第十二章存儲論

1、1第12章 存儲論n第1節(jié) 存儲論的基本概念n第2節(jié) 確定性存儲模型n第3節(jié) 隨機(jī)性存儲模型2第1節(jié) 存儲論的基本概念v1.1 存儲問題的提出v1.2 存儲論的基本概念31.1存儲問題的提出v生產(chǎn)過程中經(jīng)常會出現(xiàn)供應(yīng)與需求之間的不協(xié)調(diào)，一般表現(xiàn)為供應(yīng)量與需求量或供應(yīng)時期與需求時期的不一致性，出現(xiàn)供不應(yīng)求或供過于求的情況。v在供應(yīng)與需求這兩個環(huán)節(jié)之間加入儲存環(huán)節(jié)，就能起到緩解供應(yīng)與需求之間不協(xié)調(diào)的問題v利用運(yùn)籌學(xué)的方法可以用最合理、最經(jīng)濟(jì)方式解決存儲問題。v專門研究這類有關(guān)存儲問題的科學(xué)已經(jīng)構(gòu)成運(yùn)籌學(xué)的一個分支存儲論(inventory)或庫存論。41.2 存儲論的基本概念v1.需求由于需求，從

2、存儲中取出一定的數(shù)量，使存儲量減少，造成存儲的輸出。需求的形式o間斷式需求（圖12-1）o連續(xù)均勻的需求（圖12-2）o確定性需求o隨機(jī)性需求。如果經(jīng)過大量統(tǒng)計(jì)后能會發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，稱之為有一定隨機(jī)分布的需求。圖12-1圖12-25v2. 補(bǔ)充(訂貨或生產(chǎn))存儲由于需求而不斷減少，必須加以補(bǔ)充，否則最終將無法滿足需求。補(bǔ)充就是存儲的輸入補(bǔ)充就是存儲的輸入。補(bǔ)充的辦法可能是向其他工廠購買，從訂貨到貨物進(jìn)入“存儲” 需要的時間稱為備貨時間備貨時間。o備貨時間可能很長，也可能很短，可能是隨機(jī)性的，也可以是確定性的。為了在某一時刻能補(bǔ)充存儲，必須提前訂貨，這段時間稱之為提前時間提前時間(lead-tim

3、e)。存儲策略：存儲策略：決定多少時間補(bǔ)充一次以及每次補(bǔ)充數(shù)量的策略。6 3. 費(fèi)用(1) 存儲費(fèi)存儲費(fèi)：包括貨物占用資金應(yīng)付的利息以及使用倉庫、保管貨物、貨物損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。(2) 訂貨費(fèi)：訂貨費(fèi)：包括兩項(xiàng)費(fèi)用o訂購費(fèi)用(固定費(fèi)用)如手續(xù)費(fèi)、電信往來、派人員外出采購等費(fèi)用。訂購費(fèi)與訂貨次數(shù)有關(guān)而與訂貨數(shù)量無關(guān)。o貨物的成本費(fèi)用，它與訂貨數(shù)量有關(guān)。(3) 生產(chǎn)費(fèi)生產(chǎn)費(fèi)：由本廠自行生產(chǎn)需要支出兩項(xiàng)費(fèi)用。o裝配費(fèi)用(或稱準(zhǔn)備、結(jié)束費(fèi)用，是固定費(fèi)用)。o與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量有關(guān)的費(fèi)用如材料費(fèi)、加工費(fèi)等(可變費(fèi)用)。(4) 缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)：當(dāng)存儲供不應(yīng)求時所引起的損失。在不允許缺貨的情況下，缺貨費(fèi)為無

4、窮大。7v4.存儲策略決定何時補(bǔ)充，補(bǔ)充多少數(shù)量的辦法稱之為存儲策略存儲策略，常見的策略有三種類型。o(1) t0-循環(huán)策略，每隔t0時間補(bǔ)充存儲量Q。o(2) (s,S)策略，每當(dāng)存儲量xs時不補(bǔ)充。當(dāng)xs時補(bǔ)充存儲。補(bǔ)充量Q=S-x(即將存儲量補(bǔ)充到S)。o(3) (t,s,S)混合策略，每經(jīng)過t時間檢查存儲量x，當(dāng)xs時不補(bǔ)充。當(dāng)xs時，補(bǔ)充存儲量使之達(dá)到S。如何確定存儲策略o將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型 o將復(fù)雜的條件加以簡化o用數(shù)學(xué)的方法加以研究，得出數(shù)量結(jié)論o到實(shí)踐中加以檢驗(yàn)、研究和修改8第2節(jié) 確定性存儲模型v2.1 模型一：不允許缺貨，備貨時間很短v2.2 模型二：不允許缺貨，補(bǔ)充

