第六章 線性代數(shù)二次型

1、三三. 實二次型的分類、正定矩陣實二次型的分類、正定矩陣*四四. 二次型的應(yīng)用二次型的應(yīng)用一一. 二次型的基本概念二次型的基本概念二二. 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的三種方法二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的三種方法第六章第六章 二次型二次型 一一. 二次型的基本概念二次型的基本概念1. 二次型、二次型的矩陣、二次型的秩二次型、二次型的矩陣、二次型的秩稱為稱為二次型。二次型。1221111212131311222223232221,111,1(,)222 22 2 nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xaxaxx 2 nnna x 含有含有n個變量個變量 的二

2、次齊次多項式的二次齊次多項式12,nx xx定義定義1：(1)（我們僅討論（我們僅討論實實二次型）二次型）實二次型：實二次型： 為實數(shù)為實數(shù)ija復(fù)二次型：復(fù)二次型： 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)ija例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x 二次型二次型22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx 不是二次型不是二次型只含平方項只含平方項的二次型的二次型2222211nnykykykf 稱為稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。（或法式）。例如：例如： 312322213

3、214542,xxxxxxxxf 都是二次型；都是二次型； 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。 323121321,xxxxxxxxxf 2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x則則則（則（1）式可以表示為）式可以表示為11112211()nna xa xxxa21122222()nna xa xxxa 1122()nnnnnna xa xxa x,1nijiji ja x x 11112212

4、112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x 1111212122221212(,) nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 TfX AX 則則其中其中A為對稱矩陣。為對稱矩陣。二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示1123231-201(,) -20 210-32xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如：二次型例如：二次型在二次型的矩陣表示中，在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，唯一確定一個任給一個

5、二次型，唯一確定一個對稱對稱矩陣；矩陣；反之，任給一反之，任給一對稱對稱矩陣，也可唯一確定一個二次型矩陣，也可唯一確定一個二次型這樣，二次型與這樣，二次型與對稱對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系把對稱矩陣把對稱矩陣A稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣f也把二次型也把二次型 稱為對稱矩陣稱為對稱矩陣A的二次型的二次型f對稱矩陣對稱矩陣A的秩稱為的秩稱為二次型二次型 的秩的秩f TfX AX 二次型二次型定義定義2：22121223(1)( , , )223f x y zxxx xx x例例1：求二次型：求二次型 f 的矩陣的矩陣11031223002A 解：解：222123

6、4124122334(2)(,)27224f x x x xxxxx xx xx x 1100121001020027A 解：解：112231(3)( ,)nnnf xxx xx xxx1000021100022100002100002100002A 12323101012A 例例2：求對稱矩陣：求對稱矩陣A所對應(yīng)的二次型所對應(yīng)的二次型.1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x ( )2r A 222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x 例例3：已知二次型：已知二次型 的秩為的秩為2，求參數(shù)，求參數(shù)c.f51315333

7、Ac 解：解：0A3.c2. 非退化線性變換（可逆線性變換）非退化線性變換（可逆線性變換）系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣 nnnnnncccccccccC212222111211 nxxxX21 nyyyY21線性變換線性變換則線性變換（則線性變換（2）可記作：）可記作：CYX nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111(2)若若C是是可逆可逆矩陣，矩陣，稱線性變換（稱線性變換（2）是）是非退化線性變換非退化線性變換若若C是是正交正交矩陣，稱線性變換（矩陣，稱線性變換（2）是）是正交線性變換正交線性變換對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求對于二次

8、型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的可逆的線性變換，使二次型只含平方項線性變換，使二次型只含平方項.,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型經(jīng)過可逆線性變換經(jīng)過可逆線性變換CYX 這種只含平方項的二次型，稱為這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二次型的標(biāo)準(zhǔn)型2221122 nnfk yk yk y 使得使得3. 矩陣的合同矩陣的合同經(jīng)過非退化線性變換經(jīng)過非退化線性變換CYX 可化為可化為)()(CYACYAXXfTT YACCYTT)( 定理定理1：TfX AX二次型二次型f則二次型則二次型 的矩陣由的矩陣由A變?yōu)樽優(yōu)門C AC為對稱矩陣，且為對稱矩陣，且TBC AC

