氣體動(dòng)理論習(xí)題

1、氣體動(dòng)理論習(xí)題氣體動(dòng)理論習(xí)題氣體動(dòng)理論習(xí)題 6-1 有一水銀氣壓計(jì)，當(dāng)水銀柱為有一水銀氣壓計(jì)，當(dāng)水銀柱為0.76m高時(shí)，管頂離水銀柱液面為高時(shí)，管頂離水銀柱液面為0.12m。管的。管的截面積為截面積為2.010-4 m2。當(dāng)有少量氮?dú)饣烊?。?dāng)有少量氮?dú)饣烊胨y管內(nèi)頂部，水銀柱高下降為水銀管內(nèi)頂部，水銀柱高下降為0.60m。此。此時(shí)溫度為時(shí)溫度為270C，試計(jì)算有多少質(zhì)量氮?dú)庠?，試?jì)算有多少質(zhì)量氮?dú)庠诠茼?？（氮?dú)獾哪栙|(zhì)量為管頂？（氮?dú)獾哪栙|(zhì)量為0.004kg/mol,0.76m水銀柱壓強(qiáng)為水銀柱壓強(qiáng)為1.013105Pa）= 0.004 kg/mol M解：解：Phd1()=h20.76()

2、1.33105 Pa=0.60=0.282.010-4 V5.610-4 m3 =T273+27=300 K=1.9210-5kg =0.040.161.331055.610-48.31300VMPm=TRVMPm=TR 6-2 一體積為一體積為1.010-3 m3 的容器中，的容器中，含有含有4.010-5 kg的氦氣和的氦氣和4.010-5 kg的的氫氣，它們的溫度為氫氣，它們的溫度為 300C，試求容器中混，試求容器中混合氣體的壓強(qiáng)。合氣體的壓強(qiáng)。= 2.52104Pa = 5.04104Pa =VMPm=TR1114.010-58.31303 4.010-31.010-3 =4.010

3、-58.31303 2.010-31.010-3 VMPm=TR222=+P1P2P7.56104Pa 1= 4.110-3kg/mol MHe的摩爾質(zhì)量的摩爾質(zhì)量2.010-3kg/mol 2=MH2的摩爾質(zhì)量的摩爾質(zhì)量=T273+30=303 K解：解： 6-3 一封閉的圓筒，內(nèi)部被導(dǎo)熱的不漏一封閉的圓筒，內(nèi)部被導(dǎo)熱的不漏氣的可移動(dòng)活塞隔為兩部分。最初，活塞位氣的可移動(dòng)活塞隔為兩部分。最初，活塞位于筒中央，圓筒兩側(cè)的長(zhǎng)度于筒中央，圓筒兩側(cè)的長(zhǎng)度 l1= l2。 當(dāng)兩側(cè)當(dāng)兩側(cè)各充以各充以T1、p1，與與T2、p2的相同氣體后，問(wèn)的相同氣體后，問(wèn)平衡時(shí)活塞將在什么位置上（平衡時(shí)活塞將在什么位置

4、上（ 即即 l1/l2 是多是多少）？已知少）？已知 p1=1.013105Pa, T2= 680K, p2 = 2.026105Pa, T2 =280K。lPT1lP=T12221mm12()=ll12P T1P=T221mm12=12802680734lPT1lP=T12221mm12=P1P2ll12=mm12=734m解：解：=TT21平衡時(shí)：平衡時(shí)：1lMP=TR111SlP2Mm=TR222S 6-4 20個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速率如下：個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速率如下： 2個(gè)具有速率個(gè)具有速率v0, 3個(gè)具有速率個(gè)具有速率2v0, 5個(gè)具有速率個(gè)具有速率3v0, 4個(gè)具有速率個(gè)具有速率4v0, 3個(gè)具有速率個(gè)

