高中數(shù)學新學案同步必修3人教A版全國通用版第二章統(tǒng)計疑難規(guī)律方法

1、1例析簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法.適用于總體中的個體數(shù)較少且抽取的樣本容量較小時.抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回.簡單隨機抽樣中用的是不放回抽取.下面讓我們一同來看如下的例題：例1 判斷下面的抽樣方法是不是簡單隨機抽樣？(1)從不確定個體數(shù)的總體中抽取20個個體作為樣本.(2)從30瓶果汁中一次性隨機抽取3瓶進行質(zhì)量檢查.(3)某班有40名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽.(4)從裝有編號為136的大小、形狀都相同的號簽的盒子中逐個不放回地抽出6個號簽.分析簡單隨機抽樣的定義，抓住以下特點來理解：它要求被抽取的樣本所在總體的容量確定且有限；

2、它是從總體中逐個地進行抽??；它是一種不放回抽樣；每個個體被抽到的可能性是相同的，是等可能抽樣.解(1)不是簡單隨機抽樣.因為總體的個體數(shù)是不確定的，從而不能保證每個個體等可能入樣.(2)不是簡單隨機抽樣.因為簡單隨機抽樣的定義要求的是逐個抽取.(3)不是簡單隨機抽樣.因為該例是指定個子最高的5名同學參加比賽，每個個體被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽樣.(4)是簡單隨機抽樣.因為總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，是不放回地、等可能地進行抽樣.點評要判斷所給的抽樣方法是不是簡單隨機抽樣，關鍵是看它們是否符合簡單隨機抽樣的定義，即簡單隨機抽樣的上述四個特點.例2 若將例1(2

3、)中的字眼“一次性”改為“逐個”，則該例便為簡單隨機抽樣.即從30瓶果汁中逐個隨機抽取3瓶進行質(zhì)量檢查.請選用合適的抽樣方法，寫出抽樣過程.分析簡單隨機抽樣分為兩種：抽簽法和隨機數(shù)法.當總體容量和樣本容量都較小時，可采用抽簽法進行抽樣.解(1)將30瓶果汁進行編號，號碼為1,2,3，30；(2)將130這30個編號寫到大小、形狀都相同的號簽上；(3)將寫好的號簽放入一個不透明的容器中，并攪拌均勻；(4)從容器中每次抽取一個號簽，連續(xù)不放回地抽取3次，并記錄上面的編號；(5)所得號碼對應的3瓶果汁就是要抽取的樣本.點評抽簽法(也叫抓鬮法)是簡單隨機抽樣的一種方法，一個抽樣試驗是否能用抽簽法，關鍵

4、看兩點：一是制作號簽是否方便；二是號簽是否容易被“攪拌均勻”.本題中，總體中個體數(shù)(30)較少，制作號簽比較方便，并且容易被“攪拌均勻”，所以可以采用抽簽法.思考將例2中的總體容量增大，我們該如何解決呢？比如例3.例3 現(xiàn)在要考察某公司生產(chǎn)的2.5 L的果汁質(zhì)量是否達標，欲從400瓶果汁中抽取6瓶進行質(zhì)量檢查.請選用合適的方法抽樣，并寫出抽樣過程.分析當總體容量較大，而樣本容量較小時，因制簽麻煩，故不宜用抽簽法，可采用隨機數(shù)法.解選用隨機數(shù)法.步驟如下：第一步，先將400瓶果汁編號，可以編為001,002，400；第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始，比如第6行第1個數(shù)，取出162作為抽取的

5、6瓶果汁中的第一個代號(見課本后的附表隨機數(shù)表P103)；第三步，繼續(xù)向右讀，每次讀取三位，凡不在001400中的數(shù)或重復的數(shù)跳過去不讀，取到末尾時轉(zhuǎn)到下一行從左到右繼續(xù)讀數(shù)，如此下去直到得出在001到400之間的6個三位數(shù)，分別為162,277,354,378,384,263；第四步，找出與162,277,354,378,384,263對應的果汁作為樣本.點評當總體中的個體較多，制作號簽比較復雜，并且把號簽攪拌均勻比較困難時，可以選擇使用隨機數(shù)法，本題將個體編號的位數(shù)統(tǒng)一為3位.使用隨機數(shù)法應注意以下兩點：(1)隨機數(shù)法要求對個體編號且每個個體的號碼位數(shù)必須相同.如對100個個體編號時應從0

