ppt第四章極小值原理及其應用（章節(jié)課程）

1、第四章 極小值原理及其應用4.1 經(jīng)典變分法的局限性4.2 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理4.3 最短時間控制問題4.4 最少燃料控制問題4.5 離散系統(tǒng)的極小值原理4.6 小結(jié)1教書育人4.1 經(jīng)典變分法的局限性 上面我們用經(jīng)典變分法解最優(yōu)控制問題時，得出了最優(yōu)性的必要條件 在得出這個條件時，作了下面的假定： 是任意的，即不受限制，它遍及整個向量空間，是一個開集； 是存在的。2教書育人 在實際工程問題中，控制作用常常是有界的。如飛機舵面的偏角有限制，火箭的推力有限制，生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)能力有限制等等。一般，我們可用下面的不等式來表示iiMtu)(這時 屬于一個有界的閉集，寫成 ， 為閉集。更一般的情況可

2、用下面的不等式約束來表示。 3教書育人當 屬于有界閉集， 在邊界上取值時， 就不是任意的了，因為無法向邊界外取值，這時 就不一定是最優(yōu)解的必要條件?？疾煊蓤D4-1所表示的幾種情況，圖中橫軸上每一點都表示一個標量控制函數(shù) ，其容許取值范圍為 。4教書育人圖4-1有界閉集內(nèi)函數(shù)的幾種形狀5教書育人對于圖4-1（a） 仍對應最優(yōu)解 。對于圖4-1(b) 所對應的解 不是最優(yōu)解，最優(yōu)解 在邊界上。對于圖4-1（c） 常數(shù)，由這個方程解不出最優(yōu)控制 來（這種情況稱為奇異情況），最優(yōu)解 在邊界上。另外， 也不一定是存在的。例如狀態(tài)方程的右端 對U的一階偏導數(shù)可能不連續(xù)，或由于有些指標函數(shù)，如燃料最優(yōu)控制問

3、題中，具有下面的形式這時 對U的一階偏導數(shù)不連續(xù)。6教書育人 經(jīng)典變分法無法處理上面的情況，必須另辟新的途徑。極小值原理就是解決這類問題的有力工具。用極小值原理求解控制無約束的最優(yōu)控制問題和古典變分法是完全一樣的。1956年前蘇聯(lián)學者龐特里雅金提出這個原理時，把它稱為極大值原理，目前較多地采用極小值原理這個名字。下面給出這個原理及其證明，并舉例說明其應用。7教書育人4.2 連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理 由于可以利用擴充變量的方法將各類最優(yōu)控制問題化為定常系統(tǒng)，末值型性能指標情況下的標準形式。我們這里只就定常系統(tǒng)、末值型性能指標、 固定、末端受約束情況下給出極小值原理的簡單證明。8教書育人設系統(tǒng)的狀態(tài)方

4、程為 （4-1） 初始條件為 （4-2）控制向量，并受下面的約束 （4-3）9教書育人末值狀態(tài)必須滿足的約束條件為 （4-4） （4-5）其中性能指標函數(shù)為為待定列向量。10教書育人在本節(jié)中，假設函數(shù) ， ， ， 存在且連續(xù)，并假定容許控制 是在控制域內(nèi)取值的任何分段連續(xù)函數(shù)。這時如果選定了某一容許控制 ，則容易證明在任意的初始條件 下，方程（4-1）唯一的確定了系統(tǒng)狀態(tài)的變化規(guī)律 ，且 是連續(xù)的和分段可微的。在這些條件下，我們就定常系統(tǒng)、末值型性能指標、 固定、末端受約束情況下給出極小值原理的簡單證明。11教書育人證明： 采用擾動法，即給最優(yōu)控制一個變分 ，它將引起最優(yōu)軌線的變分 ，并使性能

5、指標有一增量 ，當 為極小時，必有 ，由此即可導出最優(yōu)控制所應滿足的必要條件。在變分法中， 是微量，即將最優(yōu)控制和鄰近的容許控制相比較，因而最多只能建立哈密頓函數(shù) 的相對極小值性質(zhì)。12教書育人龐特里亞金極大值原理卻將最優(yōu)控制與控制域內(nèi)所有可能的值進行比較，因而得出結(jié)論，在整個控制域內(nèi)最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù) 成為絕對極小值。正是這個性質(zhì)使得龐特里亞金極大值原理成為尋找最優(yōu)控制的有力工具。但是這樣， 的改變量 必須看成有限量，而不再是微量。如果讓改變的時間很短，則由此引起的最優(yōu)軌線的改變 仍是微量，性能指標的增量 也是微量，因而對各關系式的數(shù)學處理仍是比較容易的。13教書育人設 為最優(yōu)控制，任選一