5、具有速率5v0, 2個(gè)具有速率個(gè)具有速率6v0, 1個(gè)具有速率個(gè)具有速率7v0。試計(jì)算試計(jì)算: (1)平均速率；平均速率； (2)方均根速率；方均根速率； (3)最概然速率。最概然速率。Nvi=iNv=v0+2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2N=iNv2=vp3v0解：解： 6-5 計(jì)算在計(jì)算在300K溫度下，氫、氧和水銀溫度下，氫、氧和水銀蒸汽分子的方均根速率和平均平動(dòng)動(dòng)能。蒸汽分子的方均根速率和平均平動(dòng)動(dòng)能。MH2=210-3 kg/mol MH

6、g=20210-3 kg/mol TR3Mv2=v2=o23 8.31300 3210-3 484m/s=v2=Hg3 8.31300 202193m/sMo2=3210-3 kg/mol 解：解：(1)= 6.2110-21 JEk23=1.3810-23300 kT23(1)平均平動(dòng)動(dòng)能平均平動(dòng)動(dòng)能=v2=H23 8.31300 210-3 1934m/s 6-6 求速度大小在求速度大小在vp與與1.01vp之間的氣之間的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比體分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.4ne2x=n2-xx=xvpv0.01=vpv4ne2x=n2-xx=0.01 4e-10.83%解：將麥克斯韋

7、速率分布公式改寫(xiě)為：解：將麥克斯韋速率分布公式改寫(xiě)為：=x0.01vp=xv式中式中=vpv1=x 6-7 求求(1)速度大小在速度大小在0與與vp之間的氣體分之間的氣體分子的平均速率子的平均速率;(2)速度大小比速度大小比vp大的氣體分子大的氣體分子的平均速率。的平均速率。提示：提示：x-847. 01022=dxepx-1022=dxepNv0d=vpvN0dpve3=v0dvpv2pvv2e2v0dvpv2pvv2vp=xv令令=vpvxdd=e20dx1-x 2pve0dx1-x 2解：解：(1)=e2x0dx1-x 2e3x0dx1-x 2pvv120.7050.84e()()=+1

8、e11epvpv(2)同理同理=e20dx-x 2pve0dx-x 2=e2x0dx-x 2e3x0dx-x 2pvv1.4=pv120.84e()()=1e01epv10 6-8 遵守麥克斯韋速率分布的分子的遵守麥克斯韋速率分布的分子的最概然能量最概然能量Ep等于什么量值？它就是等于什么量值？它就是嗎？嗎？2mvp1解：設(shè)每個(gè)分子的質(zhì)量為解：設(shè)每個(gè)分子的質(zhì)量為m ，則一個(gè)分子的則一個(gè)分子的 動(dòng)能為：動(dòng)能為：Evm221=2NekT23d()=ENEkETdE2NekT23d()=ENEkETdE根據(jù)麥克斯韋能量分布函數(shù)根據(jù)麥克斯韋能量分布函數(shù)最可幾能量可由最可幾能量可由得到得到()=NdEd

9、EddE0即：即：()=21E1ekETEkT1ekET0()=21E1ekETEkT1ekET0 Ep()=Evm221=pm21kT2m2kT=E21=pkT而分子速率為而分子速率為時(shí)，它具有的能量為：時(shí)，它具有的能量為：vp 6-9 設(shè)設(shè)N個(gè)粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：個(gè)粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：0，NVvkd()=vdvk為常量為常量()Nd=v0Vv(1)畫(huà)出分布函數(shù)圖；畫(huà)出分布函數(shù)圖；(2)用用N和和V定出常量定出常量K；(3)用用V表示出算術(shù)平均速率和方均根速率。表示出算術(shù)平均速率和方均根速率。=00vNdvNk vdk=NvkNdvvdvvO=13v200vNdNkvdv22

10、1v=00vNdNk vdvv2v(3)k=Ndvvd(2)解：解：(1)分布函數(shù)如圖分布函數(shù)如圖k=Nv 6-10 設(shè)氫氣的溫度為設(shè)氫氣的溫度為3000C ,求速度大求速度大小在小在3000m/s到到3010m/s之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)n1與速度大小在與速度大小在vp到到vp+10m/s 之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)n2之比。之比。4ne2x=n2-xxH2=TR2Mpv0.002=28.315732182 m/s=()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182300573K273T=+解：解：速

