數(shù)值分析從頭開始

1、林偉健制作 要求掌握： 1 1數(shù)值分析的基本概念數(shù)值分析的基本概念 2. 2. 各種計算方法的基本思想、推導過程、各種計算方法的基本思想、推導過程、計算過程和在計算機上如何實現(xiàn)計算過程和在計算機上如何實現(xiàn) 3 3某些計算方法的誤差估計和收斂性的某些計算方法的誤差估計和收斂性的判別判別 參考書參考書： 1. 1. 數(shù)值逼近數(shù)值逼近李岳生、黃友謙李岳生、黃友謙 2. 2. 數(shù)值分析數(shù)值分析李慶揚、王能超、易大義李慶揚、王能超、易大義020102223xxx368808107.1*1x1*1xx 368808108.1*1x1*1xx 3333.0313333.031000033. 0313333.

2、 0 x*x*exx *)(*xe*xxe*x*)(*x*xxe*xxx,*xxx* xx21835*xxx5 .0835 x14159265.3取取6 6位數(shù)字得位數(shù)字得 14.33x0016. 033xe1416. 35x000007. 055xe14159. 36x000003. 066xe取取3 3位數(shù)字得位數(shù)字得取取5 5位數(shù)字得位數(shù)字得 這個數(shù)經(jīng)過四舍五入之后所得到的近似值，它的誤差這個數(shù)經(jīng)過四舍五入之后所得到的近似值，它的誤差限是它末位的半個單位。限是它末位的半個單位。21021005. 00016. 014. 3410211416. 35102114159. 3 可以證明：對任

3、何數(shù)可以證明：對任何數(shù)經(jīng)過四舍五入之后所得到的經(jīng)過四舍五入之后所得到的近似值，它的誤差限都是它末位的半個單位。近似值，它的誤差限都是它末位的半個單位。 定義定義1-31-3 若近似值若近似值x x* *的誤差限為該值的某一位的半個單位，的誤差限為該值的某一位的半個單位，且從該位開始往左數(shù)到的第一位非且從該位開始往左數(shù)到的第一位非0 0 數(shù)字共有數(shù)字共有n n位，則稱近位，則稱近似值似值x x* *具有具有n n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 例如，例如，14.33x2105 . 014. 3具有具有3 3位有效數(shù)字。這是因為位有效數(shù)字。這是因為 規(guī)律：凡是經(jīng)過四舍五入所得到的近似值，它的有效數(shù)規(guī)律：

4、凡是經(jīng)過四舍五入所得到的近似值，它的有效數(shù)字位是等于從該近似值的末位開始往左數(shù)起到第一位非字位是等于從該近似值的末位開始往左數(shù)起到第一位非0 0 數(shù)數(shù)字的位數(shù)。字的位數(shù)。1416. 35x14159.36x具有具有5 5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。具有具有6 6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 例如，例如， 0.045678 0.0457 3 0.045678 0.0457 3 位位 具有具有3 3 位有效數(shù)字位有效數(shù)字 又如，又如， 8.0005 8.00 3 8.0005 8.00 3 位位 具有具有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字例例1-21-2 若若1415. 3 近似值近似值310210005. 00

5、000926. 014159265. 31415. 31415.3的近似值為的近似值為，則，則有多少位有效數(shù)字有多少位有效數(shù)字? ? 順便指出，準確值我們通常稱它具有無窮多位有效順便指出，準確值我們通常稱它具有無窮多位有效數(shù)字。數(shù)字。 的誤差限為該值小數(shù)點后的誤差限為該值小數(shù)點后 第三位的半個單位，由有效數(shù)字的定義得知，第三位的半個單位，由有效數(shù)字的定義得知，具有具有4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。有效數(shù)字與誤差限的關系有效數(shù)字與誤差限的關系，且將，且將x*x則近似值則近似值pmx10.021m,21npxx1021表示為表示為 *x（p p為整數(shù)，為整數(shù)， 為為0 09 9之間的數(shù)字）之間的數(shù)字）

