Chap3-lattice-vibration

1、第三章第三章 晶格振動(dòng)與固體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)與固體的熱學(xué)性質(zhì)朱朱 俊俊微電子與固體電子學(xué)院微電子與固體電子學(xué)院Lattice dynamics and heat properties of solidsl 晶格動(dòng)力學(xué)晶格動(dòng)力學(xué) 一維單原子鏈一維單原子鏈 一維雙原子鏈一維雙原子鏈l 固體的熱性質(zhì)固體的熱性質(zhì) 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 德拜模型德拜模型主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：關(guān)鍵概念：關(guān)鍵概念：聲子，聲學(xué)波和光學(xué)波聲子，聲學(xué)波和光學(xué)波一、固體中熱現(xiàn)象的研究歷史一、固體中熱現(xiàn)象的研究歷史1 1、為什么為什么要研究點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)？要研究點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)？1907年年，Albert Einstein發(fā)表了題為發(fā)表了

2、題為“Planck輻輻射理論與比熱的理論射理論與比熱的理論”，第一次第一次提出比熱的理論。提出比熱的理論。更重要的，更重要的，第一次第一次提出經(jīng)典力學(xué)的點(diǎn)陣振動(dòng)和量提出經(jīng)典力學(xué)的點(diǎn)陣振動(dòng)和量子力學(xué)的諧振子能級(jí)可以對(duì)應(yīng)，并決定基本的物子力學(xué)的諧振子能級(jí)可以對(duì)應(yīng)，并決定基本的物理性質(zhì)，實(shí)際上是理性質(zhì)，實(shí)際上是wave-particle duality概念概念(1924年年)最早的不自覺應(yīng)用。所以他的工作不僅是點(diǎn)最早的不自覺應(yīng)用。所以他的工作不僅是點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)的開始，而且在量子理論的發(fā)展上也很陣動(dòng)力學(xué)的開始，而且在量子理論的發(fā)展上也很重要。重要。1912年，年，Peter Joseph William

3、 Debye認(rèn)識(shí)到，認(rèn)識(shí)到，Einstein提出的比熱公式在極低溫下與實(shí)驗(yàn)不符提出的比熱公式在極低溫下與實(shí)驗(yàn)不符合，是因?yàn)闆]有考慮到晶體中的原子振動(dòng)頻率不合，是因?yàn)闆]有考慮到晶體中的原子振動(dòng)頻率不是單一的。后來德拜通過諧振理論求得近似的原是單一的。后來德拜通過諧振理論求得近似的原子振動(dòng)的頻率分布，得到與實(shí)驗(yàn)更加符合的比熱子振動(dòng)的頻率分布，得到與實(shí)驗(yàn)更加符合的比熱公式。公式。1912年，年，Max Born和和Theodore von Karman發(fā)表了題為發(fā)表了題為“論空間點(diǎn)陣的振動(dòng)的論文論空間點(diǎn)陣的振動(dòng)的論文”。提出。提出晶體中原子振動(dòng)應(yīng)該是以點(diǎn)陣波的形式存在。晶體中原子振動(dòng)應(yīng)該是以點(diǎn)陣波的

4、形式存在。是點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)的奠基之作。是點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)的奠基之作。1920-1950年，點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)被應(yīng)用到晶體的熱力年，點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)被應(yīng)用到晶體的熱力學(xué)性質(zhì)、熱傳導(dǎo)、電導(dǎo)、介電、光學(xué)和學(xué)性質(zhì)、熱傳導(dǎo)、電導(dǎo)、介電、光學(xué)和X射線衍射線衍射等諸多方面。比較完整地總結(jié)在射等諸多方面。比較完整地總結(jié)在Max Born和和黃昆的書黃昆的書“晶體點(diǎn)陣的動(dòng)力理論晶體點(diǎn)陣的動(dòng)力理論”中。中。1950年以后，發(fā)展了測(cè)量點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的實(shí)年以后，發(fā)展了測(cè)量點(diǎn)陣動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)：驗(yàn)：中子衍射。中子衍射。靜止晶格理論靜止晶格理論不適用不適用的地方的地方 (The Failure of Static Lattice Model)：