6、時刻 及一微量 ，在時間間隔中 給 一有限大小的改變量 ，且使得 ?，F(xiàn)在研究由 引起的最優(yōu)軌線 的變化。分為三段考慮：1在這一段中， ，因而 。14教書育人2系統(tǒng)的狀態(tài)方程（4-1）可在初始條件下直接積分。當 時，當 時，15教書育人兩式相減可得這一段的 （4-6）可以對 的大小作估計由于 是微量，所以 也是微量，因而在精確到一階微量的情況下，下式成立 （4-7）16教書育人將式（4-7）代入（4-6），并注意到微量 在微小時間間隔上的積分是高階微量，即得在第二段時間間隔得終點 ，則有或 （4-8）其中 表示二階以上的微量。17教書育人3這時又有 ，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為而狀態(tài)變量 的變分滿足方程

7、（4-9）18教書育人引入變量 及哈密頓函數(shù) （4-10） （4-11） （4-12）19教書育人顯然，方程（4-9）和（4-11）為共軛方程，立即求得積分或 （4-13）即最終求得了由于 的有限改變而引起的最優(yōu)軌線的變化 ，特別是末值狀態(tài)的變化 。20教書育人下面研究由 引起的最優(yōu)性能指標的改變量 。由于 故有 （4-14）綜合（4-8）、（4-12）、（4-13）和（4-14）等式，可以建立 與有限改變量 之間的關系21教書育人已知 中的任意時刻，并以 表示 ，當 時，上式變?yōu)?， ，或用哈密頓函數(shù) 的表達式（4-10）表示可得 （4-15）或 于是定常系統(tǒng)、末值型性能指標、 固定、末端受

8、約束情況下極小值原理得以證明。22教書育人總結(jié)上述討論，可將龐特里雅金極小值原理寫為如下形式：定理（極小值原理）：系統(tǒng)狀態(tài)方程（4-1） 初始條件 （4-2）23教書育人控制向量 ，并受下面的約束 （4-3）終端約束 （4-4）指標函數(shù) （4-5）24教書育人要求選擇最優(yōu)控制 ，使 取極小值。 取極小值的必要條件是 、 、 和 滿足下面的一組方程1 正則方程 （協(xié)態(tài)方程） （4-16） （狀態(tài)方程） （4-17）25教書育人2 邊界條件 （4-18）3 橫截條件 （4-19）26教書育人 4 最優(yōu)終端時刻條件 （4-20）在最優(yōu)軌線 和最優(yōu)控制 上哈密 頓函數(shù)取極小值 （4-21）27教書育人

9、將上面的結(jié)果與用古典變分法所得的結(jié)果（3-34）（3-38）式）對比可見，只是將 這個條件用（4-21）代替，其它無變化。 應該指出，當 存在，且 得出的 絕對極小，如圖4-1（a）所示時， 即為條件（4-21）式。所以極小值原理可以解決變分法所能解決的問題，還能解決變分法不能解決的問題。如何應用條件（4-21）式，這是一個關鍵，我們將用具體例子來說明。28教書育人4.3 最短時間控制問題 節(jié)省時間意味著提高生產(chǎn)率或先發(fā)制人取得軍事行動的勝利。所以人們很早就開始了對最短時間控制的研究，這方面的研究結(jié)果很多，這里先就簡單的重積分系統(tǒng)的最短時間控制展開討論。 在前面的緒論中列舉了火車快速行駛問題。

10、設火車質(zhì)量m=1，把運動方程寫成狀態(tài)方程形式，令 可化為下面的最短時間控制問題。29教書育人例4-1 重積分系統(tǒng)的最短時間控制狀態(tài)方程 （4-22）初始條件為 （4-23）30教書育人終端條件為 （4-24）控制約束為 （4-25）求出使性能指標 （4-26）取極小的最優(yōu)控制。31教書育人解 ； 因為控制作用有限制（屬于有界閉集），故要用極小值原理求解。取哈密頓函數(shù) （4-27）協(xié)態(tài)方程為 （4-28） （4-29）32教書育人積分上面兩個方程可得 （4-30） （4-31）其中， 、 是積分常數(shù)。由的表達式（4-27）可見，若要選擇 使 取極小，只要使 越負越好，而 ，故當 ，且 與 反號時

