大學(xué)電路第三章

1、3.電阻電路的一般分析電阻電路的一般分析本章內(nèi)容本章內(nèi)容3.1 電路的圖電路的圖3.2 KCL和和KVL的獨(dú)立方程數(shù)的獨(dú)立方程數(shù)3.6 結(jié)點(diǎn)電壓法結(jié)點(diǎn)電壓法3.3 支路電流法支路電流法3.4 網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法3.5 回路電流法回路電流法1. 深刻理解并掌握電路的圖和KCL和KVL獨(dú)立方程數(shù)的基本概念。 2. 深刻理解并掌握支路電流法的概念及應(yīng)用。3. 深刻理解并掌握網(wǎng)孔電流法和回路電流法的概念及應(yīng)用。4. 深刻理解并掌握結(jié)點(diǎn)電壓法的概念及應(yīng)用。 本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)3.1 電路的圖電路的圖1網(wǎng)絡(luò)圖論 圖論是拓?fù)鋵W(xué)的一個分支，是富有趣味和應(yīng)用極為廣泛的一門學(xué)科。圖論的概念由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早提出

2、，歐拉在1736年發(fā)表的論文依據(jù)幾何位置的解題方法中應(yīng)用圖的方法討論了各尼斯堡七橋難題，見圖3.1a和b所示。 圖3.1（a）哥尼斯堡七橋 圖3.1（b） 對應(yīng)的圖 1920世紀(jì)，圖論主要研究一些游戲問題和古老的難題，如哈密頓圖及四色問題。1847年，基爾霍夫首先用圖論來分析電網(wǎng)絡(luò)，如今在電工領(lǐng)域，圖論被用于網(wǎng)絡(luò)分析和綜合、通訊網(wǎng)絡(luò)與開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)、集成電路布局及故障診斷、計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及編譯技術(shù)等等。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)圖論已成為計(jì)算機(jī)輔助分析中很重要的基礎(chǔ)知識，也是網(wǎng)絡(luò)分析、綜合等方面不可缺少的工具。 圖論中，把一些事物及其之間的聯(lián)系用點(diǎn)和連接于點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段來表示，因此，圖就是一些點(diǎn)

3、與線段的集合。在網(wǎng)絡(luò)圖中，將支路用線段表示，支路間的連接用點(diǎn)表示。2電路的圖定義 電路的圖是結(jié)點(diǎn)和支路的集合。是用以表示電路幾何結(jié)構(gòu)的圖形，圖中的支路和結(jié)點(diǎn)與電路的支路和結(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)，其中每條支路的兩端都連到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上，孤立的結(jié)點(diǎn)也叫圖，沒有結(jié)點(diǎn)的支路不叫圖。如圖所示。通常將電壓源與無源元件的串聯(lián)、電流源與無源元件的并聯(lián)作為復(fù)合支路用一條支路表示。 電路圖電路的圖（一個元件作為一條支路）電路的圖（采用復(fù)合支路）有向圖標(biāo)定了支路方向（電流的方向）的圖稱為有向圖。 連通圖 圖G的任意兩結(jié)點(diǎn)間至少有一條路經(jīng)時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。有向圖 非連通圖 連通圖 子圖 若圖G1中所有支

4、路和結(jié)點(diǎn)都是圖G中的支路和結(jié)點(diǎn)，則稱G1是圖G的子圖。電路的圖（G） 圖G的子圖 G1 圖G的子圖 G1 從G的一個結(jié)點(diǎn)出發(fā)，依次通過圖的支路和結(jié)點(diǎn)（每一支路和結(jié)點(diǎn)只通過一次），到達(dá)另一個結(jié)點(diǎn)（或回到原出發(fā)點(diǎn)），這種子圖成為路徑。 路徑 樹（T）是連通圖G的一個子圖，且滿足下列條件： 連通； 包含圖G中所有結(jié)點(diǎn)； 不含閉合路徑。 樹 構(gòu)成樹的支路稱樹枝 不屬于樹的支路稱連支 樹支 連支 電路的圖與樹的定義上圖表明 1）對應(yīng)一個圖有很多的樹；2）樹支的數(shù)目是一定的，為結(jié)點(diǎn)數(shù)減一：bt=n-13）連枝數(shù)為 bl=b-bt=b-(n-1)回路l是連通圖G的一個子圖，構(gòu)成一條閉合路徑，并滿足條件： 連

