清華 質(zhì)點動力學(xué)-動量

1、 動量定理動量定理 動量守恒定律動量守恒定律一、質(zhì)點的動量定理：一、質(zhì)點的動量定理：牛二律：牛二律：tVmFd)(d VtmtVmdddd 0dd tm經(jīng)典經(jīng)典am )(d dVmtF 2121 VmVmtt12VmVm 21dtttF I稱為沖量，稱為沖量，反映了力對時間的累積。反映了力對時間的累積。Vm P均為矢量均為矢量12PPI P PI 稱為動量稱為動量 過程規(guī)律。過程規(guī)律。 反映：反映：過程量過程量=狀態(tài)量的增量狀態(tài)量的增量 動量定理為矢量方程，常采用分量式，在直角坐標(biāo)系中：動量定理為矢量方程，常采用分量式，在直角坐標(biāo)系中： yyyxxxmVmVImVmVI1212 不僅適用于慣性

2、系，而且適用于微觀粒子。不僅適用于慣性系，而且適用于微觀粒子。 沖量表達(dá)式中的力一般是時間的函數(shù)：沖量表達(dá)式中的力一般是時間的函數(shù)：A 恒力：恒力：)(12ttFI tF 21dtttF IP tFF1t2t大小大小=Ft曲線下曲線下(t1,t2)間的面積間的面積B 變力：變力：用一平均力用一平均力 來代替變力來代替變力 ， FF這一平均力稱為這一平均力稱為。tF1t2tF)(tFF 21dtttFtFItVmVmF 12二、質(zhì)點系動量定理：二、質(zhì)點系動量定理：m2m1、 m2系統(tǒng)，受力情況：系統(tǒng)，受力情況：1F外力外力 、 1F2F12F;內(nèi)力內(nèi)力 2112FF、2112FF 且：且：在初始

3、時刻在初始時刻t1兩質(zhì)點具有速度兩質(zhì)點具有速度2010VV、在終止時刻在終止時刻t2兩質(zhì)點具有速度兩質(zhì)點具有速度21VV、根據(jù)質(zhì)點的動量定理：根據(jù)質(zhì)點的動量定理： 21101112111d)(:ttVmVmtFFm 21202221222d)(:ttVmVmtFFmm1、 m2系統(tǒng)，有：系統(tǒng)，有： 21021d)(ttiiiiVmVmtFF推廣得推廣得：m12F21F說明：說明： 過程規(guī)律。反映：過程量過程規(guī)律。反映：過程量=狀態(tài)量的增量狀態(tài)量的增量 矢量式。常用分量式：矢量式。常用分量式： 00yyyxxxPPIPPI 適用于慣性系及微觀粒子。適用于慣性系及微觀粒子。 在無限小時間間隔內(nèi)，質(zhì)

4、點系動量定理可寫成：在無限小時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量定理可寫成： tPFdd外外反映了外力與動量變化的反映了外力與動量變化的瞬時關(guān)系瞬時關(guān)系；反映了力是改變運(yùn)動狀態(tài)的原因。反映了力是改變運(yùn)動狀態(tài)的原因。三、動量守恒定律：三、動量守恒定律： 000PPI外外 0PP當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。 定律為矢量式。分量式：定律為矢量式。分量式： 0000yyyxxxPPFPPF可分別獨立使用可分別獨立使用 應(yīng)用時常采用近似守恒條件：應(yīng)用時常采用近似守恒條件：當(dāng)外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力時，可近似認(rèn)為動量守恒。當(dāng)外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力時，可近似認(rèn)為動量守恒。 定

5、理中的定理中的。 等價（數(shù)學(xué)上）等價（數(shù)學(xué)上） 動量定理、動量守恒比牛二律更普遍適用。動量定理、動量守恒比牛二律更普遍適用。 動能與動量都描述了機(jī)械運(yùn)動，都是狀態(tài)量，動能與動量都描述了機(jī)械運(yùn)動，都是狀態(tài)量，但兩者的描述角度不同：但兩者的描述角度不同：動能，標(biāo)量；動能，標(biāo)量；動量，矢量；動量，矢量；其變化：其變化： Ek = A 21drrrF與力在空間上的累積作用相關(guān)與力在空間上的累積作用相關(guān)動能定理動能定理其變化：其變化：IP 21dtttF與力在時間上的累積作用相關(guān)。與力在時間上的累積作用相關(guān)。動量定理動量定理例例1：有一長：有一長 l =4m，質(zhì)量，質(zhì)量M=150kg 的船，靜止浮于湖面

