同濟版高等數學上冊復習資料

1、精選精選ppt1高等數學高等數學(上上) 總復習總復習第一部分 復習的重點及題型分析第二部分 高等數學(上)方法綜述 精選精選ppt2第一部分第一部分 復習的重點及題型分析復習重點復習重點三個基本計算三個基本計算 極限極限 , 導數導數 , 積分積分兩個基本應用兩個基本應用 導數應用導數應用 , 積分應用積分應用一個基本理論一個基本理論 有關中值的定理及應用有關中值的定理及應用精選精選ppt3一一. 三個基本計算三個基本計算 (約約 70 % )1. 極限的計算極限的計算 (約約 24 % )主要題型主要題型(1) 利用基本方法求極限利用基本方法求極限函數的連續(xù)性函數的連續(xù)性 ; 四則運算法則

2、四則運算法則 ; 極限存在準則極限存在準則 ;兩個重要極限兩個重要極限 ; 等價無窮小替換等價無窮小替換 ; 洛必塔法則洛必塔法則 .(2) 利用特殊方法求極限利用特殊方法求極限導數定義導數定義 ; 定積分定義定積分定義 ;微分中值定理微分中值定理 ;變限積分求導變限積分求導 ;討論左右極限討論左右極限 .(3) 無窮小量的比較無窮小量的比較精選精選ppt4例題分析例題分析例例1. 計算計算解解:11lim21 xxx原原式式0 112lim21 xxxx解解: 利用等價關系利用等價關系 xxfxxx2sin3sinlim0例例2. 設設 f (x) 處處連續(xù)處處連續(xù), 且且 f (2)=3,

3、 計算計算 xxfxxx23lim0 原原式式9)2(3 f精選精選ppt5解解: nnnn1212lim nnn1221lim 原原式式化為指數形式化為指數形式 , 利用利用uu )1ln( e 122lim nnne 例例3. 計算計算解解: 222)()2()1(limnnnnnnnIn nInknkn1)1(1lim12 102)1(dxx0111x 21 例例4. 計算計算 精選精選ppt6例例5. 計算計算1000102limxexx 21xt ttet500lim 原原式式tte!500lim 0 解解: 令令 例例6. 計算計算解解 : 令令)1ln(lim12xxxx xt1

4、 )1ln(11lim20tttt 原原式式20)1ln(limtttt ttt21lim110 )1(2lim0tttt 21 精選精選ppt7例例7. 計算計算解解:)21ln(arcsinlim240 xxxx 利用等價無窮小利用等價無窮小xx2lim0 原式原式24xx 20421limxx 41 xxx 111limxxxeln111lim 原原式式)1(1ln(111lim xxxe1 e)1(111lim xxxe例例8. 計算計算 解解: 精選精選ppt8 23)1(1lim20tttt例例9. 求求 21arcsin2limxxxx 0 解解: 令令,1xt 則則原式原式 =

5、ttt21120arcsinlim 洛洛1 例例10. 計算計算解解:xxxeexxxcossinlimtan0 直接用洛必塔直接用洛必塔法則不方便法則不方便xxxeexxxxcossin)1(limtan0 原式原式利用等價無窮小利用等價無窮小xxexx tanlim0 xcos1 xx tan精選精選ppt9例例11. 計算計算解解: 利用微分中值定理利用微分中值定理 )0(1arctanarctanlim2 ananann 111lim22 nanann 原原式式)1(之之間間與與在在 nana )1(11lim22 nnnan a 例例12. 計算計算解解:200sindcoslim2

6、xxxxx 200dcoslimxxtt原式原式2x洛洛20coslimxx x2 x21 這是積分變量這是積分變量精選精選ppt10例例13. 求求 xxxtttttan0sin00dsindtanlim00原式原式 =xxxxx20sectansincossintanlim 洛洛xsintanxsinxxtansinxtanxxxx0lim 1 利用等價無窮小利用等價無窮小解解:精選精選ppt11例例14. 已知已知解解: 1dsin1limsin0220 xxttbtxxa0limxxbx22sinsin xcos 1cos xa對所給等式左邊用洛必塔法則對所給等式左邊用洛必塔法則, 得

