山東財(cái)經(jīng)大學(xué)《線性代數(shù)》課程試題及答案

1、（試卷一）一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）排列 7623451 的逆序數(shù)是 。a3a0aa1112若 a1112 1 ，則 a3a0 a21222122061B1 CA已知n 階矩陣 A 、 B 和C 滿足 ABC E ，其中 E 為n 階單位矩陣，則。若 A 為m n 矩陣，則非齊次線性方程組 AX b 有唯一解的充分要條件是設(shè) A 為8 6 的矩陣，已知它的秩為 4，則以 A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為 2 。 1006. 設(shè) A 為三階可逆陣， A 1 210 ，則A* 321若 A 為m n 矩陣，則齊次線性方程組Ax 0 有非零解的充分必要條件是1234

2、530412已知五階行列式 D 11111 ，則 A A4142 A A A43444511023543219. 向量 (2,1,0,2)T 的模（范數(shù)） 。10.若 1k1T 與 1 21T 正交，則k 二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1. 向量組 ,12,r線性相關(guān)且秩為 s，則(D) r s s r s r r s2. 若 A 為三階方陣，且A 2E 0,2A E 0, 3A 4E 0 ，則A (A) 8 8 4 433設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( d ) R(B) R( A) R(B) R( A)設(shè)n 階矩陣 A 的行列式等于 D ，則 R(B) R(

3、A) R(B) R( A)kA等于 。c) kA(B) k n A(C) k n1 A(D)A 設(shè)n 階矩陣 A ， B 和C ，則下列說法正確的是 。) AB AC 則 B C(B)AB 0 ,則A 0 或B 0(C) ( AB)T AT BT(D) ( A B)( A B) A2 B 2122222222222322222n 122222n三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分。1-3 每小題 8 分,4-7 每小題 9 分）計(jì)算n 階行列式 D 。設(shè) A 為三階矩陣， A *為 A 的伴隨矩陣，且 A 求矩陣的逆1 ，求 (3A)1 2A* .2 111 A 211 120 x x x 2 12

4、3討論為何值時(shí)，非齊次線性方程組x x x 123x x x 1123 有唯一解；有無窮多解；無解。求下非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。x x x x 2 12342x 3x x x 1x 1234 2x 2x 5134已 知 向 量 組 1023T1 1 135T、2 11 3 1T、345 1249T 、 1 125T ，求此向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示 110求矩陣A 430 的特征值和特征向量 102四、證明題（本題總計(jì) 10 分）設(shè) 為 AX b b 0的一個(gè)解， ,12nr為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 AX 0 的基礎(chǔ)解系，證

5、明 ,12線性無關(guān)。,nr（答案一）一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分） 100115；2、3；3、CA ；4、 RA R( A, b) n ；5、2；6、 210 ；7、 RA n ；8、0；9、3； 321r r (i 3,4, n)i2122222222200100000n 300000n 210、1。.二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B 三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，1-3 每小題 8 分，4-7 他每小題 9 分）1、解： D-3 分122220 2 2 2 200100000n 300000n 2r 2r21-6 分

6、 1 (2) 1 2 (n 3) (n 2) 2(n 2)!8 分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。） 111 121 111解：（1） AB 2 A 111 13 1 2 1111 分 1 1 1 214 1 1 1 464 222 242 222222 4005 分 206 2 22 024 113 593 4 80 （2） A2 B 2 111 210 6 3 117 8 分 3 1 111 1117 8 12 16設(shè) A 為三階矩陣， A* 為 A 的伴隨矩陣，且A 14A1，求 (3A)1 2A* . 因A* A A E E ，故1122A* An1 3 分A1 A* 2A*5 分2

7、344 3 116(3A)1 2A* A* 2A* A* 8 分33 427 100100 100100 r r 4、解： ( A, E) 1 10010 21 0 10110 -3 分 11001 r r 01 1 1011 31 100100 r (1) 100 100 1r r 0 10110 r (1) 010 1 10 -6 分32 00 1211 (1) 001 2 1 12r3 100 1A故 A1 1 10 -8 分（利用 A1 A 公式求得結(jié)果也正確。） 2 1 1111 r r112 13 5、解； ( A, b) 11 r r 0 11 2 r r 21 32 112 r

