神經(jīng)網(wǎng)絡與光學信息

1、第8章 光信息處理技術81 引言光信息處理是60年代隨著激光器的問世而發(fā)展起來的一個新的研究方向，是現(xiàn)代信息處理技術中一個重要組成部分，在現(xiàn)代光學中占有很重要的地位。所謂光學信息，是指光的強度（或振幅）、位相、顏色（波長）和偏振態(tài)等。光學信息處理是基于光學頻譜分析，利用傅里葉綜合技術，通過空域或頻域調制，借助空間濾波技術對光學信息進行處理的過程，較多用于對二維圖像的處理。事實上，早在1873年，著名德國科學家阿貝（Abbe）創(chuàng)建了二次成像理論，就已經(jīng)為光學信息處理打下了一定的理論基礎。1935年，物理學家澤尼克（Dutchman Fritz Zernike）發(fā)明了相襯顯微鏡，將位相分布轉化為強

2、度分布，成功地直接觀察到微小的位相物體細菌，用光學方法實現(xiàn)了圖像處理，解決了由于染色而導致細菌大量死亡的問題。澤尼克的成功為光學信息處理技術的發(fā)展作出了新的貢獻。1963年，范德拉格特（A. Vander Lugt）提出了復數(shù)空間濾波的概念，使光學信息處理進入了一個廣泛應用的新階段。此后，光學信息處理作為一門十分活躍的學科發(fā)展極快。80年代以后8-1 ，隨著高新技術的蓬勃興起，進入了一個“信息爆炸時代”，要求對超大量信息具有快速處理的能力。例如核武器設計、戰(zhàn)略防御計劃、中長期天氣預報、空間技術、氣體動力學、機器人視覺、人工智能等許多方面都對數(shù)據(jù)處理提出了超高速和超大容量的要求。要想在預定的時間

3、段內(nèi)獲得準確的結果，要求計算速度必須達到10121015次 / 秒。幾乎同時發(fā)展起來的電子計算機技術隨著電子功能器件的日益完善，以其速度快、使用方便而一度成為信息處理的主要手段。然而，由于其自身的先天性局限，如“馮諾依曼瓶頸”問題、RC問題、時鐘歪斜問題、電磁場干擾問題、互連帶寬問題等等限制，要想完成這種超高速計算已顯得力不從心，即使是當今最先進的所謂“神經(jīng)計算機”也無法滿足時代提出的要求。光以其速度快、抗干擾能力強、可大量并行處理等特點逐漸顯示其獨特的優(yōu)越性。在光學信息處理基礎上發(fā)展起來的光計算研究及其相關技術已為該領域注入了新的生命，成為十分活躍的一個學科方向。由于光學信息處理的內(nèi)容及其豐

4、富，涉及的面也極廣，本章篇幅有限，很難全面地反映該領域所取得的豐碩成果，因此只討論最基本、最典型的處理方法和實例，并在最后就光學神經(jīng)網(wǎng)絡、光互連等光計算學科的內(nèi)容作一初步介紹。82光學頻譜分析系統(tǒng)和空間濾波821阿貝（Abbe）成像理論1873年阿貝首次提出了一個與幾何光學成像傳統(tǒng)理論完全不同的成像概念。該理論認為相干照明下顯微鏡成像過程可分作兩步：首先，物平面上發(fā)出的光波經(jīng)物鏡，在其后焦面上產(chǎn)生夫瑯和費衍射，得到第一次衍射像；然后，該衍射像作為新的相干波源，由它發(fā)出的次波在像平面上干涉而構成物體的像，稱為第二次衍射像。因此該理論也常被稱為“阿貝二次衍射成像理論”。 圖8.1是上述成像過程的示

5、意圖。其中物平面（x o，yo）用相干平行光照明，在后焦面即頻譜面（xf，yf）上得到物的頻譜，這是第一次成像過程，實際上是經(jīng)過了一次傅里葉變換；由頻譜面到像面（x， y，），實際上是完成了一次夫瑯和費衍射過程，等于又經(jīng)過了一次傅里葉變換。當像平面取反射坐標時，后一次變換可視為傅里葉逆變換。經(jīng)上述兩次變換，像平面上形成的是物體的像。根據(jù)傅里葉分析可知，頻譜面上的光場分布與物的結構密切相關，原點附近分布著物的低頻信息，即傅里葉低頻分量；離原點較遠處，分布著物的較高的頻率分量，即傅里葉高頻分量。 xo L xf 0 do f di xo'圖8.1 阿貝二次成像理論示意圖822 阿貝波特（A

