數(shù)論專(zhuān)題講義01講整除與帶余除法

1、2016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)第一講：整除與帶余除法-南京楊全會(huì)知識(shí)點(diǎn)設(shè) a, b Z, a 6= 0. 如果存在 q Z 使得 b = aq, 那么就說(shuō) b 可被 a 整除(或 a 整除 b),記作 a | b, 且稱(chēng) b 是 a 的倍數(shù), a 是 b 的約數(shù). b 不能被 a 整除就記作 a - b. 根據(jù)整除的定義, 不難得出整除的如下性質(zhì)：若 a | b, b | c, 則 a | c.若 a | bi(1 i n), 則對(duì)任意 ui ZP(1 i), 都有 a |nuibi. 特別地, ni=1若 a|b, 則對(duì)任意 u, v Z 都有 a | ua +

2、vb.(3) 設(shè) a, b 為正整數(shù)且 b 6= 0. 若 a | b, 則 a b. 從而, 若 a | b 且 b | a, 則 a = b. (4) 設(shè) a = p p p , b = p p p . 則 a | b i i(i = 1, 2, . . . , r). 1212rrr1 2r12帶余除法定理: 設(shè) a, b 是兩個(gè)給定的正整數(shù). 那么, 一定存在唯一的一對(duì)非負(fù)整數(shù) q與 r, 滿(mǎn)足b = qa + r,0 r 1 時(shí), n4 + 4n 不會(huì)是質(zhì)數(shù).12016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)例2. 設(shè) a, b 是正整數(shù), b 2, 則 2b 1 - 2a + 1

3、.例3. 已知 a, b 是正整數(shù), 且 (ab2 + b + 7) | (a2b + a + b), 求 a, b.22016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)例4. 設(shè) a, b 及 n 是固定的自然數(shù), 且對(duì)任何自然數(shù) k(k =6b), a kn 能被 b k 整除,證明: a = bn.例5. 設(shè) a, b 是正整數(shù), 當(dāng) a2 + b2 被 a + b 除時(shí), 商為 q, 余數(shù)為 r, 求所有的數(shù)對(duì) (a, b),使 q2 + r = 1977.32016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)例6. 試證對(duì)于任何正整數(shù) a1 1, 都存在嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列 a1, a2, a3, . . . , 使得對(duì)任何 k 1, 和數(shù) a + a + + a 都能被和數(shù) a1 + a2 + + ak 整除.22212k例7. 已知正整數(shù) a 2. 求證: 存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) n, 使得 n|an 1.42016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)am+a1例8. 求所有大于 2 的正整數(shù)對(duì) (m, n) 滿(mǎn)足: 存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù) a 使得是整數(shù).也an+a2 152016年春季競(jìng)賽班講義二試數(shù)論高中數(shù)賽網(wǎng)絡(luò)課培訓(xùn)作業(yè)：例6中, 若 改成 + 結(jié)論又如何？求最大自然數(shù) x, 使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù) y, x | 7y +