高數下 曲面積分習題課通用PPT課件

1、高數下 曲面積分習題課一、曲線積分的計算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標 )(1) 選擇積分變量轉化定積分用參數方程用直角坐標方程用極坐標方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終練習題: P244 題 3 (1), (3), (6)解答提示: 計算其中L為圓周提示: 利用極坐標 ,原式 =說明: 若用參數方程計算,則P244 3 (1)P244 3(3). 計算其中L為擺線上對應 t 從 0 到 2 的一段弧.提示:P244 3(6). 計算其中 由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 從 z 軸正向看沿逆時針方向.(1)

2、利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關的等價條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯系公式 .2. 基本技巧例1. 計算其中 為曲線解: 利用輪換對稱性 , 有利用重心公式知( 的重心在原點) 例2. 計算其中L 是沿逆時針方向以原點為中心、解法1 令則這說明積分與路徑無關, 故a 為半徑的上半圓周.解法2 它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:(2) 若 L 同例2 , 如何計算下述積分:(1) 若L 改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段思考題解答:(1)(2)證:把例3. 設在上半平

3、面內函數具有連續(xù)偏導數, 且對任意 t 0 都有證明對D內任意分段光滑的閉曲線L, 都有兩邊對t求導, 得:則有因此結論成立.(2006考研)計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.練習題: P244 題 3(5) ; P245 題 6; 11. 3(5).用格林公式: P245 6 .設在右半平面 x 0 內, 力構成力場,其中k 為常數, 證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關.提示:令易證F 沿右半平面內任意有向路徑 L 所作的功為P245 11.求力沿有向閉曲線 所作的其中 為平面 x + y + z = 1 被三個坐標面所截成三提示: 方法1從 z 軸正向看去沿順時針方向.利用對

4、稱性角形的整個邊界,功,設三角形區(qū)域為 , 方向向上,則方法2利用公式 斯托克斯公式例4.設L 是平面與柱面的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時針方向, 計算 解: 記 為平面上 L 所圍部分的上側, D為 在 xOy 面上的投影.由斯托克斯公式公式 D 的形心二、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標 )轉化二重積分(1) 選擇積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面思 考 題1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設曲面問下列等式是否成立?

5、 不對 ! 對坐標的積分與 的側有關 2. 基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉化練習:P244 題4(3) 其中 為半球面的上側.且取下側 , 原式 =P244 題4(2) , P245 題 10 同樣可利用高斯公式計算.記半球域為 ,高斯公式有計算提示: 以半球底面為輔助面, 利用例5.證明: 設(常向量)則單位外法向向量, 試證設 為簡單閉曲面, a 為任意固定向量,n為 的 例6. 計算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時, 應如何計算 ?提示: 在橢球面內作輔助

6、小球面內側, 然后用高斯公式 .例7. 設 是曲面解: 取足夠小的正數 , 作曲面取下側使其包在 內, 為 xOy 平面上夾于之間的部分, 且取下側 ,取上側, 計算則第二項添加輔助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 !得例8. 計算曲面積分中 是球面解: 利用對稱性用重心公式作業(yè)P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9備用題 1. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證證: (1) 根據格林公式所以相等,從而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)因、兩式右端積分具有輪換對稱性,(2) 由式由輪換對稱性(1) 在任一固定時刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是 2. 地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為 H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時間為 T , 試求(2) 在解: 如圖建立坐標系.的時間內 , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? 設衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(1) 利用球坐標, 任一固定時刻監(jiān)視的地球