6、bbePorter）實驗為了驗證阿貝提出的成像理論，阿貝本人于1873年、波特于1906年分別做了實驗，這就是著名的阿貝波特實驗。實驗裝置與圖8.1所示相同，物平面采用正交光柵（即細絲網(wǎng)格狀物），由相干單色平行光照明；頻譜面上放置濾波器，以各種方式改變物的頻譜結構，在像平面上可觀察到各種與物不同的像。圖8.2表示部分實驗內(nèi)容及結果。由實驗結果歸納出幾點結論如下：1實驗充分證明了阿貝成像理論的正確性：像的結構直接依賴于頻譜的結構，只要改變頻譜的組分，便能夠改變像的結構；2實驗充分證明了傅里葉分析的正確性：（1）頻譜面上的橫向分布是物的縱向結構的信息（圖B）；頻譜面上的縱向分布是物的橫向結構的信息

7、（圖C）；（2）零頻分量是一個直流分量，它只代表像的本底（圖D）；（3）阻擋零頻分量，在一定條件下可使像發(fā)生襯度反轉（圖E）；（4）僅允許低頻分量通過時，像的邊緣銳度降低；僅允許高頻分量通過時，像的邊緣效應增強；（5）采用選擇型濾波器，可望完全改變像的性質（圖F）。圖8.2 阿貝波特實驗原理圖示823 空間頻率濾波系統(tǒng)空間頻率濾波是相干光學處理中一種最簡單的方式，它利用了透鏡的傅里葉變換特性，把透鏡作為一個頻譜分析儀，利用空間濾波的方式改變物的頻譜結構，繼而使像得到改善。空間濾波所使用的光學系統(tǒng)實際上就是一個光學頻譜分析系統(tǒng)，其形式有許多種，這里介紹常見的兩種類型。1三透鏡系統(tǒng)：三透鏡系統(tǒng)通常

8、稱為4f系統(tǒng)，前面我們已略作介紹。三個透鏡的相互關系如圖8.3所示，其中L1、L2、L3分別起著準直、變換和成像的作用；濾波器置于頻譜平面（即變換透鏡L2后焦面）。為討論方便，令三透鏡焦距均相等。設物的透過率為t（x1，y1），濾波器透過率為F（fx，fy），則頻譜面后的光場復振幅為 u 2= T（fx，fy）·F（fx，fy） (8.1) 其中 T（fx，fy）= t（x1，y1） (8.2) fx = x2 /f2 fy = y2 /f2 (8.3) 為傅里葉變換算符，fx，fy為空間頻率坐標，為單色點光源波長，f2是變換透鏡L2的焦距。輸出平面由于實行了坐標反轉（如圖），得到的

9、應是u 2 的傅里葉逆變換，即 u 3= 1 u 2' = 1 T（fx，fy ）·F（fx，fy） = 1 T（fx，fy）* 1F（fx，fy） = t（x3，y3）* 1F（fx，fy） (8.4) 式（8.4）表示輸出平面得到的結果，是物的幾何像與濾波器逆變換的卷積，用"*"表示卷積運算。由此可知，改變?yōu)V波器的振幅透過率函數(shù)，可望改變幾何像的結構。 L1 物面 L2 譜面 L3 像面 S U f 可調 f f f f 輸入面 變換面 輸出面圖8.3 三透鏡光學頻譜分析系統(tǒng)2二透鏡系統(tǒng)：若取消準直透鏡L1，直接用單色點光源照明，可以用兩個透鏡構成空間

10、濾波系統(tǒng)。圖8.4（a）（b）是兩種二透鏡系統(tǒng)的示意圖。圖8.4（a）中，單色點光源S與頻譜面對于L1是一對共軛面（1/ do + 1/ di = 1/ f1），物面和像面分別置于L1前焦面和L2后焦面。圖8.4 (b)是另一種二透鏡系統(tǒng)，單色點光源與頻譜面相對于L2仍保持共軛關系,但物面放在L1后緊貼透鏡放置；在L2前緊貼透鏡放置頻譜面；像面和物面對于L2又是一對共軛面。根據(jù)透鏡的傅里葉變換性質可知，與4f系統(tǒng)一樣，在這兩種系統(tǒng)中，頻譜面得到的是物的傅里葉譜，而像面上的光場復振幅仍滿足公式 (8.4) 所示關系。實際系統(tǒng)中，為了消除像差，很少使用單透鏡實現(xiàn)傅里葉變換，而多用透鏡組。 物面 L

