信號(hào)與系統(tǒng)課件第3章1

1、3.1 信號(hào)的正交分解3.2 周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間的傅立葉級(jí)數(shù)3.3 周期信號(hào)的頻譜3.4 非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅立葉變換3.5 傅立葉變換的性質(zhì)3.6 周期信號(hào)的傅立葉變換3.7 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析第三章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析7/13/202213.1 信號(hào)的正交分解該式可為兩矢量正交的定義式。另外一種理解 V1與V2不正交，現(xiàn)在要求尋求一個(gè)與V2 成比例的矢量C12 V2，使得當(dāng)用C12V2近 似表示V1時(shí)，其誤差矢量Ve 的模最小。 就是找一個(gè)最佳系數(shù)C12，使Ve的模最 小。如左上圖所示，知V1垂直于V2時(shí)，Ve的模才能最小。這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)3.1.1 矢量的

2、正交分析 1.正交矢量 數(shù)學(xué)定義 兩矢量正交，在幾何意義上是指兩矢量相互垂直（如右圖所示）。兩矢量相互垂直時(shí)的夾角為90度，即：7/13/20222所以最佳系數(shù)為此時(shí)，結(jié)論：給定兩矢量V1和V2,若用與V2成比例的矢量C12 V2近 似V1，要求誤差矢量 的模 最小，（此時(shí)的C12稱(chēng)為最佳），當(dāng)C120時(shí)，Ve的 模最小，此時(shí)V1和V2正交。7/13/20223 2.矢量分解 在平面空間里，相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個(gè)正交矢量集，而且為完備的正交矢量集。平面空間中的任 一矢量V都可表示為V1和V2的線(xiàn)性組合 （如上圖）。即：V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2為單位矢量，且V1V20。

3、其中： 同樣，對(duì)于一個(gè)三維的空間矢量，要精確地表示它，就必須用一個(gè)三維的正交矢量集。如左圖，三維矢量空間可精確地表示為：V=c1V1+c2V2+c3V37/13/20224推廣到n維空間，則有其中，Ci = VVi/Vi Vi3.1.2 信號(hào)的正交分解 1.正交信號(hào)（函數(shù)） *定義:設(shè) f 1(t)和 f 2(t)為定義在（t1 ,t2 )區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，現(xiàn)在要用與 f 2(t)成比例的一個(gè)函數(shù)C12f 2(t)近似地代表 f 1(t)，其誤差信號(hào)為平方誤差定義為：改變c12的大小，如果使Ee 為最小時(shí)相應(yīng)的c120，稱(chēng) f 1(t)和 f 2(t)在區(qū)間（t1 ,t2)上正交。判定兩信號(hào)正

4、交的條件：7/13/20225 2 信號(hào)的正交分解*正交函數(shù)集：設(shè)一函數(shù)集 當(dāng)Ki=1時(shí)，稱(chēng)為歸一化正交函數(shù)集。 *信號(hào)的分解：用上述正交函數(shù)集近似地表示信號(hào)f (t)，即：這種近似所產(chǎn)生的平方誤差為：可以求出，欲使Ee達(dá)到最小，其第r個(gè)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)Cr為此時(shí)的平方誤差為下式所示：7/13/20226 如果對(duì)于某一類(lèi)f(t),所選擇的正交函數(shù)集滿(mǎn)足Ee等于零，則稱(chēng)正交函數(shù)集對(duì)于f(t)這一類(lèi)函數(shù)是完備的正交函數(shù)集。 一個(gè)完備的正交函數(shù)集通常是一個(gè)無(wú)窮函數(shù)集。 關(guān)于完備的正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理。見(jiàn)課本P92。 3 兩個(gè)完備的正交函數(shù)集 （1）三角函數(shù)集 基本周期：T=2/,正交區(qū)間（t0

5、，t0+T）。是完備的正交函數(shù)集。完備性：無(wú)窮函數(shù)集。7/13/20227 基本周期：T=2/, 正交區(qū)間（t0 ，t0+T）。 是完備的正交函數(shù)集。完備性：無(wú)窮函數(shù)集(2)指數(shù)函數(shù)集：7/13/202283.2 周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)分解3.2.1 三角形式傅立葉級(jí)數(shù)分解 1.三角函數(shù)集對(duì)周期信號(hào)，該函數(shù)在（t0，t0+T）上為完備的正交函數(shù)集。 2.正交展開(kāi) 將任一周期函數(shù)信號(hào)展開(kāi)為：該函數(shù)系數(shù)7/13/202297/13/2022107/13/2022117/13/202212例 3.2-1 求圖示信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。圖 3.2-1 例 3.2-1 圖 7/13/202213解 據(jù)式(

