第四章理論分布和抽樣分布ppt課件

1、第四章 實(shí)際分布和抽樣分布第一節(jié) 事件、概率和隨機(jī)變量第二節(jié) 二項(xiàng)式分布第三節(jié) 正態(tài)分布第四節(jié) 抽樣分布.第一節(jié) 事件、概率和隨機(jī)變量一、事件和事件發(fā)生的概率二、事件間的關(guān)系三、計(jì)算事件概率的法那么四、隨機(jī)變量.一、事件和事件發(fā)生的概率 事件 -在自然界中一種事物，常存在幾種能夠出現(xiàn)的情況，每一種能夠出現(xiàn)的情況稱(chēng)為事件。 隨機(jī)事件(random event) -某特定事件只是能夠發(fā)生的幾種事件中的一種，這種事件稱(chēng)為隨機(jī)事件。 概率(probability) -每一個(gè)事件出現(xiàn)的能夠性稱(chēng)為該事件的概率。 必然事件-對(duì)于一類(lèi)事件來(lái)說(shuō)，在同一組條件的實(shí)現(xiàn)之下必然要發(fā)生的，稱(chēng)為必然事件；其概率為1。 不

2、能夠事件 -對(duì)于一類(lèi)事件來(lái)說(shuō)，在同一組條件的實(shí)現(xiàn)之下必然不發(fā)生的，稱(chēng)為不能夠事件，其概率為0。 . 事件發(fā)生的能夠性(概率)是在大量的實(shí)驗(yàn)中察看得到的，例如棉田發(fā)生盲蝽象為害的情況，并不是一切的棉株都受害，隨著察看的次數(shù)增多，我們對(duì)棉株受害能夠性程度大小的把握越準(zhǔn)確、越穩(wěn)定。這里將一個(gè)調(diào)查結(jié)果列于表4.1。 表4.1 在一樣條件下盲蝽象在某棉田危害程度的調(diào)查結(jié)果調(diào)查株數(shù)(n)52550100200500100015002000受害株數(shù)(a) 21215 33 72177 351 525 704棉株受害頻率(a/n)0.400.480.300.330.360.3540.3510.3500.352

3、. 由表4.1可以看到：調(diào)查5株時(shí)，有2株受害，受害株的頻率為40%，調(diào)查25株時(shí)受害頻率為48%，調(diào)查100株時(shí)受害頻率為33%。可以看出三次調(diào)查結(jié)果有差別，闡明受害頻率有動(dòng)搖、不穩(wěn)定。而當(dāng)進(jìn)一步擴(kuò)展調(diào)查的單株數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)頻率比較穩(wěn)定了，調(diào)查500株到2000株的結(jié)果是受害棉株穩(wěn)定在35%左右。 現(xiàn)以n代表調(diào)查株數(shù)，以a代表受害株數(shù)，那么可以計(jì)算出受害頻率p=a/n。從棉株受害情況調(diào)查結(jié)果看，頻率在n取不同的值時(shí)，雖然調(diào)查田塊是一樣的，頻率p卻不同，只需在n很大時(shí)頻率才比較穩(wěn)定一致。因此，調(diào)查株數(shù)n較多時(shí)的穩(wěn)定頻率才干較好地代表棉株受害的能夠性。 . 統(tǒng)計(jì)學(xué)上用n較大時(shí)穩(wěn)定的p近似代表概率。經(jīng)

4、過(guò)大量實(shí)驗(yàn)而估計(jì)的概率稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率，以表示。此處P代表概率，P(A)代表事件A的概率，P(A)變化的范圍為01，即0P(A)1。 小概率原理-假設(shè)事件A發(fā)生的概率較小，如小于0.05或0.01，那么以為事件A在一次實(shí)驗(yàn)中不太能夠發(fā)生，這稱(chēng)為小概率事件實(shí)踐不能夠性原理，簡(jiǎn)稱(chēng)小概率原理。這里的0.05或0.01稱(chēng)為小概率規(guī)范，農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)研討中通常運(yùn)用這兩個(gè)小概率規(guī)范。.二、事件間的關(guān)系(一) 和事件(二) 積事件 (三) 互斥事件(四) 對(duì)立事件(五) 完全事件系(六) 事件的獨(dú)立性 . (一) 和事件 事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱(chēng)為事件A和B的和事件，記為A+B，讀作“或A發(fā)