5、需一定時間v2.3模型三：允許缺貨，備貨時間很短v2.4模型四：允許缺貨(需補(bǔ)足缺貨)、生產(chǎn)需一定時間v2.5 價格有折扣的存儲問題92.1 模型一：不允許缺貨，備貨時間很短v假設(shè)：(1) 缺貨費(fèi)用無窮大；(2) 當(dāng)存儲降至零時，可以立即得到補(bǔ)充(即備貨時間或拖后時間很短，可以近似地看作零)；(3) 需求是連續(xù)的、均勻的，設(shè)需求速度R(單位時間的需求量)為常數(shù)，則t時間的需求量為Rt；(4) 每次訂貨量不變，訂購費(fèi)不變(每次備貨量不變，裝配費(fèi)不變)；(5) 單位存儲費(fèi)不變。10v存儲量變化情況v立即得到補(bǔ)充，不出現(xiàn)缺貨，不考慮缺貨費(fèi)用。v用總平均費(fèi)用來衡量存儲策略的優(yōu)劣：在需求確定的情況下，每

6、次訂貨量多，則訂貨次數(shù)可以減少，從而減少了訂購費(fèi)。但是每次訂貨量多，會增加存儲費(fèi)用。存量TtQ斜率：-R時間11v假定每隔t時間補(bǔ)充一次存儲，訂貨量必須滿足t時間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=Rt，訂購費(fèi)為C3，貨物單價為K，則訂貨費(fèi)為 C3+KRt；t時間的平均訂貨費(fèi)為C3/t+KR，t時間內(nèi)的平均存儲量為v單位時間內(nèi)單位物品的存儲費(fèi)用為C1，t時間內(nèi)所需平均存儲費(fèi)用為1/2（RtC1）。t時間內(nèi)總的平均費(fèi)用為C(t)t011(RT)dTRtt2Q 311( )(12 1)2CC tKRC Rtt12v只需對(12-1)式利用微積分求最小值的方法。令： 得： v因 ，即每隔t0時間訂貨一次可

7、使費(fèi)用C(t)達(dá)到最小。v訂貨批量為0RC21tCdt) t (dC123()3012Ct122C R0dt) t (Cd22()30012C RQRt123C13v上式即為存儲論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購批量公式經(jīng)濟(jì)訂購批量公式,簡稱為E.O.Q公式，也稱平方根公式，或經(jīng)濟(jì)批量公式。v由于Q0、t0皆與K無關(guān)，所以此后在費(fèi)用函數(shù)中可略去K、R這項(xiàng)費(fèi)用。如無特殊需要不再考慮此項(xiàng)費(fèi)用，(12-1)式改寫為v將t0代入(12-4)式得出最佳費(fèi)用 ( )()31C1C tC Rt124t231003131132CC R1CC(t )CC R2C2C R2C C R(125)14v從費(fèi)用曲線也可以求出t0，Q0

8、，C0。存儲費(fèi)用曲線 訂購費(fèi)用曲線 總費(fèi)用曲線 vC(t)曲線的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)t0與存儲費(fèi)用曲線、訂購費(fèi)用曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。即解出 11C Rt2tC3( )31C1C tC Rt(12-1t23100C1C Rtt2()3012Ct122C R()30012C RQRt123C()3010130C1CC Rt2C C R124t2/2C3/t15v例例1 某廠按合同每年需提供D個產(chǎn)品，不許缺貨。假設(shè)每一周期工廠需裝配費(fèi)C3元，存儲費(fèi)每年每單位產(chǎn)品為C1元，問全年應(yīng)分幾批供貨才能使裝配費(fèi)，存儲費(fèi)兩者之和最少。解解 設(shè)全年分n批供貨，每批生產(chǎn)量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次

9、)。每個周期內(nèi)平均存儲量為 每個周期內(nèi)的平均存儲費(fèi)用為 全年所需存儲費(fèi)用 全年所需裝配費(fèi)用 全年總費(fèi)用(以年為單位的平均費(fèi)用)： Q2111C Q11CQ2n2n11C QC Qn2n233DC nCQ( ) 13QDC QCC2Q16v為求出C(Q)的最小值，把Q看作連續(xù)的變量。v即 ，Q0為經(jīng)濟(jì)訂購批量。v最佳批次 (取近似的整數(shù))v最佳周期 答 全年應(yīng)分n0次供貨可使費(fèi)用最少。( )132CdC QDC0dQ2Q( )()0minC QC Q1003C DDnQ2C3012CtC D17v例例2 某軋鋼廠每月按計(jì)劃需產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月需存儲費(fèi)5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機(jī)器設(shè)備等，共

