考研高數(shù)輔導(dǎo)(6)

1、 高等數(shù)學(xué) 第6章 常微分方程微分方程基本概念微分方程基本概念幾種可降階的高階微分方程的解法幾種可降階的高階微分方程的解法線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程的解法微分方程的應(yīng)用舉例微分方程的應(yīng)用舉例綜合練習(xí)綜合練習(xí)常常微微分分方方程程幾種一階微分方程的解法幾種一階微分方程的解法1.1.微微分分方方程程分分方方程程. .若若未未知知函函數(shù)數(shù)是是多多元元函函數(shù)數(shù)（從從而而微微分分方方程程中中含含有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）則則稱稱為為偏偏微微分分方方程程，例例如如2222( , ).uuxyuu x yxy其其中中若若未未知知函函數(shù)數(shù)是是單單元元函函數(shù)數(shù)，就就

2、稱稱為為常常微微分分方方程程，22d2 ,.dsyxgt 如如等等等等本本課課程程只只討討論論常常微微分分方方程程，故故將將其其簡簡稱稱為為微微分分方方程程，甚甚至至方方程程. .含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或或微微分分的的方方程程，稱稱為為微微一一、微微分分方方程程的的基基本本概概念念2.2.微微分分方方程程的的階階 微微分分方方程程中中未未知知函函數(shù)數(shù)的的最最高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的階階數(shù)數(shù)，稱稱為為此此微微分分方方程程的的階階. .22dd2,ddssyxkgtt 例例如如是是一一階階微微分分方方程程，而而( )( , ,)0,nF x y y yy n是是二二階階微微分分方方程程.

3、 .一一個個階階微微分分方方程程的的一一般般形形式式為為(1)( ), ,.nnx y y yyy 其其中中可可以以不不出出現(xiàn)現(xiàn)，但但必必須須出出現(xiàn)現(xiàn)3.3.微微分分方方程程的的解解( )yx若若將將函函數(shù)數(shù)代代入入微微分分方方程程后后, ,使使之之成成某某區(qū)區(qū)I間間 上上的的恒恒等等式式，即即( )( , ( ),( ),( )0,nF xxxxxI ，( )( )( , ,)0.nxF x y yyI則則稱稱在在 上上的的解解是是或或積積分分求求微微分分方方程程解解的的過過程程，叫叫做做解解微微分分方方程程，或或積積分分一一個個微微分分方方程程. .：若若微微分分方方程程的的解解中中所所含

4、含的的獨獨通通解解立立的的任任意意常常數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù), ,等等于于該該微微分分方方程程的的階階數(shù)數(shù), ,則則稱稱其其為為通通解解. .2212122yxCyxsgtC tC例例如如是是的的通通解解，22d.dsgt是是二二階階微微分分方方程程的的通通解解4.4.定定解解條條件件與與特特解解要要求求未未知知函函數(shù)數(shù)及及其其相相應(yīng)應(yīng)階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在自自變變量量取取特特定定值值時時取取指指定定值值的的附附加加條條件件，稱稱為為定定解解條條件件. .滿滿足足定定解解條條件件的的解解，稱稱為為特特解解. .利利用用足足夠夠多多的的定定解解條條件件，可可定定出出通通解解中中的的任任意意常常數(shù)數(shù)，從從

5、而而得得到到特特解解. .一一般般地地，幾幾階階方方程程就就應(yīng)應(yīng)該該有有幾幾個個獨獨立立的的定定解解條條件件. .對對于于二二階階及及其其以以上上的的微微分分方方程程，如如果果定定解解條條件件給給出出的的是是自自變變量量在在同同一一特特定定值值處處的的函函數(shù)數(shù)值值和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值，則則稱稱其其為為初初始始條條件件. . 此此外外, ,還還有有邊邊界界條條件件等等等等. .微微分分方方程程連連同同其其定定解解條條件件一一起起，合合稱稱為為一一個個. .若若定定解解條條件件為為初初始始條條件件，則則定定解解問問題題稱稱其其為為初初；若若為為邊邊界界條條件件，則則稱稱為為值值問問題題邊邊值值問問題題

6、. .本本課課程程只只討討論論初初值值問問題題. .一一階階微微分分方方程程初初值值問問題題通通常常表表示示為為00( , ),. xxyf x yyy 5.5.積積分分曲曲線線 微微分分方方程程的的解解的的圖圖形形，叫叫做做該該微微分分方方程程的的積積分分曲曲線線. .通通解解的的圖圖形形是是一一族族彼彼此此平平行行的的曲曲線線，特特解解的的圖圖形形是是曲曲線線族族中中，滿滿足足定定解解條條件件的的那那一一條條. . n 階階微微分分方方程程初初值值問問題題表表示示為為000( )(1)(1)(1)000( , ,), ,. nnnnxxxxxxyf x y yyyyyyyy121.1 co

7、ssinyCkxCkx例例驗驗證證是是微微分分方方程程20.yk y 的的通通解解122212212sincos, cossin cossin,ykCkxkCkxyk Ckxk CkxkCkxCkx 解解 1212cossincossin.CkxCkxCkxCkx代代入入微微分分方方程程，得得恒恒等等式式，即即此此微微分分方方程程的的解解. .又又因因為為這這個個解解中中含含有有兩兩個個獨獨立立的的任任意意常常數(shù)數(shù)，故故是是其其通通解解200 , 1.2 .(0),(0)0 yk ykyA y例例求求初初值值問問題題的的解解121.1 cossinyCkxCkx解解 例例知知，是是通通解解，1

