利用極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和

1、3 3 利用極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積分利用極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積分一、重積分的換元積分法一、重積分的換元積分法二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分三、利用三、利用柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積分柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積分一、重積分的換元積分法一、重積分的換元積分法 定理定理1：設(shè)設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D連續(xù)，連續(xù)，在在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) yxvvyxuu, 把把D映射為映射為uv平面的區(qū)域平面的區(qū)域D，其逆變換記成，其逆變換記成 vuyyvuxx, 又設(shè)又設(shè) 行列式行列式 Jacobi 0,0,vuyxyxvu或或則則 dud

2、vvuyxvuyvuxfdxdyyxfDD, sin,cos yx例例1 f(x，y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域Dxy連續(xù)，則極坐標(biāo)變換連續(xù)，則極坐標(biāo)變換 ,cossin,sincosxxx yu vyy 它把它把 變成變成 ， 行列式行列式xyDDJacobi故故 ddfdxdyyxfDDxy sin,cos,二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分 2，設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域D的點(diǎn)的極角的點(diǎn)的極角 變化的范圍在變化的范圍在 和和 之間，射線之間，射線 和和 把區(qū)域把區(qū)域D的變化分成內(nèi)側(cè)邊界的變化分成內(nèi)側(cè)邊界 和外側(cè)邊界和外側(cè)邊

3、界 設(shè)它們都是單值函數(shù)，極角設(shè)它們都是單值函數(shù)，極角 的射線的射線從極坐標(biāo)為從極坐標(biāo)為 的點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域的點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域D，從，從極坐標(biāo)為極坐標(biāo)為 的點(diǎn)穿出。的點(diǎn)穿出。 1 2 1， 滿足滿足 21 因此在極坐標(biāo)系下區(qū)域因此在極坐標(biāo)系下區(qū)域D有如下不等式有如下不等式: : ，21此時(shí)有此時(shí)有: : 21sin,cossin,cosdfdddfD ，這條射線落這條射線落D內(nèi)的部分其極坐標(biāo)內(nèi)的部分其極坐標(biāo)yx212222222.,14Dxy dxdyDxyxy 例例 計(jì)計(jì)算算其其中中 是是由由和和所所圍圍成成的的圓圓環(huán)環(huán)形形區(qū)區(qū)域域。O 此處，此處，D的邊界曲線是中心在原點(diǎn)的圓的邊界曲線是中心在原點(diǎn)的圓周

4、，周，D既非既非x型域也非型域也非y型域。型域。問問題題：什什么么情情況況下下可可以以考考慮慮用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)算算？yfxyyxxyx222222221 1 區(qū)區(qū)域域是是中中心心在在坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的圓圓域域或或部部分分圓圓域域。2 2 被被積積函函數(shù)數(shù) 以以+,-,+,-, 為為中中間間變變量量。例例3. 平面上到兩定點(diǎn)平面上到兩定點(diǎn)（-a，0）和和（a，0） 的距離之積為的距離之積為 的點(diǎn)的軌跡稱雙鈕線，求的點(diǎn)的軌跡稱雙鈕線，求 雙鈕線所圍圖形的面積。雙鈕線所圍圖形的面積。2a設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為為(x,y(x,y),),則則 解解:a2yxOa 如右圖所示如右圖所示 22

5、222ayaxyax 02222222 yxayx得到得到由此可知雙鈕線關(guān)于坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對稱由此可知雙鈕線關(guān)于坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對稱令令 sin,cos yx得雙鈕線的極坐標(biāo)方程得雙鈕線的極坐標(biāo)方程 2cos222a 雙鈕線與雙鈕線與x軸在第一象限所圍部分軸在第一象限所圍部分D為：為：40 ,2cos20 aX軸與雙鈕線在第一象限部分所圍面積：軸與雙鈕線在第一象限部分所圍面積： ,1DDdddxdyA 2cos2040add 4022cos da221a 40 ,2cos2 a在第一象限部分在第一象限部分故所求面積故所求面積2124aAA :1sin練練習(xí)習(xí) 計(jì)計(jì)算算心心臟臟線線所所圍圍成成

6、的的區(qū)區(qū)域域面面積積. . 例例4. 計(jì)算積分計(jì)算積分(1) ,其中其中D為圓域?yàn)閳A域 . (2) dxdyeDyx 22222ayx dxex 02 例例5 . 求球體求球體 被圓柱面被圓柱面 所截得的含在圓柱面所截得的含在圓柱面內(nèi)那部分的立體的體積內(nèi)那部分的立體的體積.22224azyx 0222 aaxyx222222:6412,01xyyxyzzzxyzxy 練練習(xí)習(xí) 計(jì)計(jì)算算下下列列立立體體的的體體積積。 (1) (1)由由柱柱面面和和平平面面所所圍圍成成. . (2) (2)由由錐錐面面和和半半球球面面 所所圍圍成成. . 定理定理2：設(shè)設(shè)f（x，y，z）在空間有界區(qū)域在空間有界區(qū)

