概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件04B 重要分布

1、1第四章：重要分布第四章：重要分布1. 1. 二項(xiàng)分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型及其數(shù)字二項(xiàng)分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型及其數(shù)字特征。特征。2. 2. 超幾何分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型及其超幾何分布的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)模型及其數(shù)字特征。數(shù)字特征。3. 3. 能夠用二項(xiàng)分布把實(shí)際問題模型化，并進(jìn)能夠用二項(xiàng)分布把實(shí)際問題模型化，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算與討論。行相關(guān)計(jì)算與討論。2在第一章介紹過獨(dú)立試驗(yàn)概型在第一章介紹過獨(dú)立試驗(yàn)概型knkknqpCkP作作n n次相互獨(dú)立的試驗(yàn)次相互獨(dú)立的試驗(yàn), , 每次試驗(yàn)事件每次試驗(yàn)事件A A出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率為為p p, , 不出現(xiàn)的概率為不出現(xiàn)的概率為q q=1-=1-p p, ,

2、 n n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù) 為一離散型隨機(jī)變量為一離散型隨機(jī)變量, ,則有則有 如假設(shè)第如假設(shè)第i i次試驗(yàn)時(shí)事件次試驗(yàn)時(shí)事件A A發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量 i, 則則 i服從服從0-10-1分布分布, ,即即 P i=1=p, P i=0=q=1 p, (i=1,2,.,n)因此有因此有 = 1+ 2+.+ n31.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布其中其中0p1, q=1 p, 則稱則稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二的二項(xiàng)分布項(xiàng)分布. 簡記作簡記作 B(n,p). 在這里在這里P P x x=k=k的值恰好是二項(xiàng)式的值恰好是二項(xiàng)式( (q q+ +pxpx)

3、 )n n展開式中第展開式中第k k+1+1項(xiàng)項(xiàng)x xk k的系數(shù)的系數(shù). .如果如果 B(n,p), 則則 可看作是由可看作是由n個取個取1概率為概率為p的相互獨(dú)的相互獨(dú)立的立的0-1分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量 i,i=1,2,.,n的和的和, 即即 = 1+ 2+.+ n), 1 , 0(nkqpCkPpknkknk如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 有概率函數(shù)有概率函數(shù):4 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為mlkknkknmkknkknxkknkknqpCmlPmlAqpCmPmAqpCxF0)(0的概率是不大于出現(xiàn)次數(shù)不小于事件次的概率是至多出現(xiàn)事件1.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5某工廠每天用水量保持正常的概率

4、為某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4, 求最近求最近6天天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布.178. 04360044. 0414310002. 041045166PCPP解解: : 設(shè)最近設(shè)最近6 6天內(nèi)用天內(nèi)用水量保持正常的天水量保持正常的天數(shù)為數(shù)為, 則則 B B(6,0.75(6,0.75), 因此因此例例16其分布表如下表所示其分布表如下表所示0123456P0.0002 0.0044 0.0330.13180.29660.3560.178概率分布圖為概率分布圖為:例例1710部機(jī)器各自獨(dú)立工作部機(jī)器各自獨(dú)立工作, 因修理調(diào)整的原因因修理調(diào)整的原因, 每部機(jī)每部機(jī)

5、器停車的概率為器停車的概率為0.2. 求同時(shí)停車數(shù)目求同時(shí)停車數(shù)目 的分布的分布. 0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010P0.110.110.270.270.30.30.20.20.090.090.030.030.010.010 00 00 00 0解解: B(10,0.2), 用貝努里公式計(jì)算用貝努里公式計(jì)算P(P(k)k)如下表如下表所示所示例例28概率分布圖如下圖所示概率分布圖如下圖所示0.000.000.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9

6、 1010例例29使概率使概率P =k取最大值的取最大值的k0稱為二項(xiàng)分布的最可能值稱為二項(xiàng)分布的最可能值, 如圖示意如圖示意由上圖可知 P(=k0)P(=k0+1) 且P(=k0)P(=k01)k0k0+1 k0+2k01k02.二項(xiàng)分布的最可能值二項(xiàng)分布的最可能值10000000000000101110001110000!(1)!(1)!1!()!(1)1(1),()1(1)1,1knknkkn knkkn knkkn knkkn knCnknknkCk nknkCp qnkpCpqk qnpknppkCpqnkpCp qkqnppknppknpp 證 由得再由即二項(xiàng)分布的最可能值二項(xiàng)分布