7、得)1cos(lim00 xax1 a1 a再利用再利用,1cos221xx ,sin22xx可知可知 22120lim1xxx xbx2sincos b2 4 b求求 a, b . 1 精選精選ppt122. 導數和微分的計算導數和微分的計算 (約約 18%)主要題型主要題型 (1) 計算計算復合函數復合函數的導數和微分的導數和微分 ;(2) 計算計算隱函數隱函數的導數和微分的導數和微分 ;(3) 參數方程參數方程求一階、二階導數求一階、二階導數 ;(4) 用導數定義求用導數定義求特殊點特殊點的導數值的導數值 ;(5) 計算計算 n 階導數階導數 .(包括包括對數微分法對數微分法)例題分析例

8、題分析精選精選ppt13例例1. 已知已知解法解法1.,1 xyeey1 xyyeeyyey)1(1yeeyyx , 10 yx得得由由210dd xxy等式兩邊對等式兩邊對 x 求導求導, 得得.0dd xxy求求故故 解法解法2. 等式兩邊取對數等式兩邊取對數, 得得 1ln xyy11 yyy兩邊對兩邊對 x 求導求導, 得得 yyy 1, 10 yx得得由由210dd xxy故故 精選精選ppt14例例2. 已知已知解：解：),1,0,0( babaaxxbbaybax兩邊取對數，得兩邊取對數，得 yln兩邊對兩邊對 x 求導求導 yybalnxa xb baxaxxbbaybalnx

9、a xb baxln lnlnxbalnlnaxb .y 求求精選精選ppt15例例3. 證明下述函數在證明下述函數在 x = 0 連續(xù)且可導連續(xù)且可導證證: 因為因為 )(xf)(lim0 xfx210limxex 0 )0(f 0)0()(lim0 xfxfxxexx210lim 2limttet 0 0,00,21 xxex又又 )(xf在在 x = 0 連續(xù)且可導連續(xù)且可導. 思考思考: 若函數改為若函數改為 )(xf0,00,1 xxex是否有同樣的是否有同樣的 結論結論? xt1令精選精選ppt16 例例4. 已知已知解解: xyddy x )1ln(2ttx tyarctan 2

10、11t 2121tt 2)1(1t 22ddxytyd)(d x 3)1(2t 2121tt 52)1()1(2tt , 求求 .dd,dd22xyxy精選精選ppt17例例5. 設設 ., )10(1111lnyxxxxxy 求求解解:ln 原式原式xx21222 xxln)11ln(2 y2111x 2122xx x1 xxxx11122 精選精選ppt18 231sinarcsindddd2xxxy 例例6. 設設解解: 23dduu vvarcsinddxx1cos1sin2 21x x14sin11 ww2sindd xx1dd ,23uy ,sin2wv xw1 ),arcsin(

11、vu .dd,1sinarcsin232xyxy求求 211sinarcsin232x 精選精選ppt19例例7. 設設,ln tytx求.ddnnxy解解: dd xy1 tt1 t dd22 xy12 tt1 t2 txynnn dd精選精選ppt20例例8. 求求解解:xexxf )(方法方法1 .xxexexf )(xex )1(xexf )( xex )1(xex )2()1(2xex )1(利用歸納法可證利用歸納法可證xnexxf )()1()()(nn方法方法2 . 利用萊布尼茲求導公式利用萊布尼茲求導公式 vuvunn)()( )()()(nxnexxf vunn)1( vun

12、nn)2(!2)1()(nvu )1()( nxnxenexxnex )1(xnen 1)1(xnenx )()1(的的 n 階導數階導數. 精選精選ppt21例例9. 設設,11 xxy求求.)(ny解解:121 xy1)1(21 x2)1( )1(2 xy3)1( )2()1(2 xy)1()()1( )()2()1(2 nnxny1)1(!)1(2 nnxn精選精選ppt223. 不定積分與定積分的計算不定積分與定積分的計算 (約約 28%)主要題型主要題型(1) 利用基本積分方法計算不定積分利用基本積分方法計算不定積分 ;(2) 利用基本積分方法及公式計算定積分利用基本積分方法及公式計

