5.3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法(5.3)匯總課件

1、機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5.3 Bode圖示法5.3.1 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖波德(Bode)圖（對(duì)數(shù)頻率特性圖，包括對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖） 對(duì)數(shù)幅頻特性圖橫坐標(biāo)：以10為底的對(duì)數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或Hz縱坐標(biāo)：線(xiàn)性分度，表示幅值A(chǔ)()對(duì)數(shù)的20 倍，即： L()=20logA()單位 分貝（dB）特別：當(dāng)L()=0，輸出幅值輸入幅值；當(dāng)L(w)0時(shí)，輸出幅值輸入幅值(放大)；當(dāng)L(w)0時(shí)，輸出幅值輸入幅值(衰減)。 對(duì)數(shù)相頻特性圖 橫坐標(biāo)：與對(duì)數(shù)幅頻特性圖相同。 縱坐標(biāo)：線(xiàn)性分度，頻率特性的相角() 單位 度()當(dāng)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)：對(duì)數(shù)幅頻特性為：對(duì)數(shù)相頻特性為 （515）

2、（513）（514） 幾點(diǎn)說(shuō)明 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標(biāo)采用了對(duì)數(shù)分度，因此=0 不可能在橫坐標(biāo)上表示出來(lái)，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定； 此外，橫坐標(biāo)一般只標(biāo)注的自然數(shù)值； 在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū)間稱(chēng)為一個(gè)十倍頻程，記為decade或簡(jiǎn)寫(xiě)為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱(chēng)為一個(gè)二倍頻程，記為octave或簡(jiǎn)寫(xiě)為oct。它們也用作頻率變化的單位。 通常用L()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)幅頻特性，也稱(chēng)L() 為增益；用()簡(jiǎn)記對(duì)數(shù)相頻特性。 對(duì)數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點(diǎn) 幅值相乘、相除，變?yōu)橄嗉樱鄿p，簡(jiǎn)化作圖； 對(duì)數(shù)坐

3、標(biāo)拓寬了圖形所能表示的頻率范圍 可以注意到，頻率變化10倍，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是等距的，等于一個(gè)單位。 1、比例環(huán)節(jié) 5.3.2 典型環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)：G(s) = K頻率特性：G(j) = K = Kej0實(shí)頻特性：P() = K虛頻特性：Q() = 0對(duì)數(shù)幅頻特性：L() = 20lgK對(duì)數(shù)相頻特性：() = 0幅頻特性：A() = K相頻特性： () = 0根據(jù)上述兩式在MATLAB中編程，其源代碼如下：w=logspace(-1,1,1000);K=10Lw=20*log10(K)phi_w=0subplot(211)semilogx(w,Lw,b)gridxlabel(omega)

4、ylabel(L(omega)subplot(212)semilogx(w,phi_w,r)gridxlabel(omega)ylabel(phi(omega)運(yùn)行程序fig5_14.m，得到圖514所示的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)。繪制x為對(duì)數(shù)坐標(biāo)的曲線(xiàn)比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)圖：可見(jiàn)，比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)是條高度等于20lgK的水平直線(xiàn)；其對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)是與0o重合的直線(xiàn)，如圖514所示(圖中K10)。當(dāng)K值改變時(shí)，只是對(duì)數(shù)幅頻特性上、下移動(dòng)而對(duì)數(shù)相頻特性不變。2、 積分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性： () = -90對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性： () = -90 積分環(huán)節(jié)

5、的Bode圖 3、理想微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)相頻特性： () = 90對(duì)數(shù)幅頻特性：幅頻特性：相頻特性： () = 90 理想微分環(huán)節(jié)的Bode圖 4、慣性環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：頻率特性：相頻特性： () = - arctgT幅頻特性： 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 低頻段( 1/T )即高頻段可近似為斜率為-20dB/dec 的直線(xiàn)，稱(chēng)為高頻漸近線(xiàn)。轉(zhuǎn)折頻率-30-20-10010-90-4501/TL()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)實(shí)際幅頻特性漸近線(xiàn)-20dB/dec 轉(zhuǎn)折頻率（ 1/T )低頻漸近線(xiàn)和高頻漸近線(xiàn)的相交處的頻率點(diǎn) 1/T，稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率

6、）。在轉(zhuǎn)折頻率處，L() -3dB，()-45。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性。5、一階微分環(huán)節(jié) 對(duì)數(shù)相頻特性： () = arctgT傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：幅頻特性：相頻特性： () = arctgT 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 注意到一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)關(guān)于 0dB 線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，相頻特性曲線(xiàn)關(guān)于零度線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)也可由漸近線(xiàn)近似描述。0 10 2030904501/TL()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T轉(zhuǎn)折頻率實(shí)際幅頻特性漸近