7、的最可能值11二項(xiàng)分布的最可能值二項(xiàng)分布的最可能值01, , nppnppnppknppnpp所以,或當(dāng)非整數(shù)時(shí)當(dāng)非整數(shù)時(shí)12一批產(chǎn)品的廢品率一批產(chǎn)品的廢品率p=0.03, 進(jìn)行進(jìn)行20次重復(fù)抽樣次重復(fù)抽樣(每每次抽一個次抽一個, 觀察后放回去再抽下一個觀察后放回去再抽下一個), 求出現(xiàn)廢品求出現(xiàn)廢品的頻率為的頻率為0.1的概率的概率.0988.097.003.0)2(1.020182220CPP解解: 令令表示表示20次重復(fù)抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù)次重復(fù)抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù), 則則B(20, 0.03)例例313一些例子一些例子(1)如果是反復(fù)地?cái)S硬幣試驗(yàn)擲了如果是反復(fù)地?cái)S硬幣試驗(yàn)擲了100次次

8、, 則則 B(100, 0.5), 最可能值是最可能值是(2)k0=100 0.5+0.5=50+0.5=50(3)如果如果 B(1000,0.3), 則最可能值是則最可能值是(4)k0=1000 0.3+0.3=300(5)在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, np+p正好是整數(shù)的情況幾乎不存正好是整數(shù)的情況幾乎不存在在,但也不排出特殊情況的可能但也不排出特殊情況的可能. 14某批產(chǎn)品有某批產(chǎn)品有80%的一等品的一等品, 對它們進(jìn)行重復(fù)抽樣檢驗(yàn)對它們進(jìn)行重復(fù)抽樣檢驗(yàn), 共取出共取出4個樣品個樣品, 求其中一等品數(shù)求其中一等品數(shù) 的最可能值的最可能值k0, 并并用貝努里公式驗(yàn)證用貝努里公式驗(yàn)證.解解:

9、B(4, 0.8), 因np+p=40.8+0.8=4是整數(shù), 所以k0=4和k0=3時(shí)P=k為最大, 即3和4為最可能值.01234P0.00160.02560.15360.40960.4096例例415一般說來一般說來, 在在n很大時(shí)很大時(shí),有不等式有不等式.,111000最大即頻率為概率的可能性故近似等于零和中即pnknpnpnppnknpppnpkpnp注意注意:16(1)Enp(2)Dnpq二項(xiàng)分布的期望和方差(3)npq17超幾何分布超幾何分布:解：解： 可取可取0,1,2,3,4,5這這5個值個值, 相應(yīng)概率為相應(yīng)概率為:)4,3 ,2, 1 ,0()(4204155kCCCkP

10、kk某班有學(xué)生某班有學(xué)生2323名名, , 其中有其中有5 5名女同學(xué)名女同學(xué), , 今從班上任選今從班上任選4 4名學(xué)生去參觀展覽名學(xué)生去參觀展覽, , 被選到的女同學(xué)數(shù)被選到的女同學(xué)數(shù)是一個隨是一個隨機(jī)變量機(jī)變量, , 求求 的分布的分布. .先看一個例子先看一個例子: :18概率分布表為概率分布表為: 01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布圖為概率分布圖為:超幾何分布超幾何分布:19定義定義: 設(shè)設(shè)N個元素分為兩類個元素分為兩類, 有有N1個元素屬于第一類個元素屬于第一類, N2個元素屬于第二類個元素屬于第二類(N1+N2=N). 從中按不重復(fù)抽

11、從中按不重復(fù)抽樣取樣取n個個, 令令 表示這表示這n個中第一個中第一(或二或二)類元素的個數(shù)類元素的個數(shù), 則則 的分布稱為超幾何分布的分布稱為超幾何分布. 其概率函數(shù)為其概率函數(shù)為:0,), 1 ,0()(21rnnNmnNmNCrnnmCCCmP則如果規(guī)定超幾何分布超幾何分布:20根據(jù)概率分布的性質(zhì)根據(jù)概率分布的性質(zhì), 必有必有1200()1,1,mn mnnNNnmmNC CPmC即超幾何分布超幾何分布:12120nmn mnNNNNmC CC或者21和二項(xiàng)分布相比和二項(xiàng)分布相比, , 二項(xiàng)分布是有放回抽樣二項(xiàng)分布是有放回抽樣, , 而超幾何而超幾何分布是不放回抽樣分布是不放回抽樣. .

