數(shù)學(xué)物理方法課件：第三章 冪級數(shù)展開(5學(xué)時）

1、第三章 冪級數(shù)展開(5學(xué)時）3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)3.2 冪級數(shù)（重點）定義、收斂性、柯西判據(jù)、絕對收斂、一致收斂3.3. 泰勒級數(shù)展開（重點）定義、阿貝爾定理、收斂圓、收斂半徑、達朗伯判別法、根值判別法、冪函數(shù)解析性泰勒級數(shù)展開、系數(shù)的計算公式3.5 洛朗級數(shù)展開（重點）3.4 解析延拓3.6 孤立奇點分類解析延拓的基本思想廣義冪級數(shù)、收斂環(huán)、洛朗展開 (非)孤立奇點、可去奇點、極點、本性奇點1第三章 作業(yè) (03/01/2012)3.2. 3(2)(3)(4), 4(1)(3)3.3. (2)(5)3.5. (1)(3)(10) 3.6. (2)3月13日（星期二）交過期不收2第三章 冪級數(shù)展

2、開意義：1、利用級數(shù)計算函數(shù)的近似值； 2、級數(shù)法求解微分方程； 3、以級數(shù)作為函數(shù)的定義； 4、奇點附近函數(shù)的形態(tài)。3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)級數(shù)概念3原級數(shù)成為這樣一個復(fù)級數(shù)歸結(jié)為兩個實級數(shù)，實級數(shù)的一些性質(zhì)可應(yīng)用于復(fù)級數(shù)。二、收斂性問題 1、收斂定義：部分和：部分和數(shù)列：4若當(dāng) 時，部分和數(shù)列 有確定的極限，便稱級數(shù)收斂，否則便稱級數(shù)發(fā)散。2、如何判定實數(shù)列xn極限存在極限定義： 0, N() 和 a, 當(dāng) nN ，|xn-a| 0, N() , 當(dāng) n, n+pN ，|xn+p-xn| 0, N() , 當(dāng) n, n+pN ，|zn+p-zn| 0, N() , 當(dāng) n, n+p N 梁

3、 P. 324、級數(shù)絕對收斂 （更強的收斂方式）若 收斂則稱級數(shù) 絕對收斂。 級數(shù)絕對收斂 - 級數(shù)收斂6絕對收斂級數(shù)改變先后次序，其和不變。 絕對收斂級數(shù)可寫為若干級數(shù)之和。 7 兩個絕對收斂級數(shù)逐項相乘，其和收斂，為兩 級數(shù)和之積.8三、函數(shù)項級數(shù)1、概念與收斂判據(jù)定義：其中 是z平面上某區(qū)域B中的單值解析函數(shù)。2、柯西收斂判據(jù) ： z B, 0, N(,z) 0, 當(dāng) n, n+p N, 3、一致收斂 ： 上式中N一般隨z不同而不同。但若N與z無關(guān)，便稱函數(shù)項級數(shù)在B內(nèi)一致收斂。94、級數(shù)一致收斂的M判別法 梁 P. 34若對于某區(qū)域B(或曲線l )上所有各點z, 函數(shù)項級 數(shù) 各項的模

4、 （ 是與z無關(guān)的正數(shù))，而正的常數(shù)項級數(shù) 收斂，則 在區(qū)域B(或曲線l )上絕對且一致收斂。105、一致收斂級數(shù)的性質(zhì)（1）在B內(nèi)一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項 都是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和 也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。 極限與求和可交換（2）逐項求積分 在曲線l上一致收斂的級數(shù)，如果級數(shù)的每一項 都是l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)的和 也是l上的連續(xù)函數(shù)，而且級數(shù)可沿l逐項求積分。11在 中單值解析，則級數(shù)的和 也是 中的單值解析函數(shù)， 的各階導(dǎo)數(shù)可由 逐項求導(dǎo)數(shù)得到，即：且最后的級數(shù) 在 內(nèi)的任意一個閉區(qū)域中一致收斂。設(shè)級數(shù) 在 中一致收斂， （3）逐項求導(dǎo)數(shù)123.2 冪級數(shù)一、定義其中 為復(fù)常數(shù)