10、需準(zhǔn)備費(fèi)2500元。若該廠每月生產(chǎn)角鋼一次，生產(chǎn)批量為3000噸。每月需總費(fèi)用 5.31/23000+2500=10450(元/月)全年需費(fèi)用 1045012=125400(元/年)v按E.O.Q公式計(jì)算每次生產(chǎn)批量)(16825.3300025002C)(D)(C2Q130噸（存儲費(fèi)）需求速度裝配費(fèi)18v利用Q0計(jì)算出全年應(yīng)生產(chǎn)n0次兩次生產(chǎn)相隔的時間t0=（365/21.4）17(天)17天的單位存儲費(fèi)(5.3/30)17=3.00(元/噸)共需費(fèi)用5.3/30171682+25005025(元)按全年生產(chǎn)21.5次(兩年生產(chǎn)43次)計(jì)算，全年共需費(fèi)用502521.5=108037(元/年

11、)。v兩者相比較，該廠在利用E.O.Q公式求出經(jīng)濟(jì)批量進(jìn)行生產(chǎn)即可每年節(jié)約資金 125400-108037=17363(元)(21.4Q123000n00次192.2 模型二：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時間v假設(shè)：生產(chǎn)需要一定時間，其余與模型一相同v已知設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時間為T，則生產(chǎn)速度為P=Q/T。已知需求速度為R，(RP)。生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，剩余部分才作為存儲 。存儲變化如圖 。S0S0為庫存最大值20v在0，T區(qū)間內(nèi)，存儲以(P-R)速度增加，在T，t區(qū)間內(nèi)存儲以速度R減少。T與t皆為待定數(shù)。(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產(chǎn)T時間的產(chǎn)品等于t時

12、間內(nèi)的需求)，并求出T=Rt/P。t時間內(nèi)的平均存儲量為t時間內(nèi)所需存儲費(fèi)為t時間內(nèi)所需裝配費(fèi)為C3單位時間總費(fèi)用(平均費(fèi)用)為C(t)()1PR T211C (PR)Tt232131CPRt)RP(C21t1CTt)RP(C21t1) t (C21v設(shè)min C(t)=C(t0)，利用微積分方法可求得v相應(yīng)的生產(chǎn)批量v利用t0可求出最佳生產(chǎn)時間. .()()3o12C PQEOQ127C PR( )( )()o13PRminC tC t2C C R128P)RP(PCR2CPRtT13oo()()3012C Pt126C R PR22v將前面求t0，Q0的公式與(12-6)式，(12-7)式

13、相比較，即知它們只差一個因子 。v當(dāng)P相當(dāng)大時， 趨近于1，則兩組公式就相同了。v進(jìn)入存儲的最高數(shù)量RPPRPP()()()33ooo11312C PR2C RSQRTRC PRC P(P-R)2C R PR129C P23v例例3 某廠每月需甲產(chǎn)品100件，每月生產(chǎn)率為500件，每批裝配費(fèi)為50元，每月每件產(chǎn)品存儲費(fèi)為4元，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解解 已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，將各值代入公式(12-7)及(12-8)得答答 每次生產(chǎn)批量為56件，每次生產(chǎn)所需裝配費(fèi)及存儲費(fèi)最低為179元。 . .()312C RP2 50 100 500EOQ56C (P-R)450

14、0100（件）()()() 13o2C C R PR2 4 50 100500 100CP50032000179 元24v例例4 某商店經(jīng)售甲商品成本單價500元，年存儲費(fèi)用為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)。甲商品的定購費(fèi)為20元，提前期為10天，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解 只需在存儲降至零時提前10天訂貨即可保證需求。利用模型一的E.O.Q公式計(jì)算：最低費(fèi)用 ：%3o12C R2 20 365Q12C500 20( )()()o13minC QC Q2C C R1208 元25v一般設(shè)t1為提前期提前期，R為需求速度，當(dāng)存儲降至L=R t1的時候即要訂貨。L稱為“訂購點(diǎn)訂購點(diǎn)

15、”(或稱訂貨點(diǎn))。v確定多少時間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出t0(t0=Q0/R)，但求解的過程中并沒有求出t0，只求出訂貨點(diǎn)L即可。v存儲策略是：不考慮t0，只要存儲降至L即訂貨，訂貨量為Q0，稱這種存儲策略為定點(diǎn)定貨定點(diǎn)定貨。相對地每隔t0時間訂貨一次稱為定時訂貨定時訂貨，每次訂貨量不變則稱為定定量訂貨量訂貨。 262.3 模型三：允許缺貨，備貨時間很短v假設(shè)：允許缺貨，并把缺貨損失定量化來加以研究。o由于允許缺貨，所以企業(yè)可以在存儲降至零后，還可以再等一段時間然后訂貨。這就意味著企業(yè)可以少付幾次訂貨的固定費(fèi)用，少支付一些存儲費(fèi)用。一般地說當(dāng)顧客遇到缺貨時不受損失，或損失很小，而