8、 r 0 1 1 21 3 31 112 0 11 23 分 00(2 )(1 )(1 )2 (1 ) （1）唯一解： R( A) R( A, b) 3 1且 25 分（2）無窮多解： R( A) R( A, b) 3 17 分（3）無解： R( A) R( A, b) 2-9 分（利用其他方法求得結(jié)果也正確。） 11112 10225 6、解： ( A, b) 23111 r 01 1 1 3 3 分 10225 00000 2 2x 2x 2x 0 1 1 1 134基礎(chǔ)解系為 ， 6 分x x x 0234x 2x 2x 5 134令 x x12001 5 3 0 ，得一特解： -7 分

9、故原方程組的通解為：x x x 334 0 0234 5 2 2 3 1 1 k k k k ，其中 k , k R -9 分（此題結(jié)果表示不唯一，只要正確1 12 2 0 1 1 2 0 12可以給分。）0011 107、解：特征方程 A E 413 002 ( 2)( 1)2從而1 2, 2 1(4 分)3當(dāng) 2 時(shí)， 由 ( A 2E) X 0 得基礎(chǔ)解系 11 (0,0,1)T ， 即對(duì)應(yīng)于 1 2 的全部特征向量為k (k1 11 0)(7 分)當(dāng) 23 1 時(shí)，由 ( A E) X 0 得基礎(chǔ)解系 2 (1,2,1)T ，即對(duì)應(yīng)于 2 1 的全部特征向量為3k (k2 22 0)四

10、、證明題（本題總計(jì) 10 分）證： 由 ,12nr為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組 AX 0 的基礎(chǔ)解系，則 ,12nr線性無關(guān)。(3 分),nr反 證 法 ： 設(shè) ,12線 性 相 關(guān) ， 則 可 由 ,12nr線 性 表 示 ， 即 ： (6 分)1 1r r因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 必是 AX 0 的解。這與已知條件 為,nrAX b b 0的一個(gè)解相矛盾。(9 分).有上可知， ,12線性無關(guān)。(10 分)(試卷二) 一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）1. 排列 6573412 的逆序數(shù)是2x11函數(shù) f (x) xx12x 中 x 3的系數(shù)是x設(shè)三階方陣

11、 A 的行列式A 3 ,則( A* )1 =A/34n 元齊次線性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 25設(shè)向量 (1,2, 1)T ， = 正交，則 26三階方陣 A 的特征值為 1， 1，2，則A 1217. 設(shè) A1 021，則 A . 003 設(shè) A 為8 6 的矩陣，已知它的秩為 4，則以 A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為 1設(shè) A 為 n 階方陣，且 A 2則 (A)1 A* 3 200 110已知 A 2x2 相似于 B 2 ，則 x ， y 311y二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）設(shè) n 階矩陣 A 的行列式等于 D ，則5A 等于(A) (5)

12、n D(B)-5 D(C) 5 D(D) (5)n1 Dn 階方陣 A 與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是.矩陣 A 有n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量矩陣 A 有n 個(gè)特征值矩陣 A 的行列式 A 0矩陣 A 的特征方程沒有重根為m n 矩陣，則非齊次線性方程組 AX b 有唯一解的充要條件是R( A, b) m(B) R( A) m(C) R( A) R( A, b) n(D) R( A) R( A, b) n設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則()(A) R(B) R( A)(B) R(B) R( A)(C) R(B) R( A)(D) R(B) R( A)向量組 ,12,s線性相關(guān)且秩為 r

13、，則r s(B) r s(C) r s(D) s r122222222222322222n 122222n三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分）計(jì)算 n 階行列式:D . 220 已知矩陣方程 AX A X ，求矩陣 X ,其中 A 213 . 010 設(shè)n 階方陣 A 滿足 A2 2 A 4E 0 ,證明 A 3E 可逆，并求( A 3E)1 .求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:x x x 2x 3 12342x x 3x 8x 8 12343x 2x12x 9x34 5x 2x233x4 4求下列向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組,并將其余向量用最大無關(guān)組

