復(fù)習(xí)提綱（含練習(xí)）必修二

1、復(fù)習(xí)提綱含練習(xí)必修二一幾何體的認(rèn)識(shí)1. 棱柱:兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體稱為棱柱2. 棱錐: 有一面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐3. 棱臺(tái): 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部，這樣的多面體叫做棱臺(tái)1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？分析：如圖18所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱，因此說(shuō)有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.圖18 由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱，關(guān)鍵是

2、緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：有兩個(gè)面互相平行；其余各面都是四邊形；每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征.2.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？剖析：如圖19所示，將正方體ABCDA1B1C1D1截去兩個(gè)三棱錐AA1B1D1和CB1C1D1，得如圖20所示的幾何體. 圖19 圖20 圖20所示的幾何體有一個(gè)面ABCD是四邊形，其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個(gè)幾何體不是棱錐，因此說(shuō)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐.由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵是緊扣棱錐的3個(gè)本質(zhì)特征：有一個(gè)面是多邊形；其余各面都

3、是三角形；這些三角形面有一個(gè)公共頂點(diǎn).這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的幾何體不具備特征.3. 以下幾何體是臺(tái)體的是 圖2活動(dòng)：學(xué)生回憶臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征.分析：A中的“側(cè)棱沒(méi)有相交于一點(diǎn)，所以A不是臺(tái)體；B中的幾何體沒(méi)有兩個(gè)平行的面，所以B不是臺(tái)體；很明顯C是棱錐，D是臺(tái)體.答案：D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征.像這樣的概念辨析題，主要是依靠對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征的準(zhǔn)確把握.例1. 寧夏模擬，理6長(zhǎng)方體AC1的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長(zhǎng)方體的外表的最短距離為 A. B. C. D.活動(dòng)：解決空間幾何體外表上兩點(diǎn)間最短線路問(wèn)題，一般都是將空間幾何體外表展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線

4、段長(zhǎng)，這表達(dá)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.解：如圖3，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1.圖3如圖4所示，將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開(kāi),圖4那么有AC1=，即經(jīng)過(guò)側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是；如圖5所示，將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開(kāi),那么有AC1=，即經(jīng)過(guò)側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是；圖5如圖6所示，將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開(kāi),圖6那么有AC1=，即經(jīng)過(guò)側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是.由于，所以由A到C1在正方體外表上的最短距離為.答案：C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查空間

5、幾何體的簡(jiǎn)單運(yùn)算及轉(zhuǎn)化思想.求外表上最短距離可把圖形展成平面圖形.4.如圖23，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA11的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到M的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N，求P點(diǎn)的位置.圖23分析：把三棱錐展開(kāi)后放在平面上，通過(guò)列方程解應(yīng)用題來(lái)求出P到C點(diǎn)的距離,即確定了P點(diǎn)的位置.解：如圖24所示，把正三棱錐展開(kāi)后，設(shè)CP=x,圖24根據(jù)可得方程22+3+x)2=29.解得x=2.所以P點(diǎn)的位置在離C點(diǎn)距離為2的地方.二中心投影與平行投影例2.如圖12甲所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點(diǎn)

6、，G是正方形BCC1B1的中心，那么四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖12乙中的_. 甲 乙圖12活動(dòng)：要畫(huà)出四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影，只需畫(huà)出四個(gè)頂點(diǎn)A、G、F、E在每個(gè)面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個(gè)平行平面上的投影是相同的.分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖12乙1；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖12乙2；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖12乙3.答案：123點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行投影和空間想象能力.畫(huà)出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)等，畫(huà)出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次

7、連接即可得此圖形在該平面上的投影.如果對(duì)平行投影理解不充分，做該類(lèi)題目容易出現(xiàn)不知所措的情形，防止出現(xiàn)這種情況的方法是依據(jù)平行投影的含義，借助于空間想象來(lái)完成.5 .變式訓(xùn)練 如圖13(1)所示，E、F分別為正方體面ADDA、面BCCB的中心，那么四邊形BFDE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖13(2)的_. (1) (2)圖13分析：四邊形BFDE在正方體ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是B.答案：B C6. 兩條相交直線的平行投影是 D 三空間幾何體的直觀圖例3. 如圖7所示，梯形ABC