16、企業(yè)除支付少量的缺貨費(fèi)外也無其他損失，這時發(fā)生缺貨現(xiàn)象可能對企業(yè)是有利的。 其余條件與模型一相同 27v設(shè)設(shè) 單位時間單位物品存儲費(fèi)用為C1，每次訂購費(fèi)為C3，缺貨費(fèi)為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲策略，使平均總費(fèi)用最小。假設(shè)最初存儲量為S，可以滿足t1時間的需求，t1時間的平均存儲量為S/2，在(tt1)時間的存儲為零，平均缺貨量為 。由于S僅能滿足t1時間內(nèi)的需求S=Rt1，有t1=S/R在t時間內(nèi)所需存儲費(fèi) 在t時間內(nèi)的缺貨費(fèi) 訂購費(fèi)為C3平均總費(fèi)用 )t-R(t211RSC21St21C2111RS)-(RtC21)t -R(t21C2221232221C2R)SRt(

17、C2RSCt1)S, t (C28v利用多元函數(shù)求極值的方法求C(t,S)的最小值。,()()1212212C1SRtSCC0StRRR0 t0 C SC RtS0C RtS1210CC()(),()() 2212322221232C1SRtS1CCCC RtS0tt2R2RtR0 t0SRtSCCC RtR C RtS022因所以將(12-10)式中S值代入上式，消去S29v可得v將(12-11)式代入(12-10)式解出Sv將(12-10)式，(12-11)式代入C(t,S)()()312o122C CCt1211C RC()23o1122C C RS1212C (CC )( , )( ,

18、)()123ooo122C C C RminC t SC t S1213CC30v當(dāng)C2很大時(即不允許缺貨) 所得結(jié)果與(12-2)式，(12-3)式，(12-5)式相同v允許缺貨最佳周期t0為不允許缺貨周期t的 1倍，訂貨間隔時間延長了。v在不允許缺貨情況下，為滿足t0時間內(nèi)的需求，訂貨量Q0=Rt0v在允許缺貨情況下，存儲量只需達(dá)到S0即可1CCC,C2122RC2CC,C2RCS,RC2Ct31o13o1o221CCC ()312o122RCCCQ12 14CC)CC(CC2RCS21132o31v顯然Q0S0，它們的差值表示在t0時間內(nèi)的最大缺貨量。v在允許缺貨條件下，經(jīng)過研究而得出

19、的存儲策略是隔t0時間訂貨一次，訂貨量為Q0，用Q0中的一部分補(bǔ)足所缺貨物，剩余部分S0進(jìn)入存儲。很明顯，在相同的時間段落里，允許缺貨的訂貨次數(shù)比不允許缺貨時訂貨次數(shù)減少了。()()32312oo1211231221212132122RC2RC CCCQSCCC CC2RCCCCCCCC2RC CC CC32v例例5 已知需求速度R=100件，C1=4元，C2=1.5元，C3=50元，求S0及C0。解解 利用(12-12)式，(12-13)式即可計(jì)算答：S0=26(件)，C0=104.45(元)(261.544501.51002)CC(CC2RCS211210件）（)104.45(1.545

20、. 11005042CCRCC2CC212310元33不允許缺貨生產(chǎn)需要時間很短不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時間在允許缺貨、生產(chǎn)需時間很短最大存儲量S0=Q03012CtC R3012C RQC3012CPtC RPR3o12CPQCPR3o12C RP RSCP2312o12CCCtCRC312o122RCCCQCC23o1122CCRSC(CC )34模型一模型二模型三13ooooCCtS21tQ21133113ooCCRPPRC2CPRPCR2CtS21132213121213ooCCCCCRC2CCCCCR2CtS21352.4 模型四：允許缺貨(需補(bǔ)足缺貨)、生產(chǎn)需一定時間36v假設(shè)條件除

21、允許缺貨,生產(chǎn)需一定時間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲變化如上圖所示。取0，t為一個周期，設(shè)t1時刻開始生產(chǎn)。0,t2時間內(nèi)存儲為零，B表示最大缺貨量。t1,t2時間內(nèi)除滿足需求外，補(bǔ)足0,t1時間內(nèi)的缺貨。t2,t3時間內(nèi)滿足需求后的產(chǎn)品進(jìn)入存儲，存儲量以(P-R)速度增加。S表示存儲量，t3時刻存儲量達(dá)到最大，t3時刻停止生產(chǎn)。t3,t時間存儲量以需求速度R減少。37v最大缺貨量B=Rt1，或B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得 最大存儲量 S=(P-R)(t3-t2)，或S=R(t-t3)，即(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)，得 ()12PRt