5、通； 每個結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)2條支路?；芈?電路的圖與回路定義基本回路 對于圖G的任意一個樹，加入一個連支后，就會形成一個回路，并且此回路除所加連支外均由樹支組成，又稱單連支回路。1）對應(yīng)一個圖有很多的回路； 2）基本回路的數(shù)目是一定的，為連支數(shù)；3）對于平面電路，網(wǎng)孔數(shù)為基本回路數(shù) l=b-(n-1) 即：電路中結(jié)點(diǎn)、支路和基本回路關(guān)系為：支路數(shù)樹枝數(shù)連支數(shù)結(jié)點(diǎn)數(shù)1基本回路數(shù) b=n+l-1 電路的圖及其基本回路【例3-1】 圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應(yīng)的基本回路 對應(yīng)例圖的三個樹： 解對應(yīng)三個樹的基本回路3.2 KCLKCL和和KVLKVL的獨(dú)立方程數(shù)的獨(dú)立方程數(shù)1.KCL的獨(dú)立方程數(shù)

6、對圖中所示電路的圖列出4個結(jié)點(diǎn)上的KCL方程（設(shè)流出結(jié)點(diǎn)的電流為正，流入為負(fù)）： 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 結(jié)點(diǎn) 把以上4個方程相加，滿足：0 結(jié)論：n個結(jié)點(diǎn)的電路, 獨(dú)立的KCL方程為n-1個，即求解電路問題時，只需選取n-1個結(jié)點(diǎn)（稱為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)）來列出KCL方程。2KVL的獨(dú)立方程數(shù)根據(jù)基本回路的概念，可以證明 KVL的獨(dú)立方程數(shù) = 基本回路數(shù) = b-(n-1) 基本回路以外的回路上列寫的KVL方程都可由基本回路上的方程線形組合而成，因而是不獨(dú)立的 。 對于一個結(jié)點(diǎn)為n，支路數(shù)為b的連通圖，在基本回路（即單連支回路）上列寫的KVL方程是一組獨(dú)立方程，方程數(shù)目= b-n+1。這些基本回路稱為獨(dú)立

7、回路。結(jié)論獨(dú)立回路選擇方法： 單連支回路法（基本回路法）： 確定一個樹； 確定單連支回路（基本回路）,僅含唯一的連支， 其余為樹支。3電路方程（n-1） 個KCL方程 b-(n-1) 個KVL方程 b 個VCR方程 3.3 支路電流法支路電流法1支路電流法 以各支路電流為未知量，列寫?yīng)毩㈦娐贩匠谭治鲭娐返姆椒ǚQ為支路電流法。 對于有n個節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路，要求解支路電流,未知量共有b個。只要列出b個獨(dú)立的電路方程，便可以求解這b個變量。2. 支路電流方程的列寫步驟(1) 標(biāo)定各支路電流（電壓）的參考方向；(2) 從電路的n個結(jié)點(diǎn)中任意選擇n-1個結(jié)點(diǎn)列寫KCL方程(3) 選擇基本回路，結(jié)合元

8、件的特性方程列寫b-(n-1)個KVL方程(4) 求解上述方程，得到b個支路電流；(5) 進(jìn)一步計(jì)算支路電壓和進(jìn)行其它分析。【例3-2】 求圖示電路的各支路電流及電壓源各自發(fā)出的功率。對結(jié)點(diǎn)a列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0對兩個網(wǎng)孔列 KVL 方程： 求解上述方程： I3=I1+I2=6-2=4電壓源發(fā)出的功率：P70=670=420W P6=-26=-12W解解【例3-3】列寫圖示電路的支路電流方程（電路中含有理想電流源）。解一解一解二解二 備注：本例說明對含有理想電流源的電路，列寫支路電流方程有兩種方法，一是設(shè)電流源兩端電壓，把電流源看作電壓源來列寫方程，然后增補(bǔ)一個方程，即令

9、電流源所在支路電流等于電流源的電流即可。另一方法是避開電流源所在支路例方程，把電流源所在支路的電流作為已知?！纠?-4】列寫圖示電路的支路電流方程（電路中含有受控源）。備注：本例求解過程說明對含有受控源的電路，方程列寫需分兩步：(1) 先將受控源看作獨(dú)立源列方程；(2) 將控制量用支路電流表示，并代入所列的方程，消去控制變量。解【例3-5】列寫圖示電路的支路電流方程。解0621 iii0541 iii0653 iii41224411SSuuiRiRiR4443355SuiRiRiR 16115665SSuuiRiRiR 結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：結(jié)點(diǎn)：回路回路l1：回路回路l2：回路回路l