11、1 譜面 L2 像面 S U o0 o o' z f 1 f2 do di(a) L1 物面 譜面 L2 像面 S U oo o o' z p2 q2 p1 q1 (b)圖8.4 二透鏡空間濾波系統(tǒng)824 空間濾波的傅里葉分析8-2利用透鏡的傅里葉變換性質可對空間濾波作傅里葉分析。為敘述方便，僅討論一維情況，并利用4f系統(tǒng)進行濾波操作。設物為一維柵狀物 Ronchi 光柵，如圖8.5所示。其透過率函數(shù)為一組矩形函數(shù)： （8.5）其中d為縫間距，a為縫寬，柵狀物可看成由無限個這樣的狹縫構成。它實際上是矩形函數(shù)rect （x1 / a）和梳狀函數(shù)comb（x1 / d）的卷積 t（

12、x1）= （1/d ）· rect （x1 / a * comb（x1 / d） 若柵狀物總寬度為B（如圖所示），上式還應多乘一個因子 t（x1）= （1/d ）· rect （x1 / a * comb（x1 / d）·rect （x1 / B） （8.6） 將物置于4f系統(tǒng)輸入面上，可在頻譜面上得到它的傅里葉變換 T（fx）= t（x1） = （aB/d）sinc（B fx）+ sinc（a / d）·sincB（fx 1/d） + sinc（a / d）·sincB（fx + 1/d） + （8.7） 其中 fx = x2 /f2 。式中

13、第一項為零級譜，第二、三項分別為正、負一級譜，后面依次為高級頻譜。式（8.7）所示的頻譜的振幅分布示于圖8.6，它實際上是柵狀物的夫瑯和費衍射圖樣。其強度呈現(xiàn)為一系列亮點，每一個亮點是一個sinc函數(shù)，其中心分別位于fx = m/d（m = 0，+1，+2 ），其幅值受單縫衍射限制，它的包絡是一個單縫夫瑯和費衍射圖樣。在未進行空間濾波前，輸出面上得到的是（8.7）式的傅里葉逆變換 -1T（fx）（取反射坐標），它應是原物的像 t（x3）。圖8.5 Ronchi 光柵的透過率函數(shù)圖8.6 頻譜面上的振幅分布濾波器采用狹縫或開孔式二進制（0，1）光闌，置于頻譜面上?，F(xiàn)分四種情況討論：1濾波器是一個

14、通光孔，只允許零級通過，其透過率函數(shù)為 1 fx1 / B F（fx）= （8.8） 0 fx 為其它值 在濾波器后，僅有式（8.7）中的第一項通過，其余項均被擋住，因而頻譜面后的光振幅為 T（fx）· F（fx）= （aB/d）sinc（B fx） （8.9） 輸出平面上得到式（8.9）的傅里葉逆變換 t（x3）= -1 T（fx）· F（fx） = -1 （aB/d）sinc（B fx） = ( a/d） rect ( x3 / B ) （8.10） 式(8.10)表示一個強度均勻的亮區(qū)，其振幅衰減為a/d，亮區(qū)寬度為B，與柵狀物寬度相同，柵狀結構完全消失，這與實驗結果

15、相符（見圖8.2 D）。2濾波器是一個狹縫，使零級和正、負一級頻譜通過。濾波后的光場復振幅為（8.7）式的前三項。輸出平面得到它的傅里葉逆變換 t(x3）= ( a/d） rect ( x3 / B ) + sinc ( a/d）rect ( x3 / B ) exp（j2x3 / d） + sinc ( a/d）rect ( x3 / B ) exp（ -j2x3 / d） = ( a/d） rect ( x3 / B ) 1+2 sinc ( a/d）cos (2x3 / d ) (8.11) 分析式(8.11)可知，像與物的周期相同，但振幅分布不同，這是由于失去高頻信息而造成邊緣銳度消失

