2012計(jì)算智能-8.模糊集與模糊邏輯

1、為什么需要模糊(Fuzzy)1. 無(wú)法描述日常事物日常生活中存在很多事物不存在精確的分類標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該事物是否屬于某一類很難做出明確肯定的斷言。例：高低、冷熱、快慢、年輕人、中年人、老年人2. 容易引起邏輯悖論傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法都是精確方法，是基于傳統(tǒng)的二值邏輯，即非此即彼。但把經(jīng)典的二值邏輯用于處理Fuzzy概念和Fuzzy命題時(shí)，將會(huì)在理論上導(dǎo)致邏輯悖論。例：禿頭悖論，沙堆悖論為什么需要模糊(Fuzzy)3. 大師的話愛因斯坦：“So far as the laws of mathematics refer to reality,they are not certain,And so far as

2、 they are ceitain, they do not refer to reality.” 關(guān)于現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)定理是不確定的，而確定的數(shù)學(xué)定理并不能描述現(xiàn)實(shí)。不相容原理：(L.A.Zadeh 1975 提出)“當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)復(fù)雜性增大時(shí)，我們使它精確化的能力將減低，在達(dá)到一定的閾值時(shí)，復(fù)雜性和精確性將相互排斥?！蹦：?Fuzzy)是隨機(jī)嗎？模糊性也是一種不確定性，但不同于隨機(jī)性，模糊理論不同于概率論。模糊性指對(duì)概念的定義以及語(yǔ)言意義的理解上的不確定性，主要是人為的主觀理解上的不確定性。隨機(jī)性反映的是客觀上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶然性。模糊集合處理某一問(wèn)題時(shí)對(duì)有關(guān)議題的限制范圍稱為該

3、問(wèn)題的論域。1、論域2、集合在論域中，具有某種屬性的事物的全體稱為集合。3、特征函數(shù)設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對(duì)任何uU，令則稱CA(u)為集合A的特征函數(shù)。顯然有： A= u | CA(u) =1 模糊集合例1、設(shè)有論域：U= 1,2,3,4,5 ，A= 1,3,5 ，求其特征函數(shù)。其特征函數(shù)為：4、隸屬函數(shù)設(shè)U是論域，A是將任何uU映射為0，1上某個(gè)值的函數(shù)，即： A ：U0，1 u A(u)則稱A為定義在U上的一個(gè)隸屬函數(shù)模糊集合5、模糊集設(shè)A= A(u) | uU , 則稱A為論域U上的一個(gè)模糊集。當(dāng)隸屬函數(shù)只取0,1時(shí)，隸屬函數(shù)就是特征函數(shù)。A (u)稱為u對(duì)模糊集A的隸屬度。例2、

4、設(shè)A表示遠(yuǎn)大于0的實(shí)數(shù)集合，則它的隸屬度函數(shù)可以用下式來(lái)定義計(jì)算5,10,20為屬于集合A的隸屬度。模糊集合表示5屬于遠(yuǎn)大于零的程度為0.2，也就意味5算不上是遠(yuǎn)大于0的數(shù)。20屬于大于零的程度為0.8，可以認(rèn)為是遠(yuǎn)大于0的數(shù)解：模糊集的表示方法模糊集合可以有以下兩種表示方法：1. 扎德（Zadeh）表示法(1) 當(dāng)論域U為離散集合時(shí)，一個(gè)模糊集可以表示為：(2) 當(dāng)論域U為連續(xù)集合時(shí)，一個(gè)模糊集可以表示為：注：此處的積分和求和符號(hào)都不代表實(shí)際運(yùn)算，只是一種表示方法而已。模糊集的表示方法2. 序?qū)Ρ硎痉：械拿總€(gè)元素都可以表示成（元素、隸屬度）這樣一個(gè)序?qū)Γ谶@種思想，模糊集可表示如下：

5、例3 設(shè)論域U = u1(140), u2(150), u3(160), u4(170), u5(180), u6(190)(單位：cm) 表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬度A (u)為：0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1,使用扎德表示法和序?qū)Ρ硎痉ū硎具@個(gè)模糊集模糊集的表示方法解：1.扎德表示法由于集合是離散集合，因此使用第一種形式表示2.序?qū)Ρ硎痉：谋硎痉椒ɡ? 設(shè)定模糊集合“優(yōu)秀”為A，隸屬函數(shù)A(u)為：使用扎德表示法和序?qū)Ρ硎痉ū硎驹撃：疉此論域是連續(xù)的，所以：解：1.使用扎德表示法模糊集的表示方法2.使用序?qū)Ρ硎痉：倪\(yùn)算1. 相等

6、設(shè)有兩個(gè)模糊集合A和B，A=B當(dāng)且僅當(dāng)它們的隸屬函數(shù)在論域U上恒等，即2. 包含A包含于B（B包含A）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于論域U上記作：記作：模糊集的運(yùn)算3. 并并（AB）的隸屬度函數(shù) AB是對(duì)A、B上所有uU的隸屬函數(shù)逐點(diǎn)取大運(yùn)算，即4. 交為取大運(yùn)算，即取 A和 B的較大值交（AB）的隸屬度函數(shù) AB是對(duì)A、B上所有uU的隸屬函數(shù)逐點(diǎn)取小運(yùn)算，即為取小運(yùn)算，即取 A和 B的較小值模糊集的運(yùn)算5. 補(bǔ)模糊集合A的不隸屬函數(shù) ，對(duì)所有的uU，被逐點(diǎn)定義為例5 設(shè)論域u=u1,u2,u3,u4,u5中的兩個(gè)模糊子集為： 計(jì)算AB ， AB ， A，B-模糊集的運(yùn)算模糊集的運(yùn)算模糊集運(yùn)算的基本定律：設(shè)U為

