教學設計參考案例－勾股定理

1、 PAGE PAGE 8 19.1勾股定理（第一課時）教學設計（人教版課程標準試驗教科書數學八年級下）哈爾濱市虹橋學校 高靜【摘要】通過活動一了解勾股定理，通過活動二由特殊三角形入手發(fā)現規(guī)律，提出猜想，在活動三的環(huán)節(jié)由特殊到一般的順序驗證猜想，得出定理，活動四應用定理?！娟P鍵詞】由特殊到一般 拼圖 面積法證明【教材分析】1.在教材中所處的地位本節(jié)內容是人教版八年級下第19章中第1節(jié)勾股定理的第一課時。它是在學生學習了三角形的有關概念、全等三角形、特殊三角形的性質和定理等知識之后，對直角三角形的進一步認識與補充。它所揭示的直角三角形中三邊之間的數量關系，成為解決“幾何學”有關“線段長度計算問題”

2、的強有力的工具。它不但是今后學習四邊形、學習解直角三角形的基礎知識，而且為我們將來學習立體幾何、研究數論作了一些有益的準備。勾股定理是一條應用十分廣泛的定理。如測量、建筑、航海中都有應用。特別地，勾股定理在其他學科尤其是物理中有著廣泛的應用，成為這些學科強有力的工具之一。在古代，中國的大禹曾還利用勾股定理來治理洪水，埃及人利用勾股定理建造了金字塔?？梢哉f它是初等幾何中最精彩、最著名的定理。2. 教學目標(1)知識與技能1、在探索基礎上掌握勾股定理。2、理解勾股定理的面積證法。3、使學生能應用勾股定理解決簡單的實際問題。(2)過程與方法通過對勾股定理的探究,使學生經歷數學的探究活動過程，進一步提

3、高學生觀察、 猜想、分析、合情推理能力，培養(yǎng)學生主動探究的習慣。(3)情感態(tài)度價值觀1、通過對勾股定理面積證法的探究，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，敢于嘗試的科學精神。2、通過對勾股定理的簡單應用，使學生在數學活動中獲得成功體驗，建立自信心，養(yǎng)成嚴謹的學習習慣。3、通過對勾股定理歷史的介紹，激發(fā)學生熱愛祖國與熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感。3教學重點與難點重點：探索和證明勾股定理難點：用面積證法證明勾股定理?！緦W情分析】在心理特征上：八年級學生獨立思考和探索的愿望有所提高，并能在探索的過程中形成自己的觀點。在解題過程中學生急于追求結果，常常丟寫或錯寫證明的條件，應注意

4、讓學生感受幾何推理的嚴謹性，所以在本節(jié)課中設置了一些針對性的練習題，保證學生對基礎知識和方法的掌握。在知識結構上：學生已經學習了一般三角形和直角三角形的相關概念和性質，并且對于幾何推理已經具有了一定的方法和技巧?！窘虒W策略】本節(jié)課借鑒美國教育家杜威在“做中學”的理論，注重培養(yǎng)學生自主探究與合作交流。教學內容采用“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的方式展開，讓學生經歷知識的形成與應用過程。在探索勾股定理的教學中，利用學生的好奇心與求知欲，展開先實踐后猜想的探索活動，通過學生解決問題的過程，提高學生的思維能力，有效的激發(fā)學生的思維積極性。本節(jié)課采用傳統教學與多媒體相結合的教學手段，充分利用多媒體

5、圖文并茂的優(yōu)點，使學生獲得較為直觀的印象，有效地降低難度，增進學生對數學的理解，激發(fā)學生學習積極性?！窘虒W過程】活動12002年在北京召開了第24屆國際數學家大會，它是最高水平的全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”。這就是本屆大會會徽的圖案。（1）你見過這個圖案嗎？（2）你聽說過“勾股定理”嗎？教師出示照片及圖片。學生觀察圖片發(fā)表見解。教師做補充說明：這個圖案是我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理時用到的，被稱為“趙爽弦圖”。 其實在中國， HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算經記載了勾股定理證明，相傳是在 HYPERLINK /view/270

6、39.htm t _blank 西周由 HYPERLINK /view/781919.htm t _blank 商高發(fā)現，故又有稱之為商高定理；三國時代的 HYPERLINK /view/77313.htm t _blank 趙爽對 HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算經內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。 在本次活動中，教師應重點關注：（1）學生對“趙爽弦圖”及勾股定理的歷史是否感興趣；（2）學生對勾股定理的了解程度。設計意圖：從現實生活中提出“趙爽弦圖”，為學生能夠積極主動地投入到探索活動創(chuàng)設情境，激發(fā)學生學習熱情，同時為探索勾股定理提

7、供背景材料。活動2畢達哥拉斯是古代希臘著名的數學家，相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發(fā)現朋友家用地磚鋪成的地板反映了直角三角形的某種性質。（1）現在請你也觀察一下，你有什么發(fā)現？1、等腰直角三角形（師）觀察圖5，對于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和已計算的正方形C的面積填入下表，它們的面積有什么關系？三角形 的形狀正方A面積正方形B面積正方C面積等腰直角三 角 形結論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有這樣的特點呢？2、直角邊長為整數的一般直角三角形（師）觀察圖6，直角邊長為整數的一般直角三角形，正方形

8、A、正方形B、正方形C面積又有什么關系呢？結論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積3、任意直角三角形（師）那么，對于直角邊長不是整數的一般直角三角形上面的結論還成立嗎？AC生合作：試著將已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如圖所示的圖形。ABC（師）同學們從活動中都得出正方形A、正方形B、正方形C面積有什么關系？ （生）小組交流，學生代表發(fā)言。三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積任意的直角三角形結論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積師點撥：這里的四個全等的四邊形是正方形B按如圖8所示的方法分割的。師小結：通過以上活動，我們發(fā)現以任意直角三角形的