6、0編到99(或者從001編到100)，而不能用1,2，100.可見在總體中的個體進行編號時要視總體中個體的數(shù)目而定，但必須保證所編號碼的位數(shù)一致，不允許出現(xiàn)不同位數(shù)的號碼.(2)選定開始讀的數(shù)后，讀數(shù)的方向可左、可右、可上、可下，即任意方向均可.讀數(shù)的方向不同可能導致不同的結果，但這一點不影響樣本的公平性和合理性.2系統(tǒng)抽樣題型全析在三種隨機抽樣中，系統(tǒng)抽樣是較為重要的一種.當總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣，又稱等距抽樣.在抽樣調(diào)查中，由于系統(tǒng)抽樣簡便易行，所以應用普遍.下面舉例說明系統(tǒng)抽

7、樣的常見題型.一、系統(tǒng)抽樣的選取問題例1某商場想通過檢查部分發(fā)票及銷售記錄來快速估計每月的銷售金額，采用如下方法：從某本發(fā)票的存根中隨機抽一張，如15號，然后按順序?qū)?5號，115號，165號，發(fā)票上的銷售金額組成一個調(diào)查樣本.這種抽取樣本的方法是()A.抽簽法B.隨機數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣分析上述抽樣方法是將發(fā)票平均分成若干組，每組50張，從第一組抽出了15號，以后各組抽1550n(nN*)號，符合系統(tǒng)抽樣的特點.答案C點評將總體分成均衡的幾部分，按照預先定出的規(guī)則在各部分中抽取是系統(tǒng)抽樣的常用步驟.二、間隔問題例2為了解1 200名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容

8、量為30的樣本，考慮采用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為_.分析要抽取n個個體入樣，需將N個編號均分成n組.(1)若eq f(N,n)為整數(shù)，則抽樣間隔為eq f(N,n)；(2)若eq f(N,n)不是整數(shù)，則先剔除多余個體，再均分成n組，此時抽樣間隔為eq blcrc(avs4alco1(f(N,n).解析根據(jù)樣本容量為30，將1 200名學生分為30段，每段人數(shù)即間隔k為eq f(1 200,30)40.答案40點評將總體號碼平均分組時，應先考慮總體容量N是否能被樣本容量n整除.三、抽取的個數(shù)問題例3為了了解參加一次知識競賽的1 252名學生的成績，決定采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣

9、本，那么總體中應隨機剔除的個體數(shù)目是()A.2 B.4 C.5 D.6分析因為1 25250252，所以應隨機剔除2個個體.答案A點評(1)用系統(tǒng)抽樣法抽取多少個個體就須將總體均分成多少組；(2)當總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，需要剔除個體.需要注意的是，即使是被剔除的個體，被抽到的機會和其他個體也是一樣的.四、綜合問題例4一個總體中的1 000個個體編號為0,1,2，999，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，9.要用系統(tǒng)抽樣法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第0組隨機抽取的號碼為x，那么依次錯位地得到后面各組的號碼(即在第k組中抽取的號碼的后兩位數(shù)為x33k的后兩位數(shù)).

10、(1)當x24時，寫出所抽取樣本的10個號碼；(2)若所抽取的10個號碼中某個數(shù)的后兩位數(shù)是87，求x的取值范圍.分析按系統(tǒng)抽樣的規(guī)則計算求解.解(1)所有分組為099,100199，900999，共10組，從每組中抽一個，第0組取24，則第1組取100(24331)157，依次錯位地從每組中取出，所取的號碼為24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)若抽取的樣本為兩位數(shù)，當k0，取得號碼為87時，x87；若抽取的樣本為三位數(shù)，則87為x33k(k1,2，9)的后兩位數(shù).如當k5時，x33587，可以求出x22，這樣令k取不同的值可以求得x的值分別為：

