數(shù)值分析數(shù)值計算方法課程課件之第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、 引言 數(shù)值求積的基本思想 一、問題 如何求積分牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式： N-L公式失效的情形：第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)學分析中的處理方法：1 牛頓-柯特斯公式 柯特斯系數(shù) 設將積分區(qū)間 劃分為 等分，選取等距節(jié)點 構造出的插值型求積公式（2.1）稱為牛頓-柯特斯公式，式中 稱為柯特斯系數(shù). 步長 按 ，引進變換則利用等距節(jié)點的插值公式，有2（2.2） 當 時，這時的求積公式就是梯形公式3 當 時，按(2.2)式，相應的求積公式是辛普森(Simpson)公式 （2.3）柯特斯系數(shù)為 4 的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，（2.4）這里 按（）式，可構造柯特斯系數(shù)

2、表.其形式是 56 從柯特斯系數(shù)表看到 時，柯特斯系數(shù) 出現(xiàn)負值，特別地，假定于是有且則有 它表明初始數(shù)據(jù)誤差將會引起計算結(jié)果誤差增大，即計算不穩(wěn)定，故 的牛頓-柯特斯公式是不用的. 7 偶階求積公式的代數(shù)精度 由定理1， 階的牛頓-柯特斯公式至少具有 次的代數(shù)精度. 先看辛普森公式(2.3)，它是二階牛頓-柯特斯公式，因此至少具有二次代數(shù)精度. 用 進行檢驗，本節(jié)討論代數(shù)精度的進一步提高問題. 按辛普森公式計算得 8另一方面，直接求積得 這時有 ，而它對 通常是不準確的，辛普森公式實際上具有三次代數(shù)精度. 均準確成立,即辛普森公式對次數(shù)不超過三次的多項式因此， 定理3當階 為偶數(shù)時，牛頓-柯

3、特斯公式(2.1)至少有 次代數(shù)精度. 9 證明我們只要驗證，當 為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式對 的余項為零. 由于這里引進變換 并注意到 有 按余項公式有 10因為被積函數(shù)若 為偶數(shù)，則 為整數(shù)，為奇函數(shù)，所以再令進一步有11 幾種低階求積公式的余項 12解：使用梯形公式使用辛普森公式：使用柯特斯公式：13 在實際應用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復化求積公式的基本思想。常用的復化求積公式有復化梯形公式和復化辛普森公式。 復化求積公式 問題1：由梯形、辛普森和柯特斯求積公式余項，分析隨著求積

4、節(jié)點數(shù)的增加，對應公式的精度是怎樣變化？問題2：當n8時NC求積公式還具有數(shù)值穩(wěn)定性嗎？可用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度嗎？144.3.1 復化梯形公式及其誤差 將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,步長 ，求積節(jié)點為 ，在每個小區(qū)間上應用梯形公式 求出積分值Ik,然后將它們累加求和,用 作為所求積分I的近似值。 15記 稱其為復化梯形公式。 當f(x)在a,b上有連續(xù)的二階導數(shù),在子區(qū)間 上梯形公式的余項已知為 在a,b上的余項 16 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在 ，使 因此,余項 所以復化梯形公式是收斂的。17 將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,記子區(qū)間 的中點為 在每個小區(qū)間上應用辛普森公式

5、，則有 記 稱為復化辛普森公式。 4.3.2復化辛普森公式及其誤差18 類似于復化梯形公式余項的討論，復化辛普森公式的求積余項為 如果把每個子區(qū)間 四等分,內(nèi)分點依次記 ，同理可得復化柯特斯公式 求積余項為 19 復化求積公式的余項表明，只要被積函數(shù)f(x)及所涉及的各階導數(shù)在a,b上連續(xù)，那么復化梯形公式、復化辛普森公式與復化柯特斯公式所得近似值 的余項和步長的關系依次為 、 、 。因此當h0 (即n)時, 都收斂于積分真值，且收斂速度一個比一個快。 問題：復化梯形公式、復化辛普森公式與復化柯特斯公式穩(wěn)定嗎？20例1 依次用n=8的復化梯形公式、n=4的復化辛普森公式計算 解:首先計算出所需

6、各節(jié)點的函數(shù)值,n=8時， 由復化梯形公式可得如下計算公式： 21由復化辛普森公式可得如下計算公式（積分準確值） 這兩種方法都需要提供9個點上的函數(shù)值，計算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復化梯形法只有三位有效數(shù)字(T8=0.9456909),而復化辛普森法卻有六位有效數(shù)字。22例2 計算定積分解:取 ,則 ,又區(qū)間長度b-a =1，（1）對復化梯形公式有余項 即 ,n212.85，取n=213，即取214個求積節(jié)點時，用復化梯形公式計算誤差不超過 。 (1)若用復化梯形求積公式，要取多少個求積節(jié)點？(2)若用復化辛普森求積公式，要取多

