概率與過程課件：第二章 隨機變量及其分布 第一節(jié) 隨機變量的概念與離散型隨機變量

1、 1、隨機變量 2、離散型隨機變量 3、隨機變量的分布函數 4、連續(xù)型隨機變量 5、隨機變量函數的分布第二章 隨機變量及其分布對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量實例: 做試驗拋一枚均勻硬幣，其樣本空間SH,T 可規(guī)定映射 隨機變量實際上是定義在樣本空間上的一個實函數。2.1 隨機變量定義. 設S是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數即對于每一個eS，有一實數X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z 或 、等表示。隨機變量的特點: 2 X的每個可能取值所對應的事件是兩兩互不相容的 1 X的部分可能

2、取值可用來描述隨機事件 例1：引入適當的隨機變量描述下列事件： 將3個球隨機地放入三個格子中，事件 A=有1個空格，B=有2個空格， C=全有球。 進行5次試驗，事件 D=試驗成功一次， F=試驗至少成功一次，G=至多成功3次解： 設X為將3個球隨機地放入三個格子后的空格數，則A=X=1，B=X=2，C=X=0 設Y為進行5次試驗中成功的次數，則D=Y=1，F(xiàn)=Y1,G=Y3隨機變量的例子1例2 擲一顆骰子，令 X：出現(xiàn)的點數則 X 就是一個隨機變量它的取值為1，2，3，4，5，6 表示擲出的點數不超過 4 這一隨機事件； 表示擲出的點數為偶數這一隨機事件隨機變量的例子2例3 上午 8:009

3、:00 在某路口觀察，令： Y：該時間間隔內通過的汽車數則 Y 就是一個隨機變量，它的取值為 0，1， 表示通過的汽車數小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件注意 Y 的取值是可列無窮個！隨機變量的例子3例 4 觀察某電子元件的壽命（單位：小時），令 Z：該電子元件的壽命則Z 就是一個隨機變量它的取值為所有非負實數表示該電子元件的壽命不超過500小時這一隨機事件表示該電子元件的壽命大于 1000小時這一隨機事件注意 Z 的取值是不可列無窮個！隨機變量的例子4本節(jié)小結1）隨機變量的概念要求：1）會用隨機變量表示事件內容： 隨機變量隨機變量的分類2

4、.2離散型隨機變量定義如果隨變量的全部可能取值只有有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量。設離散型隨機變量X的可能取值為 取值x1, x2, , xn, ( )且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn,( ,) ，則稱PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布?？杀頌?PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或Xx1 x2xKPkp1p2pk2.2離散型隨機變量定義 若隨機變量X取值x1, x2, , xn, ( )且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn,( ,) 則稱X為離散型隨機變量，而稱PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分

5、布律或概率分布?？杀頌?PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或Xx1 x2xKPkp1p2pk(1) 非負性： pk 0, k1, 2, (2) 歸一性： 2. 分布律的性質例0 設隨機變量 X 的分布律為求常數c。解：由分布律的性質，得該級數為等比級數，故有所以 c=3隨機變量分布律的例子1例1 設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數X為k的概率。解: X的可能取值為0，1，2超幾何分布作業(yè)5.1和5.2參照此例題例2 從110這10個數字中隨機取出5個數字，令X：取出的5個數字中的最大值試求X的分布律解： X 的可能取值為5，6，7,8，9，1

6、0具體寫出，即可得 X 的分布律：隨機變量分布律的例子2解：設Ai第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2,A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,5. X的可能取值為0,1,2,3,4,5(1-p)5 例3.某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數，求X的分布律。隨機變量分布律的例子3例1 設隨機變量X的分布律為試求:解：0.87 0.72 0.7作業(yè)6.1參照此例離散型隨機變量相關事件的概率幾個常用的離散型分布1、（0-1）分布若以X表示進行一次試驗中事件A發(fā)生的次數，則稱X服從（01）分布(兩點分布) X的分布律為伯努利試驗：若試驗E只

7、有兩個結果，記為 n重伯努利試驗：獨立重復的進行n次貝努利試驗。每次試驗均為貝努利試驗，只有兩個結果。重復，指每次試驗P(A)不變，為定值。獨立，指某次試驗事件A發(fā)生與否與其它次試驗 事件A發(fā)生與否互不影響。伯努利 （ Bernoulli）試驗（二）定義 設將試驗獨立重復進行n次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗.若以X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數，則稱X服從參數為n,p的二項分布。記作XB（n,p),其分布律為：（01）分布是二項分布的特例.2、二項分布二項分布分布律的證明非負性歸一性幾個二項分布的分布律圖示例 1 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出

8、4個可能答案，其中只有一個答案是正確的某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗二項分布的例子1所以例2.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數,求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,X B(6,1/3),于是,X的分布律為:作業(yè)5.3和5.4參照此例題二項分布的例子2上例中以Y表示汽車行駛途中在停止前所通過的路口數，求Y的分布律。 解： Y的可能取值為0,1，63

9、、 泊松(Poisson)分布P()如果隨機變量X 的分布律為 則稱隨機變量 X 服從參數為的泊松分布泊松分布分布律的歸一性思考：參數可不可以是零或負數？Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一自然界及工程技術中的許多隨機指標都服從Poisson分布例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內收到的呼叫次數，放射物在某一時間間隔內發(fā)射的粒子數，容器在某一時間間隔內產生的細菌數，某一時間間隔內來到某服務臺要求服務的人數，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的例1.設某國每對夫婦的子女數X服從參數為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對

10、夫婦,至少有3個孩子的概率。解:由題意,泊松分布的例子1例2：設書中每一頁上印刷錯誤個數服從參數為=1/2的泊松分布，求（1）一頁上至少有一處印錯的概率？(2) 10頁中至多有一頁有錯的概率？解: (1) 設X為一頁上印刷錯誤的個數，則 所求概率為：(2) 設Y為10頁中有錯的頁數，則 所求概率為：泊松分布的例子2泊松定理 泊松定理： 設隨機變量XnB(n, p), 且n很大，p很小，記=np，則 泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數=np的泊松分布。例3. 某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數不少于2的概率。解

11、:設X表示400次獨立射擊中命中的次數，則XB(400, 0.02)，故PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=0.997165作業(yè)5.6參照此例題用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故近似地有 PX21 PX0P X11(18)e80.996981泊松分布的例子34、幾何分布若隨機變量 X 的分布律為幾何分布的概率背景在貝努利試驗中，試驗進行到 事件A 首次出現(xiàn)為止則稱X服從參數為p的幾何分布則X服從參數為p的幾何分布令X為所需試驗次數，歸一性例6. 進行獨立重復試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進行的試驗次數，求X的分布律。解:m=1時,m1時,X的全部取值為:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次試驗時成功并且 在前m次試驗中成功了m-1次超幾何分布如果隨機變量 X 的分布律為超幾何分布的概率背景 一批產品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件為正品現(xiàn)從中取出 n 件令 X：取出 n 件產品中的次品數， 則 X 的分 布律為其中N,M,n均為自