6、3.2-6)，在本題中我們?nèi)0=0，則有 這表明信號(hào)f(t)的直流分量為a0/2=E/2。 考慮到上式中=2/T，則an=0。7/13/202214同樣可得 7/13/202215據(jù)式(3.2-10)有 7/13/202216在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，則有 7/13/202217 當(dāng)f(t)為t的奇函數(shù)時(shí)，則有f(t)cosnt為t的奇函數(shù)， f(t)sinnt為t的偶函數(shù)，因而有：7/13/202218 當(dāng)f(t)為t的偶函數(shù)時(shí)，由于f(t)cosnt為t的偶函數(shù)，f(t) sinnt為t的奇函數(shù)。據(jù)式(3.2-13)有 即當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只可能有

7、直流分量及cos nt分量， 而無(wú)sin nt分量。 7/13/202219 該周期函數(shù)可以視為由直流、基波和無(wú)窮多諧波分量組成。 3。 4.當(dāng)該周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，bn0，展開(kāi)式只含直 流及說(shuō)明：1.周期信號(hào)可分解表示為三角函數(shù)的線(xiàn)性組合。 2.物理意義：周期信號(hào)可分解為眾多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正（余）弦函數(shù)或分量的線(xiàn)性組合。具體有： 當(dāng)該周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，a0an0，展開(kāi)式只 會(huì)含7/13/2022203.2.2 指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)分解 1.復(fù)指數(shù)函數(shù)集該函數(shù)集在（t0，t0+T）上為周期信號(hào)的完備正交函數(shù)集。 2.正交展開(kāi)： 將任一周期信號(hào)展開(kāi)為 稱(chēng)為周期信號(hào)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式或復(fù)

8、系數(shù)傅葉級(jí)數(shù)7/13/202221 指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)還可以從三角傅里葉級(jí)數(shù)直接導(dǎo)出。因?yàn)閏os =(e j+e-j)/2，將這一關(guān)系應(yīng)用于式(3.2-9)，并考慮到An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)，即An=A-n，n=-n，則式(3.2-9)可寫(xiě)為 7/13/2022223.2.3 傅立葉系數(shù)關(guān)系 比較兩種展開(kāi)式，得： 例題：周期性矩形脈沖的傅立葉系數(shù)計(jì)算。P94結(jié)論：其中：7/13/202223例：周期性矩形脈沖信號(hào)，求其三角型、指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)。周期：T T2/ 幅度：E寬度： 解：因?yàn)閒T(t)為偶函數(shù)，所以bn=0展開(kāi)式僅含直流與余弦分量7/13/202224其中：如下圖 稱(chēng)為“取樣”函

9、數(shù)其性質(zhì)： 偶函數(shù) 7/13/2022253.3 周期信號(hào)的頻譜與功率3.3.1 fT(t)的頻譜 fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)的線(xiàn)性組合。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫(huà)出振幅及相位隨w變化的曲線(xiàn)稱(chēng)其為頻譜圖。 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均由傅立葉系數(shù)反映出來(lái)。7/13/202226 周期信號(hào)的復(fù)振幅 一般為n的復(fù)函數(shù)，因而描述其特點(diǎn)的頻譜圖一般要畫(huà)兩個(gè)，一個(gè)稱(chēng)為振幅頻譜，另一個(gè)稱(chēng)為相位頻譜。所謂振幅頻譜為以為橫坐標(biāo)，以振幅為縱坐標(biāo)所畫(huà)出的譜線(xiàn)圖； 而相位頻譜則為以為橫坐標(biāo)，以相位為縱坐標(biāo)所得到的譜線(xiàn)圖。 在信號(hào)的復(fù)振幅為n