13、算定積分 ;(3) 利用簡化技巧計算積分利用簡化技巧計算積分 ;(4) 廣義積分的計算及收斂性判別廣義積分的計算及收斂性判別 .例題分析例題分析精選精選ppt23例例1. 求求解解: xxeex3d令令,xet )1(d22ttt原式原式 tttd)1(22)1(2t 2t t1 .d2sin4xx 原原式式令令,2xt ttdsin4204 例例2. 求求解解:Ct arctanCeexx arctan221434 43 精選精選ppt24例例3. 求求.d)1()2ln(2 xxx解解: 原式原式 = )2ln(x)11(d x)2ln(11 xx )1)(2(dxxx)2ln(11 xx

14、 xxxd2111 )2ln(11 xxCxx 21ln精選精選ppt25例例4. 求求解解:.d3ln31xxx xxdln3231 原原式式 32 xxxd31 3ln2 20234dxxx13ln xx 例例5. 討論積分討論積分解解: 20)3)(1(dxxx原式原式 xxxd11312120 023ln21 x xxxxd11d11212110 x232 133443ln2 的斂散性的斂散性. 發(fā)散發(fā)散可見原積分發(fā)散可見原積分發(fā)散. 精選精選ppt26例例6. 求求解解: .d12arctan2211xxxx ,sintx 再再令令奇函數奇函數偶函數偶函數xx d14102 原式原式

15、ttdcos4202 例例7. 已知已知解解: 對所給等式兩邊求導對所給等式兩邊求導, 得得,arcsind)(Cxxxfx 211)(xxfx xxxxfxd1)(d2 )1(d12122xx 求求.)(d xfxCx 232)1(31利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”, 得得 精選精選ppt27例例8. 設設 )(xf0,11 xx0,11 xxe, 求求 20d)1(xxf(P266 題題10)解解: 令令,1 xt則則 20d)1(xxf 11d)(ttf 01d11tet 10d11tt01)1ln( tet10)1ln(t )1ln(e 精選精選ppt28例例9. 已知已知解解: 由已知

16、條件得由已知條件得,dsin)(0tttxfx ,0)0( fxxxf sin)(.d)(0 xxf 0)( xfx xxfxd)(0 xxxdsin0 xxxxdsin0 xxxxdsin)(0 0cos x 求求xxfd)(0 2 精選精選ppt29 022)tan1(xxd 20 例例10. 求求 解解:xxxdsin10 xxfsin11)(sin 00d)(sin2d)(sinxxfxxfxxxdsin1120 原原式式222)cos(sinxx 2222cossinxx xxxd)tan1(tan1202222 )tan1d(2x 0tan112 x利用利用 P245 例例6(2)

17、, 即即 xxxd)tan1(sec202222 精選精選ppt30例例11. 利用遞推公式計算下列廣義積分利用遞推公式計算下列廣義積分 0d xexIxnn解解: 0dxnnexI 01d0 xexnexxnxn 01d xexnxn1 nIn 00d xeIx 0 xe1 0!InIn !n (P256 題題3)精選精選ppt31二二. 兩個基本應用兩個基本應用 (約約 24 % )1. 導數的應用導數的應用 (約約 16 % )主要題型主要題型 (1) 導數的幾何應用導數的幾何應用(2) 利用導數研究函數形態(tài)利用導數研究函數形態(tài)(3) 求解最值問題求解最值問題(4) 利用導數證明恒等式利

18、用導數證明恒等式(5) 利用單調性證明不等式利用單調性證明不等式精選精選ppt32例例1. 設函數)(xf在定義域內可導,)(xfy 的圖形如右圖所示, 則導函數的圖形為 . (2001考研考研)(A)(B)(C)(D提示提示:)(xf)(xf在某區(qū)間I 內可導, 則在I 內0)( xfx是)(xf的極值點0)(xfD例題分析例題分析精選精選ppt33ln)1ln()()(1xxxfxf例例2. 證明在xxxf)1 ()(1),0(上單調增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值