7、論域，A、B、C為U中的任意模糊子集，則下列等式成立：1. 冪等率2. 結(jié)合率3. 交換率4. 分配率5. 同一率6. 零一率7. 吸收率8. 摩根率9. 雙重否定率模糊集的截集1. 水平截集設(shè)0, 1, 且 A= u | uU, A(u)，則稱A為A的一個(gè)水平截集，稱為閾值或置信水平。 若A= u | uU, A(u)，則稱A為A的一個(gè)強(qiáng)截集性質(zhì)(1) 設(shè)A,B均為模糊集合，則有：(2)若1，20, 1, 且10則稱Ker A為模糊集A的核，Supp A為模糊集A的支集。若KerA，則稱A為正規(guī)模糊集。模糊集的截集模糊集的截集例6 設(shè)有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.

8、6/u4+0.5/u5且分別為1，0.6，0.5，0.3,分別求其相應(yīng)的水平截集、核及支集。解：1.水平截集2.核、支集模糊關(guān)系1. 關(guān)系的定義關(guān)系是客觀世界存在的普遍現(xiàn)象。如父子關(guān)系、大小關(guān)系、屬于關(guān)系、二元關(guān)系、多元關(guān)系、多邊關(guān)系等等直積（笛卡爾積）體現(xiàn)了兩個(gè)集合之間的關(guān)系。在普通集合中，設(shè)論域U和V，從U到V的一個(gè)關(guān)系定義為直積UV的一個(gè)子集R，記作：例7 設(shè)有集合A=1,2,5，B=3,2，求A、B的二元關(guān)系R解：模糊關(guān)系此處的關(guān)系R同樣為二元關(guān)系。隸屬函數(shù)表示形式為：其隸屬函數(shù)的映射：元素(u0,v0)的隸屬度為R(u0,v0) ，表示u0和v0具有關(guān)系R的程度2. 模糊關(guān)系設(shè)論域U

9、和V，則UV 的一個(gè)子集R，就是U到V的模糊關(guān)系，同樣記作：模糊關(guān)系例8 設(shè)有三種物品：蘋果、乒乓球，書，分別用x1,x2,x3來(lái)表示，現(xiàn)在用兩兩相似程度來(lái)表示它們之間的模糊關(guān)系，且相似度如下表，試用扎德表示法表示模糊集合RR蘋果乒乓球書蘋果1.00.70乒乓球0.71.00書001.0解：模糊關(guān)系當(dāng)論域U、V是有限集時(shí)，模糊關(guān)系R常常采用矩陣來(lái)表示，此時(shí)它又稱為模糊關(guān)系矩陣 上題利用矩陣可表示成：若存在兩個(gè)模糊集合A，B，兩個(gè)模糊集合的關(guān)系R可用下式進(jìn)行計(jì)算：模糊關(guān)系的計(jì)算模糊關(guān)系例9 設(shè)論域U=1,2,3;V=1,2，模糊集A、B分別為：求模糊集A，B的關(guān)系R矩陣表示為：關(guān)系的合成設(shè)R1是

10、論域U和V的模糊關(guān)系，R2是論域V和W的模糊關(guān)系，那么R1和R2的合成是U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，記作R1R2，其隸屬度函數(shù)為關(guān)系的合成實(shí)質(zhì)表達(dá)的是一種關(guān)系的傳遞（推理）。例10 某家中子女與父母的長(zhǎng)相相似關(guān)系R為模糊關(guān)系：R父母子0.20.8女0.60.1用模糊矩陣R來(lái)表示為關(guān)系的合成該家中父母與祖父母的相似關(guān)系S也是模糊關(guān)系，可表示為S祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩陣S來(lái)表示為那么家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度如何？P祖父祖母孫子0.20.2孫女0.50.6模糊推理經(jīng)典邏輯推理-三段論人都會(huì)死蘇格拉底是人蘇格拉底會(huì)死前提1：如果x是A,則y是B前提2：如果x是A結(jié)論： y是B模糊推理前提1：如果x是A,則y是B前提2：如果x是A結(jié)論： y是B如果西紅柿是紅色的，西紅柿是成熟的顏色較紅西紅柿較成熟由于規(guī)則是模糊的，所以推理結(jié)論也是模糊的。模糊結(jié)論使用模糊度來(lái)表示。（如“成熟”的模糊度）模糊推理模糊推理的計(jì)算（模糊度的計(jì)算）如何計(jì)算模糊規(guī)則 的模糊度? (1) 扎德法 使用如下公式計(jì)算：(2) Mamdani法計(jì)算較為簡(jiǎn)單，使用廣泛模糊推理例11 某單位的效益好，