11、， 取極小，即最優(yōu)控制為33教書育人由此可見，最優(yōu)解 取邊界值+1或-1，是開關函數(shù)的形式。什么時候發(fā)生開關轉(zhuǎn)換，將取決于 的符號。而由（4-31）式可見， 是 的線性函數(shù)，它有四種可能的形狀（見圖4-2）， 也相應有四種序列 由圖4-2可見，當 為 的線性函數(shù)時 最多改變一次符號。34教書育人圖4-2 與 的四種形狀35教書育人從上面兩式消去t，即可得相軌跡方程 （4-33）當時 ，狀態(tài)方程的解為 （4-32）下面來求出 取不同值時的狀態(tài)軌跡（也稱為相軌跡）。36教書育人在圖4-3中用實線表示，不同的C值可給出一簇曲線。由（4-32）第一式知 增大時 增大，故相軌跡進行方向是自下而上，如圖中

12、曲線上箭頭所示。當 時，狀態(tài)方程的解為 （4-34）消去 ，可得相軌跡方程37教書育人圖4-3 相軌跡圖38教書育人在圖4-3中用虛線表示。因 增大時， 減少，故相軌跡進行方向是自上而下。兩簇曲線中，每一簇中有一條曲線的半支進入原點。在 的曲線簇中，通過原點的曲線方程為 （4-36）39教書育人這半支用 表示。在 的曲線簇中，通過原點的曲線方程為 （4-37）這半支用 表示。 和 這兩個半支通過原點的拋物線稱為開關線，其方程為 （4-38）40教書育人圖4-4 最優(yōu)相軌跡與開關線41教書育人當初始狀態(tài) 在開關線左側(cè)，如圖4-4中D點，從D點轉(zhuǎn)移到原點，并在轉(zhuǎn)移過程中只允許 改變一次符號的唯一途

13、徑如圖所示，即從D點沿 的拋物線移到與 相遇，在相遇點改變 的符號為 ，再沿 到達原點。因此，只要初始狀態(tài)在開關線左側(cè)，都沿 的拋物線轉(zhuǎn)移到 ，然后 改變符號為 ，并沿 到達原點。同樣，當初始狀態(tài)在開關線右側(cè)，如圖4-4中的M點，則先沿 的拋物線轉(zhuǎn)移到 ，然后 改變符號為 ，并沿 到達原點。42教書育人在圖4-4中開關曲線（由 和 組成）把 - 平面劃成兩個區(qū)域。開關線左側(cè)（圖中劃陰影線部分）區(qū)域用 表示， 中的點滿足 則 （4-39）開關線右側(cè)區(qū)域用 表示， 中的點滿足 則 （4-40）43教書育人于是最優(yōu)控制規(guī)律可表示為狀態(tài) 的函數(shù)，即 （4-41） （4-42）根據(jù)上面的關系， 可以通過

14、非線性的狀態(tài)反饋來構(gòu)成。44教書育人圖4-5 重積分系統(tǒng)時間最優(yōu)控制的框圖45教書育人圖4-5表示了重積分系統(tǒng)時間最優(yōu)控制的工程實現(xiàn)。由圖可見 時， ，即滿足（4-39）式， 時， ，即滿足（4-40）式。 圖中的繼電函數(shù)早期是用繼電器實現(xiàn)的，由于繼電器在動作時有砰砰聲，故這種最優(yōu)控制又稱為“砰砰”控制。當然，現(xiàn)在可以用無接觸的電子開關或微處理機來實現(xiàn)這種控制規(guī)律，既方便、可靠，又無砰砰聲了。46教書育人例42 積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)系統(tǒng)的最短時間控制其傳遞函數(shù)為 （4-43）其中 為大于零的實數(shù)。由（4-43）式可得運動方程為（4-44）47教書育人令 和 為狀態(tài)變量，并有（4-45）控制約