7、域連續(xù)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)u=u（ x，y，z ），），v=v （x，y，z），），w=w （x，y，z） ,wvuzzwvuyywvuxx 在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并把上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并把映射到映射到Ouvw空間的區(qū)域空間的區(qū)域。其逆映射為。其逆映射為若若Jacobi行列式：行列式：則成立換元積分公式：則成立換元積分公式： dxdydzzyxf , , , , , , ,x y zfx u v wy u v wz u v wdudvdwu v w 0,0,zyxwvuwvuzyx或或例例6 設(shè)空間一點(diǎn)設(shè)空間一點(diǎn)M（x,y,z）在在xoy平面的平面的投影投影P（x，y），），如果如果P（x

8、，y）的極坐的極坐標(biāo)為標(biāo)為 ，變換的變換的Jacobi行列式為行列式為 sin,cos yx即即zzyx ,sin,cos 則則 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo)。它與直的柱坐標(biāo)。它與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系為角坐標(biāo)的變換關(guān)系為 ： z， ,xxxzxyzyyyzzzzzz 1000cossin0sincos dzddzfdxdydzzyxfz ,sin,cos,，故成立換元積分公式，故成立換元積分公式cos ,sin ,.xyzz 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)z 為為常常數(shù)數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM

9、( , )P r rzxyzo 為為常常數(shù)數(shù) dxdydzzyxf),(cos ,sin , ).fzd d dz d xyzodzdd 如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dvd d dz ,2121zzz： dxdydzzyxf,則三重積分則三重積分 2211,cos ,sin ,zzddfz dz 若一空間區(qū)域若一空間區(qū)域 在柱坐標(biāo)系下的不等式表示為在柱坐標(biāo)系下的不等式表示為 例例7 . 求三重積分求三重積分 VzdxdydzI其中其中V是球面是球面 與拋物與拋物面面 所圍部分。所圍部分。4222 zyxzyx322 1222222222柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)代代換換適適

10、用用于于：投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閳A圓域域或或部部分分圓圓形形域域。x x：被被積積函函數(shù)數(shù)中中含含有有x +y ,x -y ,xy,x +y ,x -y ,xy, 等等。y y22222222:,90(),02xy dxdydzzxyzxy dxdydzxyxyzzx 練練習(xí)習(xí) 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分。 (1) (1)是是由由曲曲面面 和和所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . (2) (2)是是介介于于兩兩柱柱面面=1=1 和和=4=4之之間間被被平平面面和和所所截截 下下的的部部分分. . 例例8 8. .設(shè)空間一點(diǎn)設(shè)空間一點(diǎn) 在在xoyxoy面的投影為面的投影為 向徑向徑 的長度的長度 ，

11、與與 OZ 軸正向的交角為軸正向的交角為 ，過，過OZ軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)M M的半的半平面的交角平面的交角 。 02 zyxM, yxP,OM rrOM0OM 0故球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系：故球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系：則則 稱為稱為M的球坐標(biāo)，的球坐標(biāo)， ，rsincos,sinsin,cos .xryrzr 球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxM r zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐

12、面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面為常數(shù)為常數(shù) zzrzyyryxxrxrzyx, sin0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin2rrrrrr ddrdrdVsin2 dxdydzzyxf ,故成立換元積分公式故成立換元積分公式: : ddrdrrrrfrsincos,sinsin,cossin2, 故，球坐標(biāo)系中體積微元故，球坐標(biāo)系中體積微元 dxdydzzyxf),(2f (r sincos,r sinsin,rcos)r sin drd d . 球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為2dvr sin drd d , d rxy

13、zodrrsin d rd d d rsin 如圖，如圖，例例 9 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 zdxdydzI其中其中 為半球面為半球面 xy zz2221,0. 例例10 . 求半徑為求半徑為a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的內(nèi)接的內(nèi)接圓錐所圍立體體積。圓錐所圍立體體積。 解解 選坐標(biāo)系使球選坐標(biāo)系使球面過原點(diǎn)，球心在面過原點(diǎn)，球心在z軸上與直角坐標(biāo)為軸上與直角坐標(biāo)為 處，其方程為處，其方程為 a, 00， 2222aazyx 錐面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，錐面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其軸與其軸與 軸重合，軸重合，Oz12222222球球坐坐標(biāo)標(biāo)代代換換適適用用于于： 是是球球體體或或其其一一部部分分；：被被積

14、積函函數(shù)數(shù)中中含含有有（x +y +zx +y +z ）. .222222222222222:,0(),(1)1y dxdydzxyzaxyzbbaxyzdxdydzxyz 練練習(xí)習(xí) 計(jì)計(jì)算算下下列列積積分分。 (1) (1)是是介介于于兩兩球球面面 和和之之間間的的部部分分().(). (2) (2)是是球球體體. . 例例 11 計(jì)算積分計(jì)算積分 ，其中其中 為橢球體為橢球體dxdydzz 21222222 czbyax 解解 利用橢球坐標(biāo)變換利用橢球坐標(biāo)變換,cossin arx ,sinsin bry coscrz 其其Jacobi行列式行列式 ,rzyx zzrzyyryxxrx0sincoscossinsincossinsincossincoscoscossin crcbrbrbarara sin2abcr 三、利用三、利用柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積分柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)求重積