6、 若有若有 （1.2）具有具有n n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。*x 按照這個定義，如果知道近似值的誤差限，就可按照這個定義，如果知道近似值的誤差限，就可以知道它有多少位有效數(shù)字；以知道它有多少位有效數(shù)字； 反過來，如果知道近似值有多少位有效數(shù)字，就反過來，如果知道近似值有多少位有效數(shù)字，就可以知道它的誤差限為多少?？梢灾浪恼`差限為多少。 例例1-31-3 假設假設xx解解x2102p75210211021xxx71021=0.0012345=0.12345=0.0012345=0.0012345是準確值是準確值的具有的具有5 5 位位有效數(shù)字的近似值，則它的誤差限為多少？有效數(shù)字的近似值，則

7、它的誤差限為多少？所以有所以有由此得到由此得到即即的誤差限為的誤差限為例例1-41-4 利用有效數(shù)字與誤差限的關系求解例利用有效數(shù)字與誤差限的關系求解例1.21.2。 因此，求得因此，求得310210005. 00000926. 01415. 33np11031415. 01415. 31p4n解解由于由于從而得到從而得到而而 即即3.14153.1415有有4 4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限誤差誤差兩個工人的次品率：兩個工人的次品率： 100011000999100020001200019992000（1.31.3）rexxxrexx)(xerrexxx

8、定義定義1-41-4 若記若記，則，則稱為稱為的相對誤差。的相對誤差。近似值近似值的相對誤差有時也記為的相對誤差有時也記為。相對誤差也定義為相對誤差也定義為 誤差限誤差限，則，則定義定義1-51-5 若記若記 稱為近似值稱為近似值對（對（1.31.3）兩邊取絕對值后得到）兩邊取絕對值后得到。xxxxxerxrrx)(xr的相對誤差限。的相對誤差限。近似值近似值的相對誤差限有時也記為的相對誤差限有時也記為誤差限與有效數(shù)字的關系誤差限與有效數(shù)字的關系（1.4） pmx10. 021)1(110*21nrx另一方面，對另一方面，對 xnpxx1021rnprxxxxe1021xpmx10. 0211

9、2110.pm12110). 0(pm1110p定理定理1-11-1 若近似數(shù)若近似數(shù)則其相對誤差限為則其相對誤差限為 具有具有n n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，證證據(jù)題意，據(jù)題意，具有具有n n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，按有效數(shù)字的等價定義有按有效數(shù)字的等價定義有于是于是 兩邊求絕對值得到兩邊求絕對值得到 )1(11110*211010211021npnpnprx 有效數(shù)字位越多，相對誤差限就會越小。有效數(shù)字位越多，相對誤差限就會越小。 例例1-51-5 已知已知718.2e7182. 2ee因為因為n=4n=4，由公式（，由公式（1.41.4）得）得310*41re310*41用來表示用來表示具

10、有四位有效數(shù)字，求具有四位有效數(shù)字，求的相對誤差限。的相對誤差限。解解所以所以的相對誤差限為的相對誤差限為定理定理1-21-2 若近似數(shù)若近似數(shù)pmx10. 021)1(110*)1(21nrnpxx1021pmx10. 02112110.pm12110). 0(pm1110)1 (p*xxxxxxrxxx) 1(110) 1( 21nxnp1021x，且相對誤差限滿足關系式，且相對誤差限滿足關系式則具有具有n n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 證證據(jù)有效數(shù)字的等價定義，我們只須證明據(jù)有效數(shù)字的等價定義，我們只須證明從而證得從而證得 具有具有n n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 x誤差估計誤差估計)(xf

11、xx *)()(*xfxf從而有從而有 )(xfx2)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxfx2)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxf)()()(xxxfxfxf)(xf)()()(xexfxfe)(xf)()()()(xexfxfxfer的相對誤差的相對誤差 對于近似值對于近似值，函數(shù)，函數(shù)在在 舍去右邊第二項得到舍去右邊第二項得到 （1.61.6）即即的絕對誤差的絕對誤差 由（由（1.61.6）可以得到）可以得到附近按泰勒展式展開得到附近按泰勒展式展開得到 （1.51.5）對（對（1.51.5）兩邊取絕對值得）兩邊取絕對值得 2)(! 2)()()()( xxfxxx

12、fxfxf)(xxxf)()(xxf)(xf)()()(xxfxf)(xf)()()()(xxfxfxfr故故的相對誤差限的相對誤差限的誤差限的誤差限 而而 （1.91.9） 例例1-61-6 在計算球的體積時，為了使相對誤差限為在計算球的體積時，為了使相對誤差限為1%1%，問測，問測量半徑量半徑r r時允許的相對誤差限為多少？時允許的相對誤差限為多少？從而有從而有 334)(rrfvvvrr)()()()(rrfrfvr%1)(3rr3001)(rr解解計算球的體積公式為計算球的體積公式為 設體積設體積的近似值為的近似值為，半徑，半徑的近似值為的近似值為，則由，則由 （1.91.9）得到相對

13、誤差限估計式為）得到相對誤差限估計式為 這說明，測量半徑這說明，測量半徑r r時允許的相對誤差限為時允許的相對誤差限為1/3001/300。),( yxfxx *),(),(*yxfyxfyy*)()()(yexeyxe)()()(yexxeyyxe)()()(1)(2yeyxxeyyxe)0(y)()()(yxyx)()()(yxxyyx2)()()()(yyxxyyx)0(y)()()(yeyxyxeyxxyxerrr)()()(yeyxyxeyxxyxerrr)()()(yexeyxerrr)()()(yexeyxerrr) 0(yyxyxyxrrr)()()()()()(yxyxrrr

14、)()()(yxyxrrr)0(y例例1-71-7 假定某長方形運動場的長為假定某長方形運動場的長為x x，寬為，寬為y y，并實地測得，并實地測得其長其長x x* *=100.30=100.30米，寬米，寬y y* *=80.50=80.50米，若米，若x x* *和和y y* *的誤差限的誤差限都是都是0.0050.005米，試求其面積米，試求其面積s s的近似值的近似值s s* *的誤差限和相對誤的誤差限和相對誤差限。差限。由兩個數(shù)的積的相對誤差限估計式得由兩個數(shù)的積的相對誤差限估計式得 ,xys ,005. 0米xx米005. 0yy)()()()(yxxyyxs9040. 0005.

15、 050.80005. 030.100)()()()(yxyxsrrrr00011. 050.80005. 030.100005. 0解解據(jù)題意，據(jù)題意，由兩個數(shù)的積的誤差限估計式得由兩個數(shù)的積的誤差限估計式得 避免兩個相近的數(shù)相減避免兩個相近的數(shù)相減 當遇到兩個相近的數(shù)相減時，參與運算的數(shù)應當多保留當遇到兩個相近的數(shù)相減時，參與運算的數(shù)應當多保留幾位有效數(shù)字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生幾位有效數(shù)字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生 。yxyxyxrrr)()()(*yx 由由1.41.4節(jié)可知節(jié)可知可以看到，如果兩個相近的數(shù)相減，則可以看到，如果兩個相近的數(shù)相減，則而相對誤差限就會

16、比較大，故有效數(shù)字位會大大減少。而相對誤差限就會比較大，故有效數(shù)字位會大大減少。較小，較小，例例1-81-8 給定給定xxfcos1)()2(f若使用計算機計算有若使用計算機計算有9994.02cos0006. 02cos1)2(f2sin2cos1)(2xxxf01745. 01sin0006090. 01sin2)2(2f000609173. 02cos1)2(f，應如何變換公式使有效數(shù)字位增加？，應如何變換公式使有效數(shù)字位增加？，若使用計算器取四位有效數(shù)字計算，若使用計算器取四位有效數(shù)字計算解解使用計算器計算取四位有效數(shù)字得使用計算器計算取四位有效數(shù)字得從而得到從而得到但由于但由于 而使