15、束為 ，最優(yōu)控制只能取 。48教書育人（1）對于 情形，狀態(tài)方程為其狀態(tài)軌線相跡為 （4-46）49教書育人如圖4-6(a)所示，箭頭為狀態(tài)運動方向。它有一條漸近線 ，如圖中虛線所示。在這簇曲線中，只有 到達平衡位置0。 ， （4-47）50教書育人（2）對于 的情形，狀態(tài)方程為其狀態(tài)軌線相跡為 （4-48）51教書育人如圖4-6(b)所示，箭頭為狀態(tài)運動方向。它有一條漸近線 ，如圖中虛線所示。在這簇曲線中，只有 到達平衡位置0。 （4-49）52教書育人(a) u=153教書育人(b) u= -1圖4-6 系統(tǒng)的相軌跡54教書育人將 和 合并成一條曲線，其方程為 （4-50）令 （4-51）

16、（4-52）55教書育人于是曲線 方程可寫為 （4-53）曲線 將相平面分成兩部分，如圖4-7所示。的上半平面包括 記為 ， 的下半平面包括記為 ，那么 （4-54）56教書育人圖4-7 系統(tǒng)的時間最優(yōu)相軌跡和開關線57教書育人由于最優(yōu)控制只取 ，它們的切換最多一次，根據(jù)狀態(tài)初始位置不同，它們最優(yōu)控制是不同的，如圖中初始狀態(tài)在A點時，它屬于 ，所以開始 。當運動到達時 ， 與交于a點，馬上切換為 ，以后沿 運動直到平衡位置0，再除去控制量 。當初始狀態(tài)在B點時，它屬于 ，最優(yōu)控制應先取 ，到達 交于b點時，馬上切換為 ，以后沿 繼續(xù)運動，直到平衡位置0，切除控制量。58教書育人綜上所述，最優(yōu)控

17、制的狀態(tài)反饋規(guī)律為 （4-55）最短時間最優(yōu)控制的方框圖如圖4-8所示，圖中虛線部分是最短時間最優(yōu)控制器。59教書育人圖4-8 系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制框圖60教書育人4.4 最少燃料控制問題在人類的經(jīng)濟活動、軍事行動以及其它活動中無時無刻不在消耗著形形色色的燃料，減少燃料消耗，節(jié)省能源成了當今世界科研的重要課題。特別在宇宙航行中，所消耗的燃料十分昂貴，而且如果需要的燃料多了，會減少運送的有效載荷（如衛(wèi)星、空間站等），因此在宇宙航行中最早提出了最少燃料消耗的最優(yōu)控制問題。一般來說，控制物體運動的推力或力矩的大小，是和單位時間內(nèi)燃料消耗量成正比的，因而在某一過程中所消耗的燃料總量可用下面的積分指標來表

18、示61教書育人其中 是單位時間內(nèi)的燃料消耗量。62教書育人 值得指出的是，在最少燃料控制問題中，終端時間 一般應給定，或者是考慮響應時間和最少燃料的綜合最優(yōu)問題。因為若考慮純粹的最少燃料控制問題，則將導致系統(tǒng)的響應時間過長，理論上要經(jīng)過無窮長時間，系統(tǒng)才轉(zhuǎn)移到所要求的狀態(tài)。這是很顯然的，因為燃料消耗得少，推力就小，系統(tǒng)的運動加速度和速度就小。另一方面所指定的時間 必須大于同一問題的最短時間控制所解出的最短時間 ，否則最少燃料控制將會無解。我們還是以重積分系統(tǒng)為例來說明最少燃料控制的解法。63教書育人例43 重積分系統(tǒng)的最少燃料控制系統(tǒng)狀態(tài)方程 （4-56）初始條件 （4-57）終端條件 （4-

19、58）64教書育人控制約束 （4-59）求出使性能指標 （4-60）取極小的最優(yōu)控制。65教書育人解 用極小值原理求解，哈密頓函數(shù)為（4-61）協(xié)態(tài)方程為 （4-62）66教書育人積分上面兩個方程可得 （4-63）這里哈密頓函數(shù) 與最短時間控制的 不同，考察的表達式可知，無論 為何值，使極小等價于求下式的極小67教書育人考察上面的表達式，當 時，如 ，則 ，故應取 ；當時，則應取，使 ，于是可得出使 極小的最優(yōu)控制規(guī)律為68教書育人 （4-64） （4-65） （4-66） （4-67）69教書育人注意到上面得到的最優(yōu)控制規(guī)律中前兩式確定了 可取值0、1，而后兩式只確定了 的符號，未確定 的值