5、生，或B發(fā)生。 例如，有一批種子，包含有能發(fā)芽的和不能發(fā)芽的。假設(shè)A為“取到能發(fā)芽種子，B為“取到不能發(fā)芽種子，那么A+B為“或者取到能發(fā)芽種子或者取到不能發(fā)芽種子。 事件間的和事件可以推行到多個(gè)事件：事件A1、A2、An至少有一發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱(chēng)為事件A1、A2、An的和事件，記為A1+A2+An= . (二) 積事件 事件A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱(chēng)為事件A和B的積事件，記作AB，讀作“A和B同時(shí)發(fā)生或相繼發(fā)生。 事件間的積事件也可以推行到多個(gè)事件：事件A1、A2、An同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱(chēng)為這n個(gè)事件的積事件，記作A1A2An= .(三) 互斥事件 事件A和B不能夠同時(shí)發(fā)生，即AB

6、為不能夠事件，記作AB=V，稱(chēng)事件A和B互斥或互不相容。 例如，有一袋種子，按種皮分黃色和白色。假設(shè)記A為“取到黃色，B為“取到白色，顯然A和B不能夠同時(shí)發(fā)生，即一粒種子不能夠既為黃色又為白色，闡明事件A和B互斥。 這一定義也可以推行到n個(gè)事件。事件A1、A2、An不能夠同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱(chēng)為這n個(gè)事件互斥或互不相容，記作A1A2An=V 。 .(四) 對(duì)立事件 事件A和B不能夠同時(shí)發(fā)生，但必發(fā)生其一，即A+B為必然事件(記為A+B=U)，AB為不能夠事件(記為AB=V，那么稱(chēng)事件B為事件A的對(duì)立事件，并記B為 。 例如，上面例子中A為“取到黃色，B為“取到白色，A與B不能夠同時(shí)發(fā)生，但是

7、，恣意抽取一粒種子，其皮色不是黃色就是白色，即A和B必發(fā)生其一，因此，A和B互為對(duì)立事件。.積事件AB和事件A+BABAB互斥事件 對(duì)立事件 AB.(五) 完全事件系 假設(shè)事件A1、A2、An兩兩互斥，且每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果必發(fā)生其一，那么稱(chēng)A1、A2、An為完全事件系。 例如，僅有三類(lèi)花樣：黃色、白色和紅色，那么取一朵花，“取到黃色、“取到白色和“取到紅色就構(gòu)成完全事件系。.(六) 事件的獨(dú)立性 假設(shè)事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的能夠性，那么稱(chēng)事件A和事件B相互獨(dú)立。 例如，事件A為“花的顏色為黃色，事件B為“產(chǎn)量高，顯然假設(shè)花的顏色與產(chǎn)量無(wú)關(guān),那么事件A與事件B相互獨(dú)立。.三、計(jì)算事件概率的法那

8、么(一) 互斥事件的加法 (二) 獨(dú)立事件的乘法(三) 對(duì)立事件的概率(四) 完全事件系的概率(五) 非獨(dú)立事件的乘法 . (一) 互斥事件的加法 假定兩互斥事件A和B的概率分別為P(A)和P(B)。那么事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。 加法定理對(duì)于多個(gè)兩兩互斥的事件也成立：假定A1、A2、An n個(gè)事件彼此間均是兩兩互斥的事件，其概率依次為P(A1)，P(A2)，P(An)，那么A1，A2到An和事件的概率P(A1+A2+ +An)等于P(A1)，P(A2)，P(An)之和，即P(A1+A2+ +An)=P(A1)+P(A2)+

