)/共43頁(yè) lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳?.2 (注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20第18頁(yè)/共43頁(yè)格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 計(jì)算平面面積第19頁(yè)/共43頁(yè)曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4

8、4 計(jì)計(jì)算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANMo第20頁(yè)/共43頁(yè) AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM第21頁(yè)/共43頁(yè) 1LQdyPdx則稱曲線積分則稱曲線積分 LQdyPdx 2LQdyPdx如果對(duì)于區(qū)域 G 內(nèi)任意指定的兩點(diǎn) A、B 以及 G 內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的任意兩條曲線 L1，L2 有 否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān). . GyxoBA1L2L在在 G

9、 內(nèi)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān), , 第22頁(yè)/共43頁(yè)xQyP第23頁(yè)/共43頁(yè)oxy112例例 5 5 驗(yàn)證驗(yàn)證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無(wú)關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)， 并求之。其中并求之。其中 L 為過(guò)三點(diǎn)為過(guò)三點(diǎn))0, 0(o，)1, 0(A，)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. . 第24頁(yè)/共43頁(yè), xQyP 若若 ),(),(00yxByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC ),(yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或xyoL LQdyPdx

10、yxu ),( 則則CBAC ),(0yxDADDB與路徑無(wú)關(guān)第25頁(yè)/共43頁(yè)xyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(000 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),( 000 或或CBAC DBAD 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(yxP ),(yxQ 在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則則QdyPdx 在在G內(nèi)為內(nèi)為 某一函數(shù)某一函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式 xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. . ),(0yxC ),(0yxD且第2

11、6頁(yè)/共43頁(yè)例6 驗(yàn)證：在 xoy 面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個(gè)函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。第27頁(yè)/共43頁(yè)1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 格林公式的應(yīng)用.格林公式; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(五、小結(jié)第28頁(yè)/共43頁(yè)與 路 徑 無(wú) 關(guān) 的 四 個(gè) 等 價(jià) 命 題條件在單連通開區(qū)域在單連通開區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有連具有連 LQdyPdxD與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線 , 0)2(QdyPdxduyxUD ),()3(使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等價(jià)命題

12、續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下四個(gè)命題成立則以下四個(gè)命題成立. . 作業(yè)：P231: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7. 第29頁(yè)/共43頁(yè) 若區(qū)域 如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考題第30頁(yè)/共43頁(yè)思考題解答oxyABCDEFG由兩部分組成L外邊界：內(nèi)邊界：BCDABEGFE第31頁(yè)/共43頁(yè)xQyP第32頁(yè)/共43頁(yè)ARBQdyPdxASBQdyPdxARBQdyPdxBSAQdyPdxARBSAQdyPdx=0所以 ARBQdyPdx=ASBQdyPdx第33頁(yè)/共43頁(yè),ABu x yPd

13、xQdy第34頁(yè)/共43頁(yè) ,ACABu xx yu x yPdxQdyPdxQdy BCPdxQdy ,BCuu xx yu x yPdxQdy xuyxxPxuxx,limlim00yxP,= = xyxxPdxyxPxxx ),(),( 第35頁(yè)/共43頁(yè) ,.uQ x yy 同同理理可可證證因因此此.duPdxQdy ,.P x yu x yQ x yu x yxy所所以以因因此此22,.PuQuyx yxy x 22.uux yy x 所以 第36頁(yè)/共43頁(yè).PQyx .D 于是，在 內(nèi).PQyx 應(yīng)用格林公式，有0)(),(),( dyPxQdyyxQdxyxPL第37頁(yè)/共43

14、頁(yè)解因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。.2),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 設(shè)設(shè)則 P，Q 在全平面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是單連通域。例例 5 5 驗(yàn)證驗(yàn)證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無(wú)關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)， 并求之。其中并求之。其中 L 為過(guò)三點(diǎn)為過(guò)三點(diǎn))0, 0(o，)1, 0(A，)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. . 第38頁(yè)/共43頁(yè)oxy112取一簡(jiǎn)單路徑：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，積分與路徑無(wú)關(guān)。,yeyP .yexQ . xQyP 即即全平面是單連通域。第39頁(yè)/共43頁(yè)解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例6 驗(yàn)證：在 xoy 面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個(gè)函數(shù)u (x, y) 的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。這里且在整個(gè) xoy 面內(nèi)恒成立。xQyP 即，因此，在 xoy 面內(nèi)，ydyxdxxy22 是某個(gè)函