20、。但由 的表達式可知，只要 就隨 而線性變化并有圖4-2所示四種圖形，于是 只可能在兩個孤立的時刻 取得值+1和-1。這兩個孤立時刻 的值對積分指標 的貢獻為零，因此我們可不加考慮，而認為 只能取值0和1。這說明 可用帶死區(qū)的繼電函數(shù)描述，如圖4-9。和最短時間控制一樣， 時的狀態(tài)軌跡為70教書育人 （4-68）圖4-9 帶死區(qū)的繼電函數(shù)71教書育人圖4-10 最少燃料控制的控制量和相軌跡72教書育人在圖4-10中用實線表示。 時的狀態(tài)軌跡為 （4-69）在圖4-10中用虛線表示。73教書育人最少燃料控制的特點是 可取零值。當 ，由狀態(tài)方程可求得 （4-70）狀態(tài)軌跡為水平線，在圖4-10中用

21、點劃線表示。當 時，水平線向右移動， 時，水平線向左移動。74教書育人若初始狀態(tài) 是第一象限內(nèi)的點A，則從圖4-10狀態(tài)軌跡的運動方向可知，引向原點的軌跡有下面幾種（見圖4-11）：75教書育人圖4-11最少燃料控制的相軌跡76教書育人1 沿ABO到達原點，對應的控制序列 為 。這是最少燃料控制，但因為在BO段 （即 ），故 到達原點的時間 為無窮大，不能滿足給定值的要求。77教書育人2 沿ADO到達原點，對應的控制序列為 。這是最短時間控制的軌跡，到達原點時間將小于給定的 ，但它不是最少燃料控制。78教書育人3 沿ACEO到達原點。其中C點和E點坐標待定，以滿足給定的終端時刻 。這是滿足終端

22、時刻 要求的最少燃料控制。設初始點A的時刻為 ,坐標為 ；到達C點的時刻為 ，坐標為 ，到E點的時刻為 ，坐標為 ；到達原點 的時刻為 。AC段對應 ，CE段 ，EO段 ，由積分狀態(tài)方程（4-56）可得79教書育人 : （4-71） （4-72）80教書育人 （4-73） （4-74）81教書育人 （4-75） （4-76）82教書育人由上面六個方程來解六個未知數(shù)： 、 、 、 、 、 。 83教書育人由（4-75）、（4-76）兩式消去 ，再考慮（4-73）式可得 （4-77） （4-78）由（4-71）、（4-72）兩式得 （4-79） （4-80）84教書育人由（4-78）、（4-79）

23、兩式得 （4-81）將（4-81）代入（4-74）式得 85教書育人再利用（4-77）和（4-80）式，即得 由上式解出 （4-82）86教書育人這里必須保證 為實數(shù)，并在上式中選擇正確的加減號。為了使 為實數(shù)，必須有 這說明，若 規(guī)定小于最短時間（使上式等于零的 值），最少燃料控制是無解的。87教書育人為了選擇正確的加、減號，應注意有下面的關系即 ，由（4-81）式可得 于是從（4-82）式可知，應選擇加號，即 （4-83）88教書育人將上式代入（4-78）和（4-79）式可得 （4-84） （4-85）89教書育人這樣，我們就完全可以確定轉(zhuǎn)換點C和E的坐標。由圖4-11可見E點的坐標 處在

24、開關線 上 ，可按最短時間控制一樣的方式來構(gòu)成反饋控制。C點坐標 由式（4-80）和（4-83）給出，由此二式可見，它們?nèi)Q于 和 、 。當 給定時，還要給定一個初始條件，譬如 ，才能從此二式消去 得到下面的C點軌跡曲線（在圖4-12中用 來表示）90教書育人當 、 可取各種值時，開關曲線將取決于初始條件，這在工程實現(xiàn)上是不方便的。91教書育人最后，我們要強調(diào)指出，規(guī)定了終端時刻，最少燃料的控制量 不僅可取邊界值 ，而且還可取零值，對重積分系統(tǒng)來講，系統(tǒng)有加速段，減速段和等速運行段。而最短時間控制系統(tǒng)只有加速和減速段。以飛機為例，從一個城市以規(guī)定的時間飛到另一城市且使燃料消耗為最少的策略是，作