8、2(0),cossin;yACAyAkxCkx由由知知于于是是又又22sincos(0)0,0,yAkxkCkxyC 由由及及得得故故初初值值問問題題的的解解（即即滿滿足足初初始始條條件件的的特特解解）為為cos.yAkx二二、幾幾種種一一階階微微分分方方程程的的解解法法( , ,)0F x y yy假假設(shè)設(shè)一一階階微微分分方方程程中中的的 已已解解出出，( , ),yf x y 則則可可表表示示為為 d( , ),d( , )yP x yxQ x y 或或 ( , )d( , )d0.P x yxQ x yy亦亦可可寫寫成成對對稱稱形形式式1.1.可可分分離離變變量量方方程程d( ) ( )

9、 1dyxyx形形如如 xy的的微微分分方方程程，因因其其能能將將變變量量 和和 分分離離在在方方程程的的兩兩邊邊，而而稱稱為為可可分分離離變變量量的的方方程程. .d( )0(1)( )d( )yyxxy例例如如，當(dāng)當(dāng)時時， 可可化化為為 ， ( )d( )d0 2xyyx或或 dd( )0,( )0(2)( )( )yxxyyx 當(dāng)當(dāng)時時， 可可化化為為 . .分分離離變變量量后后，兩兩邊邊積積分分即即可可得得通通解解. .d2.12dyxyx例例 求求微微分分方方程程的的通通解解. .d02 d ,yyx xy 當(dāng)當(dāng)時時，方方程程化化為為 解解21ln, yxC兩兩邊邊積積分分得得 由由

10、此此得得 221111e e (e0),e e (e0).CCCCxxyy即即1e ,CCC 若若令令則則 可可為為任任意意常常數(shù)數(shù)，故故通通解解可可表表示示為為2e .xyC0y 顯顯然然，也也是是此此微微分分方方程程的的解解，稱稱為為奇奇解解，(0).C 不不過過它它已已包包含含在在通通解解之之中中了了的的情情況況( )0( )0 xy a) a)一一般般說說 來來，通通解解并并不不一一定定能能包包含含全全部部解解. .求求通通解解時時，可可以以不不考考慮慮因因或或而而丟丟掉掉的的解解( (即即奇奇解解) )，但但奇奇解解有有時時可可能能是是所所要要求求 注注的的特特解解. .lnln ,

11、yy b) b)今今后后將將就就寫寫成成只只是是 要要注注意意，由由( )1ln( )efxyC f xyCC得得時時， 也也可可以以取取非非正正實實數(shù)數(shù).即即可可 c) c)微微分分方方程程的的解解可可以以是是一一個個隱隱 函函數(shù)數(shù). . 2.2.齊齊次次方方程程d()dyyyfxxx 形形如如 特特點點：右右端端是是的的已已知知函函數(shù)數(shù)稱稱為為齊齊次次微微分分方方程程. .齊齊次次方方程程是是一一種種能能化化為為可可分分離離變變量量的的方方程程. .dd, ,.ddyuyxuuxxuxyx作作變變換換 即即于于是是代代入入原原方方程程，得得dd( )( ).dduuuxf uxf uuxx

12、，即即可可分分離離變變量量d2.2tan.dyyyxxx例例 求求的的通通解解dd, ,ddyyuuyxuuxxxx 于于是是解解令令即即，dtanduuxuux則則原原方方程程化化為為 ，dtan . duxux即即dd tanuxux分分離離變變量量，得得= =， lnsinlnln,uxC兩兩邊邊積積分分，得得 sinuCx化化簡簡得得， sinyCxx故故通通解解為為. .22dd2.3 .ddyyyxxyxx例例 求求的的通通解解2,x 這這是是一一個個齊齊次次方方程程，兩兩邊邊同同除除以以解解得得dd, ,ddyyuuyxuuxxxx令令即即于于是是，則則有有22dd,.dddd1

13、yyyyxxyxyxyxxx即即2dd,.d1d1uuuuuxxxuxu= =即即d11dxuux. .1lnln,uuxC11lnee .u CuuCuxuxC即即 ，e .yxyC故故原原方方程程的的通通解解為為3.3.可可化化齊齊次次方方 程程的的方方程程111222dda xb ycyfxa xb yc 形形如如 的的微微分分方方程程，可可化化為為齊齊次次方方程程. .120cc （1 1）當(dāng)當(dāng)時時, ,本本身身就就是是齊齊次次方方程程11221122.dda xb yfa xyabyxfxyabb yx , x y分分子子、分分母母中中的的都都是是分分式式的的一一次次的的！12,c

14、c （2 2）當(dāng)當(dāng)不不同同時時為為零零時時設(shè)設(shè)1122abab 1 1 若若1,m 則則方方程程可可寫寫為為111112d.da xb ycyfxm a xb yc 1111dd1,ddyva xb yvaxbx只只要要令令, ,則則原原方方程程化化為為11121d1dvcavfbxmvcb可可分分離離變變量量方方程程. .d12.4 .d221yxyxxy 例例 求求的的通通解解1d1 d22121xyyxyxxyxy 解解，dd ,1ddyvxyv yvxxx令令 ，則則有有d1d21,.d21d21vvvvxvxv 即即= =213dd2dd .22vvxvxvv， 23ln(2).vv