8、D中，ABCD，AB=4 cm，CD=2 cm，DAB=30，AD=3 cm，試畫(huà)出它的直觀圖.圖7活動(dòng)：利用斜二測(cè)畫(huà)法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測(cè)畫(huà)法中，要有一些平行于原坐標(biāo)軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標(biāo)系中過(guò)作出該點(diǎn)在x軸的垂足，那么對(duì)應(yīng)地可以作出線段的直觀圖，進(jìn)而作出整個(gè)梯形的直觀圖.解：步驟是：1如圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖9所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x軸，y軸，使xAy=45.2如圖8所示，過(guò)D點(diǎn)作DEx軸，垂足為E.在x軸上取AB=AB=4 cm，AE=AE=cm 2.598 cm；過(guò)E作EDy軸，使ED=

9、，再過(guò)點(diǎn)D作DCx軸，且使DC=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖103連接AD、BC、CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖10所示，那么四邊形ABCD就是所求作的直觀圖.7 .一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，那么該平面圖形的面積等于 A. B. C. D.分析：平面圖形是上底長(zhǎng)為1，下底長(zhǎng)為.答案：D8. 假設(shè)一個(gè)三角形，采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀圖，那么其直觀圖的面積是原來(lái)三角形面積的 A.倍 C.倍 D.倍分析：，那么直觀圖的面積是原來(lái)三角形面積的倍.答案：A四空間幾何體的三視圖，外表積與體積1. 柱體，椎體，臺(tái)體體積公式：V柱體=Sh V

10、錐體= V臺(tái)體=h (S,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).2. 球外表積，體積公式：S=4R2, V=例4 棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC圖6，求它的外表積.圖6活動(dòng)：回憶幾何體的外表積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的外表積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SDBC，交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面體SABC的外表積S=4.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多面體的外表積的求法.變式訓(xùn)練9 .圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.假設(shè)圓柱的底面半徑為r，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積

11、.解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側(cè)=S，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式可得：圓柱的母線高長(zhǎng)為，由題意得圓錐的高為，又圓錐的底面半徑為r，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長(zhǎng)l=，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得S圓錐側(cè)=rl=r10 .圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6和4的矩形，那么圓柱的全面積為_(kāi).分析：圓柱的側(cè)面積S側(cè)=64=242.以邊長(zhǎng)為6的邊為軸時(shí)，4為圓柱底面圓周長(zhǎng)，所以2r=4，底全=242+8.底全=242+18.答案：242+8或242+1811 .圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為2、4，截得這個(gè)圓臺(tái)的圓錐的高為6，那么這個(gè)圓臺(tái)的體積是_.分析：設(shè)這個(gè)圓臺(tái)的高為h，畫(huà)出圓臺(tái)的

12、軸截面，可得，解得h=3，所以這個(gè)圓臺(tái)的體積是(22+24+42)3=28.答案：2812 .圖20是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn).現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉局部的體積是原正方體體積的幾分之幾?圖20分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，那么正方體的體積為a3. 三棱錐的底面是RtAGF，即FAG為90，G、F又分別為AD、AA1的中點(diǎn)，所以AF=AG=.所以AGF的面積為.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的

13、中點(diǎn)，所以AH=.所以鋸掉的局部的體積為.又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.13 .山東臨沂高三期末考試，理13一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，且面積為S，那么圓錐的底面面積是_.分析：如圖21，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意得解得r=，所以圓錐的底面積為r2=.圖21答案：14 .如圖22，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a，高為2a，內(nèi)裝水假設(shè)干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖23，這時(shí)水面恰好為中截面，那么圖22中容器內(nèi)水面的高度是_. 圖22 圖23分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h，水的體積為V，那么V=SABCh.又圖23中水組成了一個(gè)直四棱柱，其底面積為，高度為2a

14、，那么V=2a，h=.答案：15.全國(guó)高考卷，理5如圖41所示，在多面體ABCDEF中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF=2，那么該多面體的體積為 A. B. C. D. (1) (2)圖4分析：如圖4(2)所示，過(guò)B作BGEF于G，連接CG，那么CGEF，BF=1，BCG中，BG=，BC邊上的高為，而SBCG=1=,VFBCG=.同理過(guò)A作AHEF于H，那么有VEAHD=，顯然BCGADH為三棱柱，VBCGADH=1=，那么由圖4(2)可知VADEBCF=VFBCG +VEAHD+VBCGADH=.答案：A點(diǎn)評(píng)：16廣東將正三棱柱截去三個(gè)角如圖1所示分