7、少個求積節(jié)點？(3)若用復化柯特斯求積公式，要取多少個求積節(jié)點？，使誤差不超過23（2）對復化辛普森公式有余項 即 ，取n=4，即取2n+1=9個求積節(jié)點時，用復化辛普森公式計算誤差不超過 。 （3）對復化柯特斯公式有余項 即 ，取n=1，即取4n+1=5個求積節(jié)點時，用復化柯特斯公式計算誤差不超過 。 24 復化求積方法對于提高計算精度是行之有效的方法，但復化公式的一個主要缺點在于要先估計出步長(有時難以估計)。若步長太大，則難以保證計算精度，若步長太小，則計算量太大，并且積累誤差也會增大。4.4 龍貝格（Romberg）求積公式 變步長復化求積法的基本思想是在求積過程中，通過對計算結(jié)果精度

8、的不斷估計，逐步改變步長（逐次分半），直至滿足精度要求為止。即按照給定的精度實現(xiàn)步長的自動選取。 4.4.1 梯形法的遞推化（變步長的梯形公式） 在實際計算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次分半，直至達到某種精度為止。問題：能否不通過事先估計出步長的方法，計算出達到精度要求的近似值？25 設將積分區(qū)間a,bn等分，即分成n個子區(qū)間，一共有n+1個節(jié)點，即x=a+kh, k=0,1,，n，步長 。則在區(qū)間a,b上復化梯形求積公式為：問題：復化梯形求積公式簡單易算，但精度不高，收斂速度慢，能否由其構造一個精度高些、收斂速度快些的復化求積公式呢？問題：若精度達不到要求怎么辦？二分小區(qū)間增加節(jié)點，將

9、xk , xk+1分為xk , xk+1/2和xk+1/2 , xk+1，這時復化梯形求積公式為：26當 在區(qū)間a,b上變化不大時,有 ，所以 問題：截斷誤差如何變化的？結(jié)論：精度提高了。27解: 先對整個區(qū)間0,1用梯形公式,對于 所以有 然后將區(qū)間二等份,由于 ,故有 進一步二分求積區(qū)間,并計算新分點上的函數(shù)值 例3 用變步長梯形求積法計算定積分有 這樣不斷二分下去，計算結(jié)果如P133列表所示。積分的準確值為，從表中可看出用變步長二分10次可得此結(jié)果。 28可得重新整理式子顯然可以用此式判斷近似值是否達到了精度要求。所以通常將此式作為事后誤差估計式。問題：既然 可以作為用T2n計算I的近似

10、值的估計誤差，那我們能否用這個估計誤差來改進我們的近算結(jié)果呢？問題：能否利用兩次求得的近似值來估計誤差呢？29積分近似值 的誤差大致等于 ,如果用 對 進行修正時， 與 之和比 更接近積分真值,所以可以將 看成是對 誤差的一種補償,這樣應該可得到一個具有更好效果的式子。問題：是這樣的嗎？ 4.4.2 龍貝格求積公式30和梯形變步長公式 代入上式得 故 用梯形法二分前后兩個積分值 和 作線性組合，結(jié)果卻得到復化辛普森公式 。 將復化梯形公式 31對辛普森公式用類似方法處理，其截斷誤差與 成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至 ，即有 由此可得 可以驗證,上式右端的值其實等于Cn，就是說，用辛普

11、森公式二等分前后的兩個積分值Sn和S2n 作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有 32 用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進一步導出龍貝格公式 在變步長的過程中運用前面三個式子，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn或者說，將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式），見教材P135表4-4所示。 33 4.5 高斯（Gauss）型求積公式4.5.1 高斯積分問題的提出 在前面建立牛頓-柯特斯公式時，為了簡化計算，對插值公式中的節(jié)點限定為等分的節(jié)點，然后再定求積系數(shù)，這種方

12、法雖然簡便，但求積公式的精度受到限制。我們已經(jīng)知道，過n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)精度。問題：是否存在具有最高代數(shù)精度的求積公式呢？若有，最高代數(shù)精度能達到多少呢？34在構造形如 的兩點公式時,如果限定求積節(jié)點 , 那么所得插值求積公式 的代數(shù)精度僅為1。問題：如果對式中的系數(shù) 和節(jié)點 都不加限制，能否通過適當選取 和 ,使所得公式的代數(shù)精度 。 事實上，若要使求積公式對函數(shù) 都準確成立，只要 和 滿足方程組35解之得 可以驗證，上式是具有3次代數(shù)精度的插值型求積公式。 這個例子告訴我們，只要適當選擇求積節(jié)點，可使插值型求積公式的代數(shù)精度達到最高。這就是本節(jié)要介紹的高斯求積公式