7、線(xiàn)20dB/dec6、振蕩環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：圖519 振蕩環(huán)節(jié)的bode圖 振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖 對(duì)數(shù)幅頻特性 低頻段( n)即高頻漸近線(xiàn)為斜率為-40dB/dec 的直線(xiàn)。兩條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為n。即振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率等于其無(wú)阻尼固有頻率。 對(duì)數(shù)相頻特性易知：-180-135-90-4500.1110/n() / (deg) = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2 = 0.3-40-30-20-1001020L()/ (dB)-40dB/dec = 0.3 = 0.5 = 0.7 = 1.0 = 0.1 = 0.2漸近線(xiàn)Bode Di

8、agram在0.707或略小于此值時(shí)，幅域特性曲線(xiàn)與相頻特性曲線(xiàn)在低頻段近于直線(xiàn)。這點(diǎn)對(duì)測(cè)振儀器的設(shè)計(jì)很有用處。設(shè)計(jì)時(shí)選擇這樣的值，可使儀器在線(xiàn)性段工作。7、 二階微分環(huán)節(jié) 傳遞函數(shù)：頻率特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性： 二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖 注意到二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特性圖的特點(diǎn)，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)關(guān)于 0dB 線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，相頻特性曲線(xiàn)關(guān)于零度線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。綜上所述，關(guān)于某些典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性及其漸近線(xiàn)和對(duì)數(shù)相頻特性的特點(diǎn)可歸納如下： （1）關(guān)于對(duì)數(shù)幅頻特性 注意橫坐標(biāo)是1g還是積分環(huán)節(jié)的為過(guò)點(diǎn)(1，0)、斜率為-20dBdec的直線(xiàn)；

9、微分環(huán)節(jié)的為過(guò)點(diǎn)(1，0)、斜率為20dBdec的直線(xiàn)；慣性環(huán)節(jié)的低頻漸近線(xiàn)為0dB，高頻漸近線(xiàn)為始于點(diǎn)(T，0)、斜率為-20dBdec的直線(xiàn)； 導(dǎo)前環(huán)節(jié)（一階微分）的低頻漸近線(xiàn)為0dB，高頻漸近線(xiàn)為始于點(diǎn)(T，0)、斜率為20dBdec的直線(xiàn)；振蕩環(huán)節(jié)的低頻漸近線(xiàn)為0dB線(xiàn)，高頻漸近線(xiàn)為始于點(diǎn)(1，0)、斜率為-40dBdec的直線(xiàn)；二階微分環(huán)節(jié)的低頻漸近線(xiàn)為0dB線(xiàn)，高頻漸近線(xiàn)為始于點(diǎn)(1，0)、斜率為40dBdec的直線(xiàn)。 （2）關(guān)于對(duì)數(shù)相頻特性：積分環(huán)節(jié)的為過(guò)-90o的水平線(xiàn)；微分環(huán)節(jié)的為過(guò)90o的水平線(xiàn)；慣性環(huán)節(jié)的為在0o-90o范圍內(nèi)變化的對(duì)稱(chēng)于點(diǎn)(T，-45o）的曲線(xiàn)；導(dǎo)前環(huán)節(jié)

10、（一階微分）的為在0o90o范圍內(nèi)變化的對(duì)稱(chēng)于點(diǎn)(T ，450)的曲線(xiàn)； 振蕩環(huán)節(jié)的為在0o-180o范圍內(nèi)變化的對(duì)稱(chēng)于點(diǎn)(n ，-90o)的曲線(xiàn)；二階微分環(huán)節(jié)的為在0o180o范圍內(nèi)變化的對(duì)稱(chēng)于點(diǎn)(n ，90o)的曲線(xiàn)。解 系統(tǒng)的頻率特性為對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：根據(jù)上述兩式在MATLAB中編程，其源代碼如eg5_8.m:運(yùn)行程序，得到圖示的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)。 5.3.3 利用MATLAB函數(shù)繪制Bode圖MATLAB提供了繪制系統(tǒng)Bode圖的函數(shù)bode()，其用法如下：Bode(A,B,C,D)：繪制系統(tǒng)的一組Bode圖，它們是針對(duì)連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)A,B,C,D的每個(gè)輸入的Bode圖

11、，其中頻率范圍由函數(shù)自動(dòng)選取，且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多采樣點(diǎn)。Bode(num,den)：繪制以連續(xù)時(shí)間多項(xiàng)式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)。Bode(num,den,w)：利用指定的角頻率矢量繪制系統(tǒng)的Bode圖。當(dāng)帶輸出變量mag,pha,w或mag,pha引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng)Bode圖響應(yīng)的幅值mag、相角pha、角頻率點(diǎn)w矢量，或只是返回幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換為分貝單位：mag(dB)=20lg(mag)。5.4 頻率特性與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系對(duì)于二階系統(tǒng)，其頻域性能指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： (516)系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為： (518

12、)系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為：(517)系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性為：二階系統(tǒng)的諧振頻率值Mr與時(shí)域超調(diào)量Mp之間的關(guān)系為： （520）（521）（519）00.20.40.60.811.21.41.61.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00/nA()補(bǔ)充 諧振現(xiàn)象（了解）由振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性曲線(xiàn)可見(jiàn)，當(dāng) 較小時(shí)，在 = n附近，A()出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值 Mr 對(duì)應(yīng)的頻率r 稱(chēng)為諧振頻率。由于：A()出現(xiàn)峰值相當(dāng)于其分母：取得極小值。令：解得：即：顯然r 應(yīng)大于0，由此可得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振的