15、xCvxy將將代代入入，得得原原方方程程通通解解23ln(2).xyxyC1122abab 2 2 若若，則則線線性性方方程程組組1112220,0a xb yca xb yc00,.xxyy有有惟惟一一解解0000,().XxxxXxYyyyYy此此時時，令令即即作作平平移移變變換換00,xXxyYy將將代代入入原原方方程程，得得1122dda XbYYfXa Xb Y齊齊次次方方程程. .2.5 (431)d(1)d0.xyxxyy例例 求求的的通通解解d431 d1yxyxxy 原原方方程程可可寫寫為為 解解. .002, 43103.10 xxyyxy ，(1)(1)解解得得惟惟一一解

16、解2,3 xXyY作作變變換換則則方方程程化化為為43d43d1YYXYXXXYYX . .dd,ddYuYuYXuuXXXX(2)(2)令令即即方方程程化化為為d43.d1uuuXXu 221ddddd0,0.2(2)(2)uXuuXuXuXuu即即1111ln(2)ln,ln(2).22uXCXXuCuu1,ln(2).2YXuXYCXXY2,3,XxYy(3)(3)因因為為所所以以原原方方程程的的通通解解為為12ln(21),21xxyCxy122212121ee.xxCxyxyxyC 即即 4. .一一階階線線性性微微分分方方程程對對于于一一階階線線性性微微分分方方程程()1)(yp

17、x yQ x, , ( )d( )d. e( )e d p xxp xxyQ xxC通通常常是是直直接接套套用用通通解解公公式式套套用用公公式式時時必必須須注注意意兩兩點點：必必須須將將方方程程化化為為上上述述標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形式式后后, ,確確認(rèn)認(rèn)e( )d .p xx括括號號外外 的的指指數(shù)數(shù)部部分分為為: : ( )?,( )?;p xQ x當(dāng)當(dāng)然然也也可可用用分分離離變變量量法法求求出出對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的( )de,p xxYC通通解解再再用用 常常數(shù)數(shù)變變易易 法法得得到到的的通通解解.22.6 (sin )(cos )2 sin .x yx yxx例例 求求的的通通解解co

18、s 2 sin ,sinxyyxxx 原原方方程程可可化化為為 解解 cos( ),( )2 sin ,sinxp xQ xxxx coscosddsinsine2 sin edxxxxxxyxxxClnsinlnsine2 sin edxxxxxC1sin2 sindsinxxxxCx2sin ().x xC(2011)2.7ecosxyyx例例微微分分方方程程數(shù)數(shù)一一、二二1d1d eecos edxxxyCxx解解 e (cos d )e (sin ),xxCx xCx(0)00,yC由由得得故故所所求求特特解解為為esin .xyx (0)0_.yy滿滿足足條條件件的的解解為為esin

19、xx22.8 d(cos )d0 .y xxyyy求求的的通通解解例例 .yxy 這這既既不不能能分分離離變變量量，又又不不是是齊齊次次方方程程，對對未未知知函函數(shù)數(shù) 來來說說 將將 視視為為 解解的的函函，也也不不是是線線性性方方程程數(shù)數(shù)，它它. .若若則則是是線線性性的的但但11ddecos edyyyyxyyyClnlnecos edyyyyyCsin.y Cyd1cos ,dxxyyyy 原原方方程程可可化化 1( ),( )cos ,p yQ yyyy 22.9 (2012) d(3)d0y xxyy微微分分方方程程例例數(shù)數(shù)二二d1 3 .dxxyyy 方方程程可可寫寫 解解為為11

20、dde3 edyyyyxyyC1lnlne3 edyyyyC1( ),( )3 ,p yQ yyy11.xyy滿滿足足條條件件的的解解為為_23113().yCyCyy211,0,.xyCxyyx由由得得故故所所求求特特解解為為即即x5.BernoulliBernoulli方方程程Z就就化化為為( (關(guān)關(guān)于于 的的) )線線性性方方程程：d(1) ( )(1) ( ).dZn p x Zn Q xx(1)( )d(1)( )de(1) ( )ed.n p xxn p xxZn Q xxC其其通通解解為為 .代代回回原原變變量量，即即得得BernoulliBernoulli方方程程的的通通解解1

21、,nZy作作變變換換 則則BernoulliBernoulli方方程程( )( ) (0,1)nyp x yQ x yn 是是一一種種可可化化為為線線性性方方程程的的非非線線性性方方程程. .BernoulliBernoulli方方程程22.10 ln .yyyxx 例例求求的的通通解解2n 這這是是BernoulliBernoulli方方程程，此此處處解解 . .221d1, ln .dyyyyxxx同同除除以以得得1 212dd,ddyZZyyyxx 作作變變換換 則則有有dd11ln ,ln .ddZZZxZxxxxx 即即11dd1eln edxxxxZxxCy2lnlnd.2xxxx

22、Cx Cx2ln1.2xxy C 故故原原方方程程的的通通解解為為6. .全全微微分分方方程程( (僅僅數(shù)數(shù)一一) )( , )d( , )d0P x yxQ x yy形形如如 的的一一階階微微分分方方程程，若若其其左左端端是是某某個個二二元元函函數(shù)數(shù)( , ),uu x y的的全全微微分分 即即 d( , )d( , )d ,uP x yxQ x yy( , )d( , )d0.P x yxQ x yy則則稱稱為為全全微微分分方方程程7( , )d( , )d0P x yxQ x yy由由第第 章章可可知知, ,為為全全微微.QPyx分分方方程程的的充充要要條條件件是是d0,( , ),uu

