20116.4同余關(guān)系

1、6.4同余關(guān)系同余的定義運(yùn)算上的同余關(guān)系：設(shè)A=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，是載體S上的等價(jià)關(guān)系，任取a,b,cS。(1)當(dāng)abab,則等價(jià)關(guān)系在一元運(yùn)算下是可保持的，稱是關(guān)于運(yùn)算同余關(guān)系。(2)當(dāng)ab和cda*cb*d，則等價(jià)關(guān)系在二元運(yùn)算*下是可保持的，稱是關(guān)于運(yùn)算*同余關(guān)系。2022/7/1116.4同余關(guān)系ababcdcda=ac=caba*cb*dcda*c=a*c2022/7/1126.4同余關(guān)系【例題1】 設(shè)+是整數(shù)集合I上的普通加法運(yùn)算，是I上的模k (kI+)相等關(guān)系，問在運(yùn)算+上是否是I上的同余關(guān)系？分析：任意a,b和c,d有： ab(mod k) 其實(shí)就是a-b=n*k cd(mod

2、 k) 其實(shí)就是c-d=m*k那么(a+c)-(b+d)=(m+n)*k，即(a+c) (b+d)(mod k)2022/7/1136.4同余關(guān)系【例題2】 設(shè)是集合I上的一元運(yùn)算，任取aI, a=a2,是I上的模k (kI)相等關(guān)系，問在運(yùn)算是否是I上的同余關(guān)系？ 是否是代數(shù)系統(tǒng)A上A的同余關(guān)系？分析：ab(mod k) 就相當(dāng)于(a-b)=n*k a -b=(a+b)(a-b)=(a+b)*n*k，即a b整數(shù)m2022/7/1146.4同余關(guān)系代數(shù)系統(tǒng)上的同余關(guān)系： 設(shè)A=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，是載體S上的等價(jià)關(guān)系，若在A上的所有運(yùn)算下都是可保持的，則稱為代數(shù)系統(tǒng)A上的同余關(guān)系。2022/7/

3、1156.4同余關(guān)系定理 設(shè)g是從代數(shù)系統(tǒng)A=到A=的一個(gè)同態(tài)映射，如果在A上定義二元關(guān)系R為:R 當(dāng)且僅當(dāng)g(a)=g(b) 那么， R是A上的一個(gè)同余關(guān)系。證明：(i)若ab,則g(a)=g(b), g(a) = g(b)。2022/7/1166.4同余關(guān)系又g是從A到A的同態(tài)映射，所以有 g(a)=g(a)= g(b)=g(b)故a b，這說明在運(yùn)算下是可保持的。(ii)若ab且cd,且有g(shù)(a)=g(b),g(c)=g(d),所以g(a)*g(c)=g(b)*g(d),又因g是從A到A的同態(tài)映射，所以有g(shù)(a)*g(c)=g(a*c)=g(b)*g(d)=g(b*d)故a*cb*d,這

4、說明等價(jià)關(guān)系在運(yùn)算*下是可保持的。由(i)(ii)可得，是代數(shù)系統(tǒng)A上的同余關(guān)系。2022/7/1176.4同余關(guān)系運(yùn)算上的同余關(guān)系：等價(jià)關(guān)系在運(yùn)算下的可保持性是指參與運(yùn)算的對應(yīng)元素，如果在同一個(gè)等價(jià)類中，則運(yùn)算后所得的結(jié)果也必在同一個(gè)等價(jià)類中。代數(shù)系統(tǒng)上的同余關(guān)系：等價(jià)關(guān)系R如果在一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中的所有運(yùn)算下都是可保持的，則R是A上的同余關(guān)系。同余關(guān)系使得元素所在的等價(jià)類在運(yùn)算上可以作為一個(gè)整體來看待。2022/7/1186.5商代數(shù)商代數(shù)定義: 設(shè)A=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，是A上的同余關(guān)系，A關(guān)于的商代數(shù)A/=。其中 a=a a*b=a*b注意：S/是集合的集合，即等價(jià)類的集合， 形如：a, b, *, 是集合之間的運(yùn)算 k是代數(shù)常元的集合 2022/7/1196.5商代數(shù)【例題】 代數(shù)系統(tǒng)A=，其中S=a1,a2,a3,a4,a5,一元運(yùn)算和由下表所示的運(yùn)算表定義。又S上的等價(jià)關(guān)系R產(chǎn)生的S上的劃分 = a1,a3,a2,a5,a4 (a)證明：R是A上的同余關(guān)系。 (b)給出A/R。2022/7/11106.5小結(jié)商代數(shù)：由等價(jià)關(guān)系R可以得到代數(shù)系統(tǒng)