15、別是三邊的中點(diǎn)得到幾何體如圖2，那么該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖或稱左視圖為 EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。17、江蘇模擬由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是 俯視圖左視圖主視圖解：以俯視圖為主，因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)。點(diǎn)評(píng)：從三視圖到確定幾何體，應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾

16、何體，最后便可得出這個(gè)立體體組合的小正方體個(gè)數(shù)。18.廣東佛山一模，理4如圖6所示，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其正視圖與側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，那么其體積是 圖6A. B. C. D.分析：根據(jù)三視圖可知該幾何體是正四棱錐，且底面積是4，高為正視圖等邊三角形的高，所以體積為.答案：B19 山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為 圖11A.1 B. C. D.活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖復(fù)原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱

17、錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAAB，PAAC，ABAC.那么該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為V=.圖12答案：D點(diǎn)評(píng)：此題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類(lèi)題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.20.山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8假設(shè)一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖13所示，那么這個(gè)正三棱柱的外表積為 圖13A. B. C. D.分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為，正三棱柱的高為2，那么底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，所以該正三棱柱的外表

18、積為342+24=24+.圖14答案：C21.某個(gè)幾何體的三視圖如圖24，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸：cm,可得這個(gè)幾何體的體積是 圖24A. cm3 B 3 C.2 000 cm3 D.4 000 cm3分析：該幾何體是四棱錐，并且長(zhǎng)為20 cm的一條側(cè)棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,底面是邊長(zhǎng)為20 cm的正方形如俯視圖，所以底面積是2020=400 cm2，所以該幾何體的體積是40020=cm3.答案：B例5. 廣東高考，12假設(shè)棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的外表積為_(kāi).分析：畫(huà)出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對(duì)角線，所以球的半徑R=，那么該球的外表積為S=4R2

19、=27.答案：27點(diǎn)評(píng)：此題主要考查簡(jiǎn)單的組合體和球的外表積.球的外表積和體積都是半徑R的函數(shù).對(duì)于和球有關(guān)的問(wèn)題，通?？梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫(huà)出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練22.全國(guó)高考卷，理7各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個(gè)球的外表積是 A.16 B.20 C.24 分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫(huà)出球的軸截面可得，該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=，所以球的外表積為S=4R2=24.答案：C23.天津高考，理12一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，那么此球的外表積為_(kāi).分析

20、：長(zhǎng)方體的對(duì)角線為，那么球的半徑為,那么球的外表積為4()2=14.答案：1424.北京西城抽樣，文11假設(shè)與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9，那么球的外表積是_.分析：畫(huà)出球的軸截面，那么球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，那么球的半徑為=5，所以球的外表積是452=100.答案：10025.海南高考，文11三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=,那么球的體積與三棱錐體積之比是 分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面積是2rr=r2,所以三棱錐體積是，又

21、球的體積為，那么球的體積與三棱錐體積之比是4.答案：D點(diǎn)評(píng)：.五 平面1.對(duì)平面的理解: 無(wú)限延展性, 不可度量性2. 公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理2刻畫(huà)了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一. 除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點(diǎn).(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.其作用是：其一它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直

22、線；其二它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，那么這點(diǎn)在交線上圖1例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，那么AEF與GH互相平行BEF與GH異面CEF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上DEF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解：依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因?yàn)镋HBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交

23、點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上。選D。點(diǎn)評(píng)：此題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問(wèn)題。利用四個(gè)公理來(lái)證明共點(diǎn)、共線的問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。26.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1C與面DBC1交于O點(diǎn)，AC、BD交于M，如圖23.圖23求證：C1、O、M三點(diǎn)共線.證明：C1、O、M平面BDC1,又C1、O、M平面A1ACC1,由公理3，C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上,C1、O、M三點(diǎn)共線.六.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是0，90求

24、異面直線夾角方法: 一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法求解公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 符號(hào)表示為：ab,bcac.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).27在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點(diǎn)，試判斷以下各對(duì)線段所在直線的位置關(guān)系：圖101AB與CC1；2A1B1與DC；3A1C與D1B；4DC與BD1；5D1E與CF.解：1C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,AB與CC1異面.2A1B1AB，ABDC，A1B1DC.3A1D1B1C1，B1C1BC，A1