23、 x yC這這就就是是全全微微分分方方程程的的通通解解. . ( , ).u x y故故求求全全微微分分方方程程通通解解的的關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于求求原原函函數(shù)數(shù)6而而這這在在第第 章章就就已已經(jīng)經(jīng)解解決決了了: :(1);曲曲線線積積分分法法(2);不不定定積積分分法法(3).觀觀察察法法4232222.11(53)d(33)dxxyyxx yxyyy例例 求求 的的通通解解. . 42322253,33Pxxyy Qx yxyy 解解 263,dd0QPxyyP xQ yyx是是全全微微分分方方程程. .( , )423222(0,0)1 ( , )(53)d(33)dx yu x yxxyyx

24、x yxyyy 方方法法 42322200(53 00 )d(33)dxyxxxx yxyyy 5223331,23xx yxyy5223331.23xx yxyyC故故通通解解為為 2 ,uPx 方方法法423( , )( , )d(53)du x yP x yxxxyyx52233( ).2xx yxyy22222,33( )33,uQx yxyyx yxyyy又又即即231( ),( ).3yyyy即即于于是是352233( , ).23yu x yxx yxy352233.23yxx yxyC所所以以，方方程程的的通通解解為為423222(53)d(33)dxxyyxx yxyyy方方

25、法法3 3 4223225d3d3dd3ddxxxyxx y yyxxyyyy 22353d3ddd23x yyxxy223533d0,23x yyxxy223533 .23x yyxxyC故故通通解解為為222.12cos()3 d2 cos()3 d0 xyyxyxyxy例例 求求 的的通通解解. . 22cos()3 d2 cos()3 dxyyxyxyxy解解 22cos()d2 cos()d d3 dd xyxyxyyxy xx y 22dsin()3ddsin()30,xyxyxyxy2sin()3.xyxyC三三、幾幾種種可可降降階階的的高高階階微微分分方方程程的的解解法法( )

26、1( )nyf x. .型型(1)nPy作作變變換換即即可可將將其其化化為為一一階階微微分分方方程程( ).Pf x (1)1( )d.nyPf xxC積積分分得得,繼繼續(xù)續(xù)以以上上步步驟驟 最最終終得得通通解解. .n事事實實上上, ,只只需需連連積積分分 次次即即得得通通解解2( ,)yf x y. .型型這這類類二二階階微微分分方方程程的的特特點點是是：. y不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù),yPyP設(shè)設(shè)則則于于是是原原方方程程化化為為( , ).Pf x P 一一階階方方程程,y然然后后按按一一階階方方程程求求解解可可得得再再積積分分即即可可得得通通解解. .( )(1)( ,)nnyf

27、x y型型微微分分方方程程（特特點點：未未知知 函函數(shù)數(shù)的的及及自自變變量量），也也可可用用這這僅僅含含相相鄰鄰兩兩階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)種種 注注：方方法法降降階階. .200(1)2,3.1 1,3.xxxyxyyy例例求求解解 , ,yPyP令令則則解解原原方方程程化化為為2d(1)2.dPxxPx2d2 d,(1)Px xPx分分離離變變量量，得得 21lnln(1)ln.PxC兩兩邊邊積積分分，得得 于于是是21(1).yPCx 2103,3,3(1).xyCyx由由得得即即323.yxxC再再積積分分得得32011,31.xyCyxx 由由得得000, 3.2 0,0,0.xxxyyyyy例

28、例求求解解 , ,.yPyPPP令令則則原原方方程程化化為為解解211dd ,2,.4xCPxPxCPP231200,=0.,412xxxyCyPyC由由得得，故故于于是是3200,=0.12xxyCy由由得得04 0.48xyxy 3( ,)yf y y. .型型這這類類二二階階微微分分方方程程的的特特點點是是：. x不不顯顯含含自自變變量量d,ddd,ddyPyPPyyyPx設(shè)設(shè)則則方方程程化化為為d( , ).dPPf y PyyP這這是是以以 為為自自變變量量、 為為未未知知函函數(shù)數(shù)的的一一階階方方程程. .23.3 20.yyy例例求求解解微微分分方方程程 d,d PyPyPy令令則

29、則解解原原方方程程化化為為2d20.dPyPPydd2,yPPy 分分離離變變量量得得21lnlnln,PyC兩兩邊邊積積分分得得于于是是12.CyPy 21dd ,yyC x分分離離變變量量得得 312.3yC xC兩兩邊邊積積分分得得 312.yC xC故故通通解解為為 23.4 1.yy例例求求解解微微分分方方程程 . , yx方方程程既既不不顯顯含含 也也不不顯顯含含 一一般般說說解解來來, ,按按不不.,yyPyP顯顯含含 處處理理較較簡簡單單令令則則，于于是是有有21.PP 112dd ,arctan,tan().1PxPxCyPxCP即即12tan()dyxCxC12ln cos