10、3： 3.4 網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法1. 平面電路與非平面電路 凡是可以把所有元件都布置在一個平面上而端線不出現(xiàn)交叉重疊現(xiàn)象的電路，稱為平面電路，稱為平面電路，否則便是非平面電路。如下圖中的（a）、（b）。對于（c）無論怎樣調(diào)整布局，都做不到端線不發(fā)生交叉重疊，此時就為非平面電路。圖3-2 平面電路與非平面電路2. 網(wǎng)孔電流法 網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流為未知量，根據(jù)KVL對全部網(wǎng)孔出方程求解。 式中具有相同下標(biāo)的電阻R11，R22，Rmm等是各網(wǎng)孔的自阻，有不同下標(biāo)的電阻R12，R23等是各網(wǎng)孔間的互阻。自阻總為正，互阻總為負(fù)。（所有網(wǎng)孔電流都取為順（逆）時針。方程右邊的US11，US22，Usm

11、m的方向與網(wǎng)孔電流一致時，前面取“-”號，反之取“+”號。方程的一般形式定義3解題步驟： 局部調(diào)整電路，當(dāng)電路中含有電流源和電阻的并聯(lián)組合時，可轉(zhuǎn)化為電壓源和電阻的串聯(lián)組合； 選取網(wǎng)孔電流，方向取順時針方向； 依據(jù)KVL列寫網(wǎng)孔電流方程，自阻總為正，互阻視為流過的網(wǎng)孔電流方向而空，兩電路同向取“+”，異向取“-”； 解方程求解； 作答?！纠?-5】列寫如下電路的回路電流方程，求電路中各電源提供的電功率。 聯(lián)立上述方程解得：各電源提供的電功率分別為： 3.5 回路電流法回路電流法 為減少未知量 ( 方程 ) 的個數(shù)，假想每個基本回路中有一個回路電流沿著構(gòu)成該回路的各支路流動。各支路電流用回路電流

12、的線性組合表示。來求得電路的解?；舅枷耄?1回路電流法 以基本回路中的回路電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法。當(dāng)取網(wǎng)孔電流為未知量時，則稱為網(wǎng)孔電流法。 圖示電路有兩個獨(dú)立回路，選兩個網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，設(shè)網(wǎng)孔電流沿順時針方向流動，如圖所示?？梢郧宄目闯?，當(dāng)某支路只屬于某一回路（或網(wǎng)孔），那么該支路電流就等于該回路（網(wǎng)孔）電流，如果某支路屬于兩個回路（或網(wǎng)孔）所共有，則該支路電流就等于流經(jīng)該支路兩回路（網(wǎng)孔）電流的代數(shù)和。如下圖電路中： 支路電流與回路電流的關(guān)系 回路電流法列寫的方程 回路電流在獨(dú)立回路中是閉合的，對每個相關(guān)結(jié)點(diǎn)回路電流流進(jìn)一次，必流出一次，所以回路電流自動滿足KCL。因此

13、回路電流法是對基本回路列寫KVL方程，方程數(shù)為：b-(n-1) 與支路電流法相比，方程數(shù)減少n-1個。 2. 方程的列寫 應(yīng)用回路法分析電路的關(guān)鍵是如何簡便、正確地列寫出以回路電流為變量的回路電壓方程。以上圖電路為例列寫網(wǎng)孔的KVL方程，并從中歸納總結(jié)出簡便列寫回路KV方程的方法。 第一個等式中，il1前的系數(shù)(R1 + R2)是網(wǎng)孔1中所有電阻之和，稱它為網(wǎng)孔1的自電阻，用R11表示；il2前的系數(shù)- R2是網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2公共支路上的電阻，稱它為兩個網(wǎng)孔的互電阻，用R12表示，由于流過R2的兩個網(wǎng)孔電流方向相反，故R2前為負(fù)號；等式右端us1-us2表示網(wǎng)孔1中電壓源的代數(shù)和，用us11表示

14、，us11中各電壓源的取號法則是，電壓源的電壓降落分向與回路電流方向一致的取負(fù)號，反之取正號。用同樣的方法可以得出等式2中的自電阻、互電阻和等效電壓源分別為：觀察方程可以看出如下規(guī)律：自電阻：R22 = (R2 + R3) 互電阻：R21= - R2等效電壓源： 由此得回路（網(wǎng)孔）電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： 對于具有l(wèi)=b-(n -1) 個基本回路的電路，回路（網(wǎng)孔）電流方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: R11 il1+ R12il2+R1l il l= us11 R21 il1+ R22il2+R2l il l = us22 Rl1 il1+ Rl2il2+Rll il l= usll 其中：自電阻Rkk為正；