13、。 36同理，對于一般的插值求積公式 只要適當?shù)剡x取其2n+2個待定參數(shù) xk 和 ,就可使它的代數(shù)精度達到2n+1次。 定義4 若插值求積公式（*）具有2n+1次代數(shù)精度，則稱之為高斯求積公式，并稱相應的求積節(jié)點 為高斯點。 顯然，n+1個節(jié)點的高斯求積公式具有最高不超過2n+1次的代數(shù)精度。可證明高斯求積公式不僅穩(wěn)定而且收斂。 (*)374.5.2 常用的高斯求積公式（1）高斯勒讓德求積公式 高斯點為勒讓德多項式Pn+1(x)的零點時，得到的高斯求積公式稱為高斯勒讓德求積公式，其節(jié)點和系數(shù)見教材P145。問題：若要計算 怎么辦？就可將求積區(qū)間a,b變換到-1,1上，這時 令38即有 其中

14、插值求積公式節(jié)點一經(jīng)確定，相應的求積系數(shù)就確定了，因此關鍵在于確定節(jié)點。 （2）高斯切比雪夫求積公式(可用于計算奇異積分)39數(shù)值積分方法小結(jié) 本章介紹了積分的數(shù)值計算方法，其基本原理主要是逼近論，即設法構造某個簡單函數(shù)P(x)近似表示f(x)，然后對P(x)求積得到f(x)的積分近似值。 本章基于插值原理，構造了數(shù)值積分的基本公式。 插值型求積公式分為牛頓柯特斯公式和高斯公式兩類。前者取等距節(jié)點，算法簡單而容易編制程序。但是，由于在n8 時出現(xiàn)了負系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性。因此實用的只是低階公式。解決長區(qū)間與低階公式的矛盾是使用復化求積公式。因此，常用的數(shù)值積分法都是復化求積公式。 40

15、 高斯求積公式不但具有最高代數(shù)精度，而且收斂性和穩(wěn)定性都有保證，因此是高精度的求積公式。高斯公式還可以用于計算奇異積分，也可使一些復雜的積分計算簡化。高斯公式的主要缺點是節(jié)點與系數(shù)無規(guī)律。所以高階高斯公式不便于上機使用。實際應用中可以把低階高斯公式進行復化。 龍貝格公式是在區(qū)間逐次分半過程中，對用梯形法所獲得的近似值進行多級“加工”，從而獲得高精度的積分近似值的一種方法。它具有自動選取步長且精度高，計算量小的特點，便于在計算機上使用。是數(shù)值積分中較好的方法。41 （1）被積函數(shù)，諸如 等等，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)； （2）當 是由測量或數(shù)值計算給出的一張數(shù)據(jù)表.這時，牛頓-萊布尼茨公式也

16、不能直接運用; 因此有必要研究積分的數(shù)值計算問題及數(shù)值積分問題. N-L公式失效的情形： （3）原函數(shù)很難求.42 問題：點的具體位置一般是不知道的，因而難以 準確算出 的值，怎么辦？ 只要對平均高度 提供一種算法，相應地便可獲得一種數(shù)值求積方法. 由積分中值定理知，在積分區(qū)間 內(nèi)存在一點，成立 二、構造數(shù)值積分公式的基本思想（1）左矩形公式43（3）用區(qū)間中點 的“高度” 近似地取代平均高度 ，則又可導出所謂中矩形公式（2）右矩形公式（4）用兩端點“高度” 與 的算術平均作為平均高度的近似值，這樣導出的求積公式是梯形公式. 44 一般地，可以在區(qū)間 上適當選取某些節(jié)點 ，然后用 加權平均得到

17、平均高度 的近似值，這樣權 僅僅與節(jié)點 的選取有關，構造出的求積公式具有下列形式：的具體形式. 而不依賴于被積函數(shù)式中 稱為求積節(jié)點； 稱為求積系數(shù),亦稱伴隨節(jié)點 的權. kA將這種思想一般化：45 用上面式子求積分近似值的特點：將積分求值問題轉(zhuǎn)化為了計算函數(shù)值的問題，避開了求原函數(shù).這類數(shù)值積分方法通常稱為機械求積。46 代數(shù)精度的概念 定義1如果某個求積公式對于次數(shù)不超過 的多項式均能準確地成立，但對于 次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有 次代數(shù)精度. 問題：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式具有幾次代數(shù)精度？ 數(shù)值求積是近似方法，為保證精度，自然希望求積公式對盡可能多的函數(shù)準確成立.47 插值型的求積公式 設給定一組節(jié)點 且已知函數(shù) 在這些節(jié)點上的值，作插值函數(shù) .取 作為積分 的近似值，這樣構造出的求積公式48稱為是插值型的，式中求積系數(shù) 通過插值基函數(shù) 積分得出 由插值余項定理(第2章的定理2)即知，其余項 式中與變量 有關， 問題：上述插值型求積公式至少具有多少次代數(shù)精度？49 當 是次數(shù)不超過 的多項式時，插值多項式就是函數(shù)本身，余項 為零， 事實上， 這時求積公式對于插值基函數(shù) 應準確成立，即有至少具有 次代數(shù)精度.所以這時插值型求積公式 反之， 如果