30、().xCC 3.5 ( ),2011)y x例例設(shè)設(shè)有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階二二導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)且且tan, arctan,yy于于解解 由由所所以以 2d.d1yxy22,(1).1yyyyyy于于是是有有即即得得二二階階方方程程 又又由由2,(1).yPyPPPP令令則則故故方方程程為為:( ).l yy xyxl曲曲線線與與直直線線相相切切于于原原點點記記 為為曲曲線線 在在dd( , ),( ).ddyx yy xxx點點處處切切線線的的傾傾角角, ,若若求求的的表表達(dá)達(dá)式式(0)0,(0)1.yy題題設(shè)設(shè)得得初初始始條條件件2dd ,(1)PxPP分分離離變變量量得得 即即221ln2

31、ln,1PxCP兩兩邊邊積積分分得得 即即22d2 d2d .1PP PxPP 2221e .1xPCP222111(0)(0)1,e .221xPPyCP由由得得于于是是由由此此解解得得21e2.11e2xxPy2earcsin.2xyC兩兩邊邊再再積積分分得得 2(0)0,4yC 由由得得故故earcsin.42xy 四四、線線性性微微分分方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)1. n 階階線線性性微微分分方方程程( )(1)11( )( )( )( ), 1nnnnyp x ypx yp x yf x12( ),( ),( )( ).np xp xp xf xx其其中中及及都都是是 的的已已知知連連續(xù)

32、續(xù)函函數(shù)數(shù)( )0f x 當(dāng)當(dāng)時時, ,是是齊齊自自由由項項次次方方程程：( )(1)11( )( )( )0, 2nnnnyp x ypx yp x y121否否則則就就是是非非齊齊次次方方程程. .并并將將稱稱為為所所對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程. .( )(1,2, )1 21 iip xpinnn 當(dāng)當(dāng)為為常常數(shù)數(shù)時時, ,稱稱為為階階線線性性常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次微微分分方方程程，是是所所對對應(yīng)應(yīng)的的階階線線性性常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次微微分分方方程程. .2. .線線性性齊齊次次微微分分方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) ( )( )0, 3yp x yq x y以以為為例例加加以以敘敘述述.

33、 .解解的的疊疊加加性性質(zhì)質(zhì)12121122 3, 43y yC CC yC y 若若 , , 是是二二階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的任任意意兩兩個個解解, ,則則對對任任意意常常數(shù)數(shù)也也是是的的解解. .解解的的線線性性組組合合還還是是解解！n所所有有結(jié)結(jié)論論對對 階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程成成立立. .43 注注意意，不不一一定定是是的的通通解解！線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的通通解解11221221 3, 53yC yC yy yC C 若若 , , 是是二二階階線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的兩兩個個的的解解, ,則則對對任任意意常常數(shù)數(shù)就就是是的的線線無

34、無關(guān)關(guān). .性性通通解解非非齊齊次次方方程程與與對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的解解之之間間關(guān)關(guān)系系1212,y yyy 若若是是線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程的的兩兩個個解解，則則是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次微微分分方方程程的的解解. .( )( )( ). 6yp x yq x yf x設(shè)設(shè) 3.3.線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)11221122 .yYC yC yCyC yyyYy 設(shè)設(shè) 是是線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程的的某某個個特特解解，是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的通通解解，則則是是線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程的的通通解解4.4.線線性

35、性非非齊齊次次微微分分方方程程解解的的疊疊加加原原理理12112212 ( )( )( )( ), ( )( )( ) ( )( )( ) .yp x yq x yf xfxyyp x yq x yf xyyp x yq x yfxyy 設(shè)設(shè)有有線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程若若是是 的的解解, , 是是 的的解解, ,則則是是的的解解24.1,e ,exxx例例 設(shè)設(shè)是是二二階階線線性性非非齊齊次次方方程程( )( )( ) yp x yq x yf x的的三三個個特特解解，試試求求初初值值問問題題( )( )( ) (0)1,(0)3 yp x yq x yf xyy，的的解解. .

36、2e,exxxx 是是 解解齊齊次次方方程程程程的的通通解解為為( )( )0yp x yq x y 的的兩兩個個解解，且且易易知知它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)，于于是是齊齊次次方方212 eexxYCxCx，212 ee.xxyYyCxCxx212 e12e11,xxyCC 121221,1,(0)1,13. 2.(0)3CCCyCCy 由由得得解解得得故故初初值值問問題題的的解解為為2 2ee .xxy 所所以以非非齊齊次次方方程程的的通通解解為為322122014.2 ()ee ,ee ,3xxxxyxyx數(shù)數(shù)例例設(shè)設(shè)一一 23e3,xyx 是是某某二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性方

37、方程程的的 個個解解 則則該該31323eexxyyyy 顯顯然然與與是是對對應(yīng)應(yīng)的的 解解齊齊次次方方程程3212eee .xxxyCCx故故該該方方程程的的通通解解,的的兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解_.y 方方程程的的通通解解00()0,1_.2013xxyyy滿滿足足條條件件的的解解數(shù)數(shù)二二3212eeexxxCCx121200120, 0,11,1,32,xxCCyyCCCC 由由得得解解得得又又32eee .xxxyx故故該該方方程程滿滿足足條條件件的的特特解解32eeexxxx五五、常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程的的解解法法 包包括括解解常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分

38、分方方程程的的“特特征征根根法法”和和解解常常系系數(shù)數(shù)線線性性非非齊齊次次微微分分方方程程的的“待待定定系系數(shù)數(shù)法法”，都都是是“代代數(shù)數(shù)方方法法”. . 我我們們?nèi)匀砸砸远A階常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程為為例例進(jìn)進(jìn)行行敘敘述述，其其方方法法對對于于高高階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程也也是是適適用用的的. .1 . .常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分 方方程程的的通通解解常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程0 1ypyqy的的特特征征方方程程為為20. 2rprq21,24.2ppqr特特征征根根為為 二二階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次微微分分方方程程的的通通解解