16、的緣故。以上兩例均示于圖8.7中。圖8.7 只允許0級通過或只允許0級和±1級譜通過時的情況3濾波器為雙狹縫，只允許正、負二級頻譜通過。濾波后的光場復振幅為 T（ fx ）· F（ fx ）= （aB/d）sinc（2a / d） sincB（fx -2 / d） + sincB （ fx +2 / d） （8.12） 輸出振幅為 t'( x3）= (2 a/d）sinc (2 a/d）rect ( x3 / B ) cos (4x3 / d ) (8.13) 可見當只允許正、負二級頻譜通過時，像振幅的周期是物周期的1/2，圖88 示出了本例所述情況。實驗中觀察到的

17、輸出一般表現(xiàn)為強度分布，因而本例的像強度分布周期應是物周期的1/4，這從 圖88 （c）中很容易推斷出來。 圖8.8 只允許±2級譜通過時的情況4濾波器為一光屏，只阻擋零級，允許其它頻譜通過。經(jīng)過傅里葉變換后，像的分布有兩種可能的情況：（1）當a = d / 2時，即柵狀物的縫寬等于縫間隙時，像的振幅分布具有周期性，其周期與物周期相同，但強度是均勻的，如圖8.9所示；（2）當a > d / 2時，像的振幅分布向下錯位（見圖8.10），強度分布出現(xiàn)襯度反轉，原來的亮區(qū)變?yōu)榘祬^(qū)，原來的暗區(qū)變?yōu)榱羺^(qū)。 310圖8.9 只阻擋零級譜時的情況之一 圖8.10 只阻擋零級譜時的情況之二以上

18、理論分析與實驗結果完全相符，可見利用空間濾波技術可以成功地改變像的結構。825 濾波器的種類及應用舉例濾波器分為振幅型和位相型兩類，可根據(jù)需要選擇不同的濾波器。1振幅型濾波器：振幅型濾波器只改變傅里葉頻譜的振幅分布，不改變它的位相分布，通常用F（ fx，fy ）表示。它是一個振幅分布函數(shù)，其值可在0 1的范圍內(nèi)變化。如濾波器的透過率函數(shù)表達為 1 孔內(nèi) F（ fx，fy ）= 0 孔外則稱其為二元振幅型濾波器。根據(jù)不同的濾波頻段又可分為低通、高通和帶通三類，其功能及應用舉例如下：（1）低通濾波器：用于濾去頻譜中的高頻部分，只允許低頻通過。圖8.11示出了它的一般結構，具體形狀及尺寸可根據(jù)需要自

19、行設計，以阻擋高頻為目的。低通濾波器主要用于消除圖像中的高頻噪聲。例如電視圖像照片、新聞傳真照片等往往含有密度較高的網(wǎng)點，由于周期短、頻率高，它們的頻譜分布展寬。用低通濾波器可有地阻擋高頻成分，以消除網(wǎng)點對圖像的干擾，但由于同時損失了物的高頻信息而使像邊緣模糊。圖8.11（b）是一張帶有高頻噪聲的照片，經(jīng)低通濾波后這種噪聲被成功地消除了，見圖（c）所示。圖8.11 用低通濾波器消除圖像中的高頻干擾(a)低通濾波器結構（b）帶有高頻干擾的輸入圖像 (c)濾波后的輸出圖像（2）高通濾波器：用于濾除頻譜中的低頻部分，以增強像的邊緣，或實現(xiàn)襯度反轉。其大體結構如圖8.12所示，中央光屏的尺寸由物體低頻

20、分布的寬度而定。高通濾波器主要用于增強模糊圖像的邊緣，以提高對圖像的識別能力。由于能量損失較大，所以輸出結果一般較暗。 圖8.12 高通濾波器結構示意圖（3）帶通濾波器：用于選擇某些頻譜分量通過，阻擋另一些分量。帶通濾波器形式很多，這里僅舉幾例。 例81 正交光柵上污點的清除。 設正交光柵的透過率為t 0 ( x1 , y1 )，其上的污點為g ( x1 , y1 )，邊框為 ( x1 , y1 )，見圖8.13所示。輸入面光振幅為 t ( x1 , y1 ) = t 0 ·g·設T0 、G 、分別是t 0 、g 、的頻譜，則頻譜面得到 T（ fx，fy ）= T 0 *