14、線性表示 2 1 2 3 4 , 1 , 3 , 5 .1 2 3 4 2012 已知二次型： f ( x , x , x) 2 x 2 5 x 2 5 x 2 4 x x4 x x8 x x ，1231231 21 32 3用正交變換化 f ( x , x , x123) 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出其正交變換矩陣 Q四、證明題（本題總計(jì) 10 分，每小題 10 分）設(shè) b a , b112 a a12, br a a12 ar, 且向量組 a , a12, ar線性無關(guān)，證明向量組b , b , b線性無關(guān).12r(答案二)一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）1211. 17 2. -2

15、3 14( ) 5 2 6-27 1 A1 或 1 021（1）n 10、AR An366 8 29、2003 x 0, y 2二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1.三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分）A2. A3.C4.D5. B12222222221、解： Dr r (i 3,4, n) 00 1004 分i200 0n 3 000 00n 2122220 2 2 2 200100000n 300000n 2r 2r21-7 分 1 (2) 1 2 (n 3) (n 2) 2(n 2)! -10 分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）2求解 AX A X ，其中

16、 220 A 213 解：由 AX A X 得 010 X A E 1 A(3 分) 120220 A E, A 203213 (6分 )0226 r 0 1 00100203(8 分) 011010 226 1213所以X 203(10 分) 2133解：利用由 A2 2 A 4E 0 可得： ( A 3E)( A E) E 05 分即 ( A 3E)( A E) E-7 分 故 A 3E 可逆且( A 3E) 1 ( A E)10 分求下列非齊次線性方程組的通解及所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系x x x 2x 3 12342x x 3x 8x 8 12343x 2x 2x 9x 5x12

17、34 2x 3x 412311123213883219501234 11123123401120000 r 0解： ( A b) 0(2 分) 0 10021 x 2x 1r 01 00010 14(4 分)則有x x 0(6 分)112 24x x 2 00000 34 x 2 1 1 取 x為 自 由 未 知 量 ， 令 x c ， 則 通 解 為 ： x c 1 0c R2 44 x 1 2 3 10(8 分)x 4 2 1 對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為： (10 分) 1 1求下列向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組,并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示 2 1 2 3 解：123 111111

18、4 , 1 , 3 , 5 .1 2 3 4 2012 2123 2121100 23 1011 01 002 = 4135 0 01 11 1234 2012 0 00 00 (2 分) , 為一個(gè)極大無關(guān)組. (4 分) 設(shè) x x ， y y 1231 12 241 12 2x1 y 11解得 12 ， 1.(8分) 則有 ， 412x 12y 1232 126解f ( x , x , x) 2 x 2 5 x 2 5 x 2 4 x x4 x x8 x x1231231 21 32 3 22 2f 的矩陣A 25 4(2分) A 的特征多項(xiàng)式() ( 1)2 ( 10)(4 分) 2

19、450 41 1 的兩個(gè)正交的特征向量p 1 , p 1 10 的特征向量 p 2121 123 13 2022正交矩陣Q 114 3 1 31 31 32222 38 分) 正交變換 x Q y ： 標(biāo)準(zhǔn)形 2 3f y 2 y 2 10 y 2123四、證明題（本題總計(jì) 10 分）若設(shè)b1 a , b12 a a12, br a a12 ar ,且向量組 a , a12, ar,r R線 性 無 關(guān) ， 證 明 向 量 組 b , b , b 線 性 無 關(guān) .證 明 ： 設(shè) 存 在 , ,12r1 2， 使 得 (a a a ) 0r12r b + b + b =0也 即 a (a a

20、) 化 簡 得1 12 2r r1 1212 )a ( )a a 0r12r2r r( 122 0a , a ,1r, ar 線 0又 因 為12性 無 關(guān) ， 則 2r 0(8分 ) 解 得 12r, b 線r 0所以， b , b ,r12性無關(guān).（試卷三） 一、填空題（本題總計(jì) 20 分，每小題 2 分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列(2n)(2n 2)2 的逆序數(shù)為abcddacdbdcaadcb2、設(shè) 4 階行列式 D 4， 則 A A A A 11213141 1103 3、已知 A 027 ，則 002 A* 1 4、已知 n 階矩陣 A、B 滿足 A B BA ，則E