11、率在速率在3000-3010m/s之間的分子數(shù)為：之間的分子數(shù)為：速率在速率在vp-vp+10 m/s之間的分子數(shù)為：之間的分子數(shù)為：()4ne2=n130002182()230002182()102182()4ne2=n22182()22182()10218221822182=n1n2()230002182e()221823000e0.78 6-11 求氫氣在求氫氣在 300K 時(shí)時(shí) 分分 子子 速速 率率 在在 vp-10m/s 與與 vp+10m/s 之間的分子數(shù)所之間的分子數(shù)所占的百分比。占的百分比。H2=TR2Mpv0.002=28.313001579 m/s=4ne2=n1579-

12、101579()21579-101579201579=1.05%4ne2x=n2-xx解：解： 6-12 試求溫度為試求溫度為T(mén)，分子質(zhì)量為，分子質(zhì)量為m的氣體的氣體中分子速率倒數(shù)的平均值中分子速率倒數(shù)的平均值它是否等于它是否等于？1v()1v()21udueb20-bu()=提示：提示：1f0d()( )=vvv1()vkk24me23()T2mTv2v2dv0=1()vk24me23()Tk2mTv2vdv0=24m23()Tk=2mTk2()=2m()Tk212=4v11()vv1 v=Tk8mTk2m2解：解： 6-13 1mol氫氣，在溫度為氫氣，在溫度為270C時(shí)，它時(shí)，它的分子平

13、動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能各為多少？的分子平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能各為多少？= 3.74103 J E23=8.31300TRk23=E=TRk8.31300=2.49103 J 解：解：平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 6-14 求上升到什么高度時(shí)，大氣壓強(qiáng)減求上升到什么高度時(shí)，大氣壓強(qiáng)減到地面的到地面的75%，設(shè)空氣的溫度為設(shè)空氣的溫度為00C，空氣，空氣的摩爾質(zhì)量為的摩爾質(zhì)量為0.0289kg/mol。0=PRehTMglnP=0PRhTMglnP=0PRhTMg=2.3km 8.312732810-39.80.75lnP=kehT g0P解：解： 6-15 求壓強(qiáng)為求壓強(qiáng)為1.013105Pa、質(zhì)量為

14、質(zhì)量為210-3kg、容積為、容積為1.5410-3m3的氧氣的的氧氣的分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。=3102 K wk23=TVMPm=TR=1.0131051.5410-33210-3210-38.31=6.210-21 J =1.3810-23310223VMPm=TR解：解： 6-16 容器內(nèi)儲(chǔ)有容器內(nèi)儲(chǔ)有1mol的某種氣體，今的某種氣體，今從外界輸入從外界輸入2.09102J的熱量，測(cè)得其溫的熱量，測(cè)得其溫度升高度升高10K，球該氣體分子的自由度。，球該氣體分子的自由度。E2 i=TR=22.09 1028.31105.035E2 i=TR解：解： 6-17 導(dǎo)體中共有導(dǎo)

15、體中共有N個(gè)自由電子。電子氣個(gè)自由電子。電子氣中電子的最大速率中電子的最大速率vF叫費(fèi)米速率。電子的速叫費(fèi)米速率。電子的速率在率在 vv+dv 的概率為的概率為:式中式中A為常量。為常量。(1)由歸一化條件求由歸一化條件求A；(2)證證明電子氣中電子的平均動(dòng)能明電子氣中電子的平均動(dòng)能此處此處EF 叫做費(fèi)米能。叫做費(fèi)米能。40AFNv2d=NdvNv0vFvv35wm2()=12Fv35=FE1=4Av2dvNv0=NdNFFv331=4 ANFv33=4AN40AFNv2d=NdvNv0vFvv解：解：(1)由歸一化條件：由歸一化條件：求得歸一化系數(shù)求得歸一化系數(shù)=NdNfd( )vv=m21