22、t1215P()32RRtt1tPP()()322Rtttt1216P即38在0，t時間內(nèi)所需費(fèi)用：存儲費(fèi) ： 將(12-16)式代入消去t3，得缺貨費(fèi)： 將(12-15)式代入消去t1，得 ()()()13221C PR tttt2()()2121RC PRtt2P21 21C Rt t2222tPR-PRC21裝配費(fèi)：C339在0,t時間內(nèi)總平均費(fèi)用為：v令 ， 解出t1,t2v由(12-18)式得 tCtt)CC(t2CtCPR)RP(21CtPR)RP(C21)tt (PR)RP(C21t1)t , t (C3222121132212212( ,)()()()()232211222CC

23、 t tt1 PR RCCC1217t2Ptt( ,)()()()221122C t tt1 PR R-2C2 CC1218t2Pt0t)t , t (C20t)t , t (C22()1212Ctt1219CC40v由(12-17)式得 v將(12-19)式代入上式消去t2得 記作t00tC)tt)(CC(CPR)RP(21t)t , t (C2322221120t1C)C(CC)CC(CPR)RP(2123221212110tC)C(CC-CCCPR)RP(2123212121212123122P(CC )CtC C (PR)RRPPCCCRC2Ct2211341由(12-19)有依微積分

24、的知識可以斷定C(t,t2)在t=t0， 時有最小值。RPPCCCRC2CCCCtCCCt22113211o2112o2112tCCCt42v相應(yīng)地得到 vS0(最大存儲量)312o122CCCPt(1220)C RCPR312oo122C RCCPQRt(1221)CCPRoo2ooo1ooo122o1232112RPRSR(tt )R(ttt )PPCRPRR tttPPCCCPRRtPCC2C RCPR(1222)CCCP43B0(最大缺貨量)最小費(fèi)用： o112122R(PR)BRttP2C C RPR(1223)(CC )CPo2o1312minC(t ,t )CCPR2C C R(

25、1224)CCP442.5 價格有折扣的存儲問題v價格有折扣的存儲問題是指：貨物單價可能隨訂購(或生產(chǎn))數(shù)量而變化的存儲策略。v除去貨物單價隨訂購數(shù)量而變化外，其余條件皆與模型一的假設(shè)相同v記貨物單價為K(Q)，設(shè)K(Q)按三個數(shù)量等級變化(見圖)QQKQQQKQQ0K)Q(K232121145v當(dāng)訂購量為Q時，一個周期內(nèi)所需費(fèi)用為：v平均每單位貨物所需費(fèi)用C(Q)為：(如圖)Q)Q(KCRQQC2131QKCRQQC21Q, 0(Q1311有121321QQ(Q ,Q C QCK Q2R有QKCRQQC21QQ3312有)Q, 0(QKQCRQC21)Q(C1131I)Q,Q(QKQCRQC

26、21)Q(C21231II2331IIIQQKQCRQC21)Q(C46v設(shè)最佳訂購批量為Q*，在給出價格有折扣情況下，求解步驟如下：(1) 對C(Q)(不考慮定義域)求得極值點(diǎn)為Q0(2) 若Q0Q1，計(jì)算：由minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)得到單位貨物最小費(fèi)用的訂購批量Q*。例如minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)=C(Q1)，則取Q*=Q1Io3o11oQC1C (Q )CK2RQII311121CQ1C (Q )CK2RQIII322122CQ1C (Q )CK2RQ47(3) 若Q1Q0Q2，計(jì)算C(Q0)、C(Q2)。由minC(Q0)，C(Q2)決定Q*(4) 若Q2

27、 Q0，則取Q*=Q0。48v以上步驟易于推廣到單價折扣分m個等級的情況。v比如說訂購量為Q，其單價K(Q)：v對應(yīng)的平均單位貨物所需費(fèi)用為：v對C1(Q)求得極值點(diǎn)為Q0，若Qj-1 Q0Qj，求minCj(Q0),Cj+1(Qi)，Cm(Qm-1)，設(shè)從此式得到的最小值為Cl(Ql-1)，則取Q*=Ql-1QQKQQQKQQQKQQ0K)Q(K1mmjjj21211m, 2 , 1j,KQCRQC21)Q(Cj31j49v例例6 某廠每年需某種元件5000個，每次訂購費(fèi)C3=500元，保管費(fèi)每件每年C1=10元，不允許缺貨。元件單價K隨采購數(shù)量不同而有變化。v解解 利用E.O.Q公式得到