9、 +P(An)。 . 例如，一捆花中紅、黃、白花的概率分別為0.2、0.3、0.5，那么我們隨機(jī)抽取一朵非白色花的概率為0.5(=0.2+0.3)，這只是由加法定理得到的兩個(gè)事件概率之和。.(二) 獨(dú)立事件的乘法 假定P(A)和P(B)是兩個(gè)獨(dú)立事件A與B各自出現(xiàn)的概率，那么事件A與B同時(shí)出現(xiàn)的概率等于兩獨(dú)立事件出現(xiàn)概率P(A)與P(B)的乘積，即P(AB)=P(A)P(B) 乘法定理對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立的事件也成立。假定P(A1)，P(A2)，P(An)是n個(gè)相互獨(dú)立事件各自出現(xiàn)的概率，那么該n個(gè)事件同時(shí)出現(xiàn)的概率P(A1A2An)等于各自出現(xiàn)概率之乘積，即P(A1A2An)=P(A1)P(A2

10、)P(An)。. 現(xiàn)有4粒種子，其中3粒為黃色、1粒為白色，采用復(fù)置抽樣。試求以下兩事件的概率：(A)第一次抽到黃色、第二次抽到白色；(B)兩次都抽到黃色。 由于采用復(fù)置抽樣(即每一次抽出察看結(jié)果后又放回再進(jìn)展下一次抽樣)，所以第一次和第二次的抽樣結(jié)果間是相互獨(dú)立的。 . 采用概率的古典定義，可以求出抽到黃色種子的概率為0.75，抽到白色種子的概率為0.25。因此，有P(A)=P(第一次抽到黃色種子)P(第二次抽到白色種子) =0.250.75=0.1875，P(B)=P(第一次黃色種子)P(第二次黃色種子) =0.750.75=0.5625。.(三) 對(duì)立事件的概率 假設(shè)事件A的概率為P(A

11、)，那么其對(duì)立事件的概率為：. (四) 完全事件系的概率 完全事件系的概率為1。 例如“從10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽得任何一個(gè)數(shù)字都可以這樣一個(gè)事件是完全事件系，其概率為1。 .(五) 非獨(dú)立事件的乘法 假設(shè)事件A和B是非獨(dú)立的，那么事件A與B同時(shí)發(fā)生的概率為事件A的概率P(A)乘以事件A發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率P(B|A)，即：P(AB)=P(A)P(B|A).四、隨機(jī)變量 隨機(jī)變量是指隨機(jī)變數(shù)所取的某一個(gè)實(shí)數(shù)值。 例1：拋硬幣實(shí)驗(yàn)，硬幣落地后只需兩種能夠結(jié)果：幣值面向上和國(guó)徽面向上，用數(shù)“1表示“幣值面向上，用數(shù)“0表示“國(guó)徽面向上。把0，1作為變量y的取值。在討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)，就可以簡(jiǎn)單地把拋

12、硬幣實(shí)驗(yàn)用取值為0，1的變量來(lái)表示。 P(y=1)=0.5，P(y=0)=0.5 . 例2：用“1表示“能發(fā)芽種子，其概率為p；用“0表示“不能發(fā)芽種子，其概率為q。顯然 p+q=1，那么 P(y=1)=p，P(y=0)=q=1p。. 例3：用變量y表示水稻產(chǎn)量，假設(shè)y大于500kg的概率為0.25，大于300kg且等于小于500kg的概率為0.65，等于小于300kg的概率為0.1。 那么用變量y的取值范圍來(lái)表示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為 P(y300)=0.10， P(300y500)=0.65， P(y500)=0.25。. 離散型隨機(jī)變量 -當(dāng)實(shí)驗(yàn)只需幾個(gè)確定的結(jié)果，并可一一列出，變量y的取值可用實(shí)

13、數(shù)表示，且y取某一值時(shí)，其概率是確定的，這種類(lèi)型的變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。 將這種變量的一切能夠取值及其對(duì)應(yīng)概率一一列出所構(gòu)成的分布稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布： 概率變量yiy1y2y3ynP1P2P3Pn也可用函數(shù)f(y)表述，稱(chēng)為概率函數(shù)。. 前面例1、例2中的y就是離散型隨機(jī)變量，將其能夠取值與對(duì)應(yīng)概率一一列出，即為：變量y01概率0.50.5變量y01概率qp. 延續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variate) -對(duì)于隨機(jī)變量，假設(shè)存在非負(fù)可積函數(shù)f(y)(y)，對(duì)恣意a和b(ab)都有P(ayb)= ，那么稱(chēng)y為延續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random