11、21,22,23,54,55,56,88,89,90.綜上，x21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.點評本題是系統(tǒng)抽樣法的逆向綜合問題，體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系和數(shù)學思想的運用.3例析分層抽樣的解題方法若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，再將各層取出的個體合在一起作為樣本.這種抽樣方法就是分層抽樣. 分層抽樣盡量利用事先掌握的信息，并充分考慮了保持樣本結構和總體結構的一致性，這對提高樣本的代表性是很重要的.一、應用分層抽樣應遵循以下要求：(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層抽樣中分多少層、如何

12、分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，各層之間的樣本差異要大，且互不重疊.即遵循不重復、不遺漏的原則.(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等.即所有層應采用同一抽樣比等可能抽樣.(3)在每層抽樣時，應采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣.二、分層抽樣的操作步驟：第一步，計算樣本容量與總體的個體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數(shù).第三步，用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應數(shù)量的個體.第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本.樣本容量與

13、總體的個體數(shù)之比是分層抽樣的比例常數(shù)，按這個比例可以確定各層應抽取的個體數(shù)，如果各層應抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)應當調(diào)節(jié)樣本容量，剔除個體.三、分層抽樣的優(yōu)點：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實用、操作性強、應用比較廣泛的抽樣方法.下面舉例解析分層抽樣的方法.例某單位共有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍.為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A.9 B.18C.27 D.36解析設老年職工人數(shù)為x，則2xx160430，所以x90，因

14、此，該單位老年職工共有90人，樣本中的老年職工人數(shù)為90eq f(32,160)18，所以用分層抽樣的比例應抽取該樣本中的老年職工人數(shù)為18.答案B點評分層抽樣要正確計算各層在總體中所占的比例，每層采用簡單隨機抽樣法.分層抽樣利用了調(diào)查者對調(diào)查對象事先掌握的各種信息，考慮了保持樣本結構與總體結構的一致性，從而使樣本更具代表性，在實際調(diào)查中被廣泛應用.4辨析三種抽樣方法的合理選取一、簡單隨機宜少量例1 據(jù)報道，2009年7月22日的“日全食”較為理想的觀測地點有上海、重慶、蘇州、杭州、合肥、武漢、宜昌、成都、樂山、嘉興這10個城市.某天文小組從這10個城市中隨機抽取4個城市進行觀測，宜采用的抽樣

15、方法是_，每個城市被選中的可能性是_.解析由于總體中個體數(shù)目較少，所以宜采用簡單隨機抽樣的方法進行抽樣.每個城市被選中的可能性均相等，均為eq f(4,10)0.4.答案簡單隨機抽樣0.4點評本題中個體總數(shù)較少，使用簡單隨機抽樣中的抽簽法即可.可以直接把10個城市名分別寫在10個大小相同的紙條上，將紙條放在一個盒子里搖勻，逐個隨機抽出4個即可.在整個抽樣過程中可以保證每個個體被抽到的可能性相等，也可以進一步計算出相應的值.二、差別明顯選分層例2 網(wǎng)絡上有一種“QQ農(nóng)場”游戲，這種游戲通過虛擬軟件模擬種植與收獲的過程.為了解某小區(qū)不同年齡層次的居民對此游戲的態(tài)度(小區(qū)中居民的年齡具有一定的差別)

16、，現(xiàn)從中抽取100人進行調(diào)查，結果如下表：對游戲的態(tài)度喜歡不喜歡不了解人數(shù)353530請問隨機抽取這100人較合理的抽樣方法是_，調(diào)查結果得出后，若想從這100人中再選取20人進行座談，較合理的抽樣方法是_.若這個小區(qū)共有2 000人，則每個人被抽到參加座談的可能性為_.解析因為小區(qū)居民的年齡存在明顯差異，故抽取這100人宜采用分層抽樣.根據(jù)調(diào)查結果，有三種明顯不同的態(tài)度，因此，選取20人參加座談，也宜采用分層抽樣.在整個抽樣過程中，每個人被抽到的可能性是相同的，均為eq f(20,2 000)0.01.答案分層抽樣分層抽樣0.01點評分層抽樣的過程是先把有差別的個體進行分層，在每一層中可以采