19、定理,111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當 x 0 時,0)( xf從而)(xf在),0(上單調增.得(L.P95 例4)精選精選ppt34 , )0(1111ln)( xxxxf例例3. 證明當證明當 x 0 時時,證法證法1: 設設則則2)1(1)(xxxf )0(0 x,)(單單調調遞遞降降xf0)(lim)( xfxfx .1111lnxx 故故 xxx 1111ln,0時時從而從而證法證法2:當當 x 0 時時, xxxln)1ln(11ln )10(1 xx x 11在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得精選精選ppt35.)1ln(1,0 xxxxx 時

20、時例例4. 證明證明:證證:1ln)1ln()1ln( xx)0(1xx )0(11 xxxxx 即即 xxxx )1ln(1（P130 例例1）精選精選ppt36例例5. 證明當證明當.11,10 xexx 時時01 xxexe證證: 歸結為證歸結為證 1)( xxexexf設設)1, 0(, 0)( xexxfx則則,)1 , 0()(上單調遞減上單調遞減在在故故xf,)1 , 0(時時因因此此 x即即 01 xxexexex 11從而從而,11)(xexfx 若若設設,)1(1)(2xexfx 則則在在(0,1)上不好判別正負號上不好判別正負號 ,0)0()( fxf提示提示: 證明證明

21、 f (0) 是是 f (x) 在在( , 1) 上的最大值上的最大值. )(xf說明說明: 若改為證明當若改為證明當 x 1 時時, ,11xex 如何證明如何證明? 精選精選ppt37例例5. 設設.1)1(21:, 1,0,11 pppxxxp證證明明,)1()(ppxxxf 證證: 設設,1,0)(Cxf 則則且且1)1()0( ff, 0)1 ()(11ppxppxxf令21 x得得 12121 pf 比較比較 , 可知可知, 11 , 021)(min21 pxff 1)(max01 , 0 xff故不等式成立故不等式成立 .精選精選ppt38xaxxf ln)(有兩個根有兩個根

22、;例例6. 討論方程討論方程)0(ln axax有幾個實根有幾個實根.解解: 設設,ln)(xaxxf 令令,0)(1 axfx得得ax1 x)(xf)(xf a1),( a1),0(a101ln a (最大值最大值)注意注意,)0( f,)( f因此因此當當ea10 時時,0)(1 af當當ea1 時時,0)(1 af只有一個根；只有一個根；當當ea1 時時,0)(1 af無實根無實根 .(P151 題題5)例例7. 求雙曲線1yx的曲率半徑 R, 并分析何處 R 最小?解解:,12xy ,23xy 則 R23)1(2y y 234)1(1x 32x232)(1221xx 利用baba222

23、 2 .21為最小值為最小值顯然顯然 xR11yox精選精選ppt40ArDEBh例例8. 求內接于半徑為求內接于半徑為R 的球內的正圓錐體的最大體積的球內的正圓錐體的最大體積.解解: 設錐體的底半徑為設錐體的底半徑為 r, 高為高為 h , 如圖如圖 因因 ADB BDE, 所以所以,2rhRhr )2(2hRhr 即即圓錐體體積圓錐體體積 hrV231 , )2(231hRh Rh20 , )34()(3hRhhV hhVR 2)(34 )(0,0)(34舍舍去去得得令令 hRhhV,0)(3434 RRV 又又Rh34 為極大值點為極大值點 在在 (0, 2R) 內只有唯一駐點內只有唯一

24、駐點, 且為極大值點且為極大值點, 故為最大故為最大 值點值點, 最大值為最大值為 3813234)(RRV 精選精選ppt412. 定積分的應用定積分的應用 (約約 8% )(1) 利用定積分計算面積利用定積分計算面積直角坐標方程參數方程 極坐標方程(2) 利用定積分計算弧長及旋轉體體積利用定積分計算弧長及旋轉體體積(3) 定積分的物理應用定積分的物理應用(4) 有關定積分的證明題有關定積分的證明題主要題型主要題型例題分析例題分析精選精選ppt42例例1. 求曲線求曲線解解: 設切點為設切點為, ),(00 xex則切線方程為則切線方程為 0 xey)(00 xxex 令令,0 yx得得,

25、10 x 10Sxe xxed xey 與其通過原點的切線及與其通過原點的切線及 y 軸所圍圖形軸所圍圖形 的面積的面積. 故所求面積為故所求面積為 01212xeex 121 ee121 exey 精選精選ppt43例例2. 求曲線求曲線解解: 022xdexVx xeV22 2x x 21 列表列表 :2xxe2x220 xe221xe241xe281 04 )0( xexyx繞繞 x 軸旋轉所得軸旋轉所得旋轉體的體積旋轉體的體積. 精選精選ppt44例例3. 求拋物線求拋物線xy42 解解:xoxy42xy y與直線與直線xy 所圍的圖形繞所圍的圖形繞 y 軸軸旋轉一周所得旋轉體體積旋轉

26、一周所得旋轉體體積. 44yyyd)(22412 40Vyyyd1614402 4053516131yy 15128 精選精選ppt45例例4. 求由圓求由圓yyx222 解解: 圓的方程為圓的方程為圍成的平面圖形繞圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉軸旋轉一周形成的旋轉體體積一周形成的旋轉體體積. yxyd22 1)1(22 yx 20Vtytxsin1,cos 即即o2yxytttdcos)sin1(4222 利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”2218 22 精選精選ppt46例例5. 證明提示提示: 令令0sin)()(2 xxxxfn, 得得 x = 1, 0,判別判別 x = 1 為為 f (x)

27、 在在,0 上的唯一極大點上的唯一極大點 , 故故)(max)1(,0 xff 則則)1()(fxf ttttndsin)(102 tdtttn)(102 ,0 x時時)3)(2(1 nn, 0時時 x)3)(2(1dsin)()(02 nnttttxfnx精選精選ppt47例例6. 求拋物線求拋物線21xy 在在(0,1) 內的一條切線內的一條切線, 使它與使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設拋物線上切點為設拋物線上切點為)1,(2xxM 則該點處的切線方程為則該點處的切線方程為)(2)1(2xXxxY 它與它與 x , y 軸的交點分別為軸

28、的交點分別為, )0,21(2xxA )1,0(2 xB所求面積所求面積 )(xSxx2)1(2122 102d)1(xx324)1(22 xx11MBAyxo精選精選ppt48)(xS)13()1(22412 xxx,33 x0)( xS,33 x0)( xS且為最小點 . 故所求切線為34332XY,0)( xS令令得 0 , 1 上的唯一駐點33 x, 1 , 0)(33上的唯一極小點在是因此xSx 11MBAyxo精選精選ppt49三三. 一個基本理論一個基本理論 有關中值的問題有關中值的問題 (約約 5% )主要題型主要題型(1) 討論函數的零點問題或方程根的問題討論函數的零點問題或方程根的問題存在性存在性唯一性唯一性 常用常用介值定理介值定理 ; 羅爾定理羅爾定理 利用利用單調性單調性 ; 反證法反證法(2) 利用微分和積分利用微分和積分中值定理中值定理證明等式或不等式證明等式或不等式例例1. 敘述拉格朗日中值定理并證明之敘述拉格朗日中值定理并證明之.提示提示: 利用逆向思維設出滿足利用逆向思維設出滿足羅爾定理羅爾定理的輔助函數的輔助函數 .例題分析例題分析精選精選ppt50例例2. 設常數ba,至少有一正根 , 且不超過bxaxsin.ba證證: 設bxxxxfsin)(, 則0)0( bf均為正值,證明方程bbaababaf)sin()()sin(1