數(shù)學(xué)人教B版必修第二冊(cè)教學(xué)案：6.1.2-向量的加法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)6.1.2向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握向量加法的運(yùn)算,并理解其幾何意義.(重點(diǎn))2.理解向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則的適用范圍,并能應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.(難點(diǎn))1.通過向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的學(xué)習(xí),培養(yǎng)直觀想象.2.通過學(xué)習(xí)向量加法的運(yùn)算律,培養(yǎng)邏輯推理.自主預(yù)習(xí)有兩條拖輪牽引一艘駁船,它們的牽引力分別是F1=3 000牛,F2=2 000牛,牽繩之間的夾角=60.如果只用一條拖輪來牽引,產(chǎn)生的效果跟原來的相

2、同,試求出這條拖輪的牽引力的大小和方向.一、預(yù)習(xí)教材P137141的內(nèi)容,思考以下問題:1.某人從A到B,再從B順著原來的方向到C,此人總的位移是什么?2.湖上三個(gè)景點(diǎn)O,A,B,游艇將游客從景點(diǎn)O送至景點(diǎn)A,位移是什么?再將游客從景點(diǎn)A送至景點(diǎn)B,位移是什么?兩次位移后游艇總的位移是什么?這三個(gè)位移之間的關(guān)系是什么?3.平面上任意兩個(gè)向量的和怎么求?二、1.向量的加法法則(1)三角形法則一般地,平面上任意給定兩個(gè)向量a,b,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作AB=a,BC=b,作出向量AC,則向量AC稱為a與b的和(或和向量),記作,即a+b=AB+BC=.上述求兩個(gè)向量和的作圖方法,叫做向量加法的三

3、角形法則.對(duì)于零向量與任一向量a的和,有a+0=+=.向量a,b的模與a+b的模的關(guān)系:|a|-|b|a+b|a|+|b|.(2)平行四邊形法則平面上任意給定兩個(gè)不共線的向量a,b,在該平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作AB=a,AD=b,則A,B,D三點(diǎn)不共線,以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量AC=.這個(gè)法則叫做向量加法的平行四邊形法則.(3)多邊形法則已知n個(gè)向量,依次把這n個(gè)向量首尾相連,以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為,第n個(gè)向量的終點(diǎn)為的向量叫做這n個(gè)向量的和向量.這個(gè)法則叫做向量加法和的多邊形法則.思考:任意兩個(gè)非零向量相加,是否都可以用向量的平行四邊形法則進(jìn)行?2.向量加法的運(yùn)算律

4、交換律結(jié)合律a+b=(a+b)+c=a+課堂探究題型1.向量加法運(yùn)算法則的應(yīng)用例1.(1)如圖,在ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DEBC,ABCF,連接CD,那么(在橫線上只填一個(gè)向量):AB+DF=;AD+FC=;AD+BC+FC=.(2)如圖甲所示,求作向量和a+b.如圖乙所示,求作向量和a+b+c.1.變問法在例1(1)條件下,求CB+CF.2.變問法在例1(1)圖形中求作向量DA+DF+CF.題型2.向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用例2.化簡(jiǎn)下列各式:(1)AB+DF+CD+BC+FA;(2)(AB+DE)+CD+BC+EA.變式訓(xùn)練2.如圖,在ABC中,O為重

5、心,D,E,F分別是BC,AC,AB的中點(diǎn),化簡(jiǎn)下列三式:(1)BC+CE+EA;(2)OE+AB+EA;(3)AB+FE+DC.題型3.向量三角不等式的應(yīng)用例3.已知|a|=3,|b|=5,則向量a+b模長(zhǎng)的最大值是.變式訓(xùn)練3本例中a+b模長(zhǎng)的最小值是.題型4.綜合應(yīng)用、一題多解例4.在正六邊形ABCDEF中,AB=a,AF=b,用a,b表示AC,AD,AE.課堂練習(xí)1.如圖所示,點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,則OA+OC+OE=()A.0B.0C.AED.EA2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AB+CD=0B.AD+AB=ACC.AD+BD=ABD.AD+CB=03

6、.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化簡(jiǎn)后等于()A.AMB.0C.0D.AC4.設(shè)a,b都是單位向量,則|a+b|的取值范圍是.核心素養(yǎng)專練1.下列等式不正確的個(gè)數(shù)是()a+(b+c)=(a+c)+b;AB+BA=0;AC=DC+AB+BD.A.0B.1C.2D.32.已知向量ab,且|a|b|0,則向量a+b的方向()A.與向量a方向相同B.與向量a方向相反C.與向量b方向相同D.與向量b方向相反3.如圖所示的方格中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則OP+OQ=()A.OHB.OGC.FOD.EO4.a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則()A.ab,且a與b方向相同B