10、的實(shí)函數(shù)的特殊情況下，其復(fù)振幅n(Fn)與變量(n)的關(guān)系也可以用一個(gè)圖繪出。 7/13/202227例 3.3-1 試畫(huà)出f(t)的振幅譜和相位譜。 解 f(t)為周期信號(hào)，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。據(jù) 可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 7/13/202228其余 7/13/202229圖 3.3-1 例 3.3-1 信號(hào)的頻譜振幅譜； (b) 相位譜 7/13/202230圖 3.3-2 例 3.3-1 信號(hào)的雙邊頻譜(a) 振幅譜； (b) 相位譜 7/13/2022313.3 周期信

11、號(hào)的頻譜與功率3.3.2 fT(t)的頻譜的特點(diǎn) fT(t)可分解為一系列虛指數(shù)信號(hào)或正弦信號(hào)的線(xiàn)性組合。 為揭示各諧波振幅、初相隨角頻率變化情況，特畫(huà)出振幅及相位隨w變化的曲線(xiàn)稱(chēng)其為頻譜圖。 以前節(jié)周期信號(hào)為例： 各諧波分量的角頻率n 是基波角頻率的n倍且有不同的 振幅和相位，均由傅立葉系數(shù)反映出來(lái)。7/13/202232 7/13/202233 雙邊振幅譜： 單邊振幅譜：頻譜特點(diǎn)： 1.離散性、諧波性：僅在0、正負(fù)、正負(fù)2。處出現(xiàn)，與相應(yīng)諧波分量對(duì)應(yīng)。譜線(xiàn)間隔2/T ，當(dāng)T增加，減小7/13/202234當(dāng)T趨近于無(wú)窮大時(shí)，周期函數(shù)變?yōu)榉侵芷诤瘮?shù)，離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。 2.收斂性：振幅包絡(luò)線(xiàn)

12、按Sa(/ 2)規(guī)律變化，總趨勢(shì)為0。 * 能量集中于低頻分量：當(dāng)n/ 2=k(k=正負(fù)1,正負(fù)2.),即n=2k/時(shí),包絡(luò)線(xiàn)振幅為零.定義信號(hào)頻帶寬度(帶寬): * 帶寬與脈寬成反比:愈小,Bw愈大. * 脈沖幅度一定時(shí),振幅譜幅值(/T)與成正比,與T成反比.當(dāng)T趨近于無(wú)窮大時(shí),各諧波分量振幅均趨近于無(wú)窮小,但它們之間仍有一定比例關(guān)系.在非周期信號(hào)頻譜中將用頻譜密度這一概念來(lái)描述這種相對(duì)比例關(guān)系. 7/13/202235圖 3.3-6 不同值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a) =T/5; (b) =T/10 7/13/202236圖 3.3-7 不同T值時(shí)周期矩形信號(hào)的頻譜(a) T=5; (b)

13、 T=10 7/13/2022373.3.2 fT(t)的功率 設(shè)fT(t)為實(shí)信號(hào)在1歐姆電阻上消耗的平均功率為:7/13/202238fT(t)為實(shí)函數(shù)所以,周期信號(hào)時(shí)域功率=頻域信號(hào)功率之和-帕塞瓦兒恒等式7/13/2022393.4.0 引言 若將非周期信號(hào)看作是周期信號(hào)T的極限情況， 非周期信號(hào)就可以表示為3.4 非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 7/13/202240 以周期矩形脈沖為例， 當(dāng)T時(shí)， 周期信號(hào)就變成單脈沖信號(hào)的非周期信號(hào)。 由3.3節(jié)分析可知， 隨著T的增大， 離散譜線(xiàn)間隔就變窄； 當(dāng)T， 0， |Fn|0時(shí)， 離散譜就變成了連續(xù)譜。 雖然|Fn|0， 但其頻譜分布規(guī)

14、律依然存在， 它們之間的相對(duì)值仍有差別。 為了表明這種振幅、 相位隨頻率變化的相對(duì)關(guān)系， 我們引入頻譜密度函數(shù)。 7/13/2022413.4.1 傅里葉變換7/13/202242對(duì)于非周期信號(hào)，重復(fù)周期T趨于無(wú)限大，譜線(xiàn)間隔趨于無(wú)窮小量d，而離散頻率n變成連續(xù)頻率。在這種極限情況下，F(xiàn)n趨于無(wú)窮小量，但 可望趨于有限值，且為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，通常記為F(j)，即 7/13/202243 非周期信號(hào)的傅里葉變換可簡(jiǎn)記為 一般來(lái)說(shuō)，傅里葉變換存在的充分條件為f(t)應(yīng)滿(mǎn)足絕對(duì)可積， 即要求 7/13/202244 式中, |F()|是振幅譜密度函數(shù)， 簡(jiǎn)稱(chēng)振幅譜； ()是相位譜密度函數(shù)， 簡(jiǎn)稱(chēng)相位譜