21、G * 式中“*”表示卷積。由于t 0是正交光柵，因而它的頻譜T 0為sinc函數(shù)構成的二維陣列，G 、 分別為一階貝塞爾函數(shù)。由于g的寬度小于的寬度，所以G的尺寸大于，圖8.14示出了它的一維剖面。卷積的結果是以每個陣列點為中心的一階貝塞爾函數(shù)陣列。由于G的尺寸大于，所以可采用這樣的帶通濾波器，在每一個陣列點位置開一個通光小孔，其孔徑應選擇恰好使 通過，而使G 的第一個暗點被阻擋。濾波后可在像面上得到去除了污點的正交光柵。 圖8.13 帶有污點的正交光柵 圖8.14 零級頻譜函數(shù)的一維剖面示意圖 例82 縮短光柵的周期。 采用圖8.8（a）所示的帶通濾波狹縫，可有選擇地允許光柵的某些頻譜分量

22、通過，以改變光柵的周期。如允許正、負一級通過，光柵的周期縮短一倍；如允許正、負二級和零級通過，光柵的周期也縮短一倍。 例83 抑制周期性信號中的噪聲。 如蛋白質結晶的高倍率電子顯微鏡照片中的噪聲是隨機分布的，而結晶本身卻有著嚴格的周期性，因而噪聲的頻譜是隨機的，結晶的頻譜是有規(guī)律的點陣列。用適當?shù)尼樋钻嚵凶鳛闉V波器，把噪聲的頻譜擋住，只允許結晶的頻譜通過，可有效地改善照片的信噪比。（4）方向濾波器：這實際上也是一種帶通濾波器，只是帶有較強的方向性。這里僅舉幾例。 例84 印刷電路中掩模疵點的檢查。 由于印刷電路掩模的構成是橫向或縱向的線條（見圖8.15（a），因而它的頻譜較多分布在x，y軸附近

23、。而疵點的形狀往往是不規(guī)則的，線度也較小，所以其頻譜必定較寬，在離軸一定距離處都有分布?？捎脠D8.15（b）所示的十字形濾波器將軸線附近的信息阻擋，提取出疵點信息，輸出面上僅顯示出疵點的圖像，如圖8.15（c）。圖8.15 印刷電路中掩模板上疵點的檢查(a) 帶有疵點的掩模板（b）方向濾波器的結構（c）提取出的疵點 例85 組合照片上接縫的去除。航空攝影得到的組合照片往往留有接縫，如圖8.16（a）所示。接縫的頻譜分布在與之垂直的軸上，利用如圖（b）所示的條形濾波器，將該頻譜阻擋，可在像面上得到理想的照片，見圖（c）。圖8.16 去除組合照片接縫示意圖（a）組合照片（b）方向濾波器的結構（c）

24、輸出圖像 例86 地震記錄中強信號的提取。由地震檢測記錄特點可知，弱信號起伏很小，總體分布是橫向線條，因此其頻譜主要分布在縱向上，如圖8.17（a）所示。采用圖（b）所示的濾波器，可將強信號提取出來，（見圖（c），以便分析震情。圖8.17 地震記錄中強信號的提取(a） 地震信號記錄圖（b）濾波器的結構（c）輸出圖像 2位相型濾波器·相襯顯微鏡 位相型濾波器只改變傅里葉頻譜的位相分布，不改變它的振幅分布，其主要功能是用于觀察位相物體。所謂“位相物體”是指物體本身只存在折射率的分布不均或表面高度的分布不均。當用相干光照明時，物體各部分都是透明的，其透過率只包含位相分布函數(shù) t0（x1，y

25、1）= exp jf（x1，y1）用普通顯微鏡將無法觀察這種位相物體。只有將位相信息變換為振幅信息，才有可能用肉眼直接觀察到物體。1935年澤尼克（Zernike）發(fā)明了相襯顯微鏡，解決了位相到振幅的變換，因此而獲得諾貝爾獎。我們知道，當位相的改變量（即相移）f 小于1弧度時，其透過率函數(shù)可作如下近似 t0（x1，y1） 1 + jf（x1，y1） （8.14） 未經(jīng)濾波時，像的強度分布為 I = （1 + jf ）（1 jf ） 1根本無法觀察到物體的圖像，像面上只是一片均勻的光場。當在濾波面上放置一個濾波器，使物的零級譜的位相增加/2（或3/2），則可使像的強度分布與物的位相分布成線性關系