12、當(dāng)在不放回抽樣時(shí)當(dāng)在不放回抽樣時(shí), , 超幾何分布中的超幾何分布中的NN1 1/ /NN相當(dāng)于二相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的參數(shù)項(xiàng)分布中的參數(shù)p p, , NN2 2/ /NN相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的相當(dāng)于二項(xiàng)分布中的q q=1-=1-p p. .超幾何分布也可以和二項(xiàng)分布一樣看作是超幾何分布也可以和二項(xiàng)分布一樣看作是n個個0-1分布的隨分布的隨機(jī)變量機(jī)變量 i的和的和, i=1,2,.,n, i表示第表示第i次抽樣抽到第一類元次抽樣抽到第一類元素的事件的次數(shù)素的事件的次數(shù), 根據(jù)抽簽原理根據(jù)抽簽原理P( i=1)=N1/N, 但如果但如果i j, i與與 j相互之間是不獨(dú)立的相互之間是不獨(dú)立的.超幾何分布與

13、二項(xiàng)分布的比較超幾何分布與二項(xiàng)分布的比較:22超幾何分布的數(shù)學(xué)期望超幾何分布的數(shù)學(xué)期望因?yàn)橐驗(yàn)?可看作可看作n個相互并不獨(dú)立但仍然服從同樣的個相互并不獨(dú)立但仍然服從同樣的0-1分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量 1, 2,., n的和的和,即即 = 1+ 2+.+ n, 其中其中NNnnpEEEniNNpEniiniii1111,2, 1,因此可以認(rèn)為可以認(rèn)為,當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與二項(xiàng)分布很大時(shí)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與二項(xiàng)分布的一樣的一樣.23因因 i服從服從0-1分布分布, 則則 i2也服從同樣的也服從同樣的0-1分布分布, 則則E i2=N1/N, 當(dāng)當(dāng)i j時(shí)時(shí), i j也服從也服

14、從0-1分布分布, )()() 1() 1() 1(21222121211121211nnnnnnnjijiEEEENNNNP而超幾何分布的方差超幾何分布的方差24因此因此22111222221111212(1)()(1)()(1)()(1)11NN NEnnnNN NDEENN NNnnnnNN NNNNNnNnnnpqNNNN25也可以直接用定義來計(jì)算也可以直接用定義來計(jì)算E 和和D NNnCCNCCCNEmkCmNmNCNCmNmNmCCCCmmmPEnNnNknNnkkNnNnmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm1111110111111111002122211)!()!1

15、()!1()!( !1)(則令26計(jì)算計(jì)算D 必須要先計(jì)算必須要先計(jì)算E ( 1) 1() 1() 1() 1() 1()!()!2()!2() 1()!()!2(!1) 1()() 1()1(11221120)2(21122111121120212221NNnnNNCCNNCCCNNCmNmNCNNCmNmNCCCCmmmPmmEnNnNnkknNkNnNmknmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm27因此因此NnNNNnnNNEEE1112) 1() 1() 1()1(11) 1() 1() 1()(21221211122NnNnpqNnNNNNNnNNnNnNNNnnNNEED

16、28在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中(1)(1)元素的個數(shù)元素的個數(shù)NN是相當(dāng)大的是相當(dāng)大的, , 例如例如, , 從中國人民從中國人民中任抽幾千個人觀察中任抽幾千個人觀察, , 從一個工廠的幾十萬件從一個工廠的幾十萬件產(chǎn)品中任抽幾千件觀察產(chǎn)品中任抽幾千件觀察, , 等等等等. .(2)(2)而在而在NN非常大的情況下非常大的情況下, , 放回抽樣和不放回放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果幾乎是相同的抽樣的結(jié)果幾乎是相同的. .(3)(3)因此有因此有, , 當(dāng)當(dāng)NN很大的時(shí)候很大的時(shí)候, , 超幾何分布可用二超幾何分布可用二項(xiàng)分布來近似項(xiàng)分布來近似. .(4)(4)或者換句話說或者換句話說, , 當(dāng)當(dāng)NN趨

17、于無窮時(shí)趨于無窮時(shí), , 超幾何分布超幾何分布的極限是二項(xiàng)分布的極限是二項(xiàng)分布. .29為證明這一點(diǎn)為證明這一點(diǎn), 首先給出一個近似公式首先給出一個近似公式!)11()21)(11(!)1()2)(1(!mnnmnnmnmmnnnnCmnCmnmnmmnmmn 這是因?yàn)楸３植蛔兊臅r(shí)候很大而當(dāng)30因此因此, 如果如果 服從超幾何分布服從超幾何分布, 則當(dāng)抽樣數(shù)則當(dāng)抽樣數(shù)n保持保持不變且遠(yuǎn)小于樣本數(shù)不變且遠(yuǎn)小于樣本數(shù)N即也小于即也小于N1和和N2時(shí)時(shí)mnmmnmnmnmnmnNmnNmNqpCNNNNmnmnnNmnNmNCCCmP2121)!( !)!(!)(21這正是二項(xiàng)分布的概率函數(shù)表達(dá)式這正是二項(xiàng)分布的概率函數(shù)表達(dá)式當(dāng)當(dāng)N趨于無窮時(shí)趨于無窮時(shí), 上面的約等于就成為等于上面的約等于就成為等于31一大批種子的發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為90%, 今從中任取今從中任取10粒粒, 求求播種后播