微積分一例題整理

1、例例.1的反函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xey12 yex解解五、反五、反 函函 數(shù)數(shù)),1(11 ，即原函數(shù)的值域為，即原函數(shù)的值域為xey)yln(x12),1()1ln(12 fDxy反反函函數(shù)數(shù)為為第一章21、互為反函數(shù)、互為反函數(shù)2、定義域與值域互換定義域與值域互換3、圖象關(guān)于直線圖象關(guān)于直線y = x對稱對稱. .4、直接函數(shù)與反函數(shù)有相同的增減性直接函數(shù)與反函數(shù)有相同的增減性5、一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是自變量與因變一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是自變量與因變量是一一對應的量是一一對應的. . 注：直接函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系：注：直接函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系：(嚴格單調(diào)函數(shù)必存

2、在反函數(shù)嚴格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù))五、反五、反 函函 數(shù)數(shù)3解：解： 的定義域為的定義域為 Df (0, )，且且 Df F F，.)(,sin1)(,lg)(2是是不不是是復復合合函函數(shù)數(shù)問問設(shè)設(shè)xgfyxxguuufy 例：例：因為因為 的值域為的值域為 1, 2，)(xgu )(ufy 所以所以 是復合函數(shù)。是復合函數(shù)。)sin1lg()(2xxgfy 第四第四節(jié)節(jié) 復合函數(shù)與初等函數(shù)復合函數(shù)與初等函數(shù)4第三節(jié)第三節(jié) 復合函數(shù)復合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)(1) 常函數(shù)常函數(shù) y = c （c為常數(shù)為常數(shù)）(3) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) (4) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) (

3、5) 三角函數(shù)三角函數(shù) (6) 反三角函數(shù)反三角函數(shù) (2) 冪函數(shù)冪函數(shù) xycos1 xysin1 xxeyaaay ),1, 0(xyaaayxln),1, 0(log ,tan,cos,sinxyxyxy ,csc,sec,cotxyxyxy ,arctan,arccos,arcsinxyxyxy )( ,為為常常數(shù)數(shù) xy 5 由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復合且只能用一個式子表示的函數(shù)，有限次復合且只能用一個式子表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù). .三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)3、即有四則運算又有復合、即有四則運算又有復合. 例例：y=x

4、+sin x2定義定義：注：注： 初等函數(shù)一般有三種構(gòu)成形式：初等函數(shù)一般有三種構(gòu)成形式：1、只有四則運算、只有四則運算;例例：y=x+sinx2、只有復合、只有復合;例例：y=sin x26例例 下列函數(shù)中，哪些是基本初等函數(shù)？哪些下列函數(shù)中，哪些是基本初等函數(shù)？哪些是初等函數(shù)？是初等函數(shù)？ yx1，yex，ysin ax，y2x2，ysin2x，y|x|。 解： 不是初等函數(shù)，不是初等函數(shù)，1 1、分段函數(shù)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)一般不是初等函數(shù), ,但是但是, ,由于分段函由于分段函數(shù)在其定義域的子區(qū)間內(nèi)都是初等函數(shù)數(shù)在其定義域的子區(qū)間內(nèi)都是初等函數(shù), , 所以仍所以仍可通過初等函數(shù)來研

5、究它們可通過初等函數(shù)來研究它們. .是基本初等函數(shù)。是基本初等函數(shù)。xy1 2、冪指函數(shù)冪指函數(shù))0()()( xfxfyxg其其中中是初等函數(shù)是初等函數(shù).因為因為)0()()(ln)()( xfexfyxfxgxg其其中中xy 解：解：其它都是初等函數(shù)。其它都是初等函數(shù)。第三節(jié) 復合函數(shù)與初等函數(shù)類型類型需求函數(shù)需求函數(shù)供給函數(shù)供給函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)常用的需求函數(shù)與供給函數(shù)模型常用的需求函數(shù)與供給函數(shù)模型 bpaQ )0,( babpaeQ )0,( babapQ )0,( babapS )0,( babpaeS )0,( babapS )0,( ba二、幾種常

6、用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型 某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源投入的價格或費用總額。經(jīng)濟資源投入的價格或費用總額。平均成本函數(shù)：平均成本函數(shù)： 2 2、成本函數(shù)、成本函數(shù)總成本函數(shù)：總成本函數(shù)： 設(shè)設(shè)C C為總成本，為總成本，總成本由固定成本與可變成本組成。總成本由固定成本與可變成本組成。 為為可可變變成成本本，為為固固定定成成本本，21CC則則)()(21qCCqCC qqCCqqCC)()(21 為為產(chǎn)產(chǎn)量量，q二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型3 3、收益函數(shù)與利潤函數(shù)、收益函數(shù)與利潤函數(shù)