25、D1BC，那么A1、B、C、D1在同一平面內(nèi).A1C與D1B相交.4B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,DC與BD1異面.5如圖10，CF與DA的延長(zhǎng)線交于G，連接D1G，AFDC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，A為DG的中點(diǎn).又AEDD1，GD1過(guò)AA1的中點(diǎn)E.直線D1E與CF相交.點(diǎn)評(píng)：兩條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看上去都平行或重合.兩條直線相交，總可以找到它們的交點(diǎn).作圖時(shí)用實(shí)點(diǎn)標(biāo)出.兩條直線異面，有時(shí)看上去像平行如圖中的EB與A1C，有時(shí)看上去像相交如圖中的DC與D1B.所以要仔細(xì)觀察，培養(yǎng)空間想象能力，尤其要學(xué)會(huì)兩條直線異面判定的方法.例7 如圖11，點(diǎn)A是

26、BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角.圖11解：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接EG、FG.因E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EGBC且EG=，F(xiàn)GAD，且FG=.由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即EGF為所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得EGF=90.點(diǎn)評(píng)：此題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在EFG中求角.通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系.28.全國(guó)二10正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)

27、與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，那么所成的角的余弦值為 ABCD解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OESD.所以AEO為異面直線SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，那么在AEO中，OE1,AO，AE=，于是，應(yīng)選C。點(diǎn)評(píng)：求異面直線所成的角，一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解。七、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1. 直線與平面平行的定義：如果直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行.直線與平面的三種位置關(guān)系.：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.2. 直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直

28、線與此平面平行.符號(hào)語(yǔ)言為：.3. 直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. 這個(gè)定理用符號(hào)語(yǔ)言可表示為：例8 設(shè)P、Q是邊長(zhǎng)為a的正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如圖8,1證明PQ平面AA1B1B；2求線段PQ的長(zhǎng).圖8(1)證法一：取AA1,A1B1的中點(diǎn)M,N,連接MN,NQ,MP,MPAD,MP=,NQA1D1,NQ=,MPND且MP=ND.四邊形PQNM為平行四邊形.PQMN.MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,PQ面AA1B1B.證法二：連接AD1,AB1,在AB1D1中,顯然P,Q

29、分別是AD1,D1B1的中點(diǎn),PQAB1,且PQ=.PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,PQ面AA1B1B.(2)解:方法一:PQ=MN=.方法二：PQ=.例9.如圖8,E、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，平面過(guò)EH分別交BC、CD于F、G.求證：EHFG.圖8證明：連接EH.E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),EHBD.又BD面BCD，EH面BCD,EH面BCD.又EH、面BCD=FG,EHFG.點(diǎn)評(píng)：見(jiàn)到線面平行，先過(guò)這條直線作一個(gè)平面找交線，那么直線與交線平行.29.如圖12，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB

30、=b，CDAB.圖121求證：EFGH是矩形；2設(shè)DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面積.(1)證明：CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCD=EF,CDEF.同理HGCD,EFHG.同理HEGF，四邊形EFGH為平行四邊形.由CDEF，HEAB，HEF為CD和AB所成的角.又CDAB，HEEF.四邊形EFGH為矩形.2解：由1可知在BCD中EFCD，DE=m，EB=n,.又CD=a,EF=.由HEAB,.又AB=b,HE=.又四邊形EFGH為矩形,S矩形EFGH=HEEF=.點(diǎn)評(píng)：線面平行問(wèn)題是平行問(wèn)題的重點(diǎn)，有著廣泛應(yīng)用.30假設(shè)a、b，那么ab 假設(shè)a，b，那么ab 假設(shè)ab，b，那

31、么a 假設(shè)ab，b，那么a B.1 C.2 答案：A31A.如果直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線成異面直線，那么lB.如果直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，那么lC.如果直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線成異面直線，那么lD.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么該直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線E.如果一條直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，那么這條直線與這個(gè)平面平行答案：C八、平面與平面平行的判定、性質(zhì)1.平面的兩種位置關(guān)系：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么兩平面平行假設(shè)=,那么.如果兩個(gè)平面有一條公共直線，那么兩平面相交假設(shè)=AB,那么與相交.圖12.兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這