17、用計算器取四位有效數(shù)字得而使用計算器取四位有效數(shù)字得所以有所以有 這說明變換公式后能使有效數(shù)字位由這說明變換公式后能使有效數(shù)字位由1 1位增加到位增加到3 3位。位。 要防止小數(shù)被大數(shù)要防止小數(shù)被大數(shù)“吃掉吃掉”而使有效數(shù)字位損而使有效數(shù)字位損失失例例1-91-9 求一元二次方程求一元二次方程 在數(shù)值運算中，如果兩個參與運算的數(shù)相差太大，則在數(shù)值運算中，如果兩個參與運算的數(shù)相差太大，則小數(shù)有可能被大數(shù)小數(shù)有可能被大數(shù)“吃掉吃掉”而使有效數(shù)字位損失，從而影而使有效數(shù)字位損失，從而影響計算結果的可靠性。響計算結果的可靠性。的根。的根。02cbxax遠遠大于aacbbx2421aacbbx2422a

18、c42bbacb 42解解求一元二次方程的根可以使用公式求一元二次方程的根可以使用公式有效數(shù)字位，使計算結果出現(xiàn)錯誤。有效數(shù)字位，使計算結果出現(xiàn)錯誤。按新的求根公式計算得到方程兩個準確根為按新的求根公式計算得到方程兩個準確根為010) 110(882xx8110 x02xaacbbsignbx24)(2112axcx 8110 x12x 例如，在只有例如，在只有7 7位有效數(shù)字的計算機系統(tǒng)上使用求根公位有效數(shù)字的計算機系統(tǒng)上使用求根公式解方程式解方程得到的兩個根為得到的兩個根為要避免這種錯誤的發(fā)生，可以修改求根公式為要避免這種錯誤的發(fā)生，可以修改求根公式為 ， 要注意減少運算的次數(shù)要注意減少運

19、算的次數(shù) 對于一個計算問題，如果能減少運算次數(shù)的話，我們對于一個計算問題，如果能減少運算次數(shù)的話，我們不僅能減少計算時間，提高運行的速度，而且還可以減少不僅能減少計算時間，提高運行的速度，而且還可以減少誤差的積累。誤差的積累。如果把原式子改寫為如果把原式子改寫為解解按公式直接計算每一項后，再把每一項求和，就要進按公式直接計算每一項后，再把每一項求和，就要進行行則計算則計算n n次多項式的算法可以是次多項式的算法可以是 0111)(axaxaxaxpnnnnn按秦九韶算法計算按秦九韶算法計算n n次多項式的值，只需要次多項式的值，只需要n n次乘法和次乘法和n n次加法。次加法。 2) 1(12

20、) 1(nnnn0121)()(aaaaxaxxxxpnnnnnnam ) 0 , 1 , 2, 1(1nnkaxmmkkk0)(mxpn的值。的值。例例1-101-10 計算計算n n次多項式次多項式 次乘法和次乘法和n n次加法。次加法。 避免做除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法避免做除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值的除法 用絕對值較小的數(shù)去除絕對值較大的數(shù)，得到的數(shù)一用絕對值較小的數(shù)去除絕對值較大的數(shù)，得到的數(shù)一定會較大，有可能會產(chǎn)生溢出的錯誤。如果不溢出，也有定會較大，有可能會產(chǎn)生溢出的錯誤。如果不溢出，也有可能使舍入誤差嚴重增大，導致最后結果不可靠?？赡苁股崛胝`差嚴重增大，導致最后結

21、果不可靠。從而解得從而解得解解容易驗證，方程組的解為容易驗證，方程組的解為:在運算過程中，在運算過程中，例例1-111-11 求解方程組求解方程組把第一個方程乘上把第一個方程乘上1/0.00031/0.0003加到第二個方程得加到第二個方程得 按四舍五入原則取小數(shù)點后四位進行運算。按四舍五入原則取小數(shù)點后四位進行運算。10001. 230003. 02121xxxx311x322x666699992x6667. 06666. 02x01x把把x2代入第一個方程求得代入第一個方程求得要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計算公式要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計算公式 定義定義1-61-6 一種數(shù)值方法，若原始數(shù)據(jù)有誤差，而在計算的過程一種