7、 平均收益函數(shù)平均收益函數(shù): :總收益是出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入。總收益是出售一定數(shù)量的產(chǎn)品所得到的全部收入?？偫麧櫴巧a(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收益與總成本之差?？偫麧櫴巧a(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收益與總成本之差?？偸找婧瘮?shù)：總收益函數(shù)：總利潤函數(shù)：總利潤函數(shù)：)()(qPqqRR qqLL)( 平均利潤函數(shù)平均利潤函數(shù): :qqLL)( 設(shè)設(shè)p為商品價格為商品價格 ， R為總收益，為總收益，C(Q)為總成本，為總成本，則有則有為為產(chǎn)產(chǎn)量量，q)()(qqPqRR )()()(qCqRqLL 二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型 例例 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，年產(chǎn)量為某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)

8、品，年產(chǎn)量為q臺，每臺售價為臺，每臺售價為250250元，當年產(chǎn)量在元，當年產(chǎn)量在600600臺以內(nèi)時，可以全部售出經(jīng)臺以內(nèi)時，可以全部售出經(jīng)廣告宣傳后又可再多售出廣告宣傳后又可再多售出200200臺，每臺平均廣告費臺，每臺平均廣告費2020元，若再生產(chǎn)，本年就銷不出去了試建立本年的銷元，若再生產(chǎn)，本年就銷不出去了試建立本年的銷售總收入售總收入R與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量q 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系當當 時時 6000 qqqR250)( 當當 時時 800600 q)600)(20250(600250)( qqR當當 時時 800 q)(qR解解600250 200230 196000 12002

9、30 q二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型所以，銷售總收入所以，銷售總收入R與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量q 之間的函數(shù)關(guān)系為之間的函數(shù)關(guān)系為 800196000800600120002306000250)(qqqqqqR二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型4 4、無盈虧分析、無盈虧分析產(chǎn)產(chǎn)量量的的單單調(diào)調(diào)增增加加總總是是生生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品品的的總總成成本本qqCC)( 函數(shù)，函數(shù)，但是，由于產(chǎn)品的需求量受到產(chǎn)品的價格及社會但是，由于產(chǎn)品的需求量受到產(chǎn)品的價格及社會諸多因素的影響，諸多因素的影響，使得產(chǎn)品的總收益使得產(chǎn)品的總收益 有時增長有時增長)(qRR 顯著，顯著， 有時增

10、長緩慢，有時增長緩慢，也可能達到某個定點，也可能達到某個定點，繼續(xù)銷售，繼續(xù)銷售，收入反而下降，收入反而下降，因此，因此， 利潤利潤 會出現(xiàn)三種情況：會出現(xiàn)三種情況：)(qLL , 0)()()()1( qCqRqL有盈余生產(chǎn)，有盈余生產(chǎn)， 即生產(chǎn)處于即生產(chǎn)處于有利潤狀態(tài)；有利潤狀態(tài)；, 0)()()()2( qCqRqL虧損生產(chǎn)，虧損生產(chǎn)， 即生產(chǎn)處于即生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)，利潤為負；虧損狀態(tài)，利潤為負；, 0)()()()3( qCqRqL無盈余生產(chǎn)，無盈余生產(chǎn)， 無盈余生產(chǎn)無盈余生產(chǎn).0稱為無盈虧點稱為無盈虧點時的產(chǎn)量時的產(chǎn)量q 無盈虧分析常應用于企業(yè)的經(jīng)營管理和經(jīng)濟分析中無盈虧分析常應用于

11、企業(yè)的經(jīng)營管理和經(jīng)濟分析中產(chǎn)品定價和生產(chǎn)決策中。產(chǎn)品定價和生產(chǎn)決策中。設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 件時的總成本為件時的總成本為q例例).(2100)(2萬元萬元qqqC （1 1）若每售出一件該商品的收入是）若每售出一件該商品的收入是5050萬元，求生產(chǎn)萬元，求生產(chǎn)3030件時的總利潤和平均利潤；件時的總利潤和平均利潤； （2 2）若每年至少銷售）若每年至少銷售2020件產(chǎn)品，為了不虧本，單價應件產(chǎn)品，為了不虧本，單價應定為多少？定為多少？解：解： （1 1）由于該商品的單價）由于該商品的單價P=50P=50（萬元），（萬元），故售出故售出q件該商品時的總收益函數(shù)為件該商品時的總收益函數(shù)為P