39、12121,r rrrR,兩兩個個不不且且即即等等的的實實根根 時時 122 rrrR兩兩個個相相等等即即的的實實根根 時時 1 2i ()3 r，一一對對共共軛軛復(fù)復(fù)根根即即時時1212ee.r xr xCyC0ypyq 的的通通解解12e .rxCC xy0ypyq 的的通通解解0ypyq 的的通通解解12eco.ssinxyCxCxn 階階線線性性常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次微微分分方方程程的的“特特征征根根法法”n階階線線性性常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次微微分分方方程程( )(1)110 nnnnyp ypyp y也也可可以以用用“特特征征根根法法”求求通通解解. .1110 nnnnrprp rp設(shè)

40、設(shè)其其特特征征方方程程12 , , , . innr rrr的的 個個根根為為 n 階階齊齊次次方方程程的的通通解解與與特特征征根根的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系如如下下：(1)r單單實實若若 是是特特征征方方程程的的時時，給給出出方方程程根根通通e ;rxC解解一一項項中中的的(2)ir對對單單若若是是一一時時, ,給給出出方方重重復(fù)復(fù)根根程程12ecossin;xCxCx通通解解中中的的兩兩項項(3)kr重重若若 是是特特征征方方程程的的時時，給給出出方方實實根根程程112e;rxkkCC xCkx項項通通解解中中的的(4)ikr對對 重重復(fù)復(fù)若若是是一一時時, ,給給根根出出方方程程112112e

41、cos si2n.xkkkkCC xC xxDD xD xxk通通解解中中的的項項 (5)(4)5.1 220.yyyyyy例例求求的的通通解解543242221234512345 2210, 121(1)(1)(1)0.1,i,i. e()cossin .xrrrrrrrrrrrrrrrrryCCC xxCC xx 故故通通解解為為 解解1() 0_.42013yyyy數(shù)數(shù)三三 求求的的通通解解1212exCC x 2. 2.常常系系數(shù)數(shù)線線性性非非齊齊次次微微分分方方 程程的的解解法法已已知知( ) ypyqyf x的的通通解解為為,yYyYy其其中中 是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的

42、通通解解，已已經(jīng)經(jīng)會會求求了了，只只需需求求自自身身的的某某個個特特解解 即即可可. .然然而而, ,在在一一般般情情況況下下，這這也也是是不不容容易易的的事事. .( )f x但但當(dāng)當(dāng)時時為為下下面面兩兩種種情情況況時時，卻卻是是比比較較容容易易的的，而而且且只只需需用用“代代數(shù)數(shù)方方法法”待待定定系系數(shù)數(shù)法法. .( )( )e ( )xnnf xP xP xn 為為 次次多多項項式式( )e , xnypyqyP x對對于于 可可設(shè)設(shè)其其一一個個特特解解為為 .( )ekxnyx Q x( )nQ xn其其中中，是是待待定定的的 次次完完整整多多項項式式：0, 1,2, k當(dāng)當(dāng) 不不是是

43、特特征征根根，而而 當(dāng)當(dāng) 是是特特征征方方程程的的單單根根，當(dāng)當(dāng) 是是2 2重重特特征征根根; ;.k等等于于 為為特特征征根根的的重重數(shù)數(shù)即即1011( );nnnnnQ xa xa xaxa5exx 將將其其代代入入方方程程, ,同同除除以以后后，比比較較兩兩邊邊n此此結(jié)結(jié)論論對對 階階線線性性常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次方方程程也也成成立立. .01,.na aay的的同同次次冪冪的的系系數(shù)數(shù), ,即即可可定定出出從從而而求求出出0( )( ) ( )e0;xnnf xP xP x 注注:,:,即即視視為為( )e =1 e( ).xxnf xP x , ,即即是是一一個個零零次次多多項項式

44、式y(tǒng)以以上上求求 的的方方法法稱稱為為“待待定定系系數(shù)數(shù)法法”. .5.2 2e.xyyyx例例求求的的通通解解 (1):Y解解求求212210,1,rrrr 于于是是12e .xYCC x(2):y求求12,是是 重重特特征征根根設(shè)設(shè)3232()e ,(32 )2e ,xxyaxbxyaxab xbx將將32(6)(64 )2exyaxab xab xb代代入入原原方方162,0.6axbxab程程得得解解得得2.()exyx axb于于是是31e .6xyx(3):y求求212ee .6xxxyYyCC x( )e( )cos( )sin xlmf xP xxP xx e( )cos( )

45、sin xlmypyqyP xxP xx( )( ), lmP xlP xm R)（為為 次次、為為 次次多多項項式式， 對對于于非非齊齊次次方方程程其其特特解解的的形形式式：e( )cos( )sin,kxnnyxR xxT xx( )( )max , .nnR xT xnnl m其其中中和和都都是是 次次完完整整多多項項式式, ,而而必必須須注注意意以以下下三三點點：max , ,( )( );nnnl mR xT x22和和應(yīng)應(yīng)是是完完整整的的ik1 1 是是為為特特征征根根的的重重數(shù)數(shù), ,且且對對高高階階成成立立; ;( )cossin,f xxx3 3 當(dāng)當(dāng)只只含含或或只只含含時時