7、.a,b是共線向量且方向相反C.a=bD.a,b無論什么關(guān)系均可5.(多選題)已知ABC是正三角形,給出下列等式,正確的是()A.|AB+BC|=|BC+CA|B.|AC+CB|=|BA+BC|C.|AB+AC|=|CA+CB|D.|AB+BC+AC|=|CB+BA+CA|6.若在ABC中,AB=AC=1,|AB+AC|=2,則ABC的形狀是()A.正三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形7.向量(AB+PB)+(BO+BM)+OP化簡(jiǎn)后等于.8.設(shè)正六邊形ABCDEF,若AB=m,AE=n,則AD=.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究例1.(1)ACABAC(2)解:首先作向量OA=a,

8、然后作向量AB=b,則向量OB=a+b,如圖所示.方法一(三角形法則):如圖所示,首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作向量OA=a,再作向量AB=b,則得向量OB=a+b,然后作向量BC=c,則向量OC=(a+b)+c=a+b+c即為所求.方法二(平行四邊形法則):如圖所示,首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作向量OA=a,OB=b,OC=c,以O(shè)A,OB為鄰邊作OADB,連接OD,則OD=OA+OB=a+b.再以O(shè)D,OC為鄰邊作ODEC,連接OE,則OE=OD+OC=a+b+c即為所求.變問法1.解:因?yàn)锽CDF,BDCF,所以四邊形BCFD是平行四邊形,所以CB+CF=CD.變問法2.解:過A作AGDF交C

9、F的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則DA+DF=DG,作GH=CF,連接DH,則DH=DA+DF+CF,如圖所示.例2.解:(1)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+(DF+FA)=AD+DA=0.(2)(AB+DE)+CD+BC+EA=(AB+BC)+(CD+DE)+EA=AC+CE+EA=AE+EA=0.變式訓(xùn)練2.解:(1)BC+CE+EA=BE+EA=BA.(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB=OA+AB=OB.(3)AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.例3.8解析:|a+b|a|+|b|=3+5=8,|a+b|的最大值為8.變式訓(xùn)練3.2

10、解析:|a+b|a|-|b|=5-3=2,|a+b|的最小值為2.例4.解:方法一:根據(jù)向量的平行四邊形法則有AO=AB+AF=a+b.在平行四邊形ABCO中,AC=AO+AB=a+b+a=2a+b,AO=BC,BC=a+b.(或由向量加法的三角形法則,可得AC=AB+BC,AC=a+a+b=2a+b.)由正六邊形的知識(shí)知,AD=2AO=2a+2b.AE=AD+DE且DE=-AB,AE=AD-AB=2a+2b-a=a+2b.方法二:AD=AB+BC+CD,AD=2AO,AO=BC,CD=AF,AD=2BC,2BC=AB+BC+CD,BC=AB+CD=AB+AF=a+b.AC=AB+BC=a+a

11、+b=2a+b,AD=AC+CD=2a+2b,AE=AF+FE=AF+BC=b+a+b=a+2b.方法三:AC=AF+FC,FC=2AB,AC=AF+2AB=2a+b;AD=AC+CD=AC+AF=2a+2b;AE=AF+FC+CD+DE=AF+2AB+AF-AB=2AF+AB=a+2b.課堂練習(xí)1.A解析:OA+OC=OB,OB=-OE,OA+OC+OE=OB+OE=0.故選A.2.C解析:如圖所示.對(duì)于A選項(xiàng),AB,CD大小相等方向相反,AB+CD=0,結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,AD+AB=AC,結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng),由于AD+DB=AB,故結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選

12、項(xiàng),AD,CB,大小相等方向相反,AD+CB=0,結(jié)論正確.故選C.3.D解析:(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC=AO+OM+MB+BC=AM+MB+BC=AB+BC=AC,故選D.4.0,2解析:a,b同向時(shí),|a+b|取最大值2,a,b異向時(shí),|a+b|取最小值0,a,b不共線時(shí),|a+b|在(0,2)之間,所以|a+b|的取值范圍是0,2.核心素養(yǎng)專練1.A2.A解析:因?yàn)閍b,且|a|b|0,由三角形法則知向量a+b與a同向.3.C解析:設(shè)a=OP+OQ,以O(shè)P,OQ為鄰邊作平行四邊形(圖略),則夾在OP,OQ之間的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量即為向量a=OP+O

13、Q,則a與FO長(zhǎng)度相等,方向相同,所以a=FO.4.A解析:根據(jù)三角形法則可知,ab,且a與b方向相同.5.ACD解析:對(duì)于A,|AB+BC|=|AC|,|BC+CA|=|BA|,因?yàn)锳BC是等邊三角形可得A正確;對(duì)于B,設(shè)AC的中點(diǎn)為O,由平行四邊形法則可知|BA+BC|=2|BO|AB|=|AC+CB|,故B不正確;對(duì)于C,與B中|BA+BC|變形類似可知|AB+AC|=|CA+CB|,故C正確;對(duì)于D,|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2|AC|,|CB+BA+CA|=|CA+CA|=2|AC|,故D正確.6.D解析:設(shè)線段BC的中點(diǎn)為O,由平行四邊形法則和平行四邊形對(duì)角線互相平分可