5、。這樣的級數(shù)叫作以z0為中心的冪級數(shù)。二、冪級數(shù)斂散性1、阿貝爾定理（補充）若冪級數(shù) 在 處收斂，則在閉合圓 內(nèi)，冪級數(shù)絕對且一致收斂。13證明：求和項其模必定有限，也即存在一正數(shù)M，對所有k：因冪級數(shù) 收斂，故其包含的每一利用當(dāng)1 收斂一致絕對收斂M判別法14 2、比值判別法（達朗伯判別法）阿貝爾定理結(jié)論：必然存在一個以展開中心z0為圓心的圓，在圓內(nèi)級數(shù)收斂（在圓外有可能發(fā)散）。這個圓稱為該冪級數(shù)的收斂圓，圓的半徑R 稱為收斂半徑。如何求R？要判定復(fù)級數(shù)w(z)=wn(z)的收斂性，一般先研究實級數(shù)|wn(z)|收斂性?？衫靡韵聝煞N方法：15按比值判別法（達朗伯判別法）則 收斂，從而 絕對

6、收斂。 若 ， 則 絕對收斂 引入一符號若16另一方面，若 則 可見級數(shù)發(fā)散?？偨Y(jié)后有： 收斂 發(fā)散 R收斂發(fā)散R：收斂半徑CR: 收斂圓173、根式判別法 （柯西判別法）若 ，則 收斂，從而 絕對收斂。 收斂半徑的另一公式:R收斂發(fā)散若則級數(shù)發(fā)散。18三、例題例1 求 的收斂圓,t 為復(fù)數(shù)。 若則解：19例2 求 的收斂圓,z 為復(fù)數(shù)。解：例3 求 的收斂圓,z 為復(fù)數(shù)。解：20例3 求 的收斂圓,z 為復(fù)數(shù)。另解：取1/3和1的小值，為1/321四、冪級數(shù)解析性質(zhì)總結(jié)1、冪級數(shù)每一項均是z的解析函數(shù)；2、根據(jù)阿貝爾定理，冪級數(shù)在其展開點z0附近存 在著一個收斂圓，并在收斂圓內(nèi)部的任一閉 合

7、區(qū)域內(nèi)一致收斂； - 收斂圓半徑為0：僅在z0點解析 - 收斂圓半徑為：在整個復(fù)平面上解析（但 仍可為奇點)3、因此，冪級數(shù)代表了一個解析函數(shù)，或者說 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)部解析；224、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分5、冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)236、冪級數(shù)逐項積分和求導(dǎo)不改變收斂半徑 (習(xí)題3.3.(1,2)驗證驗證243.3 解析函數(shù)的泰勒（Taylor）級數(shù)展開：一、定理：設(shè) f(z) 在以 z0 為圓心的圓 CR 內(nèi) 解析，則對圓內(nèi)的任意 z 點, f(z) 可展為冪級數(shù)， 其中展開系數(shù)為 為圓CR 內(nèi)包含z且與CR 同心的圓。25證明：在CR內(nèi)解析，作利用由柯西公式得到在CR1上

8、26利用得到27利用柯西積分公式最后得到泰勒級數(shù) 展開28例1、求 ez 在 鄰域的 Taylor 展開。解：收斂半徑故因29例2、求 和 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。故30收斂半徑類似收斂半徑31例3、求 1/(1-z)2 在 z=0 鄰域的 Taylor 展開。 解I：32解II：所以收斂半徑此例收斂半徑 R=1。 事實上，該函數(shù)的奇點為z=1,展開中心 z=0 與奇點 z=1 的距離為 1。因此，上述級數(shù)在 |z|1時收斂！一般而言, 收斂半徑為展開中心至最近奇點之距離。33二、多值函數(shù)的 Taylor 展開多值函數(shù)在確定了單值分支后，可象單值函數(shù)那樣在各單值分支上作泰勒展開