14、 variate)，f(y)稱(chēng)為y的概率密度函數(shù)(probability density function)或分布密度(distribution density)。 上述例3中的y就是一個(gè)延續(xù)型隨機(jī)變量。.第二節(jié) 二項(xiàng)式分布一、二項(xiàng)總體及二項(xiàng)式分布二、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法三、二項(xiàng)式分布的外形和參數(shù)四、多項(xiàng)式分布.一、二項(xiàng)總體及二項(xiàng)式分布所謂二項(xiàng)總體( binary population )，就是非此即彼的兩項(xiàng)構(gòu)成的總體 例如：小麥種子發(fā)芽和不發(fā)芽，大豆子葉色為黃色和青色，調(diào)查棉田盲蝽象為害分為受害株和不受害株等等。通常將二項(xiàng)總體中的“此事件以變量“1表示，具概率p；將“彼事件以變量“0表示

15、，具概率q。因此二項(xiàng)總體又稱(chēng)為0、1總體，其概率那么顯然有：p+q=1或q=1p. 假設(shè)從二項(xiàng)總體進(jìn)展n次反復(fù)抽樣，設(shè)出現(xiàn)“此的次數(shù)為y，那么y的取值能夠?yàn)?、1、2、n，共有n+1種能夠取值，這n+1種取值各有其概率，因此由變量y及其概率就構(gòu)成了一個(gè)分布，這個(gè)分布叫做二項(xiàng)式概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)二項(xiàng)式分布或二項(xiàng)分布( binomial distribution )。 二項(xiàng)總體的抽樣實(shí)驗(yàn)具有反復(fù)性和獨(dú)立性 反復(fù)性是指每次實(shí)驗(yàn)條件不變，即在每次實(shí)驗(yàn)中“此事件出現(xiàn)的概率皆為p 獨(dú)立性是指任何一次實(shí)驗(yàn)中“此事件的出現(xiàn)與其他各次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)何種結(jié)果無(wú)關(guān).二、二項(xiàng)式分布的概率計(jì)算方法 例：在由具有一對(duì)基因差別的親

16、本雜交構(gòu)成的F2代群體中，出現(xiàn)黃色子葉的概率為0.75，出現(xiàn)青色子葉的概率為0.25，這是二項(xiàng)總體的概率分布。假設(shè)從這種總體抽取3(n)粒，那么得到1(y)粒是黃子葉的概率是多少呢？. 抽取三粒種子(以Y代黃子葉，以G代青子葉)，即n=3，有兩粒黃子葉種子，即y=2，這時(shí)有3種不同組合： GGY，GYG，YGG。出現(xiàn)第一粒，第二粒和第三粒種子是互不影響的，因此這三個(gè)事件是獨(dú)立事件，由乘法法那么可得：. 由于這三個(gè)事件都是互相互斥的，所以出現(xiàn)兩粒黃子葉種子(y=2)的概率為這三種概率之和：上述結(jié)果也可以表示為：. 即復(fù)合事件的概率必等于該事件出現(xiàn)的組合數(shù)目乘以單個(gè)事件的概率；而這一復(fù)合事件的能夠

17、組合數(shù)目那么相當(dāng)于從n(3)個(gè)物體中任取其y(2)個(gè)物體的組合數(shù)。數(shù)學(xué)上的組合公式為：. 二項(xiàng)式中包含兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)的概率為p、q，并且p+q=1，可推知變量y的概率函數(shù)為：累積函數(shù)F(y)：變量小于等于y的一切能夠取值的概率之和實(shí)際次數(shù)：對(duì)于恣意y，實(shí)際次數(shù)=nP(y) 這一分布律也稱(chēng)貝努里( Bernoulli )分布，并有 .的泰勒展開(kāi)式為： 可以看到，上式右邊的每一項(xiàng)即為二項(xiàng)分布中變量y 取0、1、2、n時(shí)的概率，又p+q=1，從而 (p+q)n=1 . 例4.1 棉田盲蝽象為害的統(tǒng)計(jì)概率乃從調(diào)查2000株后獲得近似值p=0.35?，F(xiàn)受害株事件為A，其概率為p=0.35，未受害株事件為對(duì)

