第十章能量法

1、18 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院力學(xué)課部28 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法第十章 能量法10.1 概述10.2 應(yīng)變能.余能10.3 卡氏定理10.4 用能量法解超靜定問題*10.5 虛位移原理及單位力法38 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法10.1 概述能量原理能量原理：固體力學(xué)中運(yùn)用功與能有關(guān)的基本原理統(tǒng)稱為能量原理。能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形體系統(tǒng)的受力、應(yīng)力與變形的原理與方法，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)，也是當(dāng)今

2、應(yīng)用甚廣的有限元法求解力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。 前面解決了強(qiáng)度問題（簡(jiǎn)單變形組合變形） 剛度問題怎么辦？1、能否避免組合變形的微分方程？2、能否只求出若干控制點(diǎn)的變形，避免求整個(gè)變形曲線 用揭示本質(zhì)法尋根 能量法48 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法1. 能量法：能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。2. 能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：（1）線彈性體；非線性彈性體（2）靜定問題；超靜定問題（3）是有限單元法的重要基礎(chǔ)o 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：o 1. 不管中間過程，只算最終狀態(tài)o 2. 能量是標(biāo)量，

3、容易計(jì)算58 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法10.2 應(yīng)變能.余能一、條件一、條件大前提：1、小變形小變形； 2、服從胡克定律線彈性體線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外載的線性函數(shù)小前提：緩慢加載緩慢加載變力做功，功只轉(zhuǎn)成變形位能（不轉(zhuǎn)成動(dòng)能、熱能）68 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法基于能量守恒原理，外力功在數(shù)值上等于存儲(chǔ)在彈性體內(nèi)的變形能。 即 U=W2. 桿件的變形能 例如，圖示懸臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：PW21UUU變形能：或QMUUU在數(shù)值上，U=W78 July 2022

4、材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法外力功的表達(dá)式外力功的表達(dá)式思考：外力功在P-曲線上的幾何意義?線彈性小變形下的外力功PPdW2100PdW載荷-位移(P-D)曲線靜加載下的外力功88 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法內(nèi)力功（變形能）的表達(dá)式內(nèi)力功（變形能）的表達(dá)式應(yīng)力-應(yīng)變(-)曲線線彈性材料的彈性比能21u彈性材料的彈性比能0du98 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法直桿的軸向拉伸與壓縮直桿的軸向拉伸與壓縮 *以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*長(zhǎng)為L(zhǎng)的線彈性直桿，其截面抗拉壓

5、剛度為EA 。當(dāng)軸力N=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為EALN2222lLEAlN21EALNALEANANVU2)(21212LLdxxlLEAEAdxxNU22)(22)(LNEAdxxNU2)(2EALNUN22niiiiiAELNU122U=W=當(dāng)軸力N=N(x)時(shí)，桿的變形能為108 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且桿件為等截面圓桿（實(shí)心、空心、薄壁）*長(zhǎng)為L(zhǎng)的等截面圓桿，其截面扭轉(zhuǎn)剛度為GIp 。當(dāng)扭矩MT=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為pTGILM2222LGIpTM21pTApTAGILMdAIM

6、GLLdAGU2)(2212222LLppTdxdxdGIGIdxxMU2222)(LpTMGIdxxMUT2)(2pTMGILMUT22nipiiiTiIGLMU122U=W=當(dāng)扭矩MT=MT(x)時(shí)，桿的變形能為118 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法平面彎曲直梁平面彎曲直梁*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且只考慮了彎曲正應(yīng)力產(chǎn)生的變形能*長(zhǎng)為L(zhǎng)的等直桿，橫截面彎曲剛度為EI 。當(dāng)彎矩M=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為EILM222)(2yEIL M21ALdAEU221 LLdxyEIEIdxxMU2222)(LMEIdxxMU2)(2EILMU

7、M22niLiiiiiIEdxMU122U=W=當(dāng)彎矩M=M(x)時(shí)，桿的變形能為AdAyIMEL22)(2EILM22128 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法比較基本變形桿件的變形能計(jì)算公式比較基本變形桿件的變形能計(jì)算公式變形能=內(nèi)力功=(內(nèi)力2)桿件長(zhǎng)度2(桿件剛度) lP21TM21M21EALN22pTGILM22EILM22eWUVudVUVdVG221VdVE221VdVE221EALN22pTGILM22EILM22變形能=彈性比能桿件的體積138 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法彎曲切應(yīng)力產(chǎn)

8、生的變形能彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能2242yhIFSGALPbdyyhGILFLdAGUhhSAFS5348222/2/222222解：在梁的長(zhǎng)度方向上，F(xiàn)S=P；0 x4h，D10h，D 1；并知1、2兩桿的桿長(zhǎng)為l。試用余能定理計(jì)算各桿的內(nèi)力。 解：取D處的支反力X為多余未知力?；眷o定系統(tǒng)如圖b。FBDCA132 (a)BA(b)DC132XF 由圖b的平衡得各桿軸力：XFXFFFNNN321 cos2498 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法余能密度為：1010021cos2) 1(1ddd111nnnNnccAXFKnKAFKvv103) 1(

9、1d3nncAXKnvXFXFFFNNN321 cos2BA(b)DC132XF 508 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法注意到D處的變形相容條件 D=0 及余能定理 D=Vc / X解得nNNnNFFFFFX/1221/123coscos2coscos21總余能為11332211coscos22) 1(nnnccccAXAXFKnlAVvVvVvV這種以力為基本未知量，把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問題的方法稱為這種以力為基本未知量，把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問題的方法稱為518 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例 試用