9、。例4、在 展開第n個單值341oyx收斂半徑：第n個單值的泰勒展開：割線支點展開點Ln(z)泰勒展開在復(fù)平面上 的幾何解讀支點：展點：支點-展點距離：1 = R35例5、求 在 鄰域的 Taylor 展開（m不是整數(shù)）。注意：在復(fù)數(shù)里，當(dāng)m不是整數(shù)時，1m1。解：36從而非整數(shù)二項式定理收斂半徑 R=1。式中n=0, 1, 2,. n=0為主值分支37三、無窮遠點鄰域內(nèi)的泰勒展開 在一些情況下經(jīng)常要研究函數(shù)f(z)在z趨近于無窮時的特性，因此需要把f(z)在無窮遠點展開。但在無窮遠處發(fā)散！ 作變換對(t)在t=0處展開：(t)在t=0，也即z=處收斂!383.4 解析延拓以上各解析函數(shù)只在某

10、一特定區(qū)域（而不是整個復(fù)平面）中有定義。對解析函數(shù)的定義域進行拓展即為解析延拓。39一、解析延拓的定義： 設(shè)巳知一個函數(shù) f1(z) 在區(qū)域 B1 中解析。如果在與 B1 有重疊部分b (可以是一條線) 的另一區(qū)域B2 內(nèi)存在一個解析函數(shù) f2(z), 在 b 中 f2(z) f1(z) , 稱 f2(z) 為 f1(z) 在 B2 中的解析延拓；反過來， f1(z) 也是f2(z) 在 B1 中的解析延拓。 40通常在兩類問題中用到解析延拓 一類問題是，巳知在某區(qū)域中有定義的解析函數(shù)，例如用級數(shù)、積分或者其他表達式來表達的函數(shù)，用解析延拓的方法擴大其定義域和解析范圍；（突破由函數(shù)定義帶來的限

11、制） 另一類問題是，巳知某數(shù)學(xué)問題的解是區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)；但求解的方法只能給出在B的一子區(qū)域b內(nèi)才有效的函數(shù)表達式，利用解析延拓的方法，可以從這個表達式推算出解在B的其他子區(qū)域中的表達式。（突破由求解方法帶來的限制）Bb41二、延拓方法： 例：原則上講，可通過泰勒展開進行。把f1在i/2處泰勒展開(逐項求導(dǎo))：對冪函數(shù)oxy假定我們不知解析延拓。42oxy43 在上面的例子中，我們用函數(shù)的冪級數(shù)表達式作解析延拓照那樣做下去，將得到有不同收斂圓的許多幕級數(shù)，這些冪級數(shù)的全體代表一個解析函數(shù)F(z)每一個冪級數(shù) - 常稱為F(z)的一個元素，在它自己的收斂圓內(nèi)代表F(z)的泰勒展開。44三、解析

12、延拓的唯一性：用不同的解法可得出不同形式的解析延拓，但可以證明這些解析延拓是唯一的。設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域b上解析區(qū)域b區(qū)域B解析延拓設(shè)f(z)有兩個不同的解析延拓f1(z)與f2(z),則：在b邊界點z0, 將f1-f2泰勒展開并不全為零, 如設(shè)則故所有的若z, 則 f1-f2 = 0全部為零在上f1=f2矛盾!b范圍可擴大到b+重復(fù)以上步驟無窮次，將b范圍擴大到B命題得證453.5 解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展開一、雙邊冪級數(shù)正冪部分有收斂半徑 引入新變量負冪部分成為 級數(shù)收斂域為 （收斂半徑 ）,變回原坐標z，可見z級數(shù)在 外部收斂。46 若 內(nèi)絕對并一且級數(shù)在 致收斂， 稱為級數(shù)的

