隨機過程課件：第五章（下） 正態(tài)過程

1、第五章（下）：正態(tài)過程多維隨機變量的定義與協(xié)方差矩陣多維正態(tài)隨機變量的性質(zhì)正態(tài)隨機過程的定義正態(tài)隨機過程的性質(zhì)二維正態(tài)隨機變量：討論隨機變量X1,X2的聯(lián)合概率密度函數(shù)稱X1,X2為二維正態(tài)隨機變量。其中為X1和X2的相關(guān)系數(shù)。對于上述二維隨機變量，其邊際密度可表示為邊際分布為一維正態(tài)分布 ，二維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣：二維正態(tài)分布的協(xié)方差矩陣的性質(zhì)：二維正態(tài)隨機變量的聯(lián)合密度的矩陣表示其中1、 實對稱；2、正定陣3、其逆矩陣可表示為n維正態(tài)隨機變量的定義：若n維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱 為n維正態(tài)隨機變量，其中C為n維實對稱正定陣。記為協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣的性質(zhì)1、 實對稱；2、正定陣：當

2、C正定時， 可顯式得到；當C非正定時，|C|可以等于0， C-1不存在，稱為退化的正態(tài)分布。 不能顯式得到，但特征函數(shù)存在。n維隨機變量的性質(zhì)若 ，則存在n階正交矩陣A，使得向量 中的分量Y1,Y2, ,Yn是獨立的隨機變量，且Yi為一維正態(tài)分布N(0,di)。2、 的特征函數(shù)為3、n元正態(tài)分布中任意m維y向量亦為正態(tài)分布4、n元正態(tài)隨機變量的線性變換也為正態(tài)隨機變量。 即若 為正態(tài)，則 ，亦為正態(tài)隨機變量。5、若 為n維正態(tài)隨機變量，那么X1,X2, ,Xn相互獨立的充要條件是兩兩互不相關(guān)。 定義：若隨機過程X(t)的任意n維分布都是n維正態(tài)分布，則稱X(t)是正態(tài)隨機過程（高斯過程）。正態(tài)

3、隨機過程的性質(zhì)：寬平穩(wěn)特點X(t)的期望為常數(shù)，與時間原點無關(guān)X(t)的相關(guān)函數(shù)只是時間差t的函數(shù)若正態(tài)隨機過程為寬平穩(wěn)，則必為嚴平穩(wěn)。正態(tài)隨機過程通過線性系統(tǒng)，其輸出亦為正態(tài)隨機過程。例題1：設(shè)平穩(wěn)正態(tài)過程X(t)均值為0，相關(guān)函數(shù)RX()=(e-2|)/4，求對給定時刻t，X(t1)的值在0.5和1之間的概率。例題2：X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A與B為兩個獨立的正態(tài)隨機變量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0為常數(shù)，求X(t)的一維，二維密度函數(shù)。作業(yè) 5.2X(t)Xcos2t+Ysin2t，式中X和Y是獨立的隨機變量，且均值為0，方差為2，求X(0),X(1/4),X(1/2)的協(xié)方差矩陣。均值為0的平穩(wěn)正態(tài)隨機過程