46、 也也必必須須設(shè)設(shè)e( )cos( )sin.sxnnyxR xxT xx5.3 2sinyyyxx例例求求的的通通解解. .212(1)210,1,rrrr 解解 (2)ii不不是是特特征征根根， 設(shè)設(shè)+cossin .yAx BxCxDx()cos()sin ,yADCxxCBAxx(2)cos( 2)sin ,yCBAxxCDCxx 12e ().xYCC x代代入入原原方方程程，得得(2222)cos ( 2222)sinsin .ACDCxxCBDAxxxx cossinxx比比較較兩兩邊邊和和的的系系數(shù)數(shù)，得得222020, 111,0,. 2222220,21. ACDCABCD

47、CBDA ，11cossin .22xyxx即即1211(3)ecossin .22xxyYyCC xxx5.4 210e cos3xyyyxxy 例例寫寫出出的的特特解解 的的形形式式. .21,22440 2100,1 3i.2rrr 解解i1 3i 因因為為是是單單特特征征根根, ,所所以以設(shè)設(shè)e()cos3()sin3.xyxaxbxcxdx225.5 ee(0)(ee) (ee)( ee) ( e(2011e)xxxxxxxxxxyyaaxx abx ab 例例微微分分方方程程的的特特解解形形式式為為( ( ) ). . ( (A A) )( (B B) ) ( (C C) )( (

48、D D 二二) )數(shù)數(shù)2121 ,exyyyyyy記記特特解解為為 解解其其中中 是是220,r 由由特特征征方方程程知知與與都都22,e.xyyy的的特特解解是是的的特特解解12,e ,e,xxyxayxb是是單單實實根根 故故故故12( ee).xxyyyx ab C.選選C3.EulerEuler方方程程的的解解法法( )1(1)11( ) nnnnnnx yp xypxyp yf x 形形如如 n的的變變系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程，稱稱為為( ( 階階)Euler)Euler方方程程. .解解法法化化為為常常系系數(shù)數(shù)線線性性 微微分分方方程程eln ,8txttx 若若令令, ,

49、即即則則化化為為以以 為為自自變變量量、y以以 為為未未知知函函數(shù)數(shù)的的常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程. .yx其其特特點點是是： 的的幾幾階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)前前, ,乘乘上上 的的幾幾次次方方eln ,txtx 令令，即即則則dddd1dd ddyyytxtxxt ，22222dddddd111ddddddyyyytxxttxxxxt 222dd1,ddyytxt32322dddd1ddddyyyxtxxt 32332ddd132,dddyyytxtt d,dtDt 若若引引進(jìn)進(jìn)微微分分算算子子則則有有,xyDy 22,(1)D yDx yD Dyy33232(1)(2,)D yD yDxy

50、yD DDy ( )(1)(2)(1) .nnx yD DDDnyt于于是是就就化化為為以以 為為自自變變量量的的常常系系數(shù)數(shù)線線性性方方程程：11(1)(2)(1) (1)(2) (e )( ).tnnD DDDnyp D DDnypDyp yft記記為為,lnytx求求出出其其解解 再再以以代代入入即即得得原原方方程程的的解解. .25.6 22 lnx yyxx例例求求的的通通解解. .222 (1)Euler. e ,ln , (1)22 e ,22 e ,dd 22 e (*)ddttttxtxD DyytD yDyytyyyttt這這是是2 2階階方方程程令令即即得得即即解解212

51、212(2) 20,1,2,ee .ttrrrrYCC 特特征征方方程程為為 (3)1()e .()e , (2)e . 222 ,111,e .22ttttyatbyatabyatabatabtabyt 不不是是特特征征根根， 設(shè)設(shè)則則代代入入方方程程( (* *) ), ,并并整整理理得得于于是是得得即即2122121(4) eee .2 e,ln ,1ln.2ttttyYyCCtx txCyC xxxx六六、微微分分方方程程的的應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例用用微微分分方方程程解解決決實實際際問問題題的的一一般般步步驟驟: : （1 1）在在適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)標(biāo)系系下下，設(shè)設(shè)出出未未知知函函數(shù)數(shù)，寫寫

52、出出相相關(guān)關(guān)的的已已知知函函數(shù)數(shù)； （2 2）根根據(jù)據(jù)幾幾何何、物物理理等等的的規(guī)規(guī)律律，建建立立微微分分方方程程； （3 3）寫寫出出定定解解條條件件； （4 4）求求解解定定解解問問題題；（5 5 ）檢檢驗驗. .1.求求曲曲線線的的方方程程6.1 ( , )(0)LP x y x 例例設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線 上上任任意意一一點點POy到到原原點點的的距距離離, ,恒恒等等于于 點點的的切切線線在在軸軸上上的的截截1,0 ,.2LL距距, ,且且 過過點點求求 的的方方程程 :( )( , )L yy xP x y在在點點解解的的切切線線方方程程為為().Yyy Xx0,.XOybyxy令令

