微分幾何_2.6____曲面上的測地線

1、 第六節(jié) 曲面上的測地線 平面上的直線平面上的直線（1）任一點的切向量平行；（2）曲率為0； （3）直線段是連接點與點之間的最短線段。 曲面上的測地線相當于平面上的直線。曲面上的測地線相當于平面上的直線。6.1 曲面上曲線的測地曲率 一、測地曲率測地曲率的定義 給定曲面S： （c）是曲面上的一曲線： 在曲線上一點 P 有： 令 ，則 是兩兩正交的單位向量且成右手系， 都在 P 點的法面上。),(21uurr)(suunnnrcos n, n, n 定義：曲線（c）在 P 點的曲率向量 上的投影（即在S上P點的切平面上的投影）稱為曲線在 P 點的測地曲率測地曲率。 在kr krkg二、性質(zhì) 命題

2、1： 222ngkkk 證明：sin)90cos()(),(),()(0kkknknknknknkkkgg2222222sincoskkkkkgn于是, n注意： 都在 P 點的法面上。 測地曲率的幾何意義測地曲率的幾何意義：曲面 S上的曲線（C），它在 P 點的測地曲率絕對值等于（C）在P點的切平面上的正投影曲線 的曲率。)(*c 證明：過（C）的每一點作曲面S在P點的切平面的垂線，于是得到一柱面，這個柱面和S在P點的交線是 ，（C）和 都是柱面上的曲線。在這個柱面上用梅尼埃定理。)(*c)(*c 取 為柱面上P點的法向量，由于柱面垂直于切平面，所以柱面上任一點的法向量平行于切平面，又P在切

3、平面上，所以柱面在P的法向量 應在切平面上，而（C）點的切向量 也在切平面上，所以柱面在P的法截面就是切向量 與法向量 所確定的平面，.cosgnkkk 法截面與柱面的交線就是法截線 ，因此柱面在 方向的法曲率 由于 ，其中k為（C）在P點的曲率， 為（C）的主法向量和柱面在P點的法向量 之間的角，即)(*c),)(,*點的曲率在為Pckkkkknncoskn)(*c)(c 推論：曲面上的直線的測地曲率為0。 這是因為曲面上的直線在任一點的切平面上的投影還是直線，所以曲率為0。 習題3。 三、測地曲率的計算公式),(),(),(nrrnknkkg iiiiiivurdsdudsdurdsdur

4、dsdurdsdvrdsdurr2211ndsdudsduLrdsdudsdudsudrdsudrdsdudsdurdsudrdsdudsdurjijiijkkkijjjiikkkkijjjiiiiiiijjji ,2222,22)(kijkkijijnLrr)(),)( ,(),)( ,(),)(,(1,1212222,222211,22nrdsdudsdudsudrdsdunrdsdudsdudsudrdsdunndsdudsduLrdsdudsdudsudrdsdukjijiijjijiijjijiijkkkijjjiikiiig),)(),)( ,(221,12122,222211nr

5、dsdurdsdudsdudsudnrdsdudsdudsudrdsdukjijiijjijiijg),)()(21,12122,22221nrrdsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdukjijiijjijiijg)()(,12122,22221dsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdugkjijiijjijiijggFEGgrrrrggrrrrnrr)(1)(1)(),(22212221212121 特別地，當曲面上的坐標網(wǎng)為正交網(wǎng)時，F(xiàn)=0，代入上式并整理得)(2)()(2)(2)()(23222322222dsdvEGdsdvdsduEEds

6、dvdsduEEdsdvdsduGGdsdvdsduGGdsduGEdsuddsdvdsvddsdugkuvuvuvg)()(,12122,22221dsdudsdudsuddsdudsdudsdudsuddsdugkjijiijjijiijg 這就是測地曲率的一般計算公式。 下面給出一個簡單一點的形式。設曲線的切方向與u-線所成的角為 ，則dsdvrdsdurGrErdsrdvuvusincos,sin1,cos1GdsdvEdsdudsdvEEEdsduEEEdsdEdsdvEEdsduEEdsdEdsdvdvEddsduduEddsddEddsudvuvu2cos2cossin)21(c

7、os)21(cossin)cos()cos()cos(232322EGEEEEdsdEdsudvu2cossin2cossin2222同理22222sin2cossincosGGEGGGdsdGdsvdvu代入前面的 kg 的計算公式可得,sinln21cosln21sin2cos2uGEvEGdsdEGGGEEdsdkuvg 這個公式稱為劉維爾劉維爾(liouville)公式公式。也可寫為,sincosvugggkkdsdk其中 分別為 u 線和 v 線的測地曲率。事實上，對于u線和 v 線來說，分別有 ，代入測地曲率的計算公式有vuggkk,0900和.ln21uGEkvg,ln21vEG

