中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題及答案

1、第六屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題第一天（2009年7月28日上午8：0012：00）江西南昌1. 試求滿(mǎn)足方程的所有整數(shù)對(duì)（張鵬程供題）2. 在凸五邊形中，已知，且四點(diǎn)共圓證明：四點(diǎn)共圓的充分必要條件是（熊斌供題）3. 設(shè)，；求證： （唐立華供題）4. 在一個(gè)圓周上給定十二個(gè)紅點(diǎn)；求的最小值，使得存在以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的個(gè)三角形，滿(mǎn)足：以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的每條弦，都是其中某個(gè)三角形的一條邊（陶平生供題）第六屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題第二天（2009年7月29日上午8：0012：00）江西南昌5設(shè)的所有排列的集合為；，記，；求（其中表示集合的元素個(gè)數(shù)）（熊斌供題）6已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓

2、；證明：過(guò)上的任意一點(diǎn)，都可以作一個(gè)三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓（陶平生供題）7 設(shè)， 其中 ，且 求的最大值和最小值（李勝宏供題）8在88方格表中，最少需要挖去幾個(gè)小方格，才能使得無(wú)法從剩余的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的型五方連塊？ （孫文先供題）1. 試求滿(mǎn)足方程的所有整數(shù)對(duì)（張鵬程供題）解： 設(shè)整數(shù)對(duì)滿(mǎn)足方程 （1），將其看作關(guān)于的一元二次方程，其判別式的值應(yīng)為一完全平方數(shù)； 若，則； 若，則可取，相應(yīng)的值分別為和 ，它們皆不為平方數(shù)； 因此，僅當(dāng)時(shí)，為完全平方數(shù)若，方程（1）化為， 解得或；若，方程（1）化為 ，解得或綜上可知，滿(mǎn)足原方程的全部整數(shù)對(duì)為：2. 在凸五邊形中，

3、已知，且四點(diǎn)共圓證明：四點(diǎn)共圓的充分必要條件是（熊斌供題）證明：必要性：若共圓，則由，得，所以，故得；充分性：記所共的圓為，若，則圓心在的中垂線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則在上，且因，即，所以不共點(diǎn)，且，又由，知，因此，故由，得共圓，即點(diǎn)在上，也即點(diǎn)在上，從而共圓3. 設(shè)，；求證： （唐立華供題）證明：先證不能構(gòu)成三角形的三邊因?yàn)?，所?()()() ,于是 ()()(),故 4. 在一個(gè)圓周上給定十二個(gè)紅點(diǎn)；求的最小值，使得存在以紅點(diǎn)為頂點(diǎn)的個(gè)三角形，滿(mǎn)足：以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的每條弦，都是其中某個(gè)三角形的一條邊（陶平生供題）解：設(shè)紅點(diǎn)集為：，過(guò)點(diǎn)的弦有條，而任一個(gè)含頂點(diǎn)的三角形，恰含兩條過(guò)點(diǎn)的弦，故

4、這條過(guò)點(diǎn)的弦，至少要分布于個(gè)含頂點(diǎn)的三角形中；同理知，過(guò)點(diǎn)的弦，也各要分布于個(gè)含頂點(diǎn)的三角形中，這樣就需要個(gè)三角形，而每個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，故都被重復(fù)計(jì)算了三次，因此至少需要個(gè)三角形再說(shuō)明，下界可以被取到不失一般性，考慮周長(zhǎng)為的圓周，其十二等分點(diǎn)為紅點(diǎn)，以紅點(diǎn)為端點(diǎn)的弦共有條若某弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為，就稱(chēng)該弦的刻度為；于是紅端點(diǎn)的弦只有種刻度，其中，刻度為的弦各條，刻度為的弦共條； 如果刻度為（）的弦構(gòu)成三角形的三條邊，則必滿(mǎn)足以下兩條件之一：或者；或者；于是紅點(diǎn)三角形邊長(zhǎng)的刻度組只有如下種可能：；下面是刻度組的一種搭配：取型各六個(gè)，型四個(gè)；這時(shí)恰好得到條弦，且其中含刻度為的弦各條，刻度為的弦共條

5、；今構(gòu)造如下：先作型的三角形各六個(gè)，型的三角形三個(gè)，再用三個(gè)型的三角形來(lái)補(bǔ)充型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為：；型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為：；型六個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為：；型三個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為：；型三個(gè)：其頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)為：（每種情況下的其余三角形都可由其中一個(gè)三角形繞圓心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)而得）這樣共得到個(gè)三角形，且滿(mǎn)足本題條件，因此，的最小值為 第六屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題解答第二天5設(shè)的所有排列的集合為；，記，；求（其中表示集合的元素個(gè)數(shù)）（熊斌供題）解：我們一般地證明，若，對(duì)于前個(gè)正整數(shù)的所有排列構(gòu)成的集合，若，則下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是又，所以，=共有11=個(gè)元素因此

6、，時(shí)命題成立假設(shè)命題在（）時(shí)成立；考慮命題在時(shí)的情況對(duì)于的任一排列，恒取，得到的一個(gè)排列，則由歸納假設(shè)知，此時(shí)取遍區(qū)間上所有整數(shù)再令，則，再由歸納假設(shè)知，取遍區(qū)間上的所有整數(shù)因?yàn)?，所以，取遍區(qū)間上的所有整數(shù)即命題對(duì)也成立由數(shù)學(xué)歸納法知，命題成立由于 ，從而，集合的元素個(gè)數(shù)為特別是，當(dāng)時(shí)，6已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓；證明：過(guò)上的任意一點(diǎn)，都可作一個(gè)三角形，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓（陶平生供題）證：如圖，設(shè)，分別是的外接圓和內(nèi)切圓半徑，延長(zhǎng)交于，則，延長(zhǎng)交于；則，即；過(guò)分別作的切線(xiàn)，在上，連，則平分，只要證，也與相切；設(shè)，則是的中點(diǎn)，連，則，所以，由于在角的平分線(xiàn)上，因此點(diǎn)是的內(nèi)心，（這是

7、由于，而，所以，點(diǎn)是的內(nèi)心）即弦與相切7設(shè)， 其中 ，且 求的最大值和最小值（李勝宏供題）解：先證當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因 由哥西不等式:，因?yàn)閺亩?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.再證當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.事實(shí)上，=故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立另證：設(shè)，若，則；下設(shè)，由式，要證，只要證， 注意到，于是等價(jià)于即 而由柯西不等式，可得即成立，從而，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.8在88方格表中，最少需要挖去幾個(gè)小方格，才能使得無(wú)法從剩余的方格表中裁剪出一片形狀如下完整的型五方連塊？ （孫文先供題）答：至少要如下圖挖去14個(gè)小方格如右圖，將88棋盤(pán)切為五個(gè)區(qū)域中央部份的區(qū)域至少要挖去2個(gè)小方格才能使T形的五方塊放不進(jìn)去。二個(gè)打叉的位置是不等同的位置，一個(gè)是在角落位置，另一個(gè)是內(nèi)部位置，只挖去其中一個(gè)無(wú)法避免T置入對(duì)于在邊界的四個(gè)全等的區(qū)域，每區(qū)域至少要挖去3個(gè)小方格才能使T形的五方塊放不進(jìn)去證明：以右上角的區(qū)域?yàn)槔?，下方T部份