二次函數與圓知識點

1、二次函數基礎知識相關概念及定義二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數問當m為何值時是二次函數二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項二次函數各種形式之間的變換二次函數用配方法可化成：的形式，其中給出過程.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；分別需要哪些信息可以求得函數表達式？.二次函數解析式的表示方法將轉化為其它兩式一般式：（，為常數，）；頂點式：（，為常數，）；兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐

2、標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.二次函數圖象的畫法畫函數圖像五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.二次函數的性質先畫出圖像，探究其性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質

3、向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數的性質先畫出的圖像的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數的性質先畫出的圖像：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值二次函數的性質的圖像的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時

4、，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同大的開口大還是?。?對稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點坐標：頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.拋物線中，與函數圖像的關系自己驗證二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起

5、來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小一次項系數 在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置總結：常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與

6、軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的求拋物線的頂點、對稱軸的方法用三種方法分別求的頂點和對稱軸公式法：，頂點是，對稱軸是直線.配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.用待定系數法求二次函數的解析式一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常

7、選擇頂點式.交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.直線與拋物線的交點軸與拋物線得交點為(0, ).與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).拋物線與軸的交點:二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.平行于軸的直線與拋物線的交點 可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根. 一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組 的解的

8、數目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故二次函數圖象的對稱:二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達理解 推導關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱 關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是關于點對稱 關于點對稱后，

9、得到的解析式是總結：根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式二次函數圖象的平移由如何平移得到？平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”根據條件確定二次函數表達式的幾種

10、基本思路。二次函數的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。二次函數的性質 1、二次函數的性質函數二次函數圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點

11、，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點。當0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；3、直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）與y軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與x軸的交點(x1,0)、(x2,0) 二次函數

12、的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是的兩個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像G的交點，由方程組 的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時與G有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與G沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為

13、，由于、是方程的兩個根，故圓知識點1、（要求深刻理解、熟練運用）1.垂徑定理及推論: 如圖：有五個元素，“知二可推三”；需記憶其中四個定理，即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”. 幾何表達式舉例： CD過圓心CDAB3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）“等角對等弦”； “等弦對等角”； “等角對等弧”； “等弧對等角”；“等弧對等弦”；“等弦對等(優(yōu)，劣)弧”；“等弦對等弦心距”；“等弦心距對等弦”.幾何表達式舉例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD（3）4圓周角定理及推論:（1）圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；（2）一

14、條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；(如圖)（3）“等弧對等角”“等角對等弧”；（4）“直徑對直角”“直角對直徑”；(如圖)（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.(如圖)（1） （2）（3） （4）幾何表達式舉例：（1） ACB=AOB （2） AB是直徑 ACB=90（3） ACB=90 AB是直徑（4） CD=AD=BD ABC是Rt 5圓內接四邊形性質定理:圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角.幾何表達式舉例： ABCD是圓內接四邊形 CDE =ABCC+A =1806切線的判定與性質定理:如圖：有三個元素，“知二可推一”；需記憶

15、其中四個定理.（1）經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；（2）圓的切線垂直于經過切點的半徑；幾何表達式舉例：（1） OC是半徑OCABAB是切線（2） OC是半徑AB是切線OCAB9相交弦定理及其推論:（1）圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等；（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項.（1） （2）幾何表達式舉例：（1） PAPB=PCPD（2） AB是直徑PCABPC2=PAPB11關于兩圓的性質定理:（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；（2）如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上. （1） （2）幾何表達式舉例：（1）

16、 O1，O2是圓心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、O2三點一線12正多邊形的有關計算:（1）中心角n ，半徑RN ， 邊心距rn ， 邊長an ，內角n ， 邊數n；（2）有關計算在RtAOC中進行.公式舉例：(1) n =；(2) 二 定理：1不在一直線上的三個點確定一個圓.2任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.3正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.三 公式：1.有關的計算：（1）圓的周長C=2R；（2）弧長L=；（3）圓的面積S=R2.（4）扇形面積S扇形 =；（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOBAOB的面積.（如圖）2