5、晶格結(jié)構(gòu)一章中，所有討論都是假設(shè)原子是晶格結(jié)構(gòu)一章中，所有討論都是假設(shè)原子是靜止靜止的。實(shí)的。實(shí)際上，根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)，原子的運(yùn)動(dòng)隨著溫度的增高而際上，根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)，原子的運(yùn)動(dòng)隨著溫度的增高而越來越劇烈。根據(jù)量子力學(xué)，因?yàn)闇y(cè)不準(zhǔn)原理越來越劇烈。根據(jù)量子力學(xué)，因?yàn)闇y(cè)不準(zhǔn)原理(Uncertainty Principle)的限制，甚至在絕對(duì)零度原子也不能靜止。的限制，甚至在絕對(duì)零度原子也不能靜止。如果晶格是靜止的，固體的熱性質(zhì)如果晶格是靜止的，固體的熱性質(zhì)(Thermal property)無法解釋無法解釋。例如例如:在絕緣體中，電子被束縛在各個(gè)原子周圍，無法在絕緣體中，電子被束縛在各個(gè)原子周圍，無

6、法移動(dòng)傳導(dǎo)熱量，因此絕緣體的導(dǎo)熱必須由晶格原子的運(yùn)移動(dòng)傳導(dǎo)熱量，因此絕緣體的導(dǎo)熱必須由晶格原子的運(yùn)動(dòng)來解釋。動(dòng)來解釋。又比如又比如:固體的熱膨脹固體的熱膨脹(Thermal expansion)離開晶格的運(yùn)動(dòng)也是不可理解的。在高溫下固體會(huì)溶解離開晶格的運(yùn)動(dòng)也是不可理解的。在高溫下固體會(huì)溶解，顯然，溶解過程沒有晶格運(yùn)動(dòng)的參與是絕對(duì)不可能的，顯然，溶解過程沒有晶格運(yùn)動(dòng)的參與是絕對(duì)不可能的。絕緣體除導(dǎo)電以外，還傳導(dǎo)聲波。同樣，靜止晶格模。絕緣體除導(dǎo)電以外，還傳導(dǎo)聲波。同樣，靜止晶格模型是型是不能解釋不能解釋的。的。.BCS超導(dǎo)體理論證明，沒有晶格振動(dòng)與電子運(yùn)動(dòng)的耦超導(dǎo)體理論證明，沒有晶格振動(dòng)與電子運(yùn)

7、動(dòng)的耦合合(一對(duì)電子通過電子一對(duì)電子通過電子-聲子的相互作用聲子的相互作用,結(jié)合成為結(jié)合成為Cooper Pair)，超導(dǎo)也，超導(dǎo)也不可能實(shí)現(xiàn)不可能實(shí)現(xiàn)。此外，離子晶體在紅外區(qū)域此外，離子晶體在紅外區(qū)域(Infrared)有強(qiáng)烈的、單色性有強(qiáng)烈的、單色性很好的反射很好的反射(也就是也就是共振共振)，反射能量大大低于電子的能級(jí)，反射能量大大低于電子的能級(jí)，因此必須用，因此必須用晶格振動(dòng)晶格振動(dòng)來解釋。來解釋。另外，在激光，另外，在激光，X射線及中子的散射實(shí)驗(yàn)中，有頻率偏射線及中子的散射實(shí)驗(yàn)中，有頻率偏移，漫散射及固定的能量損失，證明晶體中有具備特定移，漫散射及固定的能量損失，證明晶體中有具備特定

8、能量能量(原頻率原頻率只能是某些特定的值只能是某些特定的值）的原子運(yùn)動(dòng)。的原子運(yùn)動(dòng)。如何研究？如何研究？晶體諧振理論晶體諧振理論(Theory of the Harmonic Crystal) 2 2、簡(jiǎn)諧近似模型簡(jiǎn)諧近似模型晶體中原子的平衡位置由原子晶體中原子的平衡位置由原子結(jié)合勢(shì)結(jié)合勢(shì)決定。平衡位置附?jīng)Q定。平衡位置附近的一對(duì)原子間的凈作用力近的一對(duì)原子間的凈作用力正比于正比于原子間距對(duì)平衡值的原子間距對(duì)平衡值的偏移：偏移： 。晶體的形變可以用一個(gè)簡(jiǎn)。晶體的形變可以用一個(gè)簡(jiǎn)單模型來表示：原子質(zhì)量為單模型來表示：原子質(zhì)量為M而相鄰原子間有彈性系數(shù)而相鄰原子間有彈性系數(shù)(Elastic Coef

