三角函數(shù)經(jīng)典例題含解析

1、三角函數(shù)經(jīng)典例題含解析1設銳角的內(nèi)角的對邊分別為,.()求的大小;()求的取值范圍.【解析】:()由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得.().2在中,角ABC的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC()求角B的大小;20070316()設且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA0A,sinA0.cosB=.0B1,t=1時,取最大值.,-2+4k+1=5,k=.3在中

2、,角所對的邊分別為,.I.試判斷的形狀;II.若的周長為16,求面積的最大值.【解析】:I.,所以此三角形為直角三角形.II.,當且僅當時取等號,此時面積的最大值為.4在中,a、b、c分別是角ABC的對邊,C=2A,(1)求的值;(2)若,求邊AC的長【解析】:(1)(2)又由解得a=4,c=6,即AC邊的長為5.5已知在中,且與是方程的兩個根.()求的值;()若AB,求BC的長.【解析】:()由所給條件,方程的兩根.(),.由()知,為三角形的內(nèi)角,為三角形的內(nèi)角,由正弦定理得:.6在中,已知內(nèi)角ABC所對的邊分別為a、b、c,向量,且(I)求銳角B的大小;(II)如果,求的面積的最大值【解

3、析】:(1)2sinB(2cos2 EQ f(B,2)-1)=- EQ r(3)cos2B2sinBcosB=- EQ r(3)cos2Btan2B=- EQ r(3)02B,2B= EQ f(2,3),銳角B= EQ f(,3)(2)由tan2B=- EQ r(3)B= EQ f(,3)或 EQ f(5,6)當B= EQ f(,3)時,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac2ac-ac=ac(當且僅當a=c=2時等號成立)ABC的面積SABC= EQ f(1,2)acsinB= EQ f(r(3),4)ac EQ r(3)ABC的面積最大值為 EQ r(3)當B= EQ f(5,6

4、)時,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ EQ r(3)ac2ac+ EQ r(3)ac=(2+ EQ r(3)ac(當且僅當a=c= EQ r(6)- EQ r(2)時等號成立)ac4(2- EQ r(3)ABC的面積SABC= EQ f(1,2)acsinB= EQ f(1,4)ac2- EQ r(3)ABC的面積最大值為2- EQ r(3)7在中,角ABC所對的邊分別是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB= EQ f(1,4)+cos2B=(2)由b=2,+= EQ f(1,2)ac+42ac,得ac,SABC=

5、 EQ f(1,2)acsinB(a=c時取等號)故SABC的最大值為8已知,求的值【解析】;9已知(I)化簡(II)若是第三象限角,且,求的值【解析】10已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?【解析】:(1)的最小正周期由題意得即的單調(diào)增區(qū)間為(2)先把圖象上所有點向左平移個單位長度,得到的圖象,再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度,就得到的圖象11已知,(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間(2)若函數(shù)與關于直線對稱,求當時,的最大值【解析】:(

6、1)當時,單調(diào)遞減解得:時,單調(diào)遞減(2)函數(shù)與關于直線對稱時,12已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】:(1)(2)13設向量,函數(shù)(I)求函數(shù)的最大值與最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合【解析】14已知向量,與為共線向量,且()求的值;()求的值.【解析】:()與為共線向量,即(),又,因此,15如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為,于水面C處測得B點和D點的仰角均為,AC=0.1km試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點距離相等,然后求B,D的距離(計算結果精確到0.01km,1.41

7、4,2.449)【解析】:在中,=30,=60-=30,所以CD=AC=0.1又=180-60-60=60,故CB是底邊AD的中垂線,所以BD=BA在中,即AB=因此,故BD的距離約為0.33km16已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為.()求的解析式;()當,求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低點為得A=2.由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=,即,由點在圖像上的故又(2)當=,即時,取得最大值2;當即時,取得最小值-1,故的值域為-1,220已知的內(nèi)角ABC所對邊分別為a、b、c，設向量，且.（）求的值；（

8、）求的最大值.【解析】（）由，得即也即21已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的定義域和值域；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間?！窘馕觥?（）函數(shù)的定義域函數(shù)的值域為（）令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是22如圖為一個觀覽車示意圖該觀覽車圓半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈途中與地面垂直以為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動角到設點與地面距離為（1）求與的函數(shù)解析式；（2）設從開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過80秒到達，求.【解析】：（1），（2），(m)23設函數(shù)（1）求函數(shù)上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當?shù)娜≈捣秶?。【解析】：?），（2）當，24已知函數(shù)，（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解析】（）

9、又，即，（），且，即的取值范圍是25在銳角ABC中,角ABC的對邊分別為a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求ABC面積S的最大值【解析】:(I)由已知得又在銳角ABC中,所以A=60,不說明是銳角ABC中,扣1分(II)因為a=2,A=60所以而又所以ABC面積S的最大值等于26甲船由A島出發(fā)向北偏東45的方向作勻速直線航行,速度為15浬/小時,在甲船從A島出發(fā)的同時,乙船從A島正南40浬處的B島出發(fā),朝北偏東(的方向作勻速直線航行,速度為10浬/小時.(如圖所示)()求出發(fā)后3小時兩船相距多少浬?()求兩船出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少浬?【解析】:以A為原點,BA所在

10、直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令,P、Q兩點的坐標分別為(45,45),(30,20).即兩船出發(fā)后3小時時,相距鋰(II)由(I)的解法過程易知:當且僅當t=4時,|PQ|的最小值為20即兩船出發(fā)4小時時,相距20海里為兩船最近距離.27在銳角中，已知內(nèi)角ABC所對的邊分別為a、b、c，且(tanAtanB)1tanAtanB(1)若a2abc2b2，求ABC的大小；(2)已知向量(sinA，cosA)，(cosB，sinB)，求32的取值范圍【解析】D28如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC小區(qū)的兩個出入口設置在點A及點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑的長（精確到1米）【解析】解法一：設該扇形的半徑為r米.由題意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=在中，即解得（米）29已知角的頂點在原點,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點.(1)求的值;(2)定義行列式運算,求行