13、收斂環(huán)。 若則級數(shù)發(fā)散。二、羅朗展開定理 設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域 的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點z, f(z)可展為冪級數(shù) 其中C 是位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向的一閉合曲線。47證：作沿外道利用z48沿內(nèi)道利用代入積分49得利用解析函數(shù)柯西定理將 后, 有 50 第二和式換求和指標 后, 成為 從而其中C 是環(huán)區(qū)域內(nèi)按逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。羅朗展開定理51Laurent 級數(shù) 展開也是唯一的。因此可用各種方法求一個函數(shù)的Laurent級數(shù)展開而不用擔(dān)心誰對誰錯。1、正冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的正則部分，在 圓內(nèi) 絕對且一致收斂；2、負冪部分稱為 Laurent 級數(shù)的主部，在

14、 圓外絕對且一致收斂；521、盡管上式中含有(z-z0) 的負冪次項，而這些項在 z=z0 點是奇異的，但z0點可以是也可以不是函數(shù) f(z) 的奇點； 2、盡管求展開系數(shù)ak 的公式與 Taylor 展開系數(shù)的積分公式形式一樣，但 不論z0 是否 f(z)的奇點。 若z0 為 f(z) 的奇 點，則 f(k)(z0) 根本不存在； 關(guān)于 Laurent 級數(shù)展開的注意點： 若z0 不是f(z)的奇點，則雖f(k)(z0) 存在，但仍然53成立的條件是在以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析，而現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點（若無奇點就無需考慮Laurent 展開了）。因為3、如果只有環(huán)心 z0 是f(z

15、)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以無限小， z 可以無限接近z0 , 這時稱為f(z)在其孤立奇點z0 鄰域上的Laurent 展開式?？捎么耸絹硌芯繌?fù)變函數(shù)在其孤立奇點附近的性質(zhì)（3.6節(jié)）。54幾種常用展開方法： 三、將環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法與步驟(1) 找點：找出 f (z)的奇點；(2) 分環(huán)：以展開中心z0為圓心，按奇點為界將區(qū)域分割為 若干環(huán)（每個環(huán)內(nèi)部無奇點）；(3) 展開：分區(qū)展開 f (z)。1. 直接計算洛朗級數(shù) 積分便于計算時用此法3. 利用兩個絕對收斂級數(shù)的乘積。2. 將有理式分解為部分分式，再按 展開。4. 利用逐項求導(dǎo)或逐項積分。55 例1、在 的鄰域?qū)?展開重

16、新定義56例2、在 的環(huán)域上將 展開解：上式在|z|1不適用,故z=0 并非f(z)奇點 57 例3、在 的鄰域?qū)?展開解：其中于是58 例4、在 的鄰域?qū)?展開解：59例5：在 求函數(shù) 的羅朗展開解：利用指數(shù)函數(shù)的展開公式第一個指數(shù)：第二個指數(shù)：60對以上求和分兩種情況討論: (a) l n l = m+n, (b) l n n = l+h 61整理后得62補充例題1: 將 以 z = 0中心展開成冪級數(shù)。(1) |z| 1 分析：展開中心 z = 0不是 f (z)的奇點，奇點為1、2。解： 的三個解析區(qū)域 |z| 1, 1|z| 2, 2|z| 無負冪項 (泰勒級數(shù)：解析區(qū)域為圓域)63

17、(2) 1 |z| 2 64(3) 2 |z| 65補充例題2：以z = 0 為中心在 1 |z| 展開利用逐項求導(dǎo)，只需展開解：展開中心為z = 0，故只需展開 分子已為z =(z0)1,2 對z求導(dǎo)：注意到：區(qū)域：1 |z| 66對上式中第一個級數(shù)令k = k +1，對第二個級數(shù)令 k = k +2，得到再次求導(dǎo)：所以：67注：逐項求導(dǎo)或逐項積分展開級數(shù)不改變級數(shù)的收斂半徑！683.6 孤立奇點的分類復(fù)變函數(shù)一般均存在著奇點，奇點是有益的 (Chap. 4)。 下述情況之一的點z0都是奇點： a. f(z)在點z0無定義或無確定值；b. f(z)在點z0不連續(xù)；c. f(z)在點z0不可導(dǎo)