12、qqR )(.50q 二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型因此，總利潤函數(shù)為因此，總利潤函數(shù)為)()()(qCqRqL )2100(502qqq .481002qq ,30時時當當 q總利潤和平均利潤分別為總利潤和平均利潤分別為302)48100()30( qqqL),(440 萬元萬元 )30(L30)30(L （2 2）設(shè)單價定為）設(shè)單價定為P P（萬元），（萬元）， 銷售銷售2020件產(chǎn)品的收入為件產(chǎn)品的收入為R=20PR=20P（萬元），（萬元）， 這時的成本為這時的成本為202)2100()20( qqqC利潤為利潤為)20()20()20(CRL 為了使生產(chǎn)經(jīng)營不虧

13、本，為了使生產(chǎn)經(jīng)營不虧本， 必須使必須使, 054020 PL),(27 萬萬元元故故得得 P即銷售單價不低于即銷售單價不低于2727萬元時才能不虧本。萬元時才能不虧本。30440 ).(67.14萬元萬元 ),(540 萬元萬元 .54020 P5 5、庫存函數(shù)、庫存函數(shù) 設(shè)某企業(yè)在計劃期設(shè)某企業(yè)在計劃期 T 內(nèi)，對某種物品總需求內(nèi)，對某種物品總需求量為量為 Q ，.2q第五節(jié)第五節(jié) 經(jīng)濟學中的常用函數(shù)經(jīng)濟學中的常用函數(shù)則平均庫存為則平均庫存為以勻速消耗貯存物品，以勻速消耗貯存物品，每次進貨量相同，進貨間隔時間不變，每次進貨量相同，進貨間隔時間不變，,2C費用為費用為 1C每件物品的貯存單位

14、時間費用為每件物品的貯存單位時間費用為 ，每次進貨，每次進貨，假定假定nQq .nTt 每次進貨批量為每次進貨批量為 ，進貨周期為，進貨周期為 一次進貨是不劃算的，考慮均勻的分一次進貨是不劃算的，考慮均勻的分 n 次進貨，次進貨， 由于庫存費用及資金占用等因素，顯然由于庫存費用及資金占用等因素，顯然在時間在時間 T 內(nèi)的總費用內(nèi)的總費用 E 為為qQCTqCE2121 .2121為進貨費用為進貨費用為貯存費，為貯存費，其中其中qQCTqC第五節(jié)第五節(jié) 經(jīng)濟學中的常用函數(shù)經(jīng)濟學中的常用函數(shù)解解,噸噸設(shè)設(shè)進進貨貨批批量量為為 x).(xp和和為為進進貨貨費費用用與與庫庫存存費費用用之之,xaa，故

15、故每每年年進進貨貨批批數(shù)數(shù)為為因因年年進進貨貨量量為為,xab 則則進進貨貨費費用用為為第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)關(guān)系的建立例例勻勻的的，即即因因為為使使用用這這種種原原料料是是均均,2x平平均均庫庫存存為為.2xc 故故每每年年的的庫庫存存費費為為,2)(xcxabxp .,0(a定定義義域域為為第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)關(guān)系的建立函數(shù)關(guān)系的建立步驟：步驟：)(| )1(naxn 放大并化簡放大并化簡,| , 0)2( axn要使要使,)( n只要只要),( Nn 解得解得 .1)( , 1)( ,)( NNNNNN或或或或取取(3)得出結(jié)論得出結(jié)論. 三三. .用定義驗證數(shù)列極限用定義驗證數(shù)

16、列極限第二章20例例 證明證明 . 2112lim nnn因為因為 2 nu對于任意給定對于任意給定 , 0 要使要使 ,2un ,11 n即即即可即可. .11 n對于任意給定對于任意給定 , 0 時時，當當Nn nnnun 1121122所以所以 . 2112lim nnn分析分析只要只要證明證明,11 N取取)(定定義義N 2112 nn.11 n三三. .用定義驗證數(shù)列極限用定義驗證數(shù)列極限32361lim . 4 nnexn證明證明Proof. nnn2310)3(2361 ,5n , 0 ,)3(2361 nn要使要使,5 n只要只要.5 n即即,5 N取取, )3(2361 ,成