9、兩條直角邊為邊長的正方形面積之和都等于以斜邊為邊長的正方形面積。（師）下面我們運用幾何畫板進一步驗證上面的結論（改變直角三角形的三邊長度，同學們發(fā)現結論仍然成立）。4、正方形面積與直角三角形三邊關系（師）若我們設兩條直角邊長分別為a、b，斜邊為c，你能用三角形的邊長來表示這三個正方形的面積嗎？（將正方形的面積和三角形的邊長聯系起來） （生）正方形A面積為a2，正方形B面積為b2，正方形C面積為c2。（師）你發(fā)現直角三角形三邊長度之間有什么聯系？（生）分組討論，交流并發(fā)言。 結論：由于 正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積，所以 a2 + b2 = c2 即兩條直角邊的平方和等于斜邊

10、的平方。5、認識直角三角形三邊關系（師）利用幾何畫板展示任意直角三角形，我們發(fā)現：無論三邊長度如何變化，兩條直角邊的平方和總是等于斜邊平方。 （師）請將上述結論用數學語言表述并符號化。（生）學生討論，交流并發(fā)言。 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （師）在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以我國古代把上面的定理稱為“勾股定理”。再請學生看一看，讀一讀：早在三千多年前周朝數學家商高就提出勾

11、三、股四、弦五，并在后來被記載在中國古代著名數學著作周髀算經之中，一千多年后西方的畢達哥拉斯證明了此定理。 （設計意圖：在探索定理的過程中， 為了突出本節(jié)重點，解決難點，我將按下面兩個層次設計探索過程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三邊關系的研究，體現從特殊到一般的方法，第二方面引導學生用割、補等方法計算正方形C面積到用拼圖的方法探索直角三角形三邊關系，展示由簡單到復雜的思想，探索出勾股定理。） 活動3下面，我們就來看一看我國古代數學家趙爽是怎樣證明這個命題的。（1）以直角三角形ABC的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形。你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？（2）迄今為止，關于勾股定理

12、的證明方法已有500余種。其中，美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話。后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法。下面我們一起來了解這一證法。此證明方法的核心思想是“面積之間的等量關系”。右圖是歷史上著名的“弦圖”，你能通過此圖，利用面積之間的等量關系來證明勾股定理嗎？ （設計意圖：本層題目面向學有余力的學生，注重思維開放性的培養(yǎng)。其中勾股定理總統證法和弦圖證法，不但拓展了學生的視野，激發(fā)了學生的探究熱情，而且使學生感受到勾股定理證明的博大精深。）活動4小結：勾股定理是一個基本幾何定理，是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，用代數思

13、想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是 HYPERLINK /view/134322.htm t _blank 數形結合的紐帶之一。勾股定理是 HYPERLINK /view/52606.htm t _blank 余弦定理的一個特例。勾股定理約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。布置作業(yè)：收集有關勾股定理的證明方法，下節(jié)課展示、交流。學生談體會。教師進行補充，總結，為下節(jié)課做好鋪墊。在此次活動中教師應重點關注：不同層次的學生對知識的理解程度；學生是否能從不同方面談感受；傾聽他人的意見，體會合作學習的必要性。設計意圖：通過小結為學生創(chuàng)造交流的空間，調動學生的積極性，既引導了學

14、生從面積的角度理解勾股定理，又從能力、情感、態(tài)度等方面關注學生對課堂整體感受，在輕松愉快的氣氛中體會收獲的喜悅。給學生留有繼續(xù)學習的空間和興趣。板書設計：勾股定理：如果在一個直角三角形中直角邊分別為a、b,斜邊長為c,那么有即直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，此為勾股定理。【課后反思】新課程改革要求我們：將數學教學置身于學生自主探究與合作交流的數學活動中；將知識的獲取與能力的培養(yǎng)置身于學生形式各異的探索經歷中；關注學生探索過程中的情感體驗，并發(fā)展實踐能力及創(chuàng)新意識。為學生的終身學習及可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎。為此我在教學設計中注重了以下幾點：一、讓學生主動想學 上這節(jié)課我布置給學生任

15、務：查有關勾股定理的資料（可上網查，也可查閱報刊、書籍）.提前兩三天由幾位學生匯總(教師可適當指導)。這樣可使學生在上這節(jié)課前就對勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學生認識到勾股定理的重要性，學習勾股定理是非常必要的，激發(fā)學生的學習興趣，對學生也是一次愛國主義教育，培養(yǎng)民族自豪感，激勵他們奮發(fā)向上同時培養(yǎng)學生的自學能力及歸類總結能力。二、在課堂教學中，始終注重學生的自主探究 首先，創(chuàng)設情境，由實例引入，激發(fā)學生的學習興趣，然后通過動手操作、大膽猜想、勇于驗證等一系列自主探究、合作交流活動得出定理，并運用定理進一步鞏固提高。體現了學生是數學學習的主人，人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展。對于拼圖驗證，學生還沒有接觸過，所以在教學中教師給予學生適當指導與鼓勵。充分體現了教師是學生數學學習的組織者、引導者、合作者。三、教會學生思維，培養(yǎng)學生多種能力 課前查資料，培養(yǎng)學生的自學能力及歸類總結能力；課上的探究培養(yǎng)學生的動手動腦的能力、觀察能力、猜想歸納總結的能力、合作交流的能力四、注重了數學應用意識的培養(yǎng)