18、立事件，其概率q=(10.35)=0.65。這一實(shí)驗(yàn)是可以反復(fù)的。假定做了n次實(shí)驗(yàn)，即抽出n株為一個(gè)抽樣單位，那么，試問(wèn)出現(xiàn)有y株是受害的，其概率應(yīng)有多少？ 假定以n=1，即抽出一株為一個(gè)抽樣單位，這里知P(A)=0.35和P( )=0.65，總體的實(shí)際次數(shù)分布那么以n乘上述概率分布，即np和n(1p)，所以有20000.35=700株受害和20000.65=1300株未受害。. 如調(diào)查5株為一個(gè)抽樣單位，即n=5，那么受害株數(shù)y=0，1，2，3，4和5的概率可以計(jì)算出來(lái)，如表4.2。棉株受害數(shù)乃一隨機(jī)變數(shù)(y)，可以計(jì)算變量y相應(yīng)的概率函數(shù) 假設(shè)每次抽5個(gè)單株，抽n=400次，那么實(shí)際上我們

19、可以得到y(tǒng)=2的次數(shù)應(yīng)為： 實(shí)際次數(shù)=400P(2)=4000.3364=134.56(次)圖4.1和圖4.2給出了概率函數(shù)圖和累積概率函數(shù)圖 和其累計(jì)函數(shù).表4.2 調(diào)查單位為5株的概率分布表(p=0.35，q=0.65)受害株數(shù)概率函數(shù)P(y)P(y)F(y)nP(y)P(0)0.11600.116046.40P(1)0.31240.4284124.96P(2)0.33640.7648134.56P(3)0.18110.945972.44P(4)0.04880.994719.52P(5)0.00531.00002.12. 受害株數(shù)(y) 受害株數(shù)(y)圖4.1 棉株受盲蝽象為害的概率分布圖

20、(p=0.35，n=5) 圖4.2 棉株受盲蝽象為害的累積概率函數(shù)F(y)圖 (p=0.35，n=5). 例4.2 某種昆蟲(chóng)在某地域的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對(duì)這種害蟲(chóng)用一種新藥進(jìn)展治療實(shí)驗(yàn)，每次抽樣10頭作為一組治療。試問(wèn)如新藥無(wú)療效，那么在10頭中死3頭、2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？按上述二項(xiàng)分布概率函數(shù)式計(jì)算 7頭愈好，3頭死去概率：8頭愈好，2頭死去概率：9頭愈好，1頭死去概率：10頭全部愈好的概率： . 假設(shè)問(wèn)10頭中不超越2頭死去的概率為多少？那么應(yīng)該運(yùn)用累積函數(shù)，即.三、二項(xiàng)式分布的外形和參數(shù) 圖4.3為上述棉株受害概率如p=1/2時(shí)的概率分布圖。從圖4.1和4

21、.3可看出，如p=q，二項(xiàng)式分布呈對(duì)稱(chēng)外形，如pq，那么表現(xiàn)偏斜外形。 受害株數(shù)( y) 圖4.3 棉株受盲椿害的概率函數(shù)f(y)圖(p=0.5，n=5株) 受害株數(shù)(y) 圖4.1 棉株受盲蝽象為害的概率分布圖(p=0.35，n=5) .二項(xiàng)式分布的參數(shù) 仍以上述棉株受害為例，抽取5株中受害株數(shù)的多少(y)作為統(tǒng)計(jì)目的的話，從總體中可以抽取的一切樣本均有一個(gè)y，這樣一切的y構(gòu)成了一個(gè)新總體，該總體也屬于二項(xiàng)式總體，其平均數(shù)、方差和規(guī)范差如下式 從而，上述棉田受害率調(diào)查結(jié)果，n=5，p=0.35，可求得總體參數(shù)為： =50.35=1.75株， 株。.四、多項(xiàng)式分布 所謂多項(xiàng)總體，是指將變數(shù)資料