10、卡氏第二定理求圖a所示剛架的支反力。已知兩桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)剛架變形的影響。 解：取B處的支反力X為多余未知力?；眷o定系統(tǒng)如圖(b)。BD段xXxMXxxM)()(各段彎矩及其對(duì)X的偏導(dǎo)如下eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kN m(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段xXxMMXxxMe)()(528 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法注意到B處的變形相容條件 wB=0 及卡氏第二定理xXxMxMEIXVwlBd)()(1解得kN56.164333212aqMaXe進(jìn)一步對(duì)圖b列平衡方程，可得A處的支反力

11、mkN2 .92)(kN56.16)(kN50MFFAAyAxCA段aXyMyqMXayMe)(2)(2DqAa2Ca2BMeyxX(b)538 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例 圖a所示兩端固定半圓環(huán)在對(duì)稱截面處受集中力F作用。環(huán)軸線的半徑為R，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求對(duì)稱截面上的內(nèi)力。 FR(a)548 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法解：基本靜定系統(tǒng)如圖b。 切口處相應(yīng)的多余未知力分別用X1、 X2和X3表示。與X1、 X2和X3對(duì)應(yīng)的廣義位移分別為兩切開截

12、面的相對(duì)分開量、相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)錯(cuò)動(dòng)量。值均為0。F22FX11X2X3XX3X2（b）結(jié)合卡氏第二定理得補(bǔ)充方程（取1/4圓環(huán)）：) 3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii558 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法)3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii其中：1)()cos1 ()()cos1 (sin2)(2121XMRXMXRXRFM解得：FRXFX8) 3(2842221568 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個(gè)

13、虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功或內(nèi)力虛功，這便是虛功原理虛功原理。 eiWW eiWU 外力虛功=內(nèi)力虛功外力虛功=虛應(yīng)變能*10.5 虛位移原理及單位力法P(實(shí)際載荷實(shí)際載荷)(單位載荷單位載荷)xdx內(nèi)力：變形：MMFNT S l變形：000S0 MMFNT0000 l內(nèi)力：1、虛功原理、虛功原理578 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法內(nèi)力：變形：MMFNT S l變形：000S0 MMFNT0000 l內(nèi)力： N lSF TM M)()d( )()(0000MdMFdlNddWTSi0000d dMM

14、dFldNdUTSi1eW內(nèi)力虛元功虛應(yīng)變?cè)芡饬μ摴?88 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功或內(nèi)力虛功，這便是虛功原理。 llTllMddMQdlNd00001虛功原理的適用范圍如何？虛功原理的適用范圍如何？EIdxMdGIdxMdGAdxkQdEAdxNldpT00000000 , , , 線彈性、小變形條件下llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000即線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）598 Ju

15、ly 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）其中最常用于計(jì)算梁的變形的莫爾積分lEIdxMM0對(duì)于一段同材料等截面（等剛度）梁，則ldxMMEI01下面介紹一種由圖形互乘代替積分的方法608 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法2、圖乘法、圖乘法設(shè)M0(x)=ax+b（一段斜線），積分項(xiàng))( 0CxM即當(dāng)M0圖中為一段斜線時(shí)，莫爾積分項(xiàng)等于M圖的面積與M0圖中與M圖形心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。提問：當(dāng)M圖中為一段斜線時(shí)，

16、上述結(jié)論應(yīng)該怎樣？dxMMl00dxbaxMl0)(dxMbdxMxall00 )(baxC618 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法常見圖形的形心和面積直角三角形二次拋物線二次拋物線面積1=bh/2面積2=2bh/3面積3=bh/312)832()32()42()3(2hbbbbhbbbhbb/3h3b/8b頂點(diǎn)hb/4b頂點(diǎn)h628 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 圖示梁，求中點(diǎn)C的撓度。)(3845 4858232242EIqllqllEIyC利用彎矩圖的對(duì)稱性可簡(jiǎn)化計(jì)算。解：畫出彎矩圖M(圖b)

17、和M0(圖c).ldxMMEI01)( 0CxM638 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 圖示梁，求載荷作用點(diǎn)的撓度。)(72912 923292321923292322113EIPllPlllPllEIyp解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).ldxMMEI01)( 0CxM648 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法3、力法正則方程、力法正則方程 例題 懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。問題為三次超靜定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b)；支反

18、力X1和X2（圖b和圖c)單獨(dú)作用圖。0232231EILXEILXyyqAA02221EILXEILXqAA式中， 分別表示外載荷在靜定基中X1和X2方向上產(chǎn)生的位移。PAPAy,658 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法按照歸一化要求，改寫002222112212211111XXXXPP式中， 為Xi 方向上的總位移；i 為外載荷(P)在靜定基中在Xi 方向上的位移；Pi 為未知反力Xj =1在靜定基中作用在Xi 方向上的位移；ij上式稱為力法正則方程， 稱為柔度系數(shù)。ij668 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量

19、法能量法ljiijlipPidxMMEIdxMMEI00011利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為提問 ：對(duì)二次靜不定問題要作幾個(gè)彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢? 提問 ：運(yùn)用前面的知識(shí)，證明柔度系數(shù)具有對(duì)稱性 ij= ji678 July 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。求支反力。解：畫靜定基（圖a)，分別畫彎矩圖b-d；EIPlllPlEIP485)65)(2221(131EIPllPlEIP8)1)(2221(122EIllllEI3)32)(2(1311EIllEI)1)(1(122EIlllEI2)1