15、。 一般把上式叫做傅里葉變換對(duì)，為傅里葉變換和傅里葉反變換。 傅里葉變換對(duì)關(guān)系也常用下述符號(hào)表示或 小結(jié)7/13/202245 傅里葉變換也簡(jiǎn)稱(chēng)傅氏變換， 用英文縮寫(xiě)FT或F表示； 傅里葉反變換用英文縮寫(xiě)IFT或F-1表示。 若f(t)為因果信號(hào)， 則傅里葉變換式為反變換理解：信號(hào)的時(shí)間函數(shù)f(t)和它的傅氏變換即頻譜F()是同一信號(hào)的兩種不同的表現(xiàn)形式。 不過(guò)， f(t)顯示了時(shí)間信息而隱藏了頻率信息； F()顯示了頻率信息而隱藏了時(shí)間信息。 7/13/202246 3.4.2 非周期信號(hào)的頻譜函數(shù).1.理論上講,f (t)應(yīng)滿(mǎn)足一定條件才可存在傅立葉變換,一般來(lái)說(shuō). 存在的充分條件為f (

16、t)滿(mǎn)足絕對(duì)可積,即要求 2.在這里,F (j)不是振幅的概念,而是密度概念,故稱(chēng)頻譜密度.3.F (j)為一復(fù)函數(shù).上式中:7/13/202247易推結(jié)論:f (t)為實(shí)函數(shù)時(shí)有:4.逆變換的物理含義:*非周期信號(hào)的 (虛指數(shù)函數(shù))分解;*非周期信號(hào)的正弦分解:7/13/2022483.4.3 典型信號(hào)的傅里葉變換 例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱(chēng)為門(mén)函數(shù)。其寬度為， 高度為1，通常用符號(hào)g(t)來(lái)表示。試求其頻譜函數(shù)。 解 門(mén)函數(shù)g(t)可表示為 7/13/202249 門(mén)函數(shù)的頻譜函數(shù)、 振幅譜、 相位譜為 (3.3-16) 7/13/202250圖 3.4-1 門(mén)

17、函數(shù)及其頻譜(a) 門(mén)函數(shù)； (b) 門(mén)函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜 7/13/202251例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-t及其頻譜(a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-t; (b) e-t的幅度譜 7/13/202252其振幅頻譜及相位頻譜分別為 解 7/13/202253頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：7/13/202254例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。 7/13/202255圖 3.4-3 雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜 7/13/202256例 3.4-4 求圖 3.4-4(a

18、)所示信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。圖 3.4-4 例 3.4-4 圖(a) 信號(hào)f(t); (b) 頻譜 7/13/202257(a0)解 圖示信號(hào)f(t)可表示為7/13/202258例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-5 信號(hào)(t)及其頻譜(a) 單位沖激信號(hào)(t); (b) (t)的頻譜 7/13/202259解 可見(jiàn)，沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說(shuō)，(t)中包含了所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯然， 信號(hào)(t)實(shí)際上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。 7/13/202260例 3.4-6 求直流信號(hào)1的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-6 直流信號(hào)f(t)及其頻譜(

19、a) 直流信號(hào)f(t); (b) 頻譜 7/13/202261解 直流信號(hào)1可表示為 7/13/202262例 3.4-7 求符號(hào)函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)。 考察例 3.4-4 所示信號(hào)f(t) 7/13/202263當(dāng)0時(shí)，極限為符號(hào)函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(j)當(dāng)0的極限的方法來(lái)求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。 例 3.4-4 所示信號(hào)的頻譜函數(shù)為，從而有 7/13/202264圖 3.4-7 符號(hào)函數(shù)Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形； (b) 頻譜 7/13/202265例 3.4-8 求階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 由階躍函數(shù)(t)的波形容易得到 解