9、ficient)為為K的彈簧相連。的彈簧相連。FKrrrrijijij (| |)00簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似 只考慮只考慮最近鄰最近鄰原子之間的相互作用原子之間的相互作用研究固體中原子的振動(dòng)時(shí)的研究固體中原子的振動(dòng)時(shí)的兩個(gè)假設(shè)兩個(gè)假設(shè):1、每個(gè)原子的中心的平衡位置在對(duì)應(yīng)、每個(gè)原子的中心的平衡位置在對(duì)應(yīng)Bravais點(diǎn)陣的格點(diǎn)陣的格點(diǎn)上。點(diǎn)上。2、原子離開平衡位置的位移與原子間距比是、原子離開平衡位置的位移與原子間距比是小量小量,可以用可以用諧振近似諧振近似.在諧振近似在諧振近似(Harmonic Approximation)下下,晶體晶體中原子振動(dòng)有中原子振動(dòng)有精確解精確解,大部分符合實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果

10、。大部分符合實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果。 原子的振動(dòng)原子的振動(dòng) 晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種模式晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種模式的波的波格波格波lattice vibration wave, 其基本思想如下：其基本思想如下： 簡(jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)哈密簡(jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡(jiǎn)諧振動(dòng)哈密 頓量之和頓量之和 這些諧振子的這些諧振子的能量量子能量量子，稱為，稱為聲子聲子 晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜 用一系列獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振用一系列獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振 動(dòng)模式動(dòng)模式 這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值

11、是分立的這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值是分立的1912年玻恩和卡門建立了晶格動(dòng)力學(xué)理論或晶格諧振理論年玻恩和卡門建立了晶格動(dòng)力學(xué)理論或晶格諧振理論1、 一維單原子鏈一維單原子鏈聲子聲子的概念的概念 晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動(dòng)具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先計(jì)算原子之間的相互作用力先計(jì)算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運(yùn)動(dòng)方程，最后求解方程 絕熱近似絕熱近似 用一個(gè)均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的用一個(gè)均勻分布的負(fù)電荷產(chǎn)生的常量勢(shì)場(chǎng)常量勢(shì)場(chǎng)來來描述電子對(duì)離子運(yùn)動(dòng)的影響描述電子對(duì)離子運(yùn)動(dòng)的影響 將

12、將電子電子的運(yùn)動(dòng)和的運(yùn)動(dòng)和離子離子的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)分開考慮分開考慮 二、晶格動(dòng)力學(xué)二、晶格動(dòng)力學(xué)lattice dynamics一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個(gè)原子質(zhì)量每個(gè)原子質(zhì)量m，平衡時(shí)原子間距，平衡時(shí)原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個(gè)原子離開個(gè)原子離開平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)原子間的個(gè)原子間的相對(duì)位移相對(duì)位移nn1第第n個(gè)原子和第個(gè)原子和第n1個(gè)原子間的距離個(gè)原子間的距離nna1平衡位置時(shí)平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能，兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能)(av)(av發(fā)生相對(duì)位移發(fā)生相對(duì)位移 后，相互作用勢(shì)能后，相互作用勢(shì)能nn1item

13、sHighdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常數(shù)常數(shù))(av0)(adrdv 平衡條件平衡條件簡(jiǎn)諧近似簡(jiǎn)諧近似 振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到振動(dòng)很微弱，勢(shì)能展式中只保留到二階項(xiàng)二階項(xiàng)dvfd adrvd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力 原子的原子的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程: 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個(gè)原子受到的作用力個(gè)原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似每一個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和