17、.圓柱與圓錐的側面展開圖：（1）圓柱的側面積：S圓柱側 =2rh； (r:底面半徑；h:圓柱高)（2）圓錐的側面積：S圓錐側 =rR. （L=2r，R是圓錐母線長；r是底面半徑）四 常識：1 圓是軸對稱和中心對稱圖形.2 圓心角的度數等于它所對弧的度數.3 三角形的外心 兩邊中垂線的交點 三角形的外接圓的圓心；三角形的內心 兩內角平分線的交點 三角形的內切圓的圓心.4 直線與圓的位置關系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）直線與圓相交 dr ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 dr.5 圓與圓的位置關系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個圓的半徑且Rr）兩

18、圓外離 dR+r； 兩圓外切 d=R+r； 兩圓相交 R-rdR+r；兩圓內切 d=R-r； 兩圓內含 dR-r.6證直線與圓相切，常利用：“已知交點連半徑證垂直”和“不知交點作垂直證半徑” 的方法加輔助線.正多邊形和圓 （1）通過等分圓畫正多邊形。（等分圓心角；懂得正三、六；正四、八邊形的特殊畫法） （2）外接于圓的正多邊形的有關概念：正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距； （3）如圖，正n邊形的有關計算要抓住2n個RtOPB，B等于正n邊形內角的一半，BOP=，BP等于正多邊形的邊長的一半。一般地，關于正多邊形計算的問題都轉化為直角三角形的問題。（“轉化”是解決問題的一種重要的思想方法，化

19、繁為簡、化難為易、化抽象為形象、化未知為已知如：用“換元法”解方程、解方程中的 消元降次思想、把多邊性的內角和轉化為三角形來研究、借助圖表分析應用題中的數量關系等）方法技巧： 1.分類討論解決圓的問題，防止漏解。如一條弦所對的圓周角有兩種，所以同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等或互補。圓內兩條平行的弦與圓心的位置關系有兩種。 2.圓中常作的輔助線：作半徑、弦心距、直徑所對的圓周角、經過切點作半徑、過圓心作切線的垂線、兩圓相交時的公共弦、連心線等。五、弧長、扇形的面積和圓錐側面積 1.弧長公式：(n為圓心角的度數上為圓半徑) 2.扇形的面積公式S=(n為圓心角的度數,R為圓的半徑）注：后一個

20、公式可類比三角形公式，扇形的弧相當于三角形的底，扇形的半徑相當于三角形的高。 3.圓錐的側面積S=RL ,(L為母線長，R為底面圓的半徑),圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積2R注意圓錐的高、底面半徑和母線構成RtAOC圓錐及其側面展開圖-扇形的關系圓錐展開后的扇形母線半徑 底面周長弧長在弧長和扇形公式中，知道某些量就可以求出相關的未知量，所以要靈活運用公式。在求陰影部分的面積時，要善于把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形（或其和差關系）。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；圍繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的重合 2頂點在圓心的角叫做圓心角圓心到弦的距離叫做弦心距 圓冪定理（相交弦定理、切割

21、線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理） 切割線定理切割線定理：從圓外一點引圓的 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切線和 HYPERLINK /view/568876.htm t _blank 割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的 HYPERLINK /view/90132.htm t _blank 比例中項。是 HYPERLINK /view/378963.htm t _blank 圓冪定理的一種。 幾何語言： PT切O于點T，PBA是O的割線 PT的平方=PAPB（切割線定理） HYPERLINK /image/263e802f514285

22、101f3089d0 o 查看圖片 t _blank 推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 幾何語言： PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論）( HYPERLINK /view/639186.htm t _blank 割線定理） 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 相交弦說明幾何語言： 若弦AB、CD交于點P 則PAPB=PCPD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線

23、段的比例中項 幾何語言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點P， 則PC2=PAPB（相交弦定理推論）切線長定理 HYPERLINK /image/95afee1f04226ee6e0fe0b3b o 查看圖片 t _blank 從圓外一點引圓的兩條 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切線，它們的 HYPERLINK /view/378768.htm t _blank 切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。 如圖中，切線長AC=AB。 ABO=ACO=90 BO=CO=半徑 AO=AO公共邊 RtABORtACO（HL） AB=AC AOB=AOC

24、 OAB=OAC 切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等 垂徑定理 HYPERLINK /view/919948.htm t _blank 垂直于弦的 HYPERLINK /view/79326.htm t _blank 直徑平分這條 HYPERLINK /view/457671.htm t _blank 弦,并且平分這條弦所對的兩段弧 推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧 推論二:弦的垂直平分線經過 HYPERLINK /view/297302.htm t _blank 圓心,并且平分這條弦所對的弧 推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦

25、,并且平分這條弦所對的另一條弧 推論四:在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等圓周角定理 定義頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 圓周角定理同弧所對圓周角是圓心角的一半. 證明已知在O中，BOC與圓周角BAC同對弧BC，求證：BOC=2BAC. 證明： 情況1：如圖1，當圓心O在BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時： HYPERLINK /image/e8112b2a23b1767a5243c115 o 查看圖片 t _blank 圖1OA、OB是半徑 OA=OC BAC=ACO（等邊對等角） BOC是OAC的外角 BOC=BAC+ACO=2BAC 情況2：如圖2,，當圓心

26、O在BAC的內部時： 連接AO，并延長AO交O于D HYPERLINK /image/2cb4fefe8470db735c6008bc o 查看圖片 t _blank 圖2OA、OB、OC是半徑 OA=OB=OC BAD=ABO，CAD=ACO（等邊對等角） BOD、COD分別是AOB、AOC的外角 BOD=BAD+ABO=2BAD COD=CAD+ACO=2CAD BOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC 情況3：如圖3，當圓心O在BAC的外部時： HYPERLINK /image/62667cd046dbf6cda1ec9c38 o 查看圖片 t _blank 圖3連接AO，

27、并延長AO交O于D OA、OB、OC、是半徑 BAD=ABO,CAD=ACO（等邊對等角） DOB、DOC分別是AOB、AOC的外角 DOB=BAD+ABO=2BAD DOC=CAD+ACO=2CAD BAC=CAD-BAD BOC=DOC-DOB=2(CAD-BAD)=2BAC 圓周角推論特殊圓周角1: 半圓(弧)和直徑所對圓周角是90. 90圓周角所對弦是直徑. 等弧所對圓周角相等圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等. 同(等)圓中,相等的圓周角所對弧相等. 命題2: 頂點在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數等于其所截兩弧度數差的一半. 頂點在圓內的角(兩邊與圓相交)的度數等于其及其對頂角

28、所截弧度數和的一半.弦切角定理 :1、弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另 HYPERLINK /image/cf5a8316ddc5f51df3de32a8 o 查看圖片 t _blank 圖示一邊和圓相切的角叫做 HYPERLINK /view/476788.htm t _blank 弦切角。 如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有PCA=PBC(PCA為弦切角）。 2、弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角） 弦切角定理證明： 證明一：設圓心為O，連接OC，OB,連接BA并延長交直線T于點P。 TCB=

29、90-OCB BOC=180-2OCB HYPERLINK /image/9864a23134b52ae25fdf0e04 o 查看圖片 t _blank 此圖證明的是弦切角TCB,BOC=2TCB（定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半） BOC=2CAB（圓心角等于圓周角的兩倍） TCB=CAB（定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點，弧是弦切角BAC所夾的弧. 求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況： HYPERLINK /image/99636c0e82874aea7bcbe1b2 o 查看圖片 t _blank （1

30、）圓心O在BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 為半圓, CAB=90=弦CA所對的圓周角 HYPERLINK /image/d1571724866d0a0bd40742b2 o 查看圖片 t _blank B點應在A點左側（2）圓心O在BAC的內部. 過A作直徑AD交O于D, 若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E 那么，連接EC、ED、EA 則有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） HYPERLINK /image/9f6e19084f4d8210e92488b3 o 查看圖片 t _blank （3）圓心O在BAC的外部, 過A作直徑AD交

31、O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 3、弦切角推論:若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等 應用舉例 HYPERLINK /image/4e83cb62504078fde7113ab3 o 查看圖片 t _blank 例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點A，CBA=60 , AB=a 求BC長. 解：連結OA，OB. 在中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(中30角所對邊等于斜邊的一半） HYPERLINK /image/faacb5644039e5d0f73654b3 o 查看圖片 t _blank 例2：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，經過點A的O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F. 求證：EFBC. 證明：連DF. AD是BAC的平分線BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC HYPERLINK /image/86d5bac25d684f3b0ef477b3 o 查看圖片 t _blank 例3：如圖，ABC內接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C， 求證：AC平分MCD，BC平分NCD. 證明：AB是O直