22、分為3類(lèi)或多類(lèi)的總體。 例如在給某一人群運(yùn)用一種新藥，能夠有的療效好，有的沒(méi)有療效，而另有療效為副作用的，就是三項(xiàng)分布。 多項(xiàng)總體的隨機(jī)變量的概率分布即為多項(xiàng)式分布( multinomial distribution )。. 設(shè)總體中共包含有k項(xiàng)事件，它們的概率分別為p1、p2、p3、pk，顯然p1+p2+p3+pk=1。假設(shè)從這種總體隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體，那么能夠得到這k項(xiàng)的個(gè)數(shù)分別為y1、y2、y3、yk，顯然y1+y2+y3+yk=n。那么得到這樣一個(gè)事件的概率為： 多項(xiàng)分布的概率計(jì)算. 例4.3 某藥對(duì)病人有效的概率為1/2，對(duì)病人無(wú)效的概率為1/3，有副作用的概率為1/6，假設(shè)隨機(jī)抽取2

23、個(gè)運(yùn)用該藥的病人，那么我們的結(jié)果能夠包括這樣幾種事件：2個(gè)病人有副作用；一個(gè)無(wú)效、一個(gè)有副作用；兩個(gè)無(wú)效；一個(gè)有效、一個(gè)有副作用；一個(gè)有效、一個(gè)無(wú)效；兩個(gè)均有效。這幾種事件的概率分別為多少呢？可以運(yùn)用上述的概率分布公式來(lái)計(jì)算，如表4.3。.表4.3 多項(xiàng)式分布的概率計(jì)算變 量(y1、y2、y3)概率及其計(jì)算P(y1、y2、y3)(0，0，2)(0，1，1)(0，2，0)(1，0，1)(1，1，0)(2，0，0).五、泊松分布二項(xiàng)分布的一種極限分布 二項(xiàng)分布中往往會(huì)遇到一個(gè)概率p或q是很小的值，例如小于0.1，另一方面n又相當(dāng)大，這樣的二項(xiàng)分布必將為另一種分布所接近，或者為一種極限分布。這一種分

24、布稱(chēng)泊松概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)泊松分布( Poisson distribution )。令np=m，那么泊松分布如下式：y=0，1，2， e=2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 凡在察看次數(shù)n相當(dāng)大時(shí)，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)m(m是一個(gè)定值)很小，那么，這一事件出現(xiàn)的次數(shù)將符合泊松分布。 .泊松分布的平均數(shù) 、方差 和規(guī)范差 如下式： 這一分布包括一個(gè)參數(shù)m，由m的大小決議其分布外形如圖4.4。當(dāng)m值小時(shí)分布呈很偏斜外形，m增大后那么逐漸對(duì)稱(chēng)。圖4.4 不同m值的泊松分布. 例4.4 1907年Student氏進(jìn)展以血球計(jì)計(jì)數(shù)酵母細(xì)胞準(zhǔn)確度實(shí)驗(yàn)。如這種計(jì)數(shù)技術(shù)是有效地適宜，那么在每一平方格的細(xì)胞數(shù)目實(shí)際

25、上應(yīng)作為一個(gè)泊松分布。 表4.4是從1mm2分為400個(gè)平方格的結(jié)果?？偤嫌?jì)數(shù)的細(xì)胞數(shù)為1872個(gè)，因之平均數(shù)m=1782/400=4.68。實(shí)際次數(shù)須從泊松分布的概率計(jì)算，即從(p+q)n的極限為：其中y=0，1，2，3， 是 的泰勒展開(kāi)式(48) .表4.4 血球計(jì)所計(jì)數(shù)的每平方格內(nèi)酵母細(xì)胞數(shù)酵母細(xì)胞數(shù)012345678次 數(shù)2043538670543718理 論 次 數(shù)3.7117.3740.6563.4174.1969.4454.1636.2121.18酵母細(xì)胞數(shù)910111213141516總次 數(shù)10522400理 論 次 數(shù)11.025.162.190.860.310.100.0

