人教版數(shù)學《組合意義和計算公式》

1、人教版數(shù)學組合意義和計算公式教學目標 1.理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式； 教學重點：理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計算公式問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3情境創(chuàng)設(shè)從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二從已知的3 個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m

2、個元素的一個組合. 排列與組合的概念有什么共同點與不同點？ 概念講解組合定義:?組合定義: 一般地，從n個不同元素中取出m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合排列定義: 一般地，從n個不同元素中取出m (mn) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列.共同點: 都要“從n個不同元素中任取m個元素” 不同點: 排列與元素的順序有關(guān)， 而組合則與元素的順序無關(guān).概念講解思考一:aB與Ba是相同的排列 還是相同的組合?為什么?思考二:兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?）元素相同；）元素排列順序相同.元素相同概念理解

3、構(gòu)造排列分成兩步完成，先取后排；而構(gòu)造組合就是其中一個步驟.思考三:組合與排列有聯(lián)系嗎?判斷下列問題是組合問題還是排列問題? (1)設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票? 有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題組合問題組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.1.從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:ab , ac , bc 2.已知4個元素a , b , c , d ,寫出每次取出兩個元素的所有

4、組合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3個)(6個)概念理解 從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示.如:從 a , b , c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)是:如:已知4個元素a 、b 、 c 、 d ,寫出每次取出兩個元素的所有組合個數(shù)是：概念講解組合數(shù)注意： 是一個數(shù)，應(yīng)該把它與“組合”區(qū)別開來 1.寫出從a,b,c,d 四個元素中任取三個元素的所有組合abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcbacd練一練組合排列abcabdacdbcd

5、abc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三個元素的）1個組合，對應(yīng)著6個排列你發(fā)現(xiàn)了什么?對于，我們可以按照以下步驟進行組合數(shù)公式 排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯(lián)系 一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步： 第1步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) 第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù) 根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：因此： 這里m,n是自然數(shù)，且 mn ，這個公式叫做組合數(shù)公式 概念講解組合數(shù)公式:從 n個不同元中取出

6、m個元素的排列數(shù)例1、計算： 例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽，（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例題分析（3）已知： ，求n的值 35 (2) 120例31.理解組合的定義，區(qū)別排列與組合之間的關(guān)系.思悟小結(jié)（2）同是從n個元素中取m個元素，但是組合一旦取完就結(jié)束，而排列還要繼續(xù)進行排序（1）有序與無序的區(qū)別2.理解組合數(shù)的的定義與公式（1）（2）名學生，7人掃地，3人推車，那么不同 的分工方法有 種；組合應(yīng)用【練習】1.用m、n表示

7、2.從8名乒乓球選手中選出3名打團體賽，共 有 種不同的選法；如果這三個選手又按照不同順序安排，有 種方法. 例1. 在產(chǎn)品檢驗中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）1.有10道試題，從中選答8道，共有 種選法、又若其中6道必答，共有 不同的種選法.2.某班有54位同學，正、副班長各1名，現(xiàn)選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況

8、中 ，各有多少種不同的選法？（1）無任何限制條件；（2）正、副班長必須入選；（3）正、副班長只有一人入選；（4）正、副班長都不入選；（5）正、副班長至少有一人入選；（5）正、副班長至多有一人入選；練習：小結(jié)：至多至少問題常用分類的或排除法.例2 從數(shù)字1,2,5,7中任選兩個 練習 有不同的英文書5本,不同的中文書7本, 從中選出兩本書.(1)若其中一本為中文書,一本為英文書. 問共有多少種選法?(1) 可以得到多少個不同的和? (2)可以得到多少個不同的差?(2)若不限條件,問共有多少種選法?6個12個35種66種例4 有12名劃船運動員,其中3人只會劃左舷, 4人只會劃右舷, 其它5人既會

9、劃左舷, 又會劃右舷, 現(xiàn)要從這12名運動員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?例3 在MON的邊OM上有5個異于O點的點,ON上有4個異于O點的點,以這十個點(含O)為頂點,可以得到多少個三角形?NOMABCDEFGHI練習 如圖,在以AB為直徑的半圓周上有異于A,B的六個點C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有異于A, B的四個點D1 , D2 , D3 , D4,問 (1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形? (2)以圖中12個點(包括A,B)中的四個為頂點,可作多少個四邊形?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C6練習（1）求

