等差等比數(shù)列以與數(shù)列求和專題

1、WORD 專業(yè)資料. 6.2 等差數(shù)列一課程目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.二知識梳理1.定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an1and(nN*，d為常數(shù))，或anan1d(n2，d為常數(shù)).通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)d.3.前項(xiàng)和公式 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：其

2、中nN*，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng)).等差數(shù)列的常用性質(zhì) 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和. (1)通項(xiàng)公式的推廣： (2)若mnpq(m，n，p，qN*)，則有。特別的，當(dāng)時(shí)， (3)等差數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)d0時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是常數(shù)列. (4)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列. (5)若是等差數(shù)列，則仍是等差數(shù)列.與等差數(shù)列各項(xiàng)和相關(guān)的性質(zhì)若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與的首項(xiàng)一樣，公差為的公差的。數(shù)列也是等差數(shù)列.關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)。.若項(xiàng)數(shù)

3、為，則。.若項(xiàng)數(shù)為，則，。（4）若兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系：（1），數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù)).（2）在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值；若a10，d0，則Sn存在最小值.三考點(diǎn)梳理1.等差數(shù)列的概念與運(yùn)算例1.(2016全國卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A.100 B.99 C.98 D.97例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S36，S412，則S6_.練習(xí)1.(2015全國卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和.若S84S4，則a10等于()A.eq f(17

4、,2) B.eq f(19,2) C.10 D.122.等差數(shù)列的性質(zhì)例1.(2015全國卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A.5 B.7 C.9 D.11例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27例3.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.13 B.12 C.11 D.10例4.(2015卷)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.例5.(2016調(diào)研)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a78，a22，則數(shù)列a

5、n的公差d等于()A.1 B.2 C.3 D.4例6.設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有eq f(Sn,Tn)eq f(2n3,4n3)，則eq f(a9,b5b7)eq f(a3,b8b4)的值為_.3.等差數(shù)列與函數(shù)例1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a113，S3S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a10且eq f(a6,a5)eq f(9,11)，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為()A.9 B.10 C.11 D.12例3.已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()A.a1a1

6、010 B.a2a1000 C.a3a990 D.a5151例4.已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1224，則a6a7的最大值為()A.36 B.6 C.4 D.2例5.設(shè)是公差為d（）的無窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）若d0，則數(shù)列有最大項(xiàng)B.若數(shù)列有最大項(xiàng)，則d0D.若對任意，均有0，則數(shù)列為遞增數(shù)列例6.設(shè)等差數(shù)列an滿足a27，a43，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn0成立的最大的自然數(shù)n是()A9 B10 C11 D12方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和

7、的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.6.3 等比數(shù)列課程目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q0)表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq f(an,an1)q(n2，q為非零常數(shù))，或eq f(an1,an)q(nN*，q為非零常數(shù)).(2)如果三

8、個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中Geq r(ab).2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為ana1qn1；通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sneq f(a1（1qn）,1q)eq f(a1anq,1q).3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知an是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，則有akalaman.(2)數(shù)列（是等比數(shù)列），等也是等比數(shù)列。(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列

9、，公比為qm.(4)當(dāng)q1，或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(5)等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q1，a10或0q1，a10時(shí)，數(shù)列an是遞增數(shù)列； 當(dāng)q1，a10或0q1，a10時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列.當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，;當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，考點(diǎn)梳理等比數(shù)列的概念與運(yùn)算例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，則()A.2 B.4 C.eq r(2) D.2eq r(2)例2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則的值為()A.8 B.9 C.10 D.11例3.(2015全國卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sn126，

10、則n_.2.等比數(shù)列的性質(zhì)例1.(2016全國卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_.例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若eq f(S6,S3)3，則eq f(S9,S6)()A.2 B.eq f(7,3) C.eq f(8,3) D.3例3.(2015全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A.21 B.42 C.63 D.84例4.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，Sn為前n項(xiàng)和，且S1010，S3070，那么S40等于()A.150 B.200C.150或200 D.400或50例5.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知a1a2a34

11、，a4a5a612，an1anan1324，則n等于()A.12 B.13 C.14 D.15例6.數(shù)列an中，已知對任意nN*，a1a2a3an3n1，則aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,n)等于()A.(3n1)2 B.eq f(1,2)(9n1) C.9n1 D.eq f(1,4)(3n1)例7.在等比數(shù)列an中，a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值圍是_.例8.已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，則的值是()5 Beq f(1,5) C5 Deq f(1,5)例9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中

12、，則=（ ）A.8 B6 C4 D例10.若等比數(shù)列的前項(xiàng)均為正數(shù)，且，則_.6.3數(shù)列求和一課程目標(biāo)：熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.二知識梳理1.求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sneq f(n（a1an）,2)na1eq f(n（n1）,2)d.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式()當(dāng)q1時(shí)，Snna1；()當(dāng)q1時(shí)，Sneq f(a1（1qn）,1q)eq f(a1anq,1q).(2)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相

13、消剩下首尾若干項(xiàng).(4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.2.常見的裂項(xiàng)公式(1)(2)(3)三考點(diǎn)梳理1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例1.已知數(shù)列an滿足，其中nN*設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；例2.已知數(shù)列an滿足a1=，an+1= ，nN+求證：數(shù)列2是等比數(shù)列，并且求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；例3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，（nN*且n2），數(shù)列滿足：，且（nN*且n2）（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；例4

14、.在數(shù)列中，已知證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例5.數(shù)列滿足，（）。設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6.數(shù)列an滿足，且(nN*)。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令=+ ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.例7.數(shù)列an中，且（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求通項(xiàng)公式的方法：利用；根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后通過等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式反推出原數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項(xiàng)組成，可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列，然后按照2的步驟進(jìn)行反推。2.數(shù)列求和（1）分組轉(zhuǎn)化法若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為eq blc(avs4al

15、co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，)其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求的前n項(xiàng)和.例1.在數(shù)列中，已知，（）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足=，求的前n項(xiàng)和例2. 已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若對任意的nN*，是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例3.數(shù)列1eq f(1,2)，3eq f(1,4)，5eq f(1,8)，7eq f(1,16)，(2n1)eq f(1,2n)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于()A.n21eq f(1,2n) B.2n2n1eq f(1,2n)C.n21eq f(1,2n

16、1) D.n2n1eq f(1,2n)例4.數(shù)列an的通項(xiàng)公式，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 016等于()A.1 008 B.2 016 C.504 D.0裂項(xiàng)相消法：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.例1.(2015全國卷)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an0，aeq oal(2,n)2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bneq f(1,anan1)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.例2.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3a7，a82

17、a33.(1)求an；(2)設(shè)bneq f(1,Sn)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.例3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+2（nN*），數(shù)列bn滿足bn=2nan（1）求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn（nN*）的n的最大值例4.已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，nN（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）令 c=log3a2n，bn=，記數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為Tn，若對任意 nN，Tn 恒成立，數(shù) 的取值圍錯(cuò)位相減法： 一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，

18、可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解。在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式.例1.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S36，S515(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn例2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，（nN+）（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列bn滿足anbn=log3a4n+1，記Tn=b1+b2+b3+bn，求證：（nN+）例3.(2016)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn倒序相加法：如果一個(gè) HYPERLINK s:/baike.