21、B1 5、若 A 為n m 矩陣，則齊次線性方程組 Ax 0 只有零解的充分必要條件是6、若 A 為n m 矩陣，且 R( A) 3 minn, m，則齊次線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為7、若向量 123T 與向量 11T 正交，則 8、若三階方陣 A 的特征多項(xiàng)式為A E ( 1)( 1)2，則 A 9、設(shè)三階方陣 A 2 、 B ，已知 A 6 ， B 1，則 A B 1 1 3 2210 、設(shè)向量組 , ,123線性無關(guān)，則當(dāng)常數(shù)l 滿足時(shí)，向量組l ,213 ,21 線性無關(guān).3二、選擇題（本題總計(jì) 10 分，每小題 2 分）1、以下等式正確的是() kab ab

22、 kakbab kcd k cd kkckdcd a cb d ab abdc cd cd cdba2、4 階行列式det(aij) 中的項(xiàng)a a a a11 33 44 22和a a a a24 31 13 42的符號(hào)分別為（ ）正、正負(fù)、負(fù)正、負(fù)負(fù)、正3、設(shè) A 是m n 矩陣，C 是 n 階可逆陣，滿足 BAC. 若 A 和 B 的秩分別為r 和Ar，則有()B r rAB r rAB r rAB以上都不正確4、設(shè) A 是m n 矩陣，且 R( A) m n ，則非齊次線性方程組 Ax b ()有無窮多解無解5、已知向量組 ,12, ,34有唯一解無法判斷解的情況 線性無關(guān)，則以下線性無

23、關(guān)的向量組是（ ）11 ,22 ,22 ,33 ,33 , 441 , 44111 ,22 ,22 ,33 ,33 , 441 , 441三、計(jì)算題（本題總計(jì) 60 分，每小題 10 分） 11求矩陣A 24 的特征值和特征向量計(jì)算n 1階行列式11001a0a110a01n1a0001Dn1n 010 100 143 3已 知 矩 陣 A 100 ， B 001 ， C 201， 且 滿 足 001 010 120 AXB C ，求矩陣 X.求下列非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解x x x x x 1 123453x 2x x x 3x 3x 12345 2x

24、 2x 6x 023455x14x23x3 3x x 545 12112 1已知矩陣 A 661214 ，求矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)4224 3979 組，并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示 11已知 A 為三階矩陣，且 A 2 ，求 A 3A* 12四、證明題（本題總計(jì) 10 分）設(shè)向量組 , ,12證：, 中前 n 1 個(gè)向量線性相關(guān)，后 n 1 個(gè)向量線性無關(guān)，試n（1） 可由向量組 , ,123,線性表示；n1（2）不能由向量組 , ,n12,n1線性表示.（試卷四） 一、填空題（本題總計(jì) 16 分，每小題 2 分）(2n 1)24(2n) 的逆1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序

25、，則排列 1 3序數(shù)為12482、4 階行列式 D 111141416641525 125 11 10 3、已知 A 029 ， A *為 A 的伴隨矩陣，則 002 A* 1 4、已知 n 階方陣 A 和 B 滿足 BA A B ，則E B1 5、已知 A 為m n 矩陣，且 R( A) r minm, n，則以 A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系中包含解向量的個(gè)數(shù)為6、已知四維列向量1 25 13T、 1015 10T、2 4 11 1T ，且331 x 22 x 53x，則x 7、把向量 1022T 單位化得8、若三階方陣 A 的特征多項(xiàng)式為 f () ( 1)( 1)2，則A 2E 二、選擇題（本題總計(jì) 14 分，每小題 2 分）1、已知a, b, c, d , k R ，則以下等式正確的是() kab ab kakbab kcd k cd kkckdcd a cb d ab abdc cd cd cdba2、設(shè) A 和 B 為 n 階方陣，下列說法正確的是（ ）若 AB AC ，則 B C若 AB 0 ，則 A 0 或 B 0 若AB 0 ，則A 0 或B 0若A E