26、。請看數(shù)學分析：物的頻譜 T（fx，fy）= t0（x1，y1） = （fx，fy） + j（fx，fy） （8.15） 式（8.15）中第一項為零頻，第二項為衍射項，其中（fx，fy）= f（x1，y1）。頻譜面放置位相濾波器，其后的光場分布為 T （fx，fy）=（fx，fy）·exp（ + j /2）+ j（fx，fy） = j +（fx，fy）+ （fx，fy） （8.16） 像的強度分布為 I i = -1 T （fx，fy） 2 1 + 2f（x3，y3） （8.17） （以上近似意味著省略了f（x3，y3）的高次項）。由式（8.17）可見，像強度 I i 與位相 f 呈

27、線性關系，也就是說像強度隨物的位相分布線性地分布，這就實現(xiàn)了位相到振幅（強度）的變換。式（8.17）中的 + 號代表正位相反襯和負位相反襯，前者表示位相越大，像強度越大，后者則相反。位相濾波器主要用于將位相型物轉換成強度型像的顯示。例如用相襯顯微鏡觀察透明生物切片；利用位相濾波系統(tǒng)檢查透明光學元件內(nèi)部折射率是否均勻，或檢查拋光表面的質量等等。83 相干光學信息處理 在空間頻率濾波的基礎上，建立了光學信息處理的概念。相干光學信息處理是光學信息處理的一個重要組成部分，采用的方法多為頻域調制，即對輸入光信號的頻譜進行復空間濾波，得到所需要的輸出。831 相干光學信息處理系統(tǒng) 相干光學信息處理系統(tǒng)的結

28、構是根據(jù)具體的圖像處理要求而定的，種類繁多，這里只介紹最基本的一種。由于相干處理是在頻域進行調制，通常采用三透鏡系統(tǒng)，其二維處理系統(tǒng)的結構如圖8.18所示。圖中 S為相干點源，L1為準直透鏡，L2 和L3為傅里葉變換透鏡，P 1、P2和P3平面分別為輸入平面、變換（調制）平面和輸出平面，也可稱為物平面、頻譜平面和像平面，它們的空間位置和間距如圖中所示，其中f 1、f 2 、f 3 分別是三個透鏡的焦距。輸入圖像信號置于P1 平面，由點源S發(fā)出的球面波經(jīng)L1準直后垂直照明P1平面。由透鏡的傅里葉變換性質可知；在P2平面上將得到頻譜。將P3平面的坐標反轉，可在P3平面上得到頻譜的逆傅里葉變換。根據(jù)

29、線性變換規(guī)律，如P2 平面上不加任何濾波措施，P3平面上將得到與輸入圖像相似的幾何像。 L1 y L2 fy L3 S x' x fx f1 f2 f2' f3 f3' y' 圖8.18 二維光學信息處理系統(tǒng)設輸入圖像的振幅透射率為t（x，y），平面照明波的振幅為1，則達到P2的光場復振幅為 u2 = t（x，y） = T（fx，fy） （8.18） 若在P2 置一空間濾波器（或稱光調制器），設其振幅透射率為F（fx，fy），則P2 平面后的光場為 u 2= T（fx，fy）·F（fx，fy） （8.19） 再經(jīng)L3進行傅里葉變換，到達P3的光場為 u

30、 3= -1T（fx，fy）·F（fx，fy） = -1T（fx，fy） * -1F（fx，fy） = t（x'，y'）* f（x'，y'） （8.20） 式中 f（x'，y'）= -1F（fx，fy） （8.21）由式（8.20）可見，輸出平面上將得到輸入圖像與濾波器逆變換的卷積。832多重像的產(chǎn)生利用正交光柵調制輸入圖像的頻譜，有望得到多重像的輸出。設輸入圖像為g（x，y）置于P1平面；P2 平面放置一正交Ronchi光柵，其振幅透過率為 （8.22） 式中d為光柵常數(shù)。上式也可寫成卷積形式，即 （8.23） 式中表示卷積。在P2平

31、面后的光場將是圖像頻譜和光柵透過率的乘積 u2' = g（x，y） ·F（fx，fy） （8.24） 由式（8.20）可知P3平面得到的輸出光場為兩者逆變換的卷積 u3 = g（x'，y'）* -1 F（fx，fy） （8.25）將公式（8.22）、（8.23）代入（8.25）式，略去繁雜的計算過程和無關緊要的常系數(shù)，最終可得到 （8.26） 式中后兩項的卷積形成了一個Sinc函數(shù)的陣列，事實上它可近似看成是函數(shù)陣列，物函數(shù)與之卷積的結果是在P3平面上構成輸入圖形的多重像。見圖8.19所示。需要說明的是，上面的推導過程中忽略了光柵孔徑和透鏡孔徑的影響，但這無礙