6、上。今有的船，靜止浮于湖面上。今有 一質(zhì)量一質(zhì)量m=50kg 的人，從船頭走到船尾。設(shè)：水對船的阻力的人，從船頭走到船尾。設(shè)：水對船的阻力 忽略不計。忽略不計。 求：人和船相對于湖岸各移動的距離。求：人和船相對于湖岸各移動的距離。解：解：取人、船為研究系統(tǒng)。由于水的阻力忽略，因此在水平方向取人、船為研究系統(tǒng)。由于水的阻力忽略，因此在水平方向 0外外F，水平方向動量守恒。，水平方向動量守恒。 vV如圖設(shè)任意時刻船和人相對于岸的速度為：如圖設(shè)任意時刻船和人相對于岸的速度為：vV,取初始靜止時船頭位置為參考位置取初始靜止時船頭位置為參考位置 則由動量守恒有：則由動量守恒有：0 MVmvMVmv tt

7、tVMtvm00ddS用用S、s表示船和人相對參考位置的移動距離，則：表示船和人相對參考位置的移動距離，則： tttvstVS00dds tttVMtvm00dd tttvstVS00ddMSms 由圖知人、船的相對運(yùn)動終止時有：由圖知人、船的相對運(yùn)動終止時有：vV參考位參考位SsllsS m1m3MmmlSSls例例2：質(zhì)量為：質(zhì)量為M的重錘從高為的重錘從高為h處以初速度為零的狀態(tài)落下，擊在處以初速度為零的狀態(tài)落下，擊在 木樁上并使之入土深度為木樁上并使之入土深度為d。已知木樁的質(zhì)量為。已知木樁的質(zhì)量為m，且重錘，且重錘 與木樁一同下陷。與木樁一同下陷。 求：求： 土地的平均阻力；土地的平均

8、阻力； 重錘與木樁下陷的時間。重錘與木樁下陷的時間。解：解：M00 Vmhd 如圖，全過程可分為以下幾個分過程：如圖，全過程可分為以下幾個分過程：過程過程：重錘：重錘M自由下落。自由下落。初態(tài)：初態(tài)：V0=0；末態(tài)：；末態(tài)：ghV2 過程過程：M、m 碰撞過程。碰撞過程。選選M、m為系統(tǒng)，作受力分析：為系統(tǒng)，作受力分析：FmgfMgF初態(tài)：初態(tài)： ghVMvm2:0:末態(tài)：末態(tài)：M、m同速，設(shè)為同速，設(shè)為V同同 內(nèi)力（相互作用的沖力內(nèi)力（相互作用的沖力F、F）遠(yuǎn)大于外）遠(yuǎn)大于外力（阻力力（阻力f與重力），與重力），因此豎直方向動量守恒：因此豎直方向動量守恒：共共VMmMV)(0 )(2Mmgh

9、MV 共共過程過程：M、m 共同下降共同下降d。gMm)( 阻阻F選選M、m為系統(tǒng)，受力分析如圖。為系統(tǒng)，受力分析如圖。初態(tài)：初態(tài)：V=V共共，末態(tài)：，末態(tài)：V=0M00 Vmhd初態(tài)：初態(tài)：20)(21共共VMmEk 末態(tài)：末態(tài)：0 kE動能定理：動能定理：0kkkEEEA gdMmdFA)( 阻阻dMmghMgMmF)()(2 阻阻初態(tài)：初態(tài)： ghVMvm2:0:末態(tài)：末態(tài)：M、m同速同速V同同 重錘與木樁下陷的時間。重錘與木樁下陷的時間。M00 Vmhd取向下為正。取向下為正。由動量定理有：由動量定理有：共共阻阻VMmtFgMm)(0)( ghMMmMdght2)(2 四、四、 質(zhì)心質(zhì)