25、一段加速飛行，作一段等速滑翔飛行，再作一段減速飛行，而且規(guī)定的時間要足夠大，否則最少燃料問題是無解的。92教書育人圖4-12 滿足終端時刻 要求的最少燃料控制的相軌跡93教書育人4.5 離散系統(tǒng)的極小值原理 在現(xiàn)實世界中有些系統(tǒng)本身是離散的，要用離散的狀態(tài)方程來加以描述。有些系統(tǒng)本身雖是連續(xù)的，但采用計算機控制，控制量只在離散的時刻算出來，設計這類系統(tǒng)時，連續(xù)對象的狀態(tài)方程要進行離散化。下面就來討論離散系統(tǒng)的極小值原理。問題的提法如下：94教書育人系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （4-86） 為 維向量， 為 維向量。上式右端在一般情況下是 和 的非線性函數(shù)。95教書育人初始條件為 （4-87）終端約束為

26、（4-88） 是 維向量方程。96教書育人性能指標為 （4-89）要求確定控制序列 ， ，1， ，使 最小。下面按控制向量 受約束和不受約束兩種情況來討論。97教書育人（一）控制向量無約束 這時可用古典變分法求解。作增廣性能指標（4-90）式中， 是協(xié)態(tài)向量（ 維）， 是拉格朗日乘子向量（ q 維） 98教書育人引入下面的哈密頓函數(shù) （4-91） 并令 （4-92）99教書育人則 （4-93）100教書育人 的一次變分可寫成 （4-94）101教書育人上式中 。由于初始條件 給定，故 。根據(jù) 以及 ， ， 的任意性，可推導出最優(yōu)控制序列應滿足的必要條件：正則方程 （4-95） （4-96）10

27、2教書育人 橫截條件 （4-97） 控制方程 （4-98） 初始條件 （4-99）103教書育人所得結(jié)果與連續(xù)系統(tǒng)類似，但應注意協(xié)態(tài)方程（4-95）的右側(cè)無負號。從上面的一組方程可知，我們已知初始條件 ，又從橫截條件可求出 ，這樣得出了離散非線性兩點邊值問題，求解一般是困難的。104教書育人（二）控制向量有約束。 這時 一般不成立。根據(jù)極小值原理，哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制序列上取極小值，即105教書育人例44 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （4-100）無約束，指標函數(shù)為 （4-101）用離散極小值原理求最優(yōu)控制 ，使 取極小。106教書育人解 哈密頓函數(shù)為 （4-102）協(xié)態(tài)方程為 （4-103）即協(xié)態(tài)為常

28、數(shù)。107教書育人橫截條件為 （4-104）控制方程為 （4-105） （4-106）108教書育人因協(xié)態(tài)為常數(shù)，故控制也是常數(shù)，令 （4-107）現(xiàn)在來解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，由初始條件 可得 （4-108） （4-109）109教書育人因為 （4-110）故 （4-111）于是最優(yōu)控制為 （4-112） 110教書育人代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，可求得最優(yōu)狀態(tài)為 （4-113）111教書育人例4-5 在N級換熱器系列的最優(yōu)設計中，設 為流出第 個換熱器的油料溫度， 是第 個換熱器的換熱面積， 是第 個換熱器的熱載體溫度， 是第 個換熱器的正常數(shù)。112教書育人則狀態(tài)方程為 （4-114）方程右端對 是非線

29、性的。這里 表示加熱器級數(shù)，是空間離散變量，但在求解時與時間離散問題一樣。113教書育人邊界條件為 （4-115）性能指標是使換熱總面積最小，即 （4-116）最小。114教書育人解 這里 無約束，可用變分法求解。作哈密頓函數(shù) （4-117）協(xié)態(tài)方程為 即 （4-118）115教書育人控制方程為 即 （4-119）116教書育人由上式求出 比求 容易，故解得 （4-120）將（4-120）式代入?yún)f(xié)態(tài)方程（4-118），消去 ，得 （4-121）117教書育人由狀態(tài)方程（4-114）可解出 （4-122）令 ，由上式可得 （4-123）118教書育人將（4-122）、（4-123）代入（4-121），消去 ，可得 （4-124）119教書育人（4-124）式是關于 的非線性差分方程，若 已知和 就可遞推求出 ，故從終端 向后遞推比較方便。已知 ，但不知 ，只能先假定一個 ，由（4-124）算出 ；再循環(huán)用（4-124）可依次遞推求得， ， 。若最后求出的 等于或很接近于給定的初始條件 ，則這組序列 就是最優(yōu)狀態(tài)軌跡；否則另取 再重算，直到 ，這組序列 就是最優(yōu)狀態(tài)軌跡。把 代入式（4-122）就可求出最優(yōu)控制序列 。120教書育人從上面的說明可知，