20、從而就可更為方便地求出(t)的頻譜函數(shù)， 即 7/13/202266圖 3.4-8 階躍函數(shù)及其頻譜(a) (t)的波形； (b) 頻譜 7/13/202267表 3.1 常用傅里葉變換對(duì) 7/13/202268續(xù)表 7/13/202269課堂練習(xí)已知信號(hào)f(t)波形如下，其頻譜密度為F(j)，不必求出F(j)的表達(dá)式，試計(jì)算下列值： 7/13/202270令t=0，則則7/13/2022717/13/202272 一.線(xiàn)性： 傅立葉計(jì)算是一種線(xiàn)性運(yùn)算，它包含兩種意義：1。齊次性：時(shí)域信號(hào)數(shù)乘 a，頻譜函數(shù)也數(shù)乘a。2?？杉有裕簬讉€(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)各信號(hào)頻譜函數(shù)之和。 二.時(shí)移性：證明：3.

21、5 傅立葉交換性質(zhì)、定理7/13/202273 同理： 所以：f(t)右移t0，F(xiàn)(j)幅度不變，諧頻率分量相位滯后t0 例： 即：三.頻移性：證：7/13/202274說(shuō)明：頻域中頻譜右移0，反映在時(shí)域中對(duì)立f(t)乘以虛指數(shù)函數(shù)例：求高頻調(diào)制信號(hào)的頻譜。解：即：f (t)的頻譜是將g(t)頻譜左右各移0，幅度為原來(lái)的1/2。低頻信號(hào)不便遠(yuǎn)距離傳輸，經(jīng)調(diào)制，頻譜挪移，使變頻信號(hào)實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳輸，載波信號(hào)可以是cos 0t或sin 0t 。一般有：7/13/202275故有調(diào)制定理：四.尺度變換：且a為常實(shí)數(shù)（a不等于零）。則：證：綜上有：含義: f (at):表示將 f (t)波形沿大軸壓縮a

22、倍.表示將F(j)波形沿軸擴(kuò)展a倍，幅度減小|a|倍。7/13/202276例： 可見(jiàn)：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與帶寬成反比。 電子技術(shù)中為加快信息傳輸，在時(shí)域壓縮持續(xù)時(shí)間， 但是在域不得不展寬頻帶，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該權(quán)衡考慮。推論：7/13/202277證一：先進(jìn)行時(shí)移后進(jìn)行尺度變換證二：先進(jìn)行尺度變換后進(jìn)行時(shí)移注意：在時(shí)域，無(wú)論時(shí)移、尺度都是對(duì)t來(lái)說(shuō)的。五.對(duì)稱(chēng)性：證：所以，性質(zhì)成立！推論：若f(t)為t的偶函數(shù)，則例一 ：7/13/202278例二：例三：求F1/t。例四：求六、七.卷積定理：7/13/202279應(yīng)用傅立葉變換定義和時(shí)移性可證卷積。證明如下：例：求解：7/13/202280課堂練習(xí)

23、方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換 相同7/13/202281求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解： 7/13/202282因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變 7/13/202283八. 時(shí)域微分 7/13/202284例如，我們知道 , 利用時(shí)域微分性質(zhì)顯然有 此性質(zhì)表明，在時(shí)域中對(duì)信號(hào)f(t)求導(dǎo)數(shù)， 對(duì)應(yīng)于頻域中用j乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應(yīng)用此性質(zhì)對(duì)微分方程兩端求傅里葉變換， 即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。 此性質(zhì)還可推廣到f(t)的n階導(dǎo)數(shù)， 即 7/13/202285九. 時(shí)域積分 7/13/202286 時(shí)

24、域積分性質(zhì)多用于F(0)=0的情況，而F(0)=0表明f(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。 =07/13/202287 例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)。 解 若直接按定義求圖示信號(hào)的頻譜，會(huì)遇到形如te-jt的繁復(fù)積分求解問(wèn)題。而利用時(shí)域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導(dǎo)，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)， 得到圖 3.5-5(c)所示的f2(t)， 顯然有 7/13/202288圖 3.5-5 梯形信號(hào)及其求導(dǎo)的波形7/13/202289據(jù)時(shí)移性質(zhì)有7/13/2022907/13/202291圖 3.5-6