14、原子數(shù)相同224sin ()2aqm方程解和振動(dòng)頻率方程解和振動(dòng)頻率 )2(1122nnnndtdm設(shè)方程組的解設(shè)方程組的解)(naqtinAenaq 第第n個(gè)原子振動(dòng)位相因子個(gè)原子振動(dòng)位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem得到得到和和n無關(guān)，表明無關(guān)，表明N個(gè)聯(lián)個(gè)聯(lián)立方程歸為立方程歸為一個(gè)方程一個(gè)方程格波的格波的意義意義：連續(xù)介質(zhì)波連續(xù)介質(zhì)波)()2(qxtixtiAeAe波數(shù)波數(shù)2q 格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式 一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為一個(gè)格波表示的是所有原子同時(shí)做頻率為 的振動(dòng)的振動(dòng))(na

15、qtinAe)2(sin422aqm格波的波速格波的波速qvp 波長(zhǎng)的函數(shù)波長(zhǎng)的函數(shù)q 一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系，即一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系，即振動(dòng)頻譜振動(dòng)頻譜晶格的運(yùn)動(dòng)行為可晶格的運(yùn)動(dòng)行為可用用格波方程格波方程表示：表示： 簡(jiǎn)諧近似下，格波是簡(jiǎn)諧平面波簡(jiǎn)諧近似下，格波是簡(jiǎn)諧平面波)(naqtinAe 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向右振動(dòng)軸向右振動(dòng) 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動(dòng)軸向左振動(dòng)格波的波形圖：格波的波形圖：格波特點(diǎn)：格波特點(diǎn)：格波波長(zhǎng)格波波長(zhǎng))(naqtinAe2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度qvp格波方程格波方程不同原子間

16、位相差不同原子間位相差aqnnnaqaqn)(相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqnaqaqn ) 1(格波晶格原子格波晶格原子集體振動(dòng)集體振動(dòng)的行為：的行為：)(naqtinAe格波格波)2(sin422aqm波矢的取值和波矢的取值和布里淵區(qū)布里淵區(qū)的關(guān)系：的關(guān)系：相鄰原子位相差相鄰原子位相差aqaq2 原子的振動(dòng)狀態(tài)相同原子的振動(dòng)狀態(tài)相同格波格波2(Green)波矢波矢格波格波1(Red)波矢波矢aaq2421相鄰原子位相差相鄰原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差aqqaa 兩種波矢的格波中，兩種波矢的格波中，原子的振動(dòng)完全相同原子的振動(dòng)完全

17、相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 只研究清楚只研究清楚第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)的晶格振動(dòng)問題的晶格振動(dòng)問題 其它區(qū)域其它區(qū)域不能提供新不能提供新的物理內(nèi)容的物理內(nèi)容玻恩卡門（玻恩卡門（Born-Karman）周期性邊界條件）周期性邊界條件 一維單原子晶格看作無限長(zhǎng)，所有原子是等價(jià)的，每個(gè)一維單原子晶格看作無限長(zhǎng)，所有原子是等價(jià)的，每個(gè)原子的振動(dòng)形式都一樣原子的振動(dòng)形式都一樣 實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長(zhǎng)，鏈兩頭的實(shí)際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長(zhǎng)，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程來描述原子不能用中間原子的運(yùn)動(dòng)方程

18、來描述 N個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等個(gè)原子頭尾相接形成一個(gè)環(huán)鏈，保持了所有原子等價(jià)的特點(diǎn)價(jià)的特點(diǎn) 處理問題時(shí)要考處理問題時(shí)要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性慮到環(huán)鏈的循環(huán)性 N很大，原子運(yùn)很大，原子運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng)優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：協(xié)調(diào)有限和無限的關(guān)系：協(xié)調(diào)有限和無限的關(guān)系缺點(diǎn)缺點(diǎn)：忽略了表面少數(shù)原子和內(nèi)部原子的差別：忽略了表面少數(shù)原子和內(nèi)部原子的差別設(shè)第設(shè)第n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移n再增加再增加N個(gè)原子之后，第個(gè)原子之后，第N+n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移nN則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq2hNaq2 h為整數(shù)為整數(shù)2, 12, 2