10、的值 組合數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（2）求滿足 的x值（3）求證：（4）求 的值1617005或25111. 排列與組合之間的區(qū)別在于有無順序。組合中常見的問題有：選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題，解答組合問題的關(guān)鍵是用好組合的定義和兩個基本原理，只選不排，合理分類、分步.2.理解組合數(shù)的性質(zhì)3.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.思悟小結(jié)習題課組合與組合數(shù) 通過前面的學習，我們已經(jīng)知道了組合的定義，組合數(shù)及其一些性質(zhì)和組合與排列的關(guān)系。今天我們將在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)學習它們的一些應(yīng)用（一）組合數(shù)的公式及其性質(zhì)：組合數(shù)性質(zhì)1：2：特別地：701,或5練習一

11、（5）求 的值（1）（2）（3）（4）511求證：例題解讀 證明：因為左邊=注意階乘的變形形式：=左邊，評注： 所以等式成立練習精選： 證明下列等式 ：（1）（2）例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；例題解讀：解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到：種例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(2)分為三份，每份2本；解析：(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有 種方法根據(jù)分步計數(shù)原理所以 可得： 例題解讀：因此，分為三份，每份兩本一

12、共有15種方法所以點評：本題是分組中的“均勻分組”問題 一般地：將mn個元素均勻分成n組（每組m個元素）,共有 種方法例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： （3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）這是“不均勻分組”問題，一共有 種方法（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有 種方法例題解讀：例16本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分為三類情況：“2、2、2型” 的分配情況，有 種方法；“1、2、3型” 的分配情況，有 種方法；“1、1、4型

13、”，有 種方法，所以，一共有90+360+90540種方法例題解讀：元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？ 解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個空隙。在個空檔中選個位置插個隔板，可把名額分成份，對應(yīng)地分給個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有_種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為例2、（1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？ （2）10個優(yōu)秀指標分

14、配到1、2、 3三個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學模型 ，用5個隔板插入10個指標中的9個空隙，既有 種方法。按照第一個隔板前的指標數(shù)為1班的指標，第一個隔板與第二個隔板之間的指標數(shù)為2班的指標，以此類推，因此共有 種分法.例題解讀：（2）先拿3個指標分給二班1個，三班2個，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有 種分法注：第一小題也可以先給每個班一個指標，然后，將剩余的4個指標按分給一個班、兩個班、三個班、四個班進行分類，共有 種分法. 例題解讀：例3（1）四個不同的小球放

15、入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有 種方法； （2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有 種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有 種方法，所以，一共有 144種方法 例題解讀例4馬路上有編號為1，2，3，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)

16、為 種方法例題解讀：例5 一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）A24種 B36種 C48 D72種 B 例題解讀：例6甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（ ）A. 20種 B. 30種 C. 40種 D. 60種 A例7某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、

17、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答）. 21615個人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是 2某學生要邀請10位同學中的6位參加一項活動，其中有2位同學要么都請，要么都不請，共有 種邀請方法. 3.一個集合有5個元素，則該集合的非空真子集共有 個. 4.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成 個平行四邊形 .5空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個，第三組有t個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構(gòu)成 個平行六面體9830課堂練習：6.

18、高二某班第一小組共有12位同學，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9人的座位不變，共有 種不同的調(diào)換方法7.某興趣小組有4名男生，5名女生：（1）從中選派5名學生參加一次活動，要求必須有2名男生，3名女生，且女生甲必須在內(nèi)，有 種選派方法；（2）從中選派5名學生參加一次活動， 要求有女生但人數(shù)必須少于男生，有_種選派方法；（3）分成三組，每組3人，有_種不同分法. 3645280課堂練習：8.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有 種方法；若不取6，則有 種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有 + 602種方法 課堂練習：9. 某餐廳供應(yīng)盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜_種.(結(jié)果用數(shù)值表示)7【解題回顧】由于化為一元二次不等式n2n400求解較繁，考慮到n為正整數(shù)，故解有關(guān)