16、2v0vFNdNwm2=12vm=124 AN0dvvFv4m=124 AN15Fv5m=124N15Fv5Fv334N()=35m212vF()FE=35v2f0d( )=vvvFv2(2)平均平動(dòng)動(dòng)能為：平均平動(dòng)動(dòng)能為： 6-18 無(wú)線電所用的真空管的真空度為無(wú)線電所用的真空管的真空度為1.3310-3 Pa，試求在，試求在 270C時(shí)單位體積時(shí)單位體積的分子數(shù)及分子平均自由程。設(shè)分子的有的分子數(shù)及分子平均自由程。設(shè)分子的有效直徑為效直徑為3.010-10 m。=3.221017 個(gè)/m3 Pnk=T12d2=nl=23.04(3.010-10)23.210171= 7.84m 1.381

17、0-233001.3310-3=解：解： 6-19 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣(He)的黏度的黏度 =1.8910-5 Pa.s，又，又Mmol =0.0040kg/mol,v = 1.20103 m/s,試求；試求；(1)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦原子的平均自由程。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦原子的平均自由程。(2)氦原子的半徑。氦原子的半徑。nv31=l3nv=l=2.610-7 m=31.8910-50.1781.2103=0.178 kg/m3 =410-322.410-3解：解：(1)=1.7910-10 m=1.3810-32731.4126510-73.141.013105=r2d0.8910-10

18、 m(2)2d2=plTk2d=pTkl 6-20 設(shè)氮分子的有效直徑為設(shè)氮分子的有效直徑為10-10 m,(1)求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)；求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)；(2)如果溫度不變，氣壓降到如果溫度不變，氣壓降到1.3310-4 Pa,則平均碰撞次數(shù)又為多少？；則平均碰撞次數(shù)又為多少？；v=Tk8M解：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下解：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下N2 的平均速度為的平均速度為=454 m/s =3.140.02888.31273Pnk=T1.3810-232731.013105=2.691025 個(gè)/m3 12d2=nl=23.14(10-10)22.6910251= 8.3910-7 m

19、 =5.42108 次次/s 454zv=8.3910-7lz=zPP=1.3310-45.421081.013105=0.71 次次/s z=zPP設(shè)氣壓降低后平均碰撞次數(shù)為設(shè)氣壓降低后平均碰撞次數(shù)為z 6-21 這些溫度這些溫度00C和壓強(qiáng)和壓強(qiáng)1.0105 Pa下，空氣的密度是下，空氣的密度是1.293 kg/m3,v =4.6102 m/s， =6.410-8 m，求黏度。求黏度。=1.2936.410-84.6102311.2710-5 Pa.s =31=hvl解：解： 6-22 由實(shí)驗(yàn)室測(cè)定，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氧由實(shí)驗(yàn)室測(cè)定，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氧氣的擴(kuò)散系數(shù)為氣的擴(kuò)散系數(shù)為1.910-6

20、Pa.s,根據(jù)這些數(shù)根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算氧分子的平均自由程和分子有效直徑。據(jù)計(jì)算氧分子的平均自由程和分子有效直徑。=425 m/s =3.140.03288.31273D31=vlv=Tk8M解：解：(1)D3=vl=42530.1910-41.3410-7 m=2.5210-10 m=1.3810-32731.413.141.3410-71.0131052d=pTkl(2) 6-23 設(shè)有遵守范德瓦耳斯方程的設(shè)有遵守范德瓦耳斯方程的 1mol 氣體，試建立起臨界點(diǎn)溫度與壓強(qiáng)、體積之氣體，試建立起臨界點(diǎn)溫度與壓強(qiáng)、體積之間的關(guān)系。間的關(guān)系。k3()=VV0解：改寫(xiě)范德瓦爾斯方程解：改寫(xiě)范德瓦爾斯方程0VPb3()=+TRPV2aPVabP(1)在臨界點(diǎn)時(shí)，在臨界點(diǎn)時(shí)，v 的三個(gè)根為同一值的三個(gè)根為同一值vk將此式展開(kāi)得：將此式展開(kāi)得：+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)在臨界點(diǎn)在臨界點(diǎn) ( pk ,Vk ,Tk ) 式式(1)為：為：0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)=2aPkVk3+V3V3kV2V3kV2V3k0=(2)0VP b3()=+TRPV2aPVabPkkkkkkkk(3)式式(2)與與(3)比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)相等，的到：比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)相等，的到：=V3abPkkb=+TRPVkkk