15、互電阻 RjkRkj可正可負(fù)，當(dāng)流過互電阻的兩回路電流方向相同時為正，反之為負(fù)； 等效電壓源uSkk中的電壓源電壓方向與該回路電流方向一致時，取負(fù)號；反之取正號。R11 il1+ R12il2= us11 R21 il1+ R22il2= us22備注：當(dāng)電路不含受控源時，回路電流方程的系數(shù)矩陣為對稱陣。(1) 選定l=b-(n -1)個基本回路，并確定其繞行方向；(2) 對l個基本回路，以回路電流為未知量，列寫 KVL 方程；(3) 求解上述方程，得到l個回路電流；(4) 求各支路電流(用回路電流表示 ) ；(5) 其它分析。備注：電路中含有理想電流源和受控源時，回路方程的列寫參見例題?；芈?/p>

16、電流法的一般步驟：【例3-5】列寫如下電路的回路電流方程，說明如何求解電流i。選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路 不含受控源的線性網(wǎng)絡(luò)，回路方程的系數(shù)矩陣為對稱陣，滿足 Rjk = Rkj。 當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順時針或逆時針方向時，Rkj均為負(fù)。本例結(jié)果說明解1 為了減少計(jì)算量，可以只讓一個回路電流經(jīng)過R5支路如圖所示。此時回路方程為： 解2 一個回路電流經(jīng)過R5支路備注：解法2的特點(diǎn)是計(jì)算量減少了，但互有電阻的識別難度加大，易遺漏互有電阻。本題也說明獨(dú)立回路的選取有多種方式，如何選取要根據(jù)所求解的問題具體分析?！纠?-5】列寫如下電路的回路電流方程，求電路中各電源提供的電功率。解聯(lián)立上述方程解得：各電源提供的電功

17、率分別為：【例3-6】 列寫圖中所示電路的回路電流方程（電路中含有無伴理想電流源）。解1解2選取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路備注：本題說明對含有無伴理想電流源的電路，回路電流方程的列寫有兩種方式：電流源支路僅屬于一個回路1. 引入電流源電壓U ，把電流源看作電壓源列寫方程，然后增補(bǔ)回路電流和電流源電流的關(guān)系方程，從而消去中間變量U 。這種方法比較直觀，但需增補(bǔ)方程，往往列寫的方程數(shù)多。2. 使理想電流源支路僅僅屬于一個回路，該回路電流等于已知的電流源電流IS。這種方法列寫的方程數(shù)少。在一些有多個無伴電流源問題中，以上兩種方法往往并用。【例3-7】 列寫圖中所示電路的回路電流方程（電路中含有受控源）。解選網(wǎng)孔

18、為獨(dú)立回路【例3-8】 列寫圖中所示電路的回路電流方程。選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路如圖所示，設(shè)電流源和受控電流源兩端的電壓分別為U2和U3，則回路電流方程為：回路1 ( R1 + R3) i1 R3 i3=-U2回路2 R2 i2 =U2U3回路3 - R3 i1+ (R3+ R4 + R5) i3R5 i4= 0回路4 R5 i3+ R5 i4=U3U1方程中多出U1、U2 和U3三個變 量，需增補(bǔ)三個方程： is= i1 i2 R1 i1=U1 i4 i2=gU1選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路解1解2 獨(dú)立回路的選取如圖所示，回路方程為： 回路1 is= i1 回路2 R1 i1+ (R1+ R4 + R2) i

19、2+R4 i3=U1 回路3 -R3i1+ R4i2+(R3+ R4 + R5) i2 R5i4=0 回路4 i4 =gU1 增補(bǔ)方程： R1 (i1i2 ) =U1【例3-9】 求電路中電壓U，電流I和電壓源產(chǎn)生的功率。獨(dú)立回路的選取如圖所示，回路方程為：回路1 i1= 2A回路2 i2= 2A回路3 i3= 3A回路4 6i43i1 +i2 4i3=-4從中解得： i4=(6-2+12-4/6) = 2A則所求電流：I = I1+I3- I4= 2+3-2 = 3A電壓： 2i4 +4 =U =8V電壓源產(chǎn)生的功率：P = 4i4=-8W 3.6 結(jié)點(diǎn)電壓法結(jié)點(diǎn)電壓法 選結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，

20、可以減少方程個數(shù)。結(jié)點(diǎn)電壓自動滿足KVL，僅列寫KCL方程就可以求解電路。各支路電流、電壓可視為結(jié)點(diǎn)電壓的線性組合。求出結(jié)點(diǎn)電壓后，便可方便地得到各支路電壓、電流。結(jié)點(diǎn)電壓法的基本思想：1結(jié)點(diǎn)電壓法 以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。適用于結(jié)點(diǎn)較少的電路。結(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓的關(guān)系 在電路中，任選一結(jié)點(diǎn)作參考點(diǎn)：其余各結(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電壓差稱為相應(yīng)各結(jié)點(diǎn)的電壓（位），方向?yàn)閺莫?dú)立結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)。如下圖示電路，選下部結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)1，2，3的電位分別為un1，un2，un3 。則支路1的電壓為結(jié)點(diǎn)的電壓un1，支路2的電壓為結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的電壓差，依此類推，任一支路電壓都可以用