18、；d. f(z)在點z0可導(dǎo)，但找不到某個鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)。69 一、孤立奇點的定義: 若函數(shù) f(z) 在某點 z0 不可導(dǎo)，而在 z0 的任意小鄰域內(nèi)除z0 外處處可導(dǎo)，便稱 z0 為 f(z) 的孤立奇點。復(fù)變函數(shù)的奇點按其在復(fù)平面上的分布特性可分為孤立奇點與非孤立奇點。 二、非孤立奇點的定義: 若函數(shù) f(z) 在某點 z0 不可導(dǎo)，而在 z0 點的無論多么小的鄰域內(nèi)，總可以找到除 z0 以外的不可導(dǎo)的點，便稱 z0 為 f(z) 的非孤立奇點。 例如，z=0 是 函數(shù) 的孤立奇點，因為在以z=0 為圓心， R1 的圓內(nèi)，除z=0 外，無其他不可導(dǎo)點例如，z=0 是 函數(shù) 的孤立奇點

19、，因為此函數(shù)的奇點為z=1/n，n=1,2, 這些奇點密集分布在z=0處。70三、孤立奇點的分類:設(shè)z0 是單值函數(shù) f(z) 的孤立奇點，則在以 z0 為圓心的一個環(huán)狀鄰域 0|z-z0| 內(nèi), 可以展開成羅朗級數(shù)：正冪部分：解析部分，負冪部分：主要部分1、若展式不含負冪項：z0為f(z)的可去奇點2、若展式含有限個負冪項： z0 為f(z)的極點3、若展式含無限個負冪項： z0 為f(z)的本性奇點71四、函數(shù)在孤立奇點鄰域的特性1、可去奇點（羅朗展開從第0項開始）極限存在且為有限值定義例子：g(z)不存在奇點特性即為什么稱為“可去”奇點？722、極點（羅朗展開從第 m 項開始）z0：為函

20、數(shù) f(z) m階極點m：極點的階，一階極點稱單極點即特性極限為無窮大例子：733、本性奇點（羅朗展開從第 項開始）即特性極限不存在“極限不存在”與“極限無窮大”的區(qū)別 從嚴格意義上來說 “不存在”與“無窮大”均為不存在 “極限無窮大” - “極限不存在” - 74例：z=0是函數(shù) e1/z 的本性奇點，在0 |z| 的環(huán)域內(nèi)，它的 Laurent 級數(shù)為當(dāng) (1) z 沿正實軸0 時，1/z , 故 e1/z ； (2) z 沿負實軸0 時，1/z , 故 e1/z 0； (3) z 沿虛軸0 時，e1/z 不確定； - z按i/(2n) 0 時， e1/z 1； - z按i/(2n+ )

21、0 時， e1/z -1； - z按i/(2n+ /2) 0 時， e1/z i；因z以不同方式趨近于0, 得到不同的結(jié)果，故的極限不存在！本性奇點75極點與本性奇點的直觀比較上圖描繪了復(fù)函數(shù)f(z)的實部在z平面上的變化情況76三類奇點的總結(jié)77五、無窮遠點1、無窮遠點為孤立奇點的定義設(shè)無窮遠點是函數(shù) f(z) 的奇點。以 z = 0為圓心，R為半徑作一圓，CR ，只要R足夠大, 而在圓外除無窮遠點外 f(z) 別無其他奇點，則稱無窮遠點為 f(z) 的一個孤立奇點。 此時 f(z) 在無窮遠點鄰域內(nèi)的羅朗展開也就是在 中的羅朗展開。 如果 f(z) 在CR中沒有奇點，則這展開就等于在 中的泰勒展開。78負冪部分為解析部分，正冪部分為主要部分注：以上定義與z0為有限值時的定義正好相反。2、孤立奇點的分類:1）如果羅朗展開不含正冪項，則 z = 為 f(z) 的可去奇點例子：特性：極限存在且為有限值792）如果羅朗展開包含有限正冪項，則 z = 為 f(z) 的極點特性：極限為無窮大：為函數(shù) f(z) m階極點m