17、立成立有有時時當當 nnNn32361limnnn三三. .用定義驗證數(shù)列極限用定義驗證數(shù)列極限ex5. 0lim , 0lim , nnnnnnyxyx證明證明有界有界設(shè)設(shè)Proof., 有界有界nx . , , 0MxxMnn 都有都有對于對于 , 0lim nny又又. , , 0, 0MyNnNn 有有時時當當.0 MMyxyxnnnn. 0lim nnnyx三三. .用定義驗證數(shù)列極限用定義驗證數(shù)列極限步驟：步驟：(1)通過計算或估計得通過計算或估計得 )()(0 xxgAxf 0的簡單函數(shù)式的簡單函數(shù)式是是xx ) (10 xx制不等式制不等式有時要事先給出某個限有時要事先給出某個

18、限,)( , 0)2( Axf要使要使,)(g 0 xx只要只要),( 0 xx解得解得 .),(min )( 1 或或取取.)(,0 0 Axfxx有有時時當當(3)得出結(jié)論得出結(jié)論.4.用定義驗證函數(shù)極限用定義驗證函數(shù)極限ex1. 證明證明 . 5)12(lim2 xxProof.,22512)( xxAxf, 0 ,)( Axf要使要使,22 x只要只要,22 x即即 ,2 取取.512 ,20 xx有有當當. 5)12(lim2 xx第二節(jié) 函數(shù)的極限 證明極限不存在的方法證明極限不存在的方法.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利用利用Solution.)(lim

19、)00( 0 xffx )(lim)00( 0 xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,0 , 120 , 00 , 12)( . 60 xfxxxxxxfexx 求求設(shè)設(shè), 1)12(lim0 xx, 1)12(lim0 xx(2)利用極限存在的唯一性利用極限存在的唯一性或或 函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在且相等極限都存在且相等. .ex7. sinlim 不存在不存在證明證明xx Proof.,2 nxn 取取., nxn時時當當,22 nyn取取., nyn時時當當, 0)2sin()( nxfn但但. sinl

20、im不不存存在在xx . 1)22sin()( nyfn272.2.極限與無窮小量的關(guān)系極限與無窮小量的關(guān)系)(lim0 xxx,)( 0時時為為無無窮窮小小在在即即xxx,)(lim 0Axfxx 設(shè)設(shè)證證 )(lim0的的充充分分必必要要條條件件是是Axfxx 定理定理,)(0時為無窮小時為無窮小在在其中其中xxx.0)(lim 0 xxx即即 )(充充分分性性)(lim0 xfxx無窮小量是有極限的變量中最簡單的一類無窮小量是有極限的變量中最簡單的一類, 任何任何極限存在的函數(shù)都可以由無窮小量表示極限存在的函數(shù)都可以由無窮小量表示.),()( xAxf (必要性必要性),)()(Axfx

21、 取取則則 )(lim0Axfxx . 0 AA).()( xAxf 且且)()( xAxf 設(shè)設(shè)，且且0)(lim0 xxx則則 )(lim0 xAxx .0AA 第三節(jié) 無窮小與無窮大例例3 求求221lim2xxx 解解222lim(1)0lim(2)0 xxxx結(jié)論3 0A 若分母為無窮小量，分子極限若分母為無窮小量，分子極限不為不為0，我們稱之為，我們稱之為 型。型。0A對于對于 可以同樣考慮?？梢酝瑯涌紤]。型型和和AA 先求倒數(shù)的極限，再間接的得到其極限。先求倒數(shù)的極限，再間接的得到其極限。, 012lim22 xxx由于由于.21lim22 xxx第四節(jié) 極限的運算法則例例4 求

22、下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限2221(1)lim31xxxx 2451(2)lim31xxxx 32221(3)lim51xxxxx分析分析: (1)(2)(3)分子分母都是多項式，且都是分子分母都是多項式，且都是無窮大量，屬于無窮大量，屬于 型未定式。型未定式。 型型未未定定式式可用未知量中的最高次冪同除分子分母?？捎梦粗恐械淖罡叽蝺缤肿臃帜浮５谒墓?jié) 極限的運算法則第四節(jié) 極限的運算法則解解32221lim51xxxxx 1312lim)1(22 xxxx2213121limxxxx .31 1315lim)2(42 xxxx434211315limxxxxx . 0 1215lim

23、)3(232 xxxxx32112115limxxxxxx . 0 無無窮窮小小因因子子分分出出法法nnnnmmmmxbxbxbxbaxaxaxa 11101110lim 其中其中 iajb;,2, 1ni .,2 , 1mj 00 a00 b和和為常數(shù)，為常數(shù)，且且結(jié)論結(jié)論4 nmnmbanm000第四節(jié) 極限的運算法則無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除以分母中自變量的最高次冪除分子、分母分子、分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.練習練習., 2)12(lim2babaxxxx、求求設(shè)設(shè) 解解1112lim2xxbxaxxx左邊121lim2xbx