19、2, 0, 32, 22, 12NNNNNNh波矢的取值范圍波矢的取值范圍qaa22NhNh N個(gè)整數(shù)值，波矢?jìng)€(gè)整數(shù)值，波矢q 取取N個(gè)不同的分立值個(gè)不同的分立值 第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)a2NNaa/2/2每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度Naq2第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)hNaq2波矢波矢格波的格波的色散關(guān)系：色散關(guān)系：)2(sin422aqm)2sin(2aqm 頻率是波數(shù)的偶函數(shù)頻率是波數(shù)的偶函數(shù) 色散關(guān)系曲線具有周期性色散關(guān)系曲線具有周期性 q空間的周期空間的周期頻率極小值頻率極小值0min

20、頻率極大值頻率極大值max2/m0qa02/m)2sin(2aqm只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減02/m 一維單原子晶格看作成一維單原子晶格看作成低通濾波器低通濾波器色散關(guān)系色散關(guān)系2a格波格波 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限情況情況 ), 0(aq0q當(dāng)當(dāng))2sin(2aqm/am q 一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù) 介質(zhì)中介質(zhì)中彈性波彈性波的色散關(guān)系一致的色散關(guān)系一致2)2sin(qaqaqVElastic相鄰原子之間的作用力相鄰原子之間的作用力f格波傳播速度格波傳播速度)(aa

21、f/cam/am q/acm a連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度連續(xù)介質(zhì)彈性波相速度/ElasticVK 連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度,KaK 長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長(zhǎng)波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì) /cq長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限情況情況 K 伸長(zhǎng)模量伸長(zhǎng)模量格波格波 短波極限短波極限情況情況)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含許多原子，晶格看作是一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)包含許多原子，晶格看作是連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì)短波極限下短波極限下qaaq22 相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)的相鄰兩個(gè)

22、原子振動(dòng)的位相相反位相相反長(zhǎng)波極限下長(zhǎng)波極限下 ，相鄰兩個(gè)原子之間的位相差，相鄰兩個(gè)原子之間的位相差(0)q 長(zhǎng)波極限下長(zhǎng)波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下qaaq220q 相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)位相差相鄰兩個(gè)原子振動(dòng)位相差2q 晶格原子集體振動(dòng)模式晶格原子集體振動(dòng)模式聲子聲子phonon的概念：的概念：聲子聲子 晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子晶格振動(dòng)的能量量子；或格波的能量量子為什么晶格振動(dòng)的問題要用量子力學(xué)為什么晶格振動(dòng)的問題要用量子力學(xué) 來處理？來處理？ 根據(jù)量子力學(xué)根據(jù)量子力學(xué)，判定一個(gè)系統(tǒng)是經(jīng)典系，判定一個(gè)系統(tǒng)是經(jīng)典系統(tǒng)還是量子系統(tǒng)的一個(gè)重要判據(jù)為測(cè)不準(zhǔn)統(tǒng)還是量子

23、系統(tǒng)的一個(gè)重要判據(jù)為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，即：關(guān)系，即： Et 也就是說：看該系統(tǒng)的粒子能量漲落與具有也就是說：看該系統(tǒng)的粒子能量漲落與具有該能量的時(shí)間漲落的乘積是否與該能量的時(shí)間漲落的乘積是否與 相當(dāng)。相當(dāng)。 對(duì)于晶格振動(dòng)，在室溫下獲得的熱激發(fā)對(duì)于晶格振動(dòng)，在室溫下獲得的熱激發(fā)的平均能量為的平均能量為KBT0.026ev ; 另一方面，另一方面，晶格振動(dòng)的最高頻率所對(duì)應(yīng)的周期大致為晶格振動(dòng)的最高頻率所對(duì)應(yīng)的周期大致為10-13 s , 因此，對(duì)于晶格振動(dòng)，因此，對(duì)于晶格振動(dòng)， Et 2.6 2.6 10 10-15-15 evevs s而而 = h/2 =6.62/2 1 11010-15-15 ev