28、分別計(jì)算每次訂購707個和1500個元件所需平均單位元件所需費(fèi)用： 因?yàn)镃(1500)C(707)知最佳訂購量Q=15001500Q)(191500Q)(20)Q(K元元)(7071050005002CR2CQ13o個)(21.4142070750050007071021707C元）（)(20.8331915005005000150010211500C元）（50第3節(jié) 隨機(jī)性存儲模型隨機(jī)性存儲模型的特點(diǎn)需求為隨機(jī)的，其概率或分布為已知?？晒┻x擇的三種主要策略： (1) 定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個周期末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。這種策略可稱為定期訂貨法。(2) 定點(diǎn)訂貨，存儲降到某一確定

29、的數(shù)量時即訂貨，不再考慮間隔的時間。這一數(shù)量值稱為訂貨點(diǎn)，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點(diǎn)訂貨法。(3) 把定期訂貨與定點(diǎn)訂貨綜合起來的方法，隔一定時間檢查一次存儲，如果存儲數(shù)量高于一個數(shù)值s，則不訂貨。小于s時則訂貨補(bǔ)充存儲，訂貨量要使存儲量達(dá)到S，這種策略可以簡稱為(s,S)存儲策略。51v與確定性模型不同的是不允許缺貨的條件只能從概率意義下理解，存儲策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。52v例7 某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價處理，作為畫片出售。由于削價，一定可以售完，此時每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，

30、市場需求的概率見表。每年只能訂貨一次，問應(yīng)訂購日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?v訂購量為4千張時獲利的期望值： EC(4)=(-1600)0.05+(-500)0.10+6000.25+17000.35 +28000.15+28000.10 =1315(元)需求量r(千張)012345概率P(r)0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.1953v按上述算法列出下表。v獲利期望值最大者標(biāo)有(*)記號，為1440元。經(jīng)比較后可知該店訂購3000張日歷畫片可使獲利期望值最大。需求量 訂貨量012345獲利的期望值0123450-400-800-1200-1600-20000700

31、300-100-500-900070014001000600200070014002100170013000700140021002800240007001400210028003500064511801440*13151025獲利54v從相反的角度考慮求解當(dāng)訂貨量為Q時，可能發(fā)生滯銷賠損(供過于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機(jī)會的損失(求過于供的情況)。把這兩種損失合起來考慮，取損失期望值最小者所對應(yīng)的Q值。當(dāng)該店訂購量為2千張時，計(jì)算其損失的可能值：當(dāng)訂貨量為2千張時，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值：EC(2)=(-800)0.05+(-400)0.10+00.25+(-700)0

32、.35+(-1400)0.15+(-2100)0.10=-745(元)按此算法列表。訂貨量(千張)012345損失的期望值-1925-1280-745-485*-610-90055第3節(jié) 隨機(jī)性存儲模型v3.1 模型五：需求是隨機(jī)離散的v3.2 模型六：需求是連續(xù)的隨機(jī)變量v3.3 模型七：(s,S)型存儲策略v3.4 模型八：需求和備貨時間都是隨機(jī)離散的563.1 模型五：需求是隨機(jī)離散的v報(bào)童問題：報(bào)童每日售報(bào)數(shù)量是一個隨機(jī)變量。報(bào)童每售出一份報(bào)紙賺k元。如報(bào)紙未能售出，每份賠h元。每日售出報(bào)紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)是已知的，問報(bào)童每日最好準(zhǔn)備多少份報(bào)紙?v解解 設(shè)售出報(bào)紙數(shù)量

33、為r，其概率P(r)為已知，設(shè)報(bào)童訂購報(bào)紙數(shù)量為Q。供過于求時(rQ)，這時報(bào)紙因不能售出而承擔(dān)損失，其期望值為：供不應(yīng)求時(rQ)，這時因缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：Q0r) r (r)P-h(Q1Qr) r (Q)P-k(r57綜合兩種情況，當(dāng)訂貨量為Q時，損失的期望值為：1QrQ0r) r (Q)P-(rk) r (P) rQ(h)Q(Cv由于報(bào)童訂購報(bào)紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導(dǎo)數(shù)的方法求極值。為此設(shè)報(bào)童每日訂購報(bào)紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應(yīng)有： C(Q)C(Q+1) C(Q)C(Q-1)58v從出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有：v經(jīng)化簡后得即 v由出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有： v經(jīng)化簡