8、kug6、2 曲面上的測地線測地線 一、定義：曲面上的一條曲線，如果它的每一點處的測地曲率 為 0，則稱為測地線。二、性質(zhì)1）如果曲面上有直線，則必為測地線。 2）命題3：曲面上非直線的曲線是測地線的充要條件是，除 了曲率為 0 的點外，曲線的主法線重合于曲面的法線。 證明：設曲線（c）為測地線（不是直線），則 但 即 ，所以主法線重合于法線。 反之，若主法線重合于法線，則 ，得 所以曲線是測地線。 , 0, 0gkk或0),(,sinnkkgnn或0)0(, 00sinkkkg 推論：如果兩曲面沿一曲線相切，并且此曲線是其中一個曲面的測地線，則它也是另一個曲面的測地線。證明：因為這兩個曲面沿

9、曲線相切，所以曲面沿曲線的法線 重合，又此曲線的主法線只有一條，所以此曲線的主法 線同時與兩個曲面沿此曲線的法線重合，由命題知推論成立。例：球面上的大園一定是測地線，因為大園的主法線 重合于 法線。三、測地線的方程測地線的方程 設（C）為測地線，則它的主法線重合于法線，即但, n00, 0,)2 , 1(,lllllrrrkrrirn 0)(,22ljijiijlkkkijjjiiklrndsdudsduLrrdsdudsdudsudrr 0)(,22kkijjjiikkldsdudsdudsudg 又 g = det(gkl) 不為0，于是得到測地線方程為2 , 1,0,22kdsdudsd

10、udsudjijikijk 特別地，當坐標曲線正交時，由劉維爾公式也得到曲面上測地線的微分方程為, 0sinln21cosln21uGEvEGdsd,sin1,cos1GdsdvEdsdu 若給出了初始條件： 則有唯一解000000)(,)(,)(svsvusu).(),(),(ssvvsuu例題1，2。四、定理：過曲面上任一點，給定曲面上一個切方向，則存在唯一一條測地線切于此方向。證明：設測地線方程為2 , 1,0,22kdsdudsdudsudjijikijk 滿足上述方程的曲線都是測地線，給出了初始條件：s=s0 ，即一個點 和一個切方向由常微分方程理論，方程組有唯一解，即存在唯一一條測

11、地線 （C）：過已知點并切于定方向。)(),(0201susu)( ,)(00dsdudsdukk2 , 1,)(ksuukk6.3 曲面上的半測地坐網(wǎng)一、定義：曲面上的一個坐標網(wǎng)，其中一族是測地線，另一族是 這族測地線的正交軌線，則這個坐標網(wǎng)稱為半測地坐標網(wǎng)。 極坐標網(wǎng)是它的特例。二、命題4：給出曲面上的一條曲線，則總存在一個半測地坐標 網(wǎng)，它的非測地坐標曲線族中包含給定的一條曲線。證明：由定理1，過曲面上給定的曲線（C）上的每一點，沿著（C），在切平面上對應于垂直于（C）的方向，存在唯一條測地線 ，然后再作這一族曲面的正交軌線，則這族測地線和它的正交軌線組成了曲面上的一個半測地坐標網(wǎng)，并且

12、 的正交軌線族中包含了（C）。)(*c)(*c三、在前一節(jié)習題6（5）中提到，對于曲面上的半測地坐標網(wǎng)， 有 ，我們現(xiàn)在證明這個結(jié)論。222Gdvduds首先，由于半測地坐標網(wǎng)是正交的，所以 F=0 ，222GdvEduds0,2222dsdudsdudsudjijiij0,2dsdudsdujijiij半測地坐標網(wǎng)中有一簇坐標曲線是測地線，不妨設為 u 線，dv =0,即 ， 它滿足測地線微分方程常數(shù)2u, 02dsdu011211dsdudsdu但, 01dsdu0211由P165，當坐標曲線正交時，即 E 與 v 無關，只與 u 有關，可設, 02211vvEGE, 0)(uE在曲面上引