17、用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法，這樣也能保證每個個體被抽到的可能性相同.三、大量抽取選系統(tǒng)例3 某超市進行促銷活動，為購買商品顧客分發(fā)了編號為00009999的獎券，超市計劃從中抽取100張作為中獎號碼，較合理的抽樣方法是_，每張獎券中獎的可能性為_.解析由于獎券數(shù)量較大，有10 000張獎券，所以宜采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取.在抽樣過程中，每張獎券被抽到的可能性是相等的，均為eq f(100,10 000)0.01.答案系統(tǒng)抽樣0.01點評當總體中個體數(shù)目較多時，首先把個體編號，進行平均分組(若不能整除，則隨機剔除多余的個體)，然后采用簡單隨機抽樣的方法從第一組中抽取一個個體，即可知道應抽取的

18、其他編號的個體.5解讀用樣本估計總體一、用樣本的頻率分布估計總體分布1.頻率分布表：反映具體數(shù)據(jù)落在各個區(qū)間的頻率，但不夠直觀、形象，不利于分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢.2.頻率分布直方圖：能夠非常直觀的表明數(shù)據(jù)分布的形狀，很好地反映數(shù)據(jù)的變化趨勢，適用于樣本數(shù)據(jù)較多的情況，但是從直方圖本身得不到具體的數(shù)據(jù)內(nèi)容.3.頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就可以得到相應的頻率分布折線圖.其優(yōu)點是能夠清晰地反映數(shù)據(jù)的變化趨勢.如果樣本容量不斷增加，分組的組距不斷減小，那么折線圖便會趨近于總體密度曲線.總體密度曲線精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比.4.莖葉圖：適用于樣本中的數(shù)據(jù)

19、較少的情況.其優(yōu)點是(1)沒有原始數(shù)據(jù)的丟失，所有信息均可以從莖葉圖中得到，并能展示數(shù)據(jù)的分布情況；(2)便于記錄和表示.缺點是當樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，就會顯得不太方便.因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一定的空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會很長.二、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1.眾數(shù)：若一組數(shù)據(jù)中有一個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，那么這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，因此一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))是該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.平均

20、數(shù)：與樣本中的每一個數(shù)據(jù)都有關系，反映了更多關于數(shù)據(jù)總體的信息，比較可靠.但受極端值的影響較大.4.極差：就是一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差.5.方差：用來刻畫樣本數(shù)據(jù)的波動情況，充分利用了所有的數(shù)據(jù)，但與原始數(shù)據(jù)的單位不一致.方差具有非負性.6.標準差：方差的算術平方根，與原數(shù)據(jù)的單位一致，且標準差也具有非負性.三、數(shù)字特征在頻率分布直方圖中的體現(xiàn)在頻率分布直方圖中，最高的小矩形的底邊中點的橫坐標即為樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)的估計值，中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積和相等(注：這樣求出的中位數(shù)是近似值)；平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與其底邊中點的橫坐標的乘積之和.四、特別提示1.兩類

21、估計都具有隨機性，得出的結論不一定是總體的真正的分布、均值或方差.樣本質(zhì)量的高低也是影響正確估計的重要因素.2.應用莖葉圖進行統(tǒng)計時，注意重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏.3.樣本水平的高低由其平均數(shù)決定，樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性與方差和標準差有關.在平均數(shù)相差不大的情況下，可以進一步借助方差或標準差來比較優(yōu)劣.4.方差越小，說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，但并不是方差越小越好.6頻率分布圖中的統(tǒng)計問題分類解析頻率分布直方圖將數(shù)理統(tǒng)計的數(shù)據(jù)直觀化、形象化.關于統(tǒng)計一般可分為三步，第一步抽樣，第二步根據(jù)抽樣所得結果，畫成圖形，第三步根據(jù)圖形，分析結論.在第二步中可畫成兩種圖形，一個是頻率分布直方圖，另一個是頻率分布條