24、evs s也就是說：對(duì)于晶格振動(dòng)系統(tǒng)，也就是說：對(duì)于晶格振動(dòng)系統(tǒng)，Et是是與與 相當(dāng)?shù)模虼?，晶格振?dòng)問題必須用相當(dāng)?shù)?，因此，晶格振?dòng)問題必須用量子力學(xué)量子力學(xué)的方法來處理。的方法來處理。 晶格原子集體振動(dòng)模式晶格原子集體振動(dòng)模式聲子聲子phonon的概念：的概念：一個(gè)格波是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子，能量為一個(gè)格波是一種振動(dòng)模，稱為一種聲子，能量為當(dāng)這種振動(dòng)模處于當(dāng)這種振動(dòng)模處于 時(shí)，說明有時(shí)，說明有 個(gè)聲子個(gè)聲子qqn)21(qn 聲子是一種聲子是一種元激發(fā)元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用，可與電子或光子發(fā)生作用 晶格振動(dòng)的問題晶格振動(dòng)的問題 聲子系統(tǒng)問題的研究聲子系統(tǒng)問題的研究 每個(gè)振動(dòng)模式

25、在簡(jiǎn)諧近似條件下都是獨(dú)立的每個(gè)振動(dòng)模式在簡(jiǎn)諧近似條件下都是獨(dú)立的 聲子系宗是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng)聲子系宗是無相互作用的聲子氣組成的系統(tǒng) 聲子具有能量聲子具有能量_動(dòng)量，看作是準(zhǔn)粒子動(dòng)量，看作是準(zhǔn)粒子晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 聲子體系聲子體系2、 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波聲學(xué)波和和光學(xué)波光學(xué)波 一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無限長(zhǎng)鏈一維無限長(zhǎng)鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù)

26、 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個(gè)原個(gè)原胞胞2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 兩種原子兩種原子振動(dòng)的振幅振動(dòng)的振幅A和和B一般來說一般來說是不同的是不同的 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個(gè)個(gè)m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMBeeAB22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為有非

27、零的解，系數(shù)行列式為零零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解02cos2cos2222Maqaqmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種兩種獨(dú)立的格波獨(dú)立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波 與與q之間存在著兩之間存在著兩種不同的色散關(guān)系種不同的色

28、散關(guān)系 一維一維復(fù)式格子復(fù)式格子存在存在兩種兩種獨(dú)立的格波獨(dú)立的格波 0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAm兩種格波的振幅兩種格波的振幅12222()411sin ()mMmMaqmMmMaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波相鄰原胞之間位相差相鄰原胞之間位相差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子振動(dòng)方程原子振動(dòng)方程q的取值的取值:波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)采用周期性邊界條件采用周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22aNhq /a布里淵區(qū)大小布里淵區(qū)大小2aq2

29、2aNhq Naq h為整數(shù)為整數(shù)每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)允許的第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目值的數(shù)目NNaa/ 晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目 對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支有兩支格波：一支聲學(xué)波聲學(xué)波和一支和一支光學(xué)波光學(xué)波 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)目為2N ： 原子的數(shù)目原子的數(shù)目: 2Nq的取值的取值色散關(guān)系的色散關(guān)系的特點(diǎn)特點(diǎn) 短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因?yàn)橐驗(yàn)?Mmmaxmin)()(maxmin)

30、()( 不存在格波不存在格波maxmin)()(頻率間隙為：頻率間隙為： 一維雙原子晶格一維雙原子晶格叫做叫做帶通濾波器帶通濾波器長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm應(yīng)用應(yīng)用11/2xx 1)(sin)(422aqMmmM)sin(2qaMm2()aqmM 聲學(xué)波的色散關(guān)系與聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維布喇菲格子形式相同一維布喇菲格子形式相同長(zhǎng)長(zhǎng)聲學(xué)波聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)中相鄰原子的振動(dòng)0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致 代表代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)原胞質(zhì)

31、心的振動(dòng)2()aqmM長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q光學(xué)波光學(xué)波 sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相鄰原子振動(dòng)相反長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相鄰原子振動(dòng)相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)3、 聲子能譜的測(cè)定聲子能譜的測(cè)定晶格振動(dòng)譜晶格振動(dòng)譜晶格振動(dòng)的頻率和波矢間的關(guān)系晶格振動(dòng)的頻率和波矢間的關(guān)系 晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜測(cè)定方法：晶格振動(dòng)的振動(dòng)譜測(cè)定方法： 中子非彈性散射中子非彈