25、另一種梯形信號(hào) 7/13/202292求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)練習(xí)題7/13/202293X7/13/202294X7/13/202295十.十一頻域微分、積分：1.頻域微分：證：因?yàn)楦鶕?jù)頻域卷積定理得：由前面結(jié)果得：同理n階微分也成立！2.頻域積分：7/13/202296如果f(0)=0，則有證：按卷積微積分性質(zhì)：考慮傅立葉反變換得下式1：由于按對(duì)稱(chēng)性得：將上結(jié)果代入1式得：其中f(0)可由頻域積分得到：例 ：7/13/202297練習(xí)解：7/13/202298練習(xí)求f(t)=te-at u(t)的頻譜函數(shù)F()。 解 利用 7/13/202299練習(xí)1. 求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換解：解：

26、7/13/2022100十二.帕什瓦爾定理: 對(duì)于周期信號(hào)的帕什瓦爾定理有： 表明周期信號(hào)的功率該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。 周期信號(hào)是功率信號(hào)，但一般而言，非周期信號(hào)不是功率信號(hào)，其平均功率為零，其能量為有限值，故為能量信號(hào)，只能從能量觀點(diǎn)研究。 非周期信號(hào)總能量：時(shí)域定義交換積分次序7/13/2022101可證：最后得： 非周期信號(hào)是由無(wú)限多個(gè)振幅為無(wú)窮小的頻率分量組成的，各頻率分量的能量也為無(wú)窮小量。為了表明信號(hào)能量在頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數(shù)相似，引入 個(gè)能量密度頻譜函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為能量譜。能量譜為各頻率點(diǎn)上單位頻帶中的信號(hào)能量，所以信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的全部能量為7/

27、13/2022102表 3.2 傅里葉變換的性質(zhì) 7/13/2022103分析：該信號(hào)是一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)，我們既可以把該信號(hào)看成是周期信號(hào)綜合例題已知信號(hào)求該信號(hào)的傅里葉變換。經(jīng)過(guò)門(mén)函數(shù)的截取，被信號(hào)調(diào)制所得的信號(hào).也可以看成是有以下三種解法: 方法一：利用頻移性質(zhì) 方法二：利用頻域卷積定理 方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性 7/13/2022104方法一：利用頻移性質(zhì)利用頻移性質(zhì)：由于利用歐拉公式，將化為虛指數(shù)信號(hào)，就可以看成是門(mén)函數(shù)被虛指數(shù)信號(hào)調(diào)制的結(jié)果。在頻域上，就相當(dāng)于對(duì) 的頻譜進(jìn)行平移。 又因7/13/2022105所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得7/13/2022106方法二：用頻域卷積定

28、理將看成是信號(hào)經(jīng)過(guò)窗函數(shù) 的截取，即時(shí)域中兩信號(hào)相乘 根據(jù)頻域卷積定理有7/13/2022107 方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性 信號(hào)f(t)是余弦函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)，而余弦函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)又是余弦函數(shù)。利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性可以列方程求解。由圖可知7/13/2022108對(duì)上式兩端取傅里葉變換，可得即7/13/2022109周期信號(hào)：非周期信號(hào)：周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？3.6.周期信號(hào)的傅立葉變換:7/13/2022110由歐拉公式由頻移性質(zhì)一正弦信號(hào)的傅里葉變換同理已知7/13/2022111頻譜圖7/13/2022112由傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏

29、變換(用定義)二一般周期信號(hào)的傅里葉變換7/13/2022113幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)7/13/2022114公式一：結(jié)論：fT(t)的傅立葉變換由無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，它位于信 號(hào)各諧波角頻率n處，其強(qiáng)度為各諧波分量幅度Fn的 2倍 。7/13/2022115例 3.6-1 求圖 3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(j)。 圖 3.6-1 周期矩形脈沖信號(hào)及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 復(fù)振幅Fn; (c) 頻譜函數(shù)F(j) 7/13/2022116解 周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為 7/13/2022117 例 3.6-2 圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列T(t)，其

30、周期為T(mén)，T(t)可表示為 m為整數(shù) 圖 3.6-2 周期沖激序列及其頻譜 7/13/2022118解 先求T(t)的復(fù)振幅Fn： 7/13/2022119公式二： 設(shè)一周期信號(hào)fT(t)，其周期為T(mén)，fT(t)中位于第一個(gè)周期的信號(hào)若為fa(t)，則不難得到 7/13/2022120再做例 3.6-1 已經(jīng)知道 7/13/20221217/13/2022122比較式(1),(2)7/13/2022123例 ：7/13/2022124課堂練習(xí)題1分析：求信號(hào)的傅里葉變換一般有兩種解法。方法一：將信號(hào)轉(zhuǎn)化為單周期信號(hào)與單位沖激串的卷積，用時(shí)域卷積定理來(lái)求解；方法二：利用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解。