9、( )( ).r Br C定義定義3：（合同）（合同）,TBC AC所以，通過非退化線性變換，新二次型的矩陣所以，通過非退化線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。與原二次型的矩陣是合同的。矩陣合同的性質(zhì)：矩陣合同的性質(zhì)：(1) 反身性反身性(2) 對稱性對稱性(3) 傳遞性傳遞性兩個兩個n階方陣階方陣A、B，若存在可逆矩陣，若存在可逆矩陣C，使得，使得則稱則稱A合同于合同于B。注：注：“合同合同”定義中，矩陣定義中，矩陣A 、B為一般方陣，為一般方陣，但實際多針對對稱矩陣考慮合同關(guān)系。但實際多針對對稱矩陣考慮合同關(guān)系。二二. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1. 正交變換法正交變換

10、法2. 配方法配方法目標(biāo)：目標(biāo)： ()TTfYC AC Y2222211nnykykyk YYT 問題等價于：問題等價于：TfX AX二次型二次型XCY非退化線性變換非退化線性變換TC AC求可逆矩陣求可逆矩陣C，使得，使得 為對角矩陣為對角矩陣回憶：回憶：1TAT 1.TTTTT AT 此結(jié)論用于二次型此結(jié)論用于二次型所以，所以，對于任意實對稱矩陣對于任意實對稱矩陣A，總存在正交矩陣，總存在正交矩陣T，使得使得T為正交矩陣，為正交矩陣，對于任意實對稱矩陣對于任意實對稱矩陣A，總存在正交矩陣，總存在正交矩陣T，使得使得1. 正交變換法正交變換法主軸定理：主軸定理：任給二次型任給二次型,1,AX

11、XxxafTnjijiij 總有正交變換總有正交變換,CYX 使之化為標(biāo)準(zhǔn)形使之化為標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnyyyf 定理定理2：12n， ， ，其中其中 是二次型是二次型 的對稱的對稱矩陣矩陣A的全部特征值。的全部特征值。f正交變換的特點之一是保持向量的長度不變。這是正交變換的特點之一是保持向量的長度不變。這是因為因為Q為正交矩陣，當(dāng)為正交矩陣，當(dāng)X=QY時，必有時，必有(X,X)=(QY,QY)=(QY)T(QY)=YTQTQY=YTEY=YTY=(Y,Y)即即22,.XYXY在幾何中將二次曲線或曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)型方程時，在幾何中將二次曲線或曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)型方程時，若要求保持圖形的幾何性

12、質(zhì)（如保持圖形形狀不變）若要求保持圖形的幾何性質(zhì)（如保持圖形形狀不變）,就要使用正交變換等方法。就要使用正交變換等方法。在統(tǒng)計等方面的應(yīng)用中，也常常使用正交變換的方法在統(tǒng)計等方面的應(yīng)用中，也常常使用正交變換的方法處理二次型，使變換保持尺度不變。處理二次型，使變換保持尺度不變。二、用配平方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二、用配平方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型用正交變換能夠化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這種方法是用正交變換能夠化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這種方法是根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)，求出二次型的特征值和規(guī)根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)，求出二次型的特征值和規(guī)范正交的特征向量，條件要求較強(qiáng)。范正交的特征向量，條件要求較強(qiáng)。研究一般數(shù)域研究一般數(shù)域

13、P上的二次型（含實二次型）的標(biāo)準(zhǔn)型上的二次型（含實二次型）的標(biāo)準(zhǔn)型時，可用拉格朗日配方法，這種方法不用解矩陣特征時，可用拉格朗日配方法，這種方法不用解矩陣特征值問題，只需反復(fù)利用以下兩個初等公式值問題，只需反復(fù)利用以下兩個初等公式就能將二次型化為平方和。就能將二次型化為平方和。)(,2)(22222babababababa例例3：用配方法化二次型：用配方法化二次型32222121321322),(xxxxxxxxxf為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的可逆線性變換。解：解：32222121321322),(xxxxxxxxxf322222212132xxxxxxx22221

14、222 33399()344xxxx xxx2221223339()()24xxxxx令令1122233332yxxyxxyx(1)則則1123223333232xyyyxyyxy(2)(2)是可逆線性變換，使得是可逆線性變換，使得22291231234(,)f x xxyyy1231 21 32 3( ,)3f x x xx xx xx x例例4：化二次型：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。為標(biāo)準(zhǔn)型。解：二次型中無平方項，利用平方差公式作可逆解：二次型中無平方項，利用平方差公式作可逆線性變換，使新變量的二次型含平方項，再利用線性變換，使新變量的二次型含平方項，再利用前面的方法化簡。令前面的方法化簡。令332