26、30.01400.00本例m=4.68，em=(2.71828)4.68=0.009275，0.009275400=3.71. 3.71是實(shí)際次數(shù)第一項(xiàng)，其他各實(shí)際次數(shù)均可按(48)計(jì)算。概率值乘以400得實(shí)際次數(shù)。本例規(guī)范差估計(jì)值為 .第三節(jié) 正態(tài)分布一、二項(xiàng)分布的極限正態(tài)分布二、正態(tài)分布曲線的特性三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法.一、二項(xiàng)分布的極限正態(tài)分布 以上述二項(xiàng)分布棉株受害率為例，假定受害概率p=1/2，那么，p=q=1/2?，F(xiàn)假定每個(gè)抽樣單位包括20株，這樣將有21個(gè)組，其受害株的概率函數(shù)為 于是概率分布計(jì)算如下：. 現(xiàn)將這概率分布繪于圖4.5。從圖4.5看出它是對(duì)稱(chēng)的，分

27、布的平均數(shù) 和方差 為： =npq=20(1/2)(1/2)=5(株)2 。=np=20(1/2)=10(株)， .圖4.5 棉株受害率(0.5+0.5)20分布圖（實(shí)線表示二項(xiàng) 式概率分布，虛線表示接近的正態(tài)分布曲線）如p=q，不論n值大或小，二項(xiàng)分布的多邊形圖必構(gòu)成對(duì)稱(chēng)；如pq，而n很大時(shí)，這多邊形仍趨對(duì)稱(chēng)。 . 倘n或組數(shù)添加到無(wú)窮多時(shí)(n)，多邊形的折線就表現(xiàn)為一個(gè)光滑曲線。這個(gè)光滑曲線在數(shù)學(xué)上的意義是一個(gè)二項(xiàng)分布的極限曲線,屬于延續(xù)性變數(shù)分布曲線,普通稱(chēng)之為正態(tài)分布曲線或正態(tài)概率密度曲線?？梢酝茖?dǎo)出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： (49) 其中，y是所研討的變數(shù)； 是概率密度函數(shù)； 和

28、為總體參數(shù)， 表示所研討總體平均數(shù)， 表示所研討總體規(guī)范差，不同正態(tài)分布可以有不同的 和 ，但某一定總體的 和 是常數(shù)。 .參數(shù) 和 有如下的數(shù)學(xué)表述 (410) 令 可將(49)式規(guī)范化為： (411) 上式稱(chēng)為規(guī)范化正態(tài)分布方程，它是參數(shù) 時(shí)的正態(tài)分布(圖4.7)。記作N(0，1)。 .正態(tài)分布的曲線圖 -3 -2 -1 0 1 2 3圖4.6 正態(tài)分布曲線圖(平均數(shù)為 ，規(guī)范差為 )圖4.7 規(guī)范正態(tài)分布曲線圖(平均數(shù) 為0，規(guī)范差 為1).二、正態(tài)分布曲線的特性 1. 正態(tài)分布曲線是以y = 為對(duì)稱(chēng)軸，向左右兩側(cè)作對(duì)稱(chēng)分布，所以它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)曲線。從所豎立的縱軸f(y= )是最大值，所以

29、正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)是相等的，三者均合一位于點(diǎn) 上。 2. 正態(tài)分布曲線以參數(shù) 和 的不同而表現(xiàn)為一系列曲線，所以它是一個(gè)曲線簇而不僅是一個(gè)曲線。 確定它在橫軸上的位置，而 確定它的變異度，不同 和 的正態(tài)總體具有不同的曲線和變異度，所以任何一個(gè)特定正態(tài)曲線必需在其 和 確定后才干確定。圖4.8 和4.9表示這個(gè)區(qū)別。.圖4.8 規(guī)范差一樣( 1)而平均數(shù)不同( =0、 =1、 =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 圖4.9 平均數(shù)一樣( 0)而規(guī)范差不同( =1、 =1.5、 =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 . 3. 正態(tài)分布資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù) 附近，離平均數(shù)越遠(yuǎn)，其