22、形圖，兩者有很大的不同，前者是以面積表示頻率，頻率分布條形圖是以高度表示頻率.下面就頻率分布圖中的統(tǒng)計問題分類解析.一、求樣本中限制條件下的個體所占頻率例1觀察新生兒的體重，其頻率分布直方圖，如圖所示，則新生兒體重在2 700,3 000)的頻率為()A.0.001 B.0.1C.0.2 D.0.3解析由直方圖的意義可知，在區(qū)間2 700,3 000)內(nèi)取值的頻率為(3 0002 700)0.0010.3.答案D點評頻率為相應直方圖的面積，即頻率縱坐標橫坐標差的絕對值.二、求樣本中限制條件下的個體的頻數(shù)例2某市高三數(shù)學抽樣考試中，對90分以上的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布如圖所示.若130140分

23、數(shù)段的人數(shù)為90，則90100分數(shù)段的人數(shù)為_.解析由于90分以上的考試人數(shù)是樣本總體，則圖中5個分數(shù)段的頻率之和等于1，設130140分數(shù)段的頻率為p，則0.450.250.150.10p1，即0.95p1，則p0.05，設該樣本總體共有n個學生的分數(shù)，且設90100分數(shù)段的人數(shù)為x，則由頻率概念得eq blcrc (avs4alco1(0.05n90，,0.45nx，)解得eq blcrc (avs4alco1(n1 800，,x810，)故90100分數(shù)段的人數(shù)為810.答案810點評本題是頻率分布條形圖.由于各分數(shù)段的人數(shù)與頻率成正比，則可由eq f(x,90)eq f(0.45,0.

24、05)，求出x；題設條形圖的縱坐標是“頻率”這是有別于常規(guī)的，在審題時不能混淆.例3一個社會調(diào)查機構就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖).為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在2 500,3 000)(元)月收入段應抽出_人.解析由直方圖可得2 500,3 000)(元)月收入段共有10 0000.000 55002 500人，按分層抽樣應抽出2 500eq f(100,10 000)25人.答案25點評先求頻數(shù)，頻數(shù)頻率樣本容量，再按比例進行抽樣.三、求頻率分布直

25、方圖中的參數(shù)問題例4為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力，得到頻率分布直方圖，如圖，由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學生數(shù)為b，則a，b的值分別為()A.0.27,78 B.0.27,83C.2.7,78 D.2.7,83解析注意到縱軸表示eq f(頻率,組距)，由圖象可知，前4組的公比為3，最大頻率a0.1330.10.27，設后六組公差為d，則0.010.030.090.276eq f(56,2)d1，解得d0.05，即后四組頻率的公差為0.05，所以，視力在4.6到5.

26、0之間的學生數(shù)為(0.270.220.170.12)10078，故選A.答案A點評解答本題關鍵是要利用直方圖中的殘缺不全的數(shù)據(jù)，分析它們之間存在的內(nèi)在關系.7“三數(shù)、三差”話應用從樣本數(shù)據(jù)中可以提取基本的數(shù)字特征，即“三數(shù)”(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù))與“三差”(極差、方差、標準差)，并對它們進行分析，從而估計總體相應的數(shù)字特征，這在日常生活中有著廣泛的應用.一、借“三數(shù)”看集中趨勢例1陳亮同學從高職畢業(yè)后到處找工作，他在一家小型工廠面試時，了解到該廠人員周工資(單位：元)情況如下表：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒周工資4 000600500250150人數(shù)145102(1)分別計算該工廠人員周

27、工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映該工廠人員的工資水平？(3)去掉經(jīng)理的周工資后，所得到的周平均工資能代表工廠人員的周工資水平嗎？解(1)由表中數(shù)據(jù)，知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)為250，所以周工資的眾數(shù)為250元；22個數(shù)據(jù)從小到大排列后處在最中間的數(shù)據(jù)是第11和12個數(shù)據(jù)，均為250，所以中位數(shù)應為250元；總工資為4 00016004500525010150211 700(元)，所以平均數(shù)為eq f(11 700,22)532(元).(2)由(1)及表中數(shù)據(jù)，知只有經(jīng)理與管理人員的周工資在532元以上，所以用平均數(shù)不能客觀地反映該工廠人員的工資水平.也正因為工廠少數(shù)人的周工