32、于對多重像產(chǎn)生過程的物理概念的理解。 L1 y L2 fy L3 S x' x fx f1 f2 f2' f3 f3' y' 圖8.19 產(chǎn)生多重像的光學系統(tǒng)833 圖像的相加和相減 實現(xiàn)圖像相減的方法很多，有用一維光柵進行調制的，也有用復合光柵進行調制的，還有用散斑照相方法進行調制的，這里只介紹兩種用光柵調制的方法。1用一維光柵調制：將兩個即將進行相減操作的圖像A、B對稱地置于圖8.18所示二維光學信息處理系統(tǒng)輸入面上，設它們的中心分別在x0+ l處；頻譜面上置一正弦型振幅光柵，其線密度 n0 （亦稱空間頻率）應滿足關系式；0 = l /f，其中f為透鏡焦距，

33、為光源的波長。一定條件下在輸出面的原點處可得到A、B圖像相減的結果。我們不妨拋開數(shù)學推導 ，僅從物理圖像上對其過程的機理加以研究。我們知道，正弦型光柵的頻譜包括三項：零級、正一級和負一級。對于一個中心在x0l的圖像，經(jīng)光柵在頻域調制后，可在輸出面上得到三個像。零級像位于x0 l處，正、負一級對稱分布于兩側，由于 n0 受l /f 的限制，因而必有一級像處在輸出面的原點處，另一級中心在x0 2 l處。同理，對位于x0l的圖像，它在輸出面的三個像分別分布于x0 2 l 、l、位置，因此，A的正一級像與B的負一級像在像面原點重疊。由于照明光是相干的，該處光振幅應是兩者光振幅的代數(shù)和。根據(jù)波的迭加原理

34、，當兩者位相相反時，得到相減結果；當兩者位相相同時，又將得到相加的結果。通過改變調制光柵在頻譜面的橫向位置，可控制兩者的位相關系。數(shù)學分析及實驗表明，當調制光柵的1/4周期處于原點位置時，可在像平面得到相減結果；而當調制光柵的零點處于原點時，可在像平面得到相加結果。圖8.20（a）、(b)分別表示圖像的相減和相加操作。2、用復合光柵調制：在頻譜面上用復合光柵取代上例中的一維光柵，亦可在適當條件下得到圖像的相加或相減輸出。所謂復合光柵，是指兩套取向一致、但空間頻率有微小差異的一維正弦光柵用全息方法迭合在同一張底片上制成的光柵，具體方法將在8.3.4中介紹。設兩套光柵的空間頻率分別為n0和n0-D

35、n，由于莫爾效應，在復合光柵表面可見到粗大的條紋結構，稱為“莫爾條紋”。將圖像A、B對稱置于輸入面上坐標原點兩側，間距為Dx，并使它與x滿足關系式 Dx = Dnf （8.27）在頻譜面后得到復合光柵透過率G與圖像頻譜的乘積 u 2'= T · G （8.28）式中T表示將A、B看成是同一幅圖像時的頻譜，根據(jù)傅里葉變換原理，P3 平面上的光擾動應為 u 3 = -1T * -1 G （8.29）因為G是兩套光柵復合而成，因而它的傅里葉逆變換應包括六項，即每套光柵都各有一個零級，一個正一級和一個負一級衍射斑，式（8.29）運算的結果將出現(xiàn)六重圖像，其位置受兩套光柵的空間頻率和透鏡焦距f 及波長的制約，如圖8.21（a）所示。圖中A和B的下角標表示相應的光柵序號，上角標表示衍射級序號。為便于區(qū)別，把兩套光柵各自形成的衍射像分別畫在上下兩條水平線上，而實際上它們是空間重疊的。顯然兩個零級將完全重疊在一起。由式（8.27）的關系可知，A1-1和B2-1將在空間重疊，而A2+1和B1+1也將重疊。數(shù)學上很容易推算出：當復合光柵相對坐標原點的位移量恰等于半個莫爾條紋時，兩個正一級像的位相差等于，該處得到圖像A