32、兩個(gè)平面平行.假設(shè)a，b，ab=A,且a,b，那么.利用判定定理證明兩個(gè)平面平行，必須具備：()有兩條直線平行于另一個(gè)平面;()這兩條直線必須相交.3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.ab. 應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)是：過(guò)某些點(diǎn)或直線作一個(gè)平面.例10 正方體ABCDA1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1平面BDC1.圖9活動(dòng)：證明：ABCDA1B1C1D1為正方體，D1C1A1B1,D1C1=A1B1.又ABA1B1,AB=A1B1,D1C1AB,D1C1=AB.四邊形ABC1D1為平行四邊形.AD1BC1.又AD1平面AB1D

33、1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.同理，BD平面AB1D1.又BDBC1=B，平面AB1D1平面BDC1.32.：a、b是異面直線，a平面,b平面，a，b.求證：.證明：如圖13,在b上任取點(diǎn)P，顯然Pa.于是a和點(diǎn)P確定平面，且與有公共點(diǎn)P.圖13設(shè)=a，a，aa.a.這樣內(nèi)相交直線a和b都平行于，九.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1.直線與平面垂直的定義: 一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，這條直線和這個(gè)平面互相垂直.2. 直線和平面垂直的判定定理: 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面. 符號(hào)語(yǔ)言表示為：l. 3. 直線和平面所成的角:

34、平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. 直線與平面所成角的范圍是090求直線和平面所成的角的方法：“一找二證三求，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。4. 直線和平面垂直的性質(zhì)定理: 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行例11 如圖9,在正方體ABCDA1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.圖9活動(dòng)：解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，因?yàn)锳1B1B1C1,A1B1B1B,所以A1B1平面BCC1B1.所以A1B1BC1.又因?yàn)锽C1B1C，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，BA

35、1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,BA1O=30.因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30.例12 山東高考,文20如圖11(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)(1)求證：D1CAC1；2設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說(shuō)明理由.1證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，如圖11(2).(2)DC=DD1，四邊形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1=D,AD平面DCC1D1，D1C平面DC

36、C1D1.ADD1C.AD、DC1平面ADC1，且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解：連接AD1、AE，如圖11(3).(3)圖11設(shè)AD1A1D=M,BDAE=N,連接MN，平面AD1E平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，需使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，N是AE的中點(diǎn).又易知ABNEDN，AB=DE,即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.33. 在正方體ABCDA1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心.求證：A1O平面GBD.圖12證明：BDA1O.又A1O2=A1A2+AO2=a2

37、+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,A1O2+OG2=A1G2.A1OOG.又BDOG=O,A1O平面GBD.34. 如圖16，在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).圖161求證：ACBC1;2求證：AC1平面CDB1；1證明：在ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC為直角三角形.ACCB.又CC1面ABC,AC面ABC,ACCC1.AC面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,ACBC1.2證明：連接B1C交BC1于E，那么E為BC1的中點(diǎn)，連接DE,

38、那么在ABC1中,DEAC1.又DE面CDB1,那么AC1面B1CD.十.平面與平面垂直的判定1.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角的概念: 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角0180二面角求法：“一找二證三求，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。3.兩個(gè)平面垂直的判定定理: 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么

39、這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：. . 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.4. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理: 如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.AB. 例13. 如圖7,O在平面內(nèi)，AB是O的直徑，PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn).圖7求證：平面PAC平面PBC.證明：設(shè)O所在平面為,由條件，PA,BC,PABC.C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是O的直徑,BCAC.又PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC

40、.35. 如圖8，把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC，圖81求證：平面ABD平面ABC；2求二面角CBDA的余弦值.1證明：(證法一):由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，那么OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點(diǎn).OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(證法二):取AB中點(diǎn)O，連接OD、OC,那么有ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.設(shè)AC=a，那么OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.2解:取BD的中點(diǎn)E，連接C

41、E、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同1可證OC平面ABD.OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，那么CE=，OE=，cosOEC=.點(diǎn)評(píng)：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線.36. 如圖12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).1求證：MN平面PAD；2求證：MNCD；3假設(shè)二面角PDCA=45，求證：MN平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示,1取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ、NQ,那么QNDC,AMDC,QNAM.四邊形AMNQ是平行四邊形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.2PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.3由2知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNA