暨南大學(xué)2020年《845抽象代數(shù)》碩士研究生入學(xué)考試真題

1、2020年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題*招生專業(yè)與代碼：網(wǎng)絡(luò)空間安全083900考試科目名稱及代碼：抽象代數(shù) 845 （B 卷）考生注意：所有答案必須寫(xiě)在答題紙（卷）上，寫(xiě)在本試題上一律不給分。 填空題（共5小題，每小題4分，共20分）。設(shè)，則的最大公約數(shù)為_(kāi)。2. 在4次對(duì)稱群中, (134)(124) 。3. 11階循環(huán)群的生成元有 個(gè)。4. 設(shè)是15階循環(huán)群，則的非平凡子群的個(gè)數(shù)是_。5. 在多項(xiàng)式環(huán)中，=_。判斷題（在題后的括號(hào)內(nèi)正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“”，填錯(cuò)或未填者，該小題無(wú)分。共5小題，每小題4分，共20分）。( ) 4階群在同構(gòu)意義下只有一個(gè)。 ( ) 整數(shù)加法群的子群一

2、定是某個(gè)。 ( ) 每一個(gè)環(huán)中都存在唯一的單位元。 ( ) 整數(shù)環(huán)的自同構(gòu)只有恒等自同構(gòu)。 ( ) 任何一個(gè)有限域所含元素的個(gè)數(shù)必為素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的方冪。 解答題（共3小題，其中第1小題10分，第2、3小題各15分，共40分）。(10分) 分別寫(xiě)出群、環(huán)和域的定義，試說(shuō)明它們的區(qū)別和聯(lián)系。2(15分) 設(shè)是15階循環(huán)群， (1) 求中各個(gè)元素的階；(5分)(2) 求的所有生成元；(5分)(3) 求的所有非平凡子群。(5分)3(15分) 設(shè)為3次對(duì)稱群，其中。(1) 說(shuō)明在通常的乘法運(yùn)算下是一個(gè)群；(5分) (2) 確定的全部正規(guī)子群；(5分)(3) 說(shuō)明與的一個(gè)子群同構(gòu)。(5分)四、證明題（共2小

3、題，每小題15分，共30分）。(15分) 設(shè)是群的兩個(gè)元素，滿足。的階為，的階為，且。 證明的階為。(15分) 設(shè)是兩個(gè)正整數(shù)，和分別是它們的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。(1) 證明和都是整數(shù)環(huán)的理想，并且，；(10分)(2) 是整數(shù)環(huán)的理想嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。(5分)五、解答證明題（共2小題，第1小題15分，第2小題25分，共40分）。1. (15分) 設(shè)是有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的一個(gè)實(shí)根。 (1) 證明是在上的一組基；(5分) (2) 將表示成的-線性組合。(10分)2 (25分) 設(shè)為正整數(shù)，為整數(shù)模剩余類環(huán)。(1) (10分) 證明當(dāng)且僅當(dāng)。(2) (5分) 設(shè)兩兩互素，證明 。 (10分) 韓信點(diǎn)兵：有兵一隊(duì)，若成五行縱隊(duì)，則末行一人，成六行縱隊(duì)，則末行五人，成七行縱隊(duì)，則末行四人，成十一行縱隊(duì)，則末行十人，問(wèn)兵多少人？用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)