13、條件為：諧振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100Mr (dB)Mp ()MrMp諧振峰值Mr僅與阻尼比 有關(guān)，超調(diào)量Mp也一樣； 越小，Mr增加的越快，此時(shí)超調(diào)量會(huì)很大，超過(guò)40，這樣系統(tǒng)一般不符合瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的要求當(dāng)0 0.707時(shí)，無(wú)諧振峰值，Mr與Mp的對(duì)應(yīng)關(guān)系不再存在，通常在設(shè)計(jì)中 取值在0.40.7之間；從以上各式可以看出：二階系統(tǒng)的諧振頻率 與峰值時(shí)間tp之間的關(guān)系為：從上式可以看出：當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，諧振頻率 與峰值時(shí)間tp成反比， 越大，tp越小，表示系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)越快。 （522）從上式

14、可以看出：當(dāng)阻尼比 給定后，閉環(huán)截止頻率 與過(guò)渡時(shí)間tr成反比，換言之， 越大（頻帶寬度越寬），系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快。二階系統(tǒng)的閉環(huán)截止頻率 與過(guò)渡時(shí)間tr之間的關(guān)系為： (523)在第3章的時(shí)域分析中介紹了衡量系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的一些時(shí)域性能指標(biāo)，下面介紹在頻域分析時(shí)要用到的一些有關(guān)頻率的特征量或頻域性能指標(biāo)。頻域性能指標(biāo)也是選用頻率特性曲線(xiàn)在數(shù)值和形狀上某些特征點(diǎn)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能的，如圖523所示。頻率特性的特征量復(fù)現(xiàn)頻率wm零頻幅值M(0) 1、零頻幅值M(0) 它表示當(dāng)頻率在接近于零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)輸出的幅值與輸入的幅值之比。在頻率極低時(shí)，對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，若輸出幅值能完全準(zhǔn)確地反映輸入幅值，則

15、M(0)1。 M（0）越接近于1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。2、復(fù)現(xiàn)頻率wm與復(fù)現(xiàn)帶寬0-wm 若事先規(guī)定一個(gè) 作為反映低輸入信號(hào)的允許誤差，那么wm就是幅頻特性值與M(0)的差第一次達(dá)到時(shí)的頻率值，稱(chēng)為復(fù)現(xiàn)頻率。3、諧振頻率wr與相對(duì)諧振峰值Mr 幅頻特性M(w)出現(xiàn)最大值Mmax時(shí)的頻率稱(chēng)為諧振頻率w=wr時(shí)的幅值M(wr)=Mmax與w=0時(shí)的幅值(0)之比為諧振比或相對(duì)諧振峰值Mr。 顯然，在M(0)1時(shí)，Mr與Mmax在數(shù)值上相同。 Mr反映了系統(tǒng)的相對(duì)平穩(wěn)性。一般而言， Mr越大，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差。在二階系統(tǒng)中希望選取Mr1.4，因?yàn)檫@時(shí)

16、階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量Mp25，系統(tǒng)有較滿(mǎn)意的過(guò)渡過(guò)程。 由公式（52）得知越小，Mr越大。因此，若Mr太大，即太小，則Mp過(guò)大；若Mr太小，即太大，則過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts過(guò)長(zhǎng)。因此，為了減弱系統(tǒng)的振蕩性能，又不失一定的快速性，只有適當(dāng)?shù)剡x取Mr值。 wr反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度， wr 越大，則瞬態(tài)響應(yīng)越快，一般來(lái)說(shuō)， wr 與上升時(shí)間tr成反比 。4、截止頻率wb與截止帶寬0- wb(w)由(0)下降到0.707(0)的頻率稱(chēng)為截止頻率。0-wb的范圍稱(chēng)為截止帶寬，它表示超過(guò)頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止?fàn)顟B(tài) 。對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的帶寬表征系統(tǒng)允許工作的最高額率范圍，

17、若此帶寬大，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能好。對(duì)于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)，而頻率稍高的輸入信號(hào)均被濾掉。對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的快速性而言，帶寬越大，響應(yīng)的快速性越好，即過(guò)渡過(guò)程的上升時(shí)間短。crossover frequency :Wc = 0.0525Resonance frequency :Wr = 3.9069Resonance magnitude:Magmax = 6.1867-3dB frequency :W_3db = 5.3993-90 phase frequency :W_90 = 3.9994解：計(jì)算諧振峰值和諧振頻率的MATLAB程序代碼見(jiàn)eg5_11.m Mr Pr Wrans = -2.8098 -24.6446 0.6915運(yùn)行程序得計(jì)算結(jié)果如下：運(yùn)行程序后同時(shí)生成了bode圖如圖525所示。5.5 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于s左半平面系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)。反之，稱(chēng)為非最小相位系