34、后得即 2Qr1Q0r1QrQ0r) r (1)P-Q-(rk) r (P) r1Q(h) r (Q)P-(rk) r (P) rQ(h0k) r (P)hk(Q0rhkk) r (PQ0rQr1 -Q0r1QrQ0r) r (1)PQ-(rk) r (P) r1-Q(h) r (Q)P-(rk) r (P) rQ(h0k) r (P)hk(1 -Q0rhkk) r (P1 -Q0r59v報(bào)童應(yīng)準(zhǔn)備的報(bào)紙最佳數(shù)量Q應(yīng)按下列不等式確定：v從贏利最大來考慮報(bào)童應(yīng)準(zhǔn)備的報(bào)紙數(shù)量。設(shè)報(bào)童訂購報(bào)紙數(shù)量為Q，獲利的期望值為C(Q)，其余符號和前面推導(dǎo)時表示的意義相同。v當(dāng)需求rQ時，報(bào)童只能售出r份報(bào)紙，

35、每份賺k(元)，共賺kr(元)。未售出的報(bào)紙，每份賠h(元)，滯銷損失為h(Q-r)(元)。v此時贏利的期望值為：v當(dāng)需求rQ時，報(bào)童因?yàn)橹挥蠶份報(bào)紙可供銷售，贏利的期望值為 ，無滯銷損失。v由以上分析知贏利的期望值：Q-1Qr 0r 0kP(r)P(r)(1225)khQ0r) r (P)rQ(hkrr Q 1kQP(r)1QrQ0rQ0r) r (kQP) r (P) rQ(h) r (krP)Q(C60v為使訂購Q贏利的期望值最大，應(yīng)滿足下列關(guān)系式： C(Q+1)C(Q) C(Q-1)C(Q)v從式推導(dǎo)，v經(jīng)化簡后得v進(jìn)一步化簡得 Q0rQ0r1Qr1Q0r1Q0r2Qr) r (PQk

36、) r (P) rQ(h) r (rPk) r (P)1Q(k) r (P) r1Q(h) r (rPk0) r (Ph) r (Ph) 1Q(kP2QrQ0r0) r (Ph) r (P1kQ0rQ0rQ0rhkk) r (P61v同理從推導(dǎo)出v用以下不等式確定Q的值，這一公式與(12-25)式完全相同。1Q0rhkk) r (PQ0r1Q0r) r (Phkk) r (Pv利用公式(12-25)解例7的問題。 已知：k=7,h=4, P(0)=0.05，P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35 知該店應(yīng)訂購日歷畫片3千張。637. 0hkk20r30r75. 0) r (

37、P637. 040. 0) r (P62v例8 某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元，售價70元。如不能售出必須減價為40元，減價后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平均售出數(shù)為6單位(=6)。問該店訂購量應(yīng)為若干單位?解解 該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品50-40=10，利用(12-25)式，其中k=20，h=10 因 故訂貨量應(yīng)為7單位，此時損失的期望值最小。eP( )!667. 0102020hkk6e 6P( ),!Q0P( )F(6)0.6063,F(7)0.7440F(6)/()F(7)kkh記F(Q)=63v例例9

38、上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應(yīng)為若干?解解 利用(12-25)式，其中k=10,h=20 查統(tǒng)計(jì)表，找與0.3333相近的數(shù)。F(4)0.3333F(5)，故訂貨量應(yīng)為甲商品5個單位。333. 03010khk5064064457. 0!6e)5(F,2851. 0!6e)4(F64v設(shè)貨物單位成本為K，貨物單位售價為P，單位存儲費(fèi)為C1，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量，密度函數(shù)為(r)， (r)dr表示隨機(jī)變量在r與r+dr之間的概率，其分布函數(shù) 生產(chǎn)或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定Q的數(shù)值，使贏利的期望值最大?v解：解：首先我們來考慮當(dāng)訂購數(shù)量為Q時，實(shí)際銷售量應(yīng)

39、該是minr,Q。也就是當(dāng)需求為r而r小于Q時，實(shí)際銷售量為r；rQ時，實(shí)際銷售量只能是Q。v需支付的存儲費(fèi)用 v貨物的成本為KQ，本階段訂購量為Q贏利為W(Q)，a0)0a ( ,dr) r ()a (F11C (Qr)rQC (Q)0rQ65v贏利的期望值記作EW(Q)， (贏利)=(實(shí)際銷售收入)(貨物成本)(存儲費(fèi)用)v贏利的期望值： 記 1W(Q)Pminr,QKQC (Q)QQ10Q0Q10QQ0Q1Q0EW(Q)Pr (r)drPQ (r)drKQC (Q-r) (r)drPr (r)drPr (r)drPQ (r)drKQC (Q-r) (r)drPE(r)P(rQ) (r)d

