新高一2022年暑假講義第21講 不等式恒成立問題與能成立問題（解析版）

1、第21講：不等式恒成立問題與能成立問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1在解決不等式恒成立、能成立的問題時(shí)，常常使用不等式解集法、分離參數(shù)法、主參換位法和數(shù)形結(jié)合法解決，方法靈活，能提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)【基礎(chǔ)知識(shí)】不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：二次函數(shù)型恒成立問題例1若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（ ）ABCDD【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，需，解得，綜上.故選：D變式訓(xùn)練1：若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDD【詳

2、解】當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)恒成立，滿足條件；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以，解得，綜上可知，故選：D.變式訓(xùn)練2：不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDC【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意的恒成立，所以函數(shù)對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)易知，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.變式訓(xùn)練3：設(shè).若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（1）；【詳解】由題意，不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立.所以.考點(diǎn)二：二次函數(shù)型能成立問題例2若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】不等式等價(jià)于存在，使成立，即 設(shè)

3、當(dāng)時(shí)， 所以 .故選：A變式訓(xùn)練1：若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCDA【詳解】解：關(guān)于的不等式在區(qū)間，上有解，在，上有解，即在，上成立；設(shè)函數(shù)，在，上是單調(diào)減函數(shù)，又，所以的值域?yàn)?，要在，上有解，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：變式訓(xùn)練2：若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDB【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪猓圆坏仁皆谏嫌薪猓?令，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B變式訓(xùn)練3：已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）ABCDD【詳解】不等式在上有解，在上有解，在單調(diào)遞增，.故選：D.考點(diǎn)三：基本不等式型恒成立問題例3若正數(shù)、滿足，若不等式的恒

4、成立，則的最大值等于（ ）ABCDA【詳解】已知正數(shù)、滿足，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，.因此，實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.變式訓(xùn)練1：已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ）AB C D B【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8，所以，即，解得.故選：B變式訓(xùn)練2：已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A或B或CDC【詳解】若恒成立，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以所以，即，解得：故選：C變式訓(xùn)練3：已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（1）；（2）.【詳解】（1），所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)取

5、等號(hào)，的最大值為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)，解得.即a的取值范圍是.考點(diǎn)四：變換主元例4已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為_.【詳解】由題意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，則對(duì)任意恒成立，則滿足解得，即的取值范圍為.故答案為.變式訓(xùn)練1：已知時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）A(-，2)(3，+)B(-，1)(2，+)C(-，1)(3，+)D(1，3)C【詳解】由題意，因?yàn)闀r(shí)，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，則對(duì)應(yīng)任意恒成立，則滿足，解得：或，即的取值范圍為.故選：C變式訓(xùn)練2：若不等式對(duì)任意成立，則的取值范圍為（ ）ABCDA【詳解】由題得不等式對(duì)任意成立，所以，即，

6、解之得或.故選：A變式訓(xùn)練3：已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為_.【詳解】由題意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，則對(duì)任意恒成立，則滿足解得，即的取值范圍為.故答案為.【過關(guān)檢測(cè)】1、關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDB【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則成立，故符合題意，時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以，不等式變?yōu)椋?，所以：，綜上.故選：B.2、已知不等式的解集為則的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁樗?，解得，所以的取值范圍是，故選：A.3、不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）ABCDC【詳解】不等式可變形為由不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即，解得所

7、以實(shí)數(shù)a的范圍是故選：C4、已知函數(shù)，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCDD【詳解】由題知不等式,對(duì)一切恒成立所以當(dāng)時(shí), ,滿足；當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性知，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：，故選:D5、已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDC【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榭占圆坏仁皆谏虾愠闪?，?dāng)時(shí)：且解得：； 當(dāng)時(shí)即，當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式在上不恒成立；綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：C.6、若關(guān)于的不等式對(duì)一切的實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDD【詳解】原不等式等價(jià)于對(duì)一切的實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于對(duì)一切的實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，解得綜上

8、所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D7、已知函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDB【詳解】，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，；當(dāng)時(shí)，則令，則即，解得故選：B8、若對(duì)滿足的任意正數(shù)及任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】正數(shù)滿足，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，解得故選：A9、（多選）對(duì)于正數(shù)，且，若恒成立，則可以為（ ）A3BC2D1BCD【詳解】因?yàn)閷?duì)于正數(shù)，滿足， 所以恒成立化為，恒成立 ，又因?yàn)椋?dāng)時(shí) 等號(hào)成立，所以，選項(xiàng)BCD都符合題意，故選：BCD.10、（多選）已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）ABCD2ACD【詳解】，即，當(dāng)且僅

9、當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即， 解得：或，選項(xiàng)中滿足條件的有ACD.故選：ACD11、已知、為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【詳解】因?yàn)?、為兩個(gè)正實(shí)數(shù)，由可得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.12、已知，若不等式恒成立，則的最大值為_【詳解】由題意，不等式恒成立，且，即為恒成立，即成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得等號(hào)，即有，則的最大值為.故13、若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，所以；又因不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值 ，故故14、，且，不等式恒成立，則的

10、范圍為_.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以小于等于最小值，所以，?5、若不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是_或【詳解】解：因?yàn)?，所以令，即在恒成立，即時(shí)恒成立，所以，即，解得或；解得或，所以原不等式組的解集為故16、對(duì)于，不等式恒成立的的取值范圍是_【詳解】，令，當(dāng)時(shí)，則不成立；當(dāng)時(shí)，解得：或；當(dāng)時(shí)，解得：或；綜上所述.故答案為.17、已知.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.（1）或；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即 ， ，即，解得或，原不等式的解集為或.（2）當(dāng)時(shí)恒成立，即，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.18、已知二次函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）存在，使得有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）1；（2）【詳解】（1）的對(duì)稱軸為，開口向上，若在上單調(diào)遞減，則，故的最小值為1；（2），即在有解，令，對(duì)稱軸為，開口向上，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，