13、進新參數(shù) 從而第一基本形式變?yōu)?)(,duuudu使得.),(2222dvvuGudGdvEduds6.4 曲面上測地線的短程曲面上測地線的短程性 定理2：若給出曲面上充分小的鄰域內(nèi)的兩點 P 、Q 則過這兩點 在小鄰域內(nèi)的測地線是連結(jié)這兩點的曲面上的曲線中弧長最短的曲線。 證明：設（C）是曲面上連結(jié) P，Q 的一條測地線，在曲面上選 取半測地坐標網(wǎng)，使曲面上包含（C）在內(nèi)的一測地線族為u-線， 它的正交軌線為v-線，于是曲面的第一基本形式為 不妨設曲線（C）的方程為 v=0 ，P和Q的坐標分別為(u1,0).(u2,0)(u1u2) ，于是沿測地線（C）由P到Q的弧長為又在這個小鄰域內(nèi)連結(jié)P

14、和Q的任意曲線 的方程為 v = v(u) ，于是沿 ，從 P到Q的弧長為 222Gdvduds,)(12)(uuPQsc)(c)(c duGGdvdudsGdvdudsdudv22222212121.1122)(uuuucuududuvGs 只有當 時，上式等號才成立，但此時 v 為常數(shù)，即為u-線，而且是過P，Q 的u-線，即（C），表示此時 重合，所以（C）是連結(jié) P，Q的最短線。0 v)(c（C） 由這個定理，我們又稱測地線為短程線。注意：定理若不是限制在一個小鄰域內(nèi)則不一定成立。定理若不是限制在一個小鄰域內(nèi)則不一定成立。如球面上的大園是測地線，所以球面上不是直徑兩端的兩點，連結(jié)它們的

15、大園弧有兩段，顯然長的不是連結(jié)它們兩點的最短線，而短的是。6.5 高斯高斯-崩涅崩涅 (Gauss-Bonnet)公式公式 在平面上，三角形的內(nèi)角和等于180度，但在曲面上的情形可能不大一樣，如圖：這一節(jié)就是把平面上的結(jié)果推廣到曲面上去。 在曲面S上給出了一個由k條光滑曲線段所圍成的曲線多邊形，它圍成了一個單連通的曲面域G。多邊形的邊緣記為 。G 設曲面的高斯曲率和測地曲第分別為 K,kg ，曲面的面積元素和弧長元素為 ，則的下面的高斯-崩涅公式成立。dsd ,2)(1kiiGgGdskKd其中 是 的第 i 個內(nèi)角的角度， 是外角的角度。iiG 引理：若在曲面上引進半測地坐標網(wǎng)，有 則222

16、GdvdudsdvGdudvGddskug)arctan(證明：由于坐標網(wǎng)正交，F(xiàn)=0，由劉維爾公式,sinln21cosln21uGEvEGdsdkg,sin121dsGGddskugdudvGdvGdsGdsdvdudsEdsdutan,sinsin1coscoscos1又。，dudvG代入即得結(jié)論 arctan定理證明： 在曲面上引進半測地坐網(wǎng)并由引理得dvGdudvGddskug)arctan(兩邊沿邊緣積分(*)arctan()(GGuGgdudvGddvGdsk對第二個積分用格林公式dudvvPuQdvvuQduvuPGG),(),(令GGuuuududvGdvGGQP)()(,)

17、(, 0又面積元素并由第五節(jié)習題6（5）（P144）知dudvGdudvFEGd2GKGGGKuuuu)(因此第二個積分為GGGuuuKddudvGdvG)()( 對于（*）式中的第三個積分，可設 的切向量 和u-線所成的角為 ，且由于 ，所以為單位向量， G1uurrE dudvGdsdvGdsdvGdsduGdvdudsdsdudsFdvEdudsdvrdurrdsdrrrdsduvuuuutan1cos1sin1cos2222222 其中正負號的產(chǎn)生是由沿邊界積分時有兩種不同的方向，如果我們采用逆時針方向時，可只取正號，即dudvGdudvGarctantan 這時第三個積分變?yōu)椋?）式

18、變?yōu)镚GddudvGd)arctan(GGGgddKdsk 當 繞轉(zhuǎn)一周后， 的增量是 ，即邊界曲線的切向量轉(zhuǎn)過了 ，它等于 （即分段曲線所轉(zhuǎn)過的角之和）加上所有外角。即G22Gd2)()()(21kGdkiiGd1)(2于是（*）式變成了2)(1kiiGGgdKdsk2dKdskGGg 推論1：如果 為一條光滑的曲線，則外角為0，有G,)()(32)()()(2321321SKdG其中 表示三角形的內(nèi)角和。321)(S故當0)(00000SKdKG 特別地，當曲面為平面，K=0 ，多邊形的邊界為直線（平面上的測地線）所組成時，得到平面上的多邊形的外角和公式為kii12)(推論2：如果 是一個

19、測地三角形，即三條邊由三條測地線組成 的三角形，則有G 對于平面上的三角形有即三角形內(nèi)角和為,2)()()(321.)(321S6.6 曲面上向量的平行移動 在前面我們看到曲面上的測地線相當于平面上的直線，這里簡單對比一下： 平面直線1）曲率為0；2）兩點間最短距離是直線段；3）給定一個方向和一點決定一條直線； 曲面上的測地線1）測地曲率為0；2）兩點間（小范圍）最短距離是測地線； 3）給定一個方向和一點決定一條測地線； 但直線還有一個性質(zhì)就是直線上任一點處的切向量都是平行的，這個性質(zhì)是否也可以推廣到測地線上去呢？另一個問題是，歐氏空間中的平移具有兩條基本的性質(zhì)：保持線性關系和保持內(nèi)積，我們希

20、望曲面上的平移至少保持兩個性質(zhì)。這一節(jié)就討論這個問題。一、曲面上的向量及平行移動曲面上的向量及平行移動1 、曲面上的向量：曲面上給定點處切于該曲面的向量，也就 是給定點的切平面上的向量。2 、絕對微分及勒維-基維塔平移 設曲面上一曲線（C）：沿它上面的點M，給出一向量它在點 M 處切于曲面，且沿此曲線給出一向量場。2 , 1,)(ituuii)(ta微分 ，從點 M 引 ，一般來說，這個向量不在點 M 的切平面上，因此它不再是曲面在M點的切向量，現(xiàn)在分解它為切平面和沿曲面的法向量 方向上的兩個分量。adadan當 從M 點按通常意義下的移動到鄰近點 時，得一增量，其主要部分等到于)(taMad

21、aadaaMMn)(c 沿法線方向的分量為 ，則 為 在 方向上的射影，且為單位向量，所以它就是它們的內(nèi)積，nnadannadnnadnannadann)()(adanadnadat)()(nadnadaadat)()(即設切線分量為tada)(aM 這實際上就是 到點 M 的切平面上的投影向量。 我們稱點 M 處的向量 和向量 的差為向量 從點 M 沿曲線（C）移動到 的絕對微分，記為 ，即：adatada)(aaDnadnadaadaaDt)()(adaadaaMMn)(caD 當向量從點 M 沿曲線移動到 時， 等到于把它的通常微分 投影到點M 處的切平面上的部分，因此還是曲面上的向量。

22、MaDad 當 時，表示向量 從點 M 沿（C）的方向移動到點 時，微分 沿法線 的方向，換言之，把向量投影到點M 的切平面時，我們得到向量 ，這時稱向量是向量 從 M 點沿（C）的方向到鄰近點 經(jīng)過平行移動而得到的向量。0aDaMadaadnaadaaM 這樣定義的平移概念與所取的曲線 有關，因此與 稱為沿曲線在勒維基維塔意義下的平行向量，即稱向量 與 沿曲線 是勒維基維塔平行移動。)(tuuii)(tuuiiadaadaaa 特別地，在平面上向量的勒維基維塔平行移動和通常意義下的平移一致，這是由于在平面上 ，所以勒維基維塔平行移動是平面上通常平移在曲面上的推廣。adaD3、絕對微分及平行移

23、動的分析表達式 沿曲線（C）上的每個點，由于 為切向量，在這個切平面上，以 為基向量建立坐標系，并設 的坐標為a21,rr)(),(21tata)(taiirtartartata)()()()(2211)()()()(22212122221211111122221111durdurardadurdurardardardardardaadnrduadarduadanduaduaduaduadarduaduaduaduadarndurdurardadurdurardaadkkkkkkkkkkkk(*)()(*)()(*)()(2,221,112222212221211211211222212212

24、1212111211111112221212222121111112kijkkijijnLrr,nadnadaadaaDt)()(由于從式中可看出，只要在上面的式子中去掉法線分量就得到 ，如果它的坐標用 來表示，則aD21,DaDa2211rDarDaaD 這就是絕對微分的表達式。,22,11duadaduada,222,111duadaDaduadaDa 特別地，若向量 作平行移動，則 ，即從而得到向量 由點 M 沿方向 作平行移動到鄰近一點 的分析表達式：aa0aD021 DaDa),(21duduM即在平移下， 的坐標微分 可用坐標微分 來表達。a21,dudu21,dada4、絕對微分的運算性質(zhì) 設 是沿曲線（C）的向量場，f 是定義在（C）上的數(shù)量函數(shù)，則有ba,bDabaDbadbfDadfafDbDaDbaD)()3()()2()() 1 (證明：（1）（2）直接驗證。)()()()(,dubdbrrarbduadardubdbrabduada