24、baxax商的極限存在，必須商的極限存在，必須01 a2ba，解得解得1a3b，.第四節(jié)第四節(jié) 極限運算法則極限運算法則.b, a ,xxbaxxlim .exx求求設(shè)設(shè)2 22 22 22 22 2 Solution., 024 , ba依題意依題意.24 ab 即即224lim2lim222222 xxaaxxxxbaxxxx則則)1)(2()2()2)(2(lim2 xxxaxxx12lim2 xaxx34a 2 , 2 a. 8 b第四節(jié) 極限的運算法則例例5 求求解解因式分解，消去零因式因式分解，消去零因式 思考題思考題：已知：已知232lim4,3xxxkx 求求 k 的值的值結(jié)論

25、結(jié)論5分析：分析：型未定式型未定式 00可因式分解，消去零因式可因式分解，消去零因式3 k, 03232 k5634lim221 xxxxx)5)(1()3)(1(lim1 xxxxx)5()3(lim1 xxx.21 .5634lim221 xxxxx第四節(jié) 極限的運算法則(消去零因子法消去零因子法)例例6 求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限312(1)lim3xxx 它們都不能直接用運算法則，它們都不能直接用運算法則，(1)，(2)含有根式，含有根式，且分子分母的極限都為且分子分母的極限都為0，顯然不能用商的極限的運，顯然不能用商的極限的運算法則。算法則。分析分析:3(12)(12)1=li

26、m(3)(12)xxxxx ( )原式33lim(3)(12)xxxx 312lim412xx解：解： 型未定式型未定式含根式的含根式的00采取有理化的方法采取有理化的方法.22312lim)2(4 xxx第四節(jié) 極限的運算法則總結(jié)：總結(jié)：帶根式的帶根式的00型，分子、分母有理化型，分子、分母有理化)312)(4(22)(82(lim4 xxxxx.322 22312lim)2(4 xxx)312)(22)(22()22)(312)(312(lim4 xxxxxxx.xxlim x1 11 14 43 31 1 計算計算Solution.1211lim431txxxx 11lim341 ttt

27、1)1)(1(lim221 ttttt.34 例例72231(1) lim (11)31(2)lim()11xxxxxx 例例8 求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限)( (型未定式型未定式 第四節(jié) 極限的運算法則222222(11)(11)(1)= lim11xxxxxxx原式222lim011xxxSolution.變形求極限變形求極限 ：1. 分子，分母有理分子，分母有理化，化，2 通分消去零因子通分消去零因子3，換元，換元 結(jié)論結(jié)論632112limxxxx )1)(1()2)(1(lim21xxxxxx )1()2(lim21xxxx . 1 )1113(lim)2(31xxx 第四節(jié)

28、極限的運算法則Solution.例例 求極限求極限.)1(21lnlim21 xxx解一解一:,)1(212 xxu令令,1時時則當則當x)1(212 xxu,1故故原式原式uulnlim1 . 0 解二解二: )1(21lnlim21xxx )1(21limln21xxx 21limln1xx. 01ln 第四節(jié) 極限的運算法則Aufxfuuxx )(lim)(lim00 )()(lim)(lim000ufxfxfxxxx .xxxxlim x 計計算算Solution. .limxxxxx xxxxxxx lim.21 .nnnnlim xxxxn 計算計算Solution.11limli

29、m22 xxnxxxxnnnnnnn 0 , 1 x0 , 1 x0 , 0 x例例8 例例9第四節(jié) 極限的運算法則sin (1 cos )tansincosxxxxx 0u 解：解：0arcsin(3)limxxx解解 30sintanlim)2(xxxx 30sintanlimxxxx 20cos1cossinlimxxxxxx 200cos1limcossinlimxxxxxxx .21 ,arcsinux 令令,sinux 則則xxxarcsinlim0uuusinlim0 . 1 ,0時時當當 x第五節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限.sincossin1lim. 30 xxxxxexx

30、 計算計算Solution. xxxxxxsincossin1lim0 )cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxxx )xxsin(limx 1 12 21 10 0)cossin1(sincossin1lim20 xxxxxxxxx 型型00第五節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限. 1 1 例例1 1 求極限求極限xxxk 1lim解解kkxxxk 1lim)(1limRkexkkxx 結(jié)論：結(jié)論：.ke kkxxxk 1limxxxk 1lim).( 為為非非零零常常數(shù)數(shù)k（公式）（公式）第五節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限xxxxx 1111limxxxx 1111li