15、12211yxyyxyyx寫成矩陣式子寫成矩陣式子 X=CY，110110 ,001C則則22213233()(2 )3yyyyy令令333223112yzyyzyyz即即333223112zyzzyzzy2212312123123( ,)()3()f x x xyyyy yyy y2211 322324yy yyy y222132323()4yyyyy y于是，將于是，將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)型所用的可逆線性變換為化為標(biāo)準(zhǔn)型所用的可逆線性變換為Y=PZ，其中，其中101012 ,001P222123123(,)3f x xxzzz則則()() ,XCYC PZCP Z113111001CP其中其中為

16、可逆矩陣為可逆矩陣.定理定理3：對于任一：對于任一n元二次型元二次型),(),(21TTnAAAXXxxxf都存在非退化的線性變換都存在非退化的線性變換X=CY，使之成為，使之成為.),(222221121nnnydydydxxxf證明：對變量個數(shù)進(jìn)行歸納。證明：對變量個數(shù)進(jìn)行歸納。21211 111222( , , )2nnnnjjij ijjijf x xxa xxa xa xx情形情形1：平方項的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)：平方項的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)110,a 211 11(),fxaxn=1時，時， 結(jié)論成立。結(jié)論成立。設(shè)設(shè)n-1時結(jié)論成立，則時結(jié)論成立，則n時，時，22111112222

17、111111,nnnnjjjjijijjjijaxa xa xa xxaa2231222111(,)nnnnjjijijjijg y yya ya y ya111222111,njjnnjyxa x yxyxa令令211 123( ,),nfa yg y yy則則是是n-1元二次型或零多項式。元二次型或零多項式。由歸納假設(shè)，存在非退化線性變換由歸納假設(shè)，存在非退化線性變換22223223 3(,).nnng yyyd zd zd zQ為為n-1階可逆矩陣，使得階可逆矩陣，使得22,nnyzQyz則非退化線性變換為則非退化線性變換為2221211 122( ,).nnnf x xxa zd zd

18、 z111100nnnxyzPPQxyz1111112111311110100,00100001naaaaaaP令令是非退化的線性變換，使得是非退化的線性變換，使得),(),(212221njijiijnyyyhyayayyygf情形情形2：),(21nxxxf0,ijaij不含平方項，必有不含平方項，必有12(,)nh yyy其中其中 為不含平方項的二次型或零。為不含平方項的二次型或零。),(21nyyyg含有平方項，這歸結(jié)為情形含有平方項，這歸結(jié)為情形1。故故,1,iijjijkkxyyxyyxykn ki j令令右端標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為右端標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣為,21ndddB新舊變量二次型的矩陣新舊

19、變量二次型的矩陣A與與B滿足滿足CTAC=B，即即A與對角矩陣與對角矩陣B合同。合同。推論推論：任意：任意n階對稱矩陣階對稱矩陣A都與對角形矩陣合同。都與對角形矩陣合同。證明：由定理證明：由定理4，存在非退化線性變換，存在非退化線性變換X=CY，使得，使得2222211nnTydydydAXX三三. 實二次型的分類、正定矩陣實二次型的分類、正定矩陣1. 慣性定理慣性定理定義定義4：設(shè)有：設(shè)有n元二次型元二次型12(,),nf xxx如果對任意一組不全為零的實數(shù)如果對任意一組不全為零的實數(shù)12, , , ,nc cc1212121212121212121( ,)0,(,);(2) ( ,)0,(

20、,);(3) ( ,)0,(,);(4) ( ,)0,(,);(5)(,).nnnnnnnnnf c ccf x xxf c ccf x xxf c ccf x xxf c ccf x xxff x xx（）稱正定稱半正定稱負(fù)定稱半負(fù)定既取得正值又取得負(fù)值,稱不定推論推論：任意：任意n元實二次型元實二次型),(21nxxxf總可經(jīng)滿秩線性變換化為以下形式的標(biāo)準(zhǔn)型：總可經(jīng)滿秩線性變換化為以下形式的標(biāo)準(zhǔn)型：.22122221rppCYXyyyyyf 稱為稱為),(21nxxxf的規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。的規(guī)范形，且規(guī)范形唯一。慣性定理慣性定理：n元實二次型元實二次型),(21nxxxf=XTAX經(jīng)過任意滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，正平方項的經(jīng)過任意滿秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，正平方項的項數(shù)項數(shù)p及負(fù)平方項的項數(shù)及負(fù)平方項的項數(shù)q都是唯一確定的。都是唯一確定的。定義定義5：在秩為：在秩為r的實二次型的實二次型),(21nxxxf所化成的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形中，所化成的標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形中，正平方項的項數(shù)正平方項的項數(shù)p稱為稱為