21、結(jié)點(diǎn)電壓表示。 如圖所示電路中各支路電壓分別為： u1= un1 u2 = un1- un2 u3 = un2- un3 u4 = un2 u5 = un3 u6 = un1- un3各支路電流通過支路電壓可以求出。如支路電流： 結(jié)點(diǎn)電壓法列寫的方程 觀察上圖可見，對電路中任何一個回路利用結(jié)點(diǎn)電壓列KVL方程，每一個結(jié)點(diǎn)電壓一定出現(xiàn)一次正號和一次負(fù)號。如支路1，2，4構(gòu)成的回路，KVL方程為：- un1 +( un1- un2)+ un2 = 0 以上說明結(jié)點(diǎn)電壓自動滿足KVL。因此結(jié)點(diǎn)電壓法是對結(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，方程數(shù)為（n-1）。2方程的列寫 應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法分析電路的關(guān)鍵是如何簡便、正確地列

22、寫出以結(jié)點(diǎn)電壓為變量的方程。以上頁電路圖為例列寫結(jié)點(diǎn)上的KCL方程，并歸納總結(jié)出簡便列寫結(jié)點(diǎn)電壓方程的方法。 對各結(jié)點(diǎn)列 KCL 方程： 結(jié)點(diǎn)： i1 +i2 = is1 + is6 結(jié)點(diǎn)： -i1 +i3 +i4= o 結(jié)點(diǎn)： -i3 +i5 = - is6把各支路電流用結(jié)點(diǎn)電壓表示：將以上方程按未知量順序排列整理得：令Gk=1/Rk，k =1,2,3,4,5 。上式簡記為：(G1+ G2)un1- G2un2= is1 + is2-G2un1+ (G3+ G2+ G4)un2-G3un3= 0-G3un2+ (G3+ G5)un3 = -is2+ us/ R5觀察方程可以看出如下規(guī)律： 等

23、式1：G1+ G2為接在結(jié)點(diǎn)上所有支路的電導(dǎo)之和，稱結(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)，用G11表示。 -G2為結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間的互電導(dǎo)，應(yīng)等于接在結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間的所有支路的電導(dǎo)之和，始終為負(fù)值，用G12表示。 iS1 +iS2為流入結(jié)點(diǎn)的電流源電流的代數(shù)和，稱為等效電流源，用i11表示，計(jì)算時以流入結(jié)點(diǎn)的電流源為正，流出結(jié)點(diǎn)的電流源為負(fù)。 用同樣的方法可以得出等式2和等式3中的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)和等效電流源分別為： G22= G3+ G2+ G4 G21= - G2 G23=-G3 i22= 0 G33= G3+ G5 G32= - G3 G31= 0 i33=-iS2+us/ R5由此得結(jié)點(diǎn)電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： G1

24、1un1+G12un2= iS11 G21un1+G22un2= 0 G31un1+G33un3= iS33結(jié)論：對于具有n個結(jié)點(diǎn)的電路，結(jié)點(diǎn)電壓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： G11un1+G12un2+G1n-1un-1= iS11 G11un1+G12un2+G2n-1un-1= iS22 G11un1+G12un2+Gn-1n-1un-1= iSn-1n-1其中： Gii自電導(dǎo)，等于接在結(jié)點(diǎn)i上所有支路電導(dǎo)之和(包括電壓源與電阻串聯(lián)支路)?？倿檎?Gij=Gji互電導(dǎo)，等于接在結(jié)點(diǎn)i與結(jié)點(diǎn)j之間的所支路的電導(dǎo)之和，總為負(fù)。 iSii流入結(jié)點(diǎn)i的電流源電流的代數(shù)和（包括由電壓源與電阻串聯(lián)支路等效的電流源）。 備注：備注：當(dāng)電路不含受控源時，結(jié)點(diǎn)電壓方程的系數(shù)矩陣為對稱陣。 (1) 選定參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)定其余n-1個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)；(2) 對n-1個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，列寫其KCL方程；(3) 求解上述方程，得到n-1個結(jié)點(diǎn)電壓；(4) 求各支路電流（用結(jié)點(diǎn)電壓表示）；(5) 其它分析。結(jié)點(diǎn)法的