31、m解：解：xxxx 11lim)3(xxxx 11lim1 ee.2e 第五節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限例例).0(11)1(lim0 xxx證證明明證明證明:, 1)1( xu令令),1ln()1ln(ux 則則,0時時當當x, 0u有有于是有于是有xxx 1)1 (lim0 xxxxx)1ln(.)1ln(1)1(lim0 xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 )1ln(1)1(lim0 xxx )uln(ulimu 1 10 0. 1 xx 1)1 ( 第五節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限46.ba 1 11 1 所以所以 解得解得 .ba,baxxxlimx和和求求

32、常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)0 01 11 12 2 解解: baxxxlimx1 11 12 21 11 11 12 2 xbx)ba(x)a(limx 0 00 01 1baa第六節(jié) 無窮小的比較47, )(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfy 等價定義等價定義)()(lim00 xfxfxx . )(,)(00的的連連續(xù)續(xù)點點為為并并稱稱處處連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)xfxxxf若函數(shù)連續(xù)性的判別函數(shù)連續(xù)性的判別:)(0兩兩個個條條件件點點連連續(xù)續(xù)應應同同時時滿滿足足下下列列在在xxf;)()1(0的的某某鄰鄰域域有有定定義義在在點點 xxf.0lim)2(0 yx方法方

33、法 一一第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性48:)(0三三個個條條件件點點連連續(xù)續(xù)應應同同時時滿滿足足下下列列在在xxf).()(lim(3) 00 xfxfxx ;)(lim)2(0存存在在極極限限xfxx)(xfy 0 x方法方法 二二;)()1(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點點 xxf第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性49間斷點分類間斷點分類第第一一類類間間斷斷點點第第二二類類間間斷斷點點存存在在但但為為間間斷斷點點)(lim 00 xfxxxx )(lim )(lim00 xfxfxxxx或或.)( ,)(lim00無無定定義義但但存存在在xfxfxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx )()(

34、lim00 xfxfxx 或或 . )(lim )(lim00震震蕩蕩型型不不存存在在或或xfxfxxxx 少少有有一一個個不不存存在在至至但但為為間間斷斷點點 )(lim 00 xfxxxx 補充或改變補充或改變可去間斷跳躍間斷無窮間斷震蕩間斷（特征）（特征）.0,sgn)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè) xxxfSolution. ,0 , 00 , 1)( xxxf, 0)0( f, 1)(lim0 xfx),0()(lim0fxfx 但但的的為為處處不不連連續(xù)續(xù)在在)(0,0)(xfxxxf ,0)(, 1)0(處的定義處的定義在在改變改變?nèi)袅钊袅?xxff.0)(處處連連續(xù)續(xù)了了在

35、在則則 xxf例例可去間斷點可去間斷點.第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性試試證證在在且且上上連連續(xù)續(xù)在在若若,)(,)(,)(. 8bbfaafbaxf .)(,),( fba使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點,)()(xxfxg 令令,)(上上連連續(xù)續(xù)在在因因為為baxf.,)(上上也也連連續(xù)續(xù)在在所所以以baxg,)(,)(bbfaaf 又又, 0)()( aafag, 0)()( bbfbg),(ba , 0)( g.證：，由根的存在定理（零點定理）得，使得命題得證.有至少存在一點.)(f 即即231)1(822 xxxy解解,2 , 1)(處處無無定定義義在在 xxf.)(21的間斷點的間斷點為函數(shù)

36、為函數(shù)和和xfxx 即即，得得所以所以, 0232 xx由由, 0)2)(1( xx, 2 , 1 x又又 )(lim1xfx231lim221 xxxx)2)(1()1)(1(lim1 xxxxx. 2 )(lim2xfx231lim222 xxxx. 1 x因此因此為的第一類間斷點，為的第一類間斷點，為的第二類間斷點，為的第二類間斷點，補充定義補充定義, 2)1( f2 x.1)(連連續(xù)續(xù)在在則則 xxf且為可去間斷點，且為可去間斷點，且為無窮間斷點且為無窮間斷點.例例3 3.0,0, 00,1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導導性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解,1sin

37、是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第一節(jié)第一節(jié) 導數(shù)概念導數(shù)概念第三章例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 223xxxf11 xx在點在點1 x處的連續(xù)性和可導性處的連續(xù)性和可導性解解處的連續(xù)性處的連續(xù)性 .1處處連連續(xù)續(xù)在在即即函函數(shù)數(shù) xxf(2)(2)討論函數(shù)在討論函數(shù)在1 x處的可導性處的可導性 123limlim11 xxfxx 1limlim

