電子線路課件：第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、1關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征2問(wèn)題的提出：在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。例： 在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度； 考察武漢市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既需要知道家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度；1 數(shù)學(xué)期望 例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績(jī) 如下： 評(píng)定他們的成績(jī)好壞。甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910 解： 計(jì)算甲的平均成績(jī)： 計(jì)算乙的平均成績(jī)：

2、 所以甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)。用概率加權(quán)的計(jì)算平均值，就得到了數(shù)學(xué)期望，也稱均值。4定義：定義：5 例2：有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望。 解：是指數(shù)分布的密度函數(shù)問(wèn)題：將2個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計(jì)算？只要求出一般指數(shù)分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).6 例3：設(shè)有10個(gè)同種電子元件，其中2個(gè)廢品。裝配儀器 時(shí)，從這10個(gè)中任取1個(gè)，若是廢品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：7 例4：設(shè)一臺(tái)機(jī)器一天內(nèi)

3、發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停工。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障獲利5萬(wàn)元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則8 例5：9例6：10 11 12 例7：已知某零件的橫截面是個(gè)圓，對(duì)橫截面的直徑X進(jìn) 行測(cè)量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學(xué)期望。13 例8：14 例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為： X=115 16數(shù)學(xué)期望的特性： 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況17證明：下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：1

4、8 例11：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)出發(fā)，旅客有10 個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 (設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立)本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機(jī)變量：19 例12：2 方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)平均壽命為1000小時(shí)； 另一批燈泡壽命為： 一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)平均壽命為1000小時(shí)；問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？ 單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法

5、判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。方差正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。21定義：22對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式：23 例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望24 例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：25 例3： 解： 26 例4：解：X的概率密度為：27 例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：即對(duì)指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)28方差的性質(zhì)： 29證明：30 例6：Xkpk011-pp 例7： 解：33例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì)) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一

6、只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。34表1 幾種常見(jiàn)分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望 方差 分布率或 密度函數(shù) 分布01分布 p p(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布353 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。 定義： 36協(xié)方差的性質(zhì)：思考題：37 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：3839 例1：設(shè)X,Y 服從同一分布，其分布律為： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(X = |Y| )=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否 不獨(dú)立？ 4041 續(xù)42續(xù)4344 例3：設(shè)X,Y相互獨(dú)立服從同一分布，記U=X-Y,V=X+Y