31、已知周期信號(hào)f(t)的波形如下圖所示，求f(t)的傅里葉變換F(j)。7/13/2022125截取f(t)在 的信號(hào)構(gòu)成單周期信號(hào) f1(t)，即有方法一將信號(hào)轉(zhuǎn)化為單周期信號(hào)與單位沖激串的卷積。則易知f(t)的周期為2，則有7/13/2022126由時(shí)域卷積定理可得7/13/2022127方法二：利用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求解f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為所以7/13/2022128課堂練習(xí)題27/13/2022129一.低通信號(hào)與樣值信號(hào)： 1.低通信號(hào)（也稱(chēng)帶限信號(hào)）：2.樣值信號(hào) 信號(hào)f (t)加在抽樣器的輸入端，抽樣器相當(dāng)于一個(gè)定時(shí)開(kāi)關(guān)，它每隔Ts秒閉合一次，閉合時(shí)間為，輸出端輸出fs(t)3

32、.7 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理7/13/2022130抽樣周期抽樣頻率抽樣角頻率2.抽樣數(shù)學(xué)模型：研究?jī)蓚€(gè)問(wèn)題：7/13/2022131二.樣值信號(hào)的傅立葉變換：設(shè)：f (t)為低通信號(hào)，S(t)為均勻沖激序列。信號(hào)的抽樣及其頻譜圖示：7/13/20221327/13/20221337/13/2022134抽樣定理7/13/2022135重建原信號(hào)的必要條件：不滿(mǎn)足此條件，就要發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象奈奎斯特(Nyquist) 抽樣率和抽樣間隔7/13/20221363幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)7/13/2022137三.f (t)的恢復(fù)： 頻域處理：恢復(fù)公式7/13/2022138 可見(jiàn)：連續(xù)信號(hào)f(t)可由多個(gè)位于抽樣點(diǎn)

33、的Sa函數(shù)組成，各Sa函數(shù)的幅值為該點(diǎn)的抽樣值f (nTs),依據(jù)上述公式，可由各抽樣值恢復(fù)出f（t）。圖示如下：7/13/2022139（1）在抽樣點(diǎn)上，信號(hào)值不變；（2）抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各抽樣函 數(shù)波形的延伸疊加而成。T2T3T04T7/13/2022140四.時(shí)域抽樣定理：7/13/20221417/13/20221421抽樣信號(hào)五周期矩形脈沖抽樣 7/13/20221432.脈沖抽樣過(guò)程及其波形，頻譜如下頁(yè)圖.1.樣值信號(hào)：對(duì)于周期脈沖抽樣：7/13/2022144圖 ：矩形脈沖抽樣(a) f(t)的波形及其頻譜； (b) PTs的波形及其頻譜； (c) fs(t)的波形及其頻譜

34、7/13/20221457/13/20221463討論 的影響7/13/2022147課堂練習(xí)(1)要求出信號(hào)的頻寬，首先應(yīng)求出信號(hào)的傅里葉變換F()已知7/13/2022148所以信號(hào)的頻帶寬度為f(t)的波形和頻譜圖如下利用傅里葉變換的對(duì)稱(chēng)性即7/13/2022149（2）最高抽樣頻率（奈奎斯特頻率）為奈奎斯特間隔（即最大允許抽樣間隔）為7/13/20221503.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 7/13/20221513.8.1 基本信號(hào)e jt激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 7/13/2022152 設(shè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)時(shí)域分析公式(3.8-1)，系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)ejt的零狀態(tài)響應(yīng)

35、為 7/13/20221533.8.2一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)由于任意信號(hào)f(t)可以表示為無(wú)窮多個(gè)基本信號(hào)ejt的線(xiàn)性組合，因而應(yīng)用線(xiàn)性疊加性質(zhì)不難得到任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其推導(dǎo)過(guò)程如下：(式(3.86) (齊次性) 7/13/2022154所以 (疊加性) 由此可得用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為： 7/13/2022155系統(tǒng)函數(shù)的物理意義系統(tǒng)可以看作是一個(gè)信號(hào)處理器激勵(lì)：F(j)響應(yīng)：H(j)F(j)對(duì)于不同的頻率，有不同的加權(quán)作用，這也是信號(hào)分解，求響應(yīng)再疊加的過(guò)程。 對(duì)信號(hào)各頻率分量進(jìn)行加權(quán)7/13/2022156 例 3.8-1 已知激勵(lì)信號(hào)f