38、211 xxfxx又又 11 f xfxffx11lim10 xfxffx11lim10 所以函數(shù)在此點不可導所以函數(shù)在此點不可導.1 x(1)(1)討論函數(shù)在討論函數(shù)在 xxx1213lim0 . 3 xxx11lim20 . 2 xxycos)5( .)cosln(sincosxxxxxx :解解xxycos )(lncos xxeyxxelncos xxelncos )ln(cos xx第二節(jié) 求導法則.,33633dxdyxxyxx求求）設(shè)設(shè)（ Solution. ,33 ln33exxxxy )ln(03ln33ln2 xxxdxdyexxx xxxxexxx1ln3ln33ln2)

39、.1(ln3ln33ln2 xxexxx第二節(jié) 求導法則.)sin(;)2(sin;)(cos22xxxx計計算算xxx)cos(cos)(cos2 解解)sin(coscossinxxxx xx)cos1(21)2(sin2 )(cos)1(21x 2sincosxxxx 例例2)(sin)(sin)sin(xxxxxxx xxxx)(coscoscos)(cos xxcossin2 .sin21x .2sin x 第二節(jié) 求導法則一、隱函數(shù)的求導法則一、隱函數(shù)的求導法則 例例4 4 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)的所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)二階導數(shù) . . y 將方程兩邊對將方程兩邊對x

40、求導，得求導，得)1( 0cos211 yyy（1）式兩邊再對）式兩邊再對x 求導，得求導，得yycos22 解得解得2cossin)( 2 yyyy解解得得將式將式 代入得代入得yycos22 .)2(cossin4 3 yyy解解)( yy或或)cos22( y2)cos2(sin2yyy y 代代入入.)2(cossin43 yy2)(sin21yy 0cos21 yy0sin21 yyxy 等式兩邊取絕對值，再取對數(shù)，得等式兩邊取絕對值，再取對數(shù)，得.)2()13()1(32yxxxy ，求求設(shè)設(shè)例例|ln y方程兩邊對方程兩邊對x求導，得求導，得yy 132)2()13()1( xx

41、xy63113211 xxx所以所以注注：解題時為了方便起見，取絕對值可以略去解解|2|ln31|13|ln32|1|ln xxx11 x213113332 xx yyy 1ln對數(shù)求導法對數(shù)求導法 例例 求函數(shù)求函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù) 對函數(shù)對函數(shù) 取對數(shù)，得取對數(shù)，得) 0(sin xxyxxxylnsinln 方程兩邊對方程兩邊對x求導，得求導，得xxxxyylncossin1 xxxxxyxlncossinsin所以所以解解)(lnsin xxey xxxxexxsinlncoslnsin.sinlncossin xxxxxx或或)0(sin xxyx對數(shù)求導法對數(shù)求導法例例4 4證證.)

42、1ln(,0成立成立試證試證時時當當xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0 , 0)0( f時，時，當當0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即3利用單調(diào)性證明不等式(0,)( )0,fx 可可( )0,)f x在在上上連續(xù)，且在連續(xù)，且在 導，導，一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity)（一）利潤最大化問題（一）利潤最大化問題),()(qCCqRR 及及總總成成本本函函數(shù)數(shù)已已知知總總收收益益函函數(shù)數(shù)如何求最大利潤？如何求最大利潤？求利潤函數(shù)求利潤函數(shù):的的最最值值的的步步驟驟（1）確定利潤函數(shù)）確定利潤函

43、數(shù)及及定定義義區(qū)區(qū)間間；)()()(qCqRqL （2）的的一一階階導導數(shù)數(shù)及及駐駐點點，求求)(qL, 0)()()( qCqRqL即即（經(jīng)濟意義經(jīng)濟意義為：為： 要使總利潤最大，要使總利潤最大， 必須使邊際收益等于必須使邊際收益等于邊際成本。）邊際成本。）（3）根據(jù)極值存在的充分條件判別，）根據(jù)極值存在的充分條件判別，, 0)()()( qCqRqL當當由第二判別法知，由第二判別法知，,)()(時時也也即即qCqR 總利潤最大?？偫麧欁畲?。當邊際成本與邊際收益相等，并且邊際收益的變化率當邊際成本與邊際收益相等，并且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率時，總利潤最大。小于邊際成本的變化率時，