32、性散射 X射線散射射線散射 光子與晶格的非彈性散射光子與晶格的非彈性散射1). 中子非彈性散射中子非彈性散射 入射晶體時(shí)中子的動(dòng)量和能量入射晶體時(shí)中子的動(dòng)量和能量nMpEandp22nMpEandp22出射晶體后中子的動(dòng)量和能量出射晶體后中子的動(dòng)量和能量 22( )22:( ):( )nnppqMMqAbsorb a PhononqEmit a Phonon 能量守恒能量守恒nGqpp 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒332211bnbnbnGn倒格子矢量倒格子矢量q聲子的準(zhǔn)動(dòng)量聲子的準(zhǔn)動(dòng)量 中子的能量中子的能量 _ 0.020.04 eV 聲子的能量聲子的能量 _ 10 2 eV 兩者具有相同的數(shù)量級(jí)兩者具

33、有相同的數(shù)量級(jí)測(cè)得各個(gè)方位上入射中子和散射中子的能量差測(cè)得各個(gè)方位上入射中子和散射中子的能量差 確定聲子的頻率確定聲子的頻率( )nnEEq 從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，容易從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，容易測(cè)定中子散射前后的能量變化，直接給出聲子能量的信息測(cè)定中子散射前后的能量變化，直接給出聲子能量的信息 根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何關(guān)系根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何關(guān)系 確定聲子的波矢確定聲子的波矢 得到聲子的振動(dòng)譜得到聲子的振動(dòng)譜nGqpp ( ) qq2). 光子與光學(xué)波聲子的相互作用光子與光學(xué)波聲子的相互作用 光子的拉曼散射光子的拉曼散射 )(q能

34、量守恒能量守恒動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒nGqkk 光子的拉曼散射只限于光子與光子的拉曼散射只限于光子與長(zhǎng)光學(xué)波聲子長(zhǎng)光學(xué)波聲子的相互作用的相互作用 可見光可見光或或紅外光紅外光k很小，很小，光子與光波聲子發(fā)生相互作用，光子與光波聲子發(fā)生相互作用，要求聲子的波矢要求聲子的波矢q必須很小必須很小散射光和入射光的頻率位移散射光和入射光的頻率位移H. X光非彈性散射光非彈性散射 X光光子具有更高的頻率光光子具有更高的頻率(波矢可以很大波矢可以很大)，可以用來研，可以用來研究聲子的究聲子的振動(dòng)譜振動(dòng)譜 X射線的能量射線的能量 10 -4eV 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聲子能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聲子能量 10 -2

35、eV 在實(shí)驗(yàn)技術(shù)上在實(shí)驗(yàn)技術(shù)上很難很難精確地直接測(cè)量精確地直接測(cè)量X光在散射前后的能光在散射前后的能量差，因此確定聲子的能量是量差，因此確定聲子的能量是很困難的很困難的 三、固體的熱性質(zhì)三、固體的熱性質(zhì)Thermal Properties of Solids固體可以被加熱或被降溫。一種固體每升高一度需要的能量，或固體可以被加熱或被降溫。一種固體每升高一度需要的能量，或每降低一度釋放的能量，被稱為該固體的每降低一度釋放的能量，被稱為該固體的比熱比熱(Specific Heat)。不同固體比熱的來源不同。不同固體比熱的來源不同。固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均

36、內(nèi)能 固體內(nèi)能包括固體內(nèi)能包括晶格振動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量電子熱運(yùn)動(dòng)的能量 溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)T 電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3ATTCV實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低溫下，金屬的熱容：低溫下，金屬的熱容1、晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)、晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 經(jīng)典理論的回顧經(jīng)典理論的回顧 一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)平均能量TkBN個(gè)原子，總的平均能量個(gè)原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 但但實(shí)驗(yàn)

37、表明實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，熱容量隨溫度迅速趨于零在低溫時(shí)，熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律2、晶格熱容的、晶格熱容的量子理論量子理論 一個(gè)頻率為一個(gè)頻率為 j的的振動(dòng)模對(duì)振動(dòng)模對(duì)熱容熱容的貢獻(xiàn)的貢獻(xiàn)1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)為振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)為 組成組成 子體系子體系jBjBjjnTknTknneeP/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn一個(gè)振動(dòng)模的平均能量一個(gè)振動(dòng)模的平均能量 與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān)系與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān)系