36、(t)=(3e-2t-2)(t)，試求圖 3.8-1 所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。 圖 3.8-1 例 3.8-1 的圖 7/13/20221577/13/2022158 注意到()的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(j)的逆變換，將UCf(j)按如下形式整理: 7/13/2022159例 3.8-2 如圖 3.8-2(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入 s(t)的波形如圖 3.8-2(b)所示，系統(tǒng)函數(shù) 7/13/2022160圖 3.8-2 例 3.8-2 圖(a) 系統(tǒng)組成； (b) s(t)的波形 7/13/2022161先求f(t)的傅里葉變換F(j)，由于 7/13/

37、2022162再求s(t)的傅里葉變換S(j)。由于s(t)為周期信號(hào)，T=1ms，則 , 因而有 7/13/2022163圖 3.8-3 y(t)的求解 7/13/2022164由沖激函數(shù)的卷積特點(diǎn)及F(j)、S(j)的圖形可知，X(j)為無(wú)窮多個(gè)分別位于n2000處的矩形脈沖，每個(gè)脈沖的寬度為4但幅度不等?？紤]到隨后的系統(tǒng)函數(shù)H(j)，在|1時(shí)H(j)=0，因而我們僅關(guān)心在|1范圍內(nèi)的X(j)。與|1范圍有關(guān)的X(j)為 7/13/2022165 例 3.8-3 已知系統(tǒng)函數(shù)H(j)如圖3.8-4(a)所示，試求在f(t)(圖3.8-4(b)作用下系統(tǒng)的輸出y(t)。 解 周期信號(hào)f(t)

38、可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)： 由T=4s可知， ?？紤]到H(j)的低通特性，當(dāng)|n|時(shí)H(jn)=0，即|n|2 時(shí)H(jn)=0，則 7/13/20221667/13/2022167圖 3.8-4 例 3.8-3 圖 7/13/20221683.8.3無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件從以上分析可知，在一般情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)與所加激勵(lì)波形不相同。也就是說(shuō)，信號(hào)在傳輸過(guò)程中產(chǎn)生了失真。1.失真的概念如果信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)傳輸時(shí)，其輸出波形發(fā)生畸變，失去了原信號(hào)波形的樣子，就稱(chēng)失真。反之，若信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)只引起時(shí)間延遲及幅度增減，而形狀不變，則稱(chēng)不失真，如圖3.85所示。 7/13/2022169圖 3.8-5 系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

39、 7/13/2022170 通常把失真分為兩大類(lèi)：一類(lèi)為線(xiàn)性失真，另一類(lèi)為非線(xiàn)性失真。 信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)所產(chǎn)生的失真稱(chēng)線(xiàn)性失真。其特點(diǎn)是在響應(yīng)y(t)中不會(huì)產(chǎn)生新頻率。也就是說(shuō)，組成響應(yīng)y(t)的各頻率分量在激勵(lì)信號(hào)f(t)中都含有，只不過(guò)各頻率分量的幅度、相位不同而已。 反之， f(t)中的某些頻率分量在y(t)中可能不再存在。 如圖 3.8-6 所示的失真就是線(xiàn)性失真，對(duì)y(t)與f(t)求傅里葉變換可知， y(t)中決不會(huì)有f(t)中不含有的頻率分量。 7/13/2022171圖 3.8-6 線(xiàn)性失真 7/13/2022172 信號(hào)通過(guò)非線(xiàn)性電路所產(chǎn)生的失真稱(chēng)非線(xiàn)性失真。其特點(diǎn)是在響應(yīng)y(t)中產(chǎn)生了信號(hào)f(t)中所沒(méi)有的新的頻率成分。如圖3.87所示，其輸入信號(hào)f(t)為單一正弦波，f(t)中只含有f0的頻率分量。而經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性元件二極管后得到的半波整流信號(hào)，在波形上產(chǎn)生了失真，而在頻譜上產(chǎn)生了由無(wú)窮多個(gè)f0的諧波分量構(gòu)成的新頻率，這就是非線(xiàn)性失真。 7