44、總利潤最大。（最大利潤原則）（最大利潤原則）三、經(jīng)濟應用問題舉例解：解：則則設(shè)利潤為設(shè)利潤為),(XL20001. 05)()()(2 XXXCXRXLXXL02. 05)( ，由于，由于臺臺，解得，解得令令)(2500)( XXL002. 0)( XL.)(425)250(值值為為極極大大值值，也也就就是是最最大大萬萬元元所所以以 L例例1：（一）利潤最大化問題（一）利潤最大化問題第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用解解)5025000()2)(8012000(QPPL 64900016160802 PP16160160)( PPL且是唯一極值點，且是唯一極值點，得得令令1

45、010)( PPL元時，元時，故當故當又因又因101, 0160)101( PL)(167080)101()(元元有有最最大大值值，且且最最大大值值為為 LPL例例2：2. 最大收益問題最大收益問題解：解：PPQPPR)75()(2 2375)(PPR )(5, 0)(唯一駐點唯一駐點得得令令 PPR.5, 030)(5時時收收益益最最大大故故 PPRP第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用例例2：解：解：4020025000)()(xxxxCxC 40125000)(2 xxC第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用.1000.)(1001050)1000()(

46、1000,1000, 0)(3521件產(chǎn)品件產(chǎn)品小，應生產(chǎn)小，應生產(chǎn)因此，要使平均成本最因此，要使平均成本最取最小值取最小值時，時，故當故當，因因，舍舍得得由由xCxCxxxC )()()(xCxRxL )()4020025000(5002xLxxx 20200500 x 6000, 0)( xxL得得令令件產(chǎn)品時利潤最大件產(chǎn)品時利潤最大故生產(chǎn)故生產(chǎn)6000, 0201)( xL第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用函數(shù)的最值及經(jīng)濟應用xarcxxcot)11ln(lim).7(1 解解:)00(型型xarcxxcot)11ln(lim xarcxxcot1lim 22111limxxx 221l

47、imxxx . 1 2220sincos1lim).8(1xxxx )00(型型解解:2220sincos1limxxxx .21 224021limxxxx .)11 (lim)6(2xxx 解解:xxx)11 (lim2 )11ln(2limxxxe )11ln(lim2xxxe 21limxxxe 0e . 1 或或:xxx)11 (lim2 xxxx122)11 (lim xxxxx1lim22)11 (lim 0e . 1 )1(型型 .)sin1(lim)7(tan0 xxx 解解:)(0型型 xxxtan0)sin1(lim xxxesinlntan0lim xxxesinlnl

48、im0 xxxe1sinlnlim0 xxxxesincoslim20 xxxxecoslim20 0e . 1 ,b,a2x)bxax()x1ln(lim220 x 220 xx)bxax()x1ln(lim , 1a x2)bx21(x11lim0 x 又又.25b 即即4.4.確定常數(shù)確定常數(shù)使極限使極限成立成立. .，由洛必達法則可得，由洛必達法則可得，極限要存在必須使極限要存在必須使，可得可得解：解：x2)bx2a(x11lim0 x 22b2)x1(1lim20 x ,4b21 Example 1. 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處），且其上任一點處的切線斜率等

49、于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.Solution. 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy3 3、不定積分的幾何意義、不定積分的幾何意義第五章.d)3(xxeexx 例例4 4 求不定積分求不定積分 xxexd)13(解解xxeexxd)3( xxxexd1d3.23Cxex 例例5：求：求.)1)(1( dxxxx先將被積分函數(shù)化成代數(shù)和的形式

50、，再分項積分先將被積分函數(shù)化成代數(shù)和的形式，再分項積分. dxxxxx)11(= dxxdxxdxdxx2123解解 dxxxx)1)(1(=.22152225Cxxxx 直接積分法直接積分法.arctanCxx 例例6 6 求不定積分求不定積分.d122 xxx xxd)11(1 2解解xxxd11d2 例例7 7 求不定積分求不定積分 xxxxxd)1(122 xxxxxd) 1(122解解.arctanlnCxx xxxd122 xxxd11122 xxxxxd) 1()1 (22 xxxd)111(2分項積分分項積分加項減項加項減項直接積分法直接積分法：注意注意: : (1) 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù).(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù).(3) 原函數(shù)不唯一原函數(shù)不唯一.)cos(sin2cos41,cos21,sin2122的原函數(shù)的原函數(shù)都是都是如如xxxxx (4) 如果如果f(x)在在I上存在原函數(shù)上存在原函數(shù),