14、知,|AB+AC|=2|AO|,又|AB+AC|=2,故|AO|=22,所以BO=CO=22,所以ABO和ACO都是等腰直角三角形,所以ABC是等腰直角三角形.7.AM解析:(AB+PB)+(BO+BM)+OP=(AB+BO+OP)+(PB+BM)=AP+PM=AM.8.n+m解析:如圖,ED=AB=m,所以AD=AE+ED=n+m.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握向量的加法運(yùn)算并理解加法運(yùn)算的幾何意義.2.用三角形、平行四邊形法則作和向量,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.3.通過向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比,掌握向量加法的交換律和結(jié)合律.自主預(yù)習(xí)閱讀課本P137141,完成以下任務(wù):(1)向量的加法有

15、幾種方法?用不同的方法作出向量a,b的和向量.(2)借助問題(1)思考向量a與b的和向量的方向怎么確定,和向量的長(zhǎng)度與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度有什么關(guān)系?課堂探究探究一向量加法的三角形法則情境與問題如圖所示,假設(shè)某人上午從點(diǎn)A到達(dá)了點(diǎn)B,下午從點(diǎn)B到達(dá)了點(diǎn)C.(1)分別用向量表示出該人上午的位移、下午的位移及一天的位移.(2)這一天的位移與上午、下午的位移有什么聯(lián)系?試從大小和方向兩個(gè)方面加以闡述.(3)此時(shí)兩個(gè)向量及和向量構(gòu)成三角形,若不能構(gòu)成三角形,兩向量應(yīng)該有什么關(guān)系?試從大小和方向兩個(gè)方面加以闡述.例1已知|a|=3,|b|=4,求向量a+b模長(zhǎng)的最大值和最小值,并說明取到最大值和最小值時(shí)向量a

16、與向量b的關(guān)系.探究二向量加法的平行四邊形法則情境與問題問題1從物理學(xué)中我們已經(jīng)知道,力既有大小又有方向,因此力是向量.當(dāng)在光滑的水平面上沿著兩個(gè)不同的方向拉動(dòng)一個(gè)靜止的物體時(shí),物體會(huì)沿著力AB或AC的方向運(yùn)動(dòng)嗎?若不會(huì),物體的運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的呢?問題2數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律,思考向量的加法運(yùn)算是否滿足交換律?探究三多個(gè)向量相加問題1由向量加法的兩個(gè)法則我們知道兩個(gè)向量的和還是向量,因此我們可以用得到的和向量與另外一個(gè)向量相加.而且我們也知道數(shù)的加法滿足結(jié)合律,那么向量的加法是否也滿足結(jié)合律?也就是說三個(gè)向量相加,最后的結(jié)果是否與求和順序有關(guān)?問題2多個(gè)向量相加,最后的結(jié)果與求和順序有關(guān)嗎?怎

17、樣確定和向量呢?跟蹤訓(xùn)練1在正六邊形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.例2化簡(jiǎn):(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在平行四邊形ABCD中,O為AC與BD的交點(diǎn).(1)AB+AD=;(2)AC+CD+DO=;(3)AB+AD+CD=;(4)AC+BA+DA=.例3在水流速度為43 km/h的河中,如果要船以12 km/h的實(shí)際航速與河岸垂直行駛,求船航行速度的大小與方向.課堂練習(xí)1.如圖,D,E,F分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則下列等式中錯(cuò)誤的是()A.FD+DA+DE=0B.AD+BE+CF=0C.FD

18、+DE+AD=ABD.AD+EC+FD=BD2.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),如圖所示,化簡(jiǎn)下列各式:(1)DE+EA=;(2)BE+AB+EA=;(3)DE+CB+EC=;(4)BA+DB+EC+AE=.3.如圖所示,在四邊形ABCD中,AC=AB+AD,試判斷四邊形的形狀.核心素養(yǎng)專練1.已知向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,則a+b表示()A.向東南航行2 kmB.向東南航行2 kmC.向東北航行2 kmD.向東北航行2 km2.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),下列結(jié)論正確的是()A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD

19、=AC+CDD.AB+BC+CD=DA3.a,b為非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則()A.ab,且a與b方向相同B.a,b是共線向量且方向相反C.a=bD.a,b無論什么關(guān)系均可4.(多選題)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,BC+DC+BA等于()A.BDB.ADC.BCD.CB5.如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若|AB|=1,則|AB+FE+CD|等于()A.1B.2C.3D.236.在平行四邊形ABCD中,BC+DC+BA+DA=.7.已知|a|=3,|b|=5,則向量a+b模長(zhǎng)的最大值是,最小值是.8.已知點(diǎn)G是ABC的重心,則GA+GB+GC=.9.探索與研究:在求作兩個(gè)向量的和時(shí),可以選擇不同的始點(diǎn),想一想選擇不同的始點(diǎn)作出的和向量相等嗎?并說明理由.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究探究一(1)上午的位移AB,下午的位移BC,一天的位移AC.(2)這一天的位移等于上午、下午的位移和.大小:|AB|-|BC|AC|AB|+|BC|方向:一天的位移方向就是和向量的方向.(3)共線也就是方向相同或者相反.方