40、rC (Q-r) (r)drKQKQdr) r () rQ(Cdr) r ()Qr (P)Q(CEQ01Q常量（平均盈利）缺貨損失滯銷損失常量66v為使贏利期望值極大化，有下列等式：v(12-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。(12-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)，稱為該問題的平均盈利。v根據(jù)上面的分析，求贏利極大可以轉(zhuǎn)化為求EC(Q)(損失期望值)極小。當(dāng)Q可以連續(xù)取值時，EC(Q)是Q的連續(xù)函數(shù)?？衫梦⒎址ㄇ笞钚?。maxEW(Q)PE(r)minEC(Q)(1226)maxEW(Q)minEC(Q)PE(r)(1227)Q1Q0Q1Q0ddEC(Q)

41、P(rQ) (r)drC(Qr) (r)drKQdQdQP(r)drC(r)drK0 67v令 v即 v從此式中解出Q，記為Q*，Q*為EC(Q)的駐點(diǎn)。v又因v知Q*為EC(Q)的極小值點(diǎn)，在本模型中也是最小值點(diǎn)。v若P-K0，顯然由于F(Q)0，等式不成立，此時Q*取零值。即售價低于成本時，不需要訂貨(或生產(chǎn))。式中只考慮了失去銷售機(jī)會的損失，如果缺貨時要付出的費(fèi)用C2P時，應(yīng)有v按上述辦法推導(dǎo)得Q0dr) r ()Q(F, 0dQ)Q(CdE記11PKC F(Q)P1 F(Q)K0F(Q)CP，0)Q(P)Q(CdQ)Q(CEd122Q0212CCKCdr) r ()Q(FKQdr) r

42、 () rQ(Cdr) r ()Qr (C)Q(CEQ01Q268v模型五及模型六都只解決一個階段的問題。從一般情況來考慮，上一個階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。這時應(yīng)該如何制定存儲策略呢?v假設(shè)上一階段未能售出的貨物數(shù)量為I，作為本階段初的存儲，有Q21Q0Q21Q0(12-28)minEC(Q)K(QI)C(rQ) (r)drC(Qr) (r)drKImin C(rQ) (r)drC(Qr) (r)drKQ 常量與相同69v利用 求出Q*值，相應(yīng)的存儲策略為： 當(dāng)IQ*時，本階段不訂貨。當(dāng)IQ*時，本階段 應(yīng)訂貨，訂貨量為Q=Q*-I，使本階段的存儲達(dá)到Q*，這時贏利期望值最大。v

43、這種策略也可以稱作定期訂貨，訂貨量不定的存儲策略。Q0212CCKCdr) r ()Q(F703.3 模型七：(s,S)型存儲策略v1. 需求為連續(xù)的隨機(jī)變量時設(shè) 貨物的單位成本為K,單位存儲費(fèi)用為C1，單位缺貨費(fèi)為C2，每次訂購費(fèi)為C3，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 ，分布函數(shù) ，期初存儲為I，訂貨量為Q，此時期初存儲達(dá)到S=I+Q。問如何確定Q的值，使損失的期望值最小(贏利的期望值最大)?) r (a0F(a)(r)dr,(a0)71解解 初期存儲I在本階段中為常量，訂貨量為Q，則初期存儲達(dá)到S=I+Q。本階段需訂貨費(fèi)C3+KQ，本階段需付存儲費(fèi)用的期望值為需付缺貨費(fèi)用的期望值為本階

44、段所需訂貨費(fèi)及存儲費(fèi)、缺貨費(fèi)期望值之和SQI01dr) r () rS(CQIS2dr) r ()Sr (CS2S013S2I013dr) r ()Sr (Cdr) r () rS(CI)-K(SCdr) r ()Sr (Cdr) r () rS(CKQC)S(C)QI (C72vQ可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。 v令 ，有 v 嚴(yán)格小于1，稱為臨界值，以N表示： 為得出本階段的存儲策略：v由 ，確定S的值v訂貨量Q=S -Iv本模型中有訂購費(fèi)C3，如果本階段不訂貨可以節(jié)省訂購費(fèi)C3，因此我們設(shè)想是否存在一個數(shù)值s(sS)使下面不等式能成立。SS02qdr) r (C-dr) r (C

45、KdSdC(S)0dS)S(dCS2012CKF(S)(r)dr(1229)CC212CK /CC（）S0Ndr) r (S2S013s2s01dr) r ()Sr ( Cdr) r () rS(CKSCdr) r () sr (Cdr) r () rs (CKs73v當(dāng)s=S時，不等式顯然成立。v當(dāng)sS時，不等式右端存儲費(fèi)用期望值大于左端存儲費(fèi)用期望值，右端缺貨費(fèi)用期望值小于左端缺貨費(fèi)用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一個s的值使下列不等式成立，則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲策略的s。0dr) r () sr ( C-dr) r ()Sr (Cdr) r () rs (-dr) r () rS(Cs)-K(SCs2S2s0S01374v相應(yīng)的存儲策略是：v