30、相應(yīng)的次數(shù)越少；且在 左右相等| |范圍內(nèi)具有相等次數(shù)；在| |3 以上其次數(shù)極少。 4. 正態(tài)曲線在| |=1 處有“拐點(diǎn)。曲線兩尾向左右伸展，永不接觸橫軸，所以當(dāng)y，分布曲線以y軸為漸近線，因之曲線全距從到+。 5. 正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于1，因此在曲線下橫軸的任何定值，例如從y=y1到y(tǒng)=y2之間的面積，等于介于這兩個(gè)定值間面積占總面積的成數(shù)，或者說(shuō)等于y落于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。 . 正態(tài)曲線的任何兩個(gè)y定值ya與yb之間的面積或概率乃完全以曲線的 和 而確定的。詳細(xì)數(shù)值見(jiàn)附表2，下面為幾對(duì)常見(jiàn)的區(qū)間與其相對(duì)應(yīng)的面積或概率的數(shù)字： 區(qū)間 1 面積或概率=0.6827 2 =0.95

31、45 3 =0.9973 1.960 =0.9500 2.576 =0.9900. 例如，上章水稻140行產(chǎn)量資料的樣本分布表現(xiàn)出接近正態(tài)分布，其平均數(shù)( )、規(guī)范差(s)以及離均差為1、2和3個(gè)規(guī)范差的區(qū)間所包括的次數(shù)列于表4.5。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與正態(tài)分布的實(shí)際結(jié)果很相近。 ks數(shù)值(g)區(qū)間(g)區(qū)間內(nèi)包括的次數(shù)次數(shù)%1s157.9 36.4121.5194.5 99 70.712s157.9 72.8 85.1230.7134 95.713s157.9109.2 48.7267.1140100.00表4.5 140行水稻產(chǎn)量在 1s， 2s， 3s范圍內(nèi)所包括的次數(shù)表.三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)

32、間面積或概率的方法 在正態(tài)分布曲線下，y的定值從y=a到y(tǒng)=b間的概率可用曲線下區(qū)間的面積來(lái)表示，或者說(shuō)，用其定積分的值表示，如圖4.10所示的面積。(413)同樣可以計(jì)算曲線下從到y(tǒng)的面積，其公式如下：(414) 這里FN(y)稱(chēng)為正態(tài)分布的累積函數(shù)，具有平均數(shù) 和規(guī)范差 。 .A=P(ayb)fN(y)圖4.10正態(tài)分布密度函數(shù)的積分闡明圖面積A=P(ayb). 現(xiàn)如給予變數(shù)任何一定值，例如a，那么，可以計(jì)算ya的概率為FN(a)，即(415) 假設(shè)a與b(a30就可以運(yùn)用這一定理。 平均數(shù)的規(guī)范化分布是將上述平均數(shù) 轉(zhuǎn)換為u變數(shù)。(423) . 例4.9 在江蘇沛縣調(diào)查336個(gè)m2小地老

33、虎蟲(chóng)危害情況的結(jié)果， =4.73頭， =2.63，試問(wèn)樣本容量n=30時(shí)，由于隨機(jī)抽樣得到樣本平均數(shù) 等于或小于4.37的概率為多少？ 查附表2，P(u0.36)=0.2266，即概率為22.66% (屬一尾概率)。因所得概率較大，闡明差數(shù)0.36是隨機(jī)誤差，從而證明這樣本平均數(shù)4.37是有代表性的，變異系數(shù)為：.(二) 兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布 假定有兩個(gè)正態(tài)總體各具有平均數(shù)和規(guī)范差為 ， 和 ， ，從第一個(gè)總體隨機(jī)抽取n1個(gè)察看值，同時(shí)獨(dú)立地從第二個(gè)總體隨時(shí)機(jī)抽取n2個(gè)察看值。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和規(guī)范差 ，s1和 ，s2。 從統(tǒng)計(jì)實(shí)際可以推導(dǎo)出其樣本平均數(shù)的差數(shù)( )的抽樣分布，具有以下特性： (1) 假設(shè)兩個(gè)總體各作正態(tài)分布，那么其樣本平均數(shù)差數(shù)( )準(zhǔn)確地遵照正態(tài)分布律，無(wú)論樣本容量大或小