10、心 質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心運(yùn)動定理：、質(zhì)心：、質(zhì)心：是系統(tǒng)質(zhì)量中心的簡稱。是系統(tǒng)內(nèi)的一個特殊點。是系統(tǒng)質(zhì)量中心的簡稱。是系統(tǒng)內(nèi)的一個特殊點。設(shè)系統(tǒng)由設(shè)系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成，每個質(zhì)點對應(yīng)一個矢徑個質(zhì)點組成，每個質(zhì)點對應(yīng)一個矢徑ir iiicmrmr 系系Rt MzmmzmzMymmymyMxmmxmxiiiiiciiiiiciiiiic利用上述結(jié)果，采用微積分的方法獲得。利用上述結(jié)果，采用微積分的方法獲得。xzymdrMmrrVc dM為物體的質(zhì)量。為物體的質(zhì)量。分量式分量式 MmzzMmyyMmxxcccddd 質(zhì)心位置與物體的質(zhì)量及其分布有關(guān)，與外力無關(guān)。質(zhì)心位置與物體的質(zhì)量及其分布有關(guān)，與外力無

11、關(guān)。 重心是作用于全物體上的重力合力的作用點。重心是作用于全物體上的重力合力的作用點。 在一定條件下，質(zhì)心與重心可認(rèn)為重合。在一定條件下，質(zhì)心與重心可認(rèn)為重合。條件：作用于物體上各部分的重力平行；條件：作用于物體上各部分的重力平行； 重力加速度為常數(shù)。重力加速度為常數(shù)。 iiicmrmr 質(zhì)心運(yùn)動定律：質(zhì)心運(yùn)動定律： iiicmrmr質(zhì)點系質(zhì)心運(yùn)動速度：質(zhì)點系質(zhì)心運(yùn)動速度：trVccdd )(ddMrmtii trmMiidd1MVmii iicVmVM質(zhì)點系動量定理：質(zhì)點系動量定理： tPFdd外外tVmiid)(d tVMcd)(d 質(zhì)點系質(zhì)心的運(yùn)動可看成一個質(zhì)點的運(yùn)動。這個質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)心

12、的運(yùn)動可看成一個質(zhì)點的運(yùn)動。這個質(zhì)點 集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和外力。集中了整個質(zhì)點系的質(zhì)量和外力。 質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)完全取決于質(zhì)點系所受外力，內(nèi)力不質(zhì)心的運(yùn)動狀態(tài)完全取決于質(zhì)點系所受外力，內(nèi)力不 使質(zhì)心產(chǎn)生加速度。使質(zhì)心產(chǎn)生加速度。caMF 外外tVMcdd caMF 外外例：有兩個電性相同的帶電粒子，他們質(zhì)量均為例：有兩個電性相同的帶電粒子，他們質(zhì)量均為m，電荷均為，電荷均為q。 其中一個處于靜止，另一個以初速其中一個處于靜止，另一個以初速V0由無限遠(yuǎn)處向其運(yùn)動。由無限遠(yuǎn)處向其運(yùn)動。問問 ：這兩個粒子最接近的距離是多少？在這瞬時，每個粒子的：這兩個粒子最接近的距離是多少？在這瞬時，每個粒子的

13、速率是多少？你能知道這兩個粒子的速度將如何變化？速率是多少？你能知道這兩個粒子的速度將如何變化？ （已知庫侖力的大小為（已知庫侖力的大小為f=kq1q2/r2）解：解：q2o設(shè)起始時，設(shè)起始時，q1位于位于o點靜止。點靜止。且：且：V10=0 , V20=V0 , r20= , q1 = q2 =q 2Vq11VFF以以o點為參考點，點為參考點，q1q2連線右為軸。連線右為軸。 任意時刻任意時刻q1 、q2間距為間距為r，兩者到參考點兩者到參考點o的距離為的距離為r1 、r2 ，相應(yīng)的速率為，相應(yīng)的速率為V1 、V2r1r2rtrtrtrdddddd12 21VV 最接近時：最接近時：0dd tr 最接近時