38、 VjVdTEdC)(/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)/1( )21jBjjjk TE TejjjnjnEP E振動(dòng)模的平均能量振動(dòng)模的平均能量222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk TjBTkBVkC 高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 忽略不計(jì)忽略不計(jì)jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC低溫極限低溫極限

39、1/TkBje 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不相符相符!/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 晶體中有晶體中有3N個(gè)振動(dòng)模，總的能量為：個(gè)振動(dòng)模，總的能量為：NjjTETE31)()(NjjVVCC31NjjVdTTEdC31)(晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te)(30TkfNkCBBBV1） 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以個(gè)原子構(gòu)成的晶體，所有的原子以相同的頻率相同的頻率 0振動(dòng)振動(dòng) VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21j

40、BNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk/1( )21jBjjjk TE Te一個(gè)振動(dòng)模式的平均能量一個(gè)振動(dòng)模式的平均能量晶體熱容晶體熱容總能量總能量愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛因斯坦熱容函數(shù)愛因斯坦熱容函數(shù)金剛石金剛石KE1320理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)

41、果比較理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3溫度較高時(shí)溫度較高時(shí) 10TkB2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkCTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容溫度非常低時(shí)溫度非常低時(shí)10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按溫度的指數(shù)形式降低按溫度的指數(shù)形式降低實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果3ATCV 愛因斯坦模型忽略了各格波的愛因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別頻率差別0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體熱容晶體熱容2）德拜模型）德拜模型 P

42、eter Joseph Debye-1908年在慕尼黑大學(xué)獲得博士年在慕尼黑大學(xué)獲得博士學(xué)位。學(xué)位。1911年去瑞士蘇黎士大學(xué)接替年去瑞士蘇黎士大學(xué)接替Albert Einstein的職位，擔(dān)任理論物理學(xué)教授，注意到愛因斯坦的工作的職位，擔(dān)任理論物理學(xué)教授，注意到愛因斯坦的工作。1912年他改進(jìn)了愛因斯坦的工作，獲得了跟實(shí)驗(yàn)更加年他改進(jìn)了愛因斯坦的工作，獲得了跟實(shí)驗(yàn)更加符合的固體比熱容公式。符合的固體比熱容公式。1916年年Debye和和Paul Sherrer一起，發(fā)展出一起，發(fā)展出X射線的粉末衍射法。射線的粉末衍射法。1936年獲諾貝爾化年獲諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。戰(zhàn)后到學(xué)獎(jiǎng)。戰(zhàn)后到美國(guó)美國(guó)。191

43、2年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波，將布喇菲晶格看作是各向同性的喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)連續(xù)介質(zhì) 有有1個(gè)縱波和個(gè)縱波和2個(gè)獨(dú)立的橫波個(gè)獨(dú)立的橫波ltC qFor LognitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模 不同的振動(dòng)模，能量不同不同的振動(dòng)模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 受邊界條件限制波矢受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在分立取值，允許的取值在q空間空

44、間形成了均勻分布的點(diǎn)子形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元體積元zyxdqdqdqqd qdV3)2(態(tài)的數(shù)目態(tài)的數(shù)目 q是近連續(xù)變化的是近連續(xù)變化的dqqV234)2(dqqq振動(dòng)數(shù)目振動(dòng)數(shù)目頻率在頻率在 之間振動(dòng)模式的數(shù)目之間振動(dòng)模式的數(shù)目 ddgdn)(pqv各向同性的介質(zhì)各向同性的介質(zhì) 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù) )(g一個(gè)振動(dòng)模的熱容一個(gè)振動(dòng)模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù) 和和 m的計(jì)算的計(jì)算)(g頻率在頻率在 之間，縱波數(shù)目之間，縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，格波數(shù)目之間，格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，橫波數(shù)目之間，橫波數(shù)目d233212()2ltVdCC波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動(dòng)方式的數(shù)目之間的振動(dòng)方式的數(shù)目dqqqlCddq頻率分布函數(shù)