53、得得切切線線在在軸軸上上的的截截距距,由由題題設(shè)設(shè) 得得22,0,xyyxy x2221.yyyxxxyyx 即即 ,yuyxux令令則則原原方方程程化化為為22dd1,1.dduuuxuuxuxx 即即2dd,1uxxu 分分離離變變量量得得積積分分得得222ln1lnln ,.uuCxyCxy于于是是 111,0,0,222LyC又又即即即即221.2yxy21:,0.4L yxx化化簡簡得得 6.2, L例例在在上上半半平平面面內(nèi)內(nèi)求求一一條條凹凹曲曲線線使使其其上上( , )P x yLPPQ任任一一點點處處的的曲曲率率等等于于 在在 點點的的法法線線段段長長(1,1)QOxL度度的的

54、倒倒數(shù)數(shù)( ( 是是法法線線與與軸軸的的交交點點),),且且 在在點點.Ox處處的的切切線線與與軸軸平平行行oyx(1,1)PQ:( )( , )L yy xP x y在在點點解解 處處的的法法線線方方程程為為1(),(0,0).YyXxyyy 0(,0).YOxQ xyy令令得得法法線線與與軸軸的的交交點點于是222()(0)1.PQxyyxyyy由由題題設(shè)設(shè), ,得得定定解解問問題題231222211111,1, 111,0.1,0, xxxxyyyyyyyyyyy即即d,dpypypy令令則則代代入入原原方方程程得得2d1.dpyppy2dd=,1p pyyp分分離離變變量量得得積積分分

55、得得22111ln(1)=lnln,1.2pyCC yp即即由由初初始始條條件件得得2211,1,1.Cypyy 于于是是由由此此得得分分離離變變量量得得2dd .1yxy 積積分分得得22ln(1).yyxC 2(1)211,1,1e.xxyCyy 由由得得于于是是2(1)211e,1xyyyy 而而 - -+ +2兩兩式式相相加加、除除以以 得得(1)(1)1(1)eeee.22xxxxy1(1)ee:ch(1).2xxL yx故故 （懸懸鏈鏈線線）2.求求函函數(shù)數(shù)的的表表達(dá)達(dá)式式6.3 ( ),x例例設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù) 且且滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式0( )e() ( )d ,xxxtxtt

56、( ).x求求的的表表達(dá)達(dá)式式0 ( )e() ( )d,xxxtxtt是是“積積分分方方程程”解解.我我們們需需將將其其化化為為微微分分方方程程來來求求解解x為為此此, ,兩兩邊邊對對 求求導(dǎo)導(dǎo)0000( )e( )d( )d e( )( )d( ) e( )d ,xxxxxxxxtttxttxxttxxtt,x為為消消除除積積分分 兩兩邊邊再再對對 求求導(dǎo)導(dǎo) 得得(0)1,(0)1,另另外外, ,易易知知于于是是得得定定解解問問題題( )e( ),( )+ ( )e .xxxxxx即即( )+ ( )e ,(0)1,(0)1.xxx21,21210icossin .rrCxCx 1,e .

57、,xA不不是是特特征征根根設(shè)設(shè)代代入入微微分分方方程程 得得11eee ,=e22xxxxAAA從從而而, ,即即，故故通通解解為為121( )cossine .2xxCxCx1211(0)1,(0)1,22CC由由可可定定出出所所以以1( )cossine.2xxxx22222 6.4 () ( ),(e cos )(4e cos )e .(0)0,(0)0,(014).2xxxf uzfyzzzyxyfff u例例設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)滿滿足足 數(shù)數(shù)一一、二二、三三 若若求求的的表表達(dá)達(dá)式式 e cos ,e cos( ),e sin( ).xxxzzuyyf uyf

58、 uxy 設(shè)設(shè)則則解解 2222e cos( )ecos( ),xxzyf uyfux2222e cos( )esin( ).xxzyf uyfux 222222e( )(4e cos )e ,( )4 ( ).xxxzzfuzyfuf uuxy即即2221,21240,2,( )ee .uurrf uCC 0,( ).fuAuB不不是是特特征征根根 故故設(shè)設(shè)將將其其代代入入得得44.AuBu1,0,( ).44uABfu 由由此此得得即即故故2212( )( )( )ee.4uuuf uf ufuCC12120, (0)0,(0)0,122.4CCffCC又又由由得得1211,.1616CC

59、 2211( )ee1,6164.uuuf u 所所以以6.5( )0)0,(0)1,f xff 例例設(shè)設(shè)有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,（2()( )d( )d0 xy xyf x yxfxx yy且且是是全全微微,( )f x分分方方程程 求求及及此此全全微微分分方方程程的的通通解解. . QPxy由由全全微微分分方方程程的的充充要要條條件件解解, ,有有22( )22( ),( )( ). ( )fxxyxxyf xfxf xx即即21,21210,i,( )cossin .rrf xCxCx 20,( ).fxaxbxc不不是是特特征征根根設(shè)設(shè)21,0,2,( )2.abcfxx 將

60、將其其代代入入( ( ) ), ,可可得得即即212( )( )cossin2.f xCxCxx故故的的通通解解為為 120)0,(0)1,2,1,ffCC由由（得得于于是是2( )2cossin2.f xxxx此此全全微微分分方方程程為為22(2cossin )2d 2sincos2d0.xyxx yyxxxxx yy 200( , )0d( 2sincos2)dxyu x yxxxxx yy2212 sincos2,2yxyxxyx y 故故全全微微分分方方程程的的通通解解為為221cos2 sin2.2yxyxxyx yC6.6 0 x 例例設(shè)設(shè)對對于于半半空空間間內(nèi)內(nèi)任任意意的的光光滑