二次函數(shù)與圓知識(shí)點(diǎn)

1、二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)相關(guān)概念及定義二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí)是二次函數(shù)二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)各種形式之間的變換二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中給出過(guò)程.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；分別需要哪些信息可以求得函數(shù)表達(dá)式？.二次函數(shù)解析式的表示方法將轉(zhuǎn)化為其它兩式一般式：（，為常數(shù)，）；頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐

2、標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)函數(shù)圖像五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).二次函數(shù)的性質(zhì)先畫(huà)出圖像，探究其性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

3、向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值二次函數(shù)的性質(zhì)先畫(huà)出的圖像的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值二次函數(shù)的性質(zhì)先畫(huà)出的圖像：的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值二次函數(shù)的性質(zhì)的圖像的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)

4、，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同大的開(kāi)口大還是?。?對(duì)稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系自己驗(yàn)證二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，越大，開(kāi)口越小，反之的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，越小，開(kāi)口越小，反之的值越大，開(kāi)口越大總結(jié)起

5、來(lái)，決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，的正負(fù)決定開(kāi)口方向，的大小決定開(kāi)口的大小一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái)，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置總結(jié)：常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與

6、軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法用三種方法分別求的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線.運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常

7、選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.直線與拋物線的交點(diǎn)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ).與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的

8、數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)理解 推導(dǎo)關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，

9、得到的解析式是總結(jié)：根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式二次函數(shù)圖象的平移由如何平移得到？平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種

10、基本思路。二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)

11、，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，2、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與y軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與x軸的交點(diǎn)(x1,0)、(x2,0) 二次函數(shù)

12、的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切；沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像G的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與G有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)與G沒(méi)有交點(diǎn).（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為

13、，由于、是方程的兩個(gè)根，故圓知識(shí)點(diǎn)1、（要求深刻理解、熟練運(yùn)用）1.垂徑定理及推論: 如圖：有五個(gè)元素，“知二可推三”；需記憶其中四個(gè)定理，即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”. 幾何表達(dá)式舉例： CD過(guò)圓心CDAB3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）“等角對(duì)等弦”； “等弦對(duì)等角”； “等角對(duì)等弧”； “等弧對(duì)等角”；“等弧對(duì)等弦”；“等弦對(duì)等(優(yōu)，劣)弧”；“等弦對(duì)等弦心距”；“等弦心距對(duì)等弦”.幾何表達(dá)式舉例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD（3）4圓周角定理及推論:（1）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半；（2）一

14、條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；(如圖)（3）“等弧對(duì)等角”“等角對(duì)等弧”；（4）“直徑對(duì)直角”“直角對(duì)直徑”；(如圖)（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)（1） （2）（3） （4）幾何表達(dá)式舉例：（1） ACB=AOB （2） AB是直徑 ACB=90（3） ACB=90 AB是直徑（4） CD=AD=BD ABC是Rt 5圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.幾何表達(dá)式舉例： ABCD是圓內(nèi)接四邊形 CDE =ABCC+A =1806切線的判定與性質(zhì)定理:如圖：有三個(gè)元素，“知二可推一”；需記憶

15、其中四個(gè)定理.（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；（2）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；幾何表達(dá)式舉例：（1） OC是半徑OCABAB是切線（2） OC是半徑AB是切線OCAB9相交弦定理及其推論:（1）圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等；（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).（1） （2）幾何表達(dá)式舉例：（1） PAPB=PCPD（2） AB是直徑PCABPC2=PAPB11關(guān)于兩圓的性質(zhì)定理:（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；（2）如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上. （1） （2）幾何表達(dá)式舉例：（1）

16、 O1，O2是圓心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、O2三點(diǎn)一線12正多邊形的有關(guān)計(jì)算:（1）中心角n ，半徑RN ， 邊心距rn ， 邊長(zhǎng)an ，內(nèi)角n ， 邊數(shù)n；（2）有關(guān)計(jì)算在RtAOC中進(jìn)行.公式舉例：(1) n =；(2) 二 定理：1不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.2任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個(gè)全等的直角三角形.三 公式：1.有關(guān)的計(jì)算：（1）圓的周長(zhǎng)C=2R；（2）弧長(zhǎng)L=；（3）圓的面積S=R2.（4）扇形面積S扇形 =；（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOBAOB的面積.（如圖）2

17、.圓柱與圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：（1）圓柱的側(cè)面積：S圓柱側(cè) =2rh； (r:底面半徑；h:圓柱高)（2）圓錐的側(cè)面積：S圓錐側(cè) =rR. （L=2r，R是圓錐母線長(zhǎng)；r是底面半徑）四 常識(shí)：1 圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形.2 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).3 三角形的外心 兩邊中垂線的交點(diǎn) 三角形的外接圓的圓心；三角形的內(nèi)心 兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 三角形的內(nèi)切圓的圓心.4 直線與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）直線與圓相交 dr ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 dr.5 圓與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個(gè)圓的半徑且Rr）兩

18、圓外離 dR+r； 兩圓外切 d=R+r； 兩圓相交 R-rdR+r；兩圓內(nèi)切 d=R-r； 兩圓內(nèi)含 dR-r.6證直線與圓相切，常利用：“已知交點(diǎn)連半徑證垂直”和“不知交點(diǎn)作垂直證半徑” 的方法加輔助線.正多邊形和圓 （1）通過(guò)等分圓畫(huà)正多邊形。（等分圓心角；懂得正三、六；正四、八邊形的特殊畫(huà)法） （2）外接于圓的正多邊形的有關(guān)概念：正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距； （3）如圖，正n邊形的有關(guān)計(jì)算要抓住2n個(gè)RtOPB，B等于正n邊形內(nèi)角的一半，BOP=，BP等于正多邊形的邊長(zhǎng)的一半。一般地，關(guān)于正多邊形計(jì)算的問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。（“轉(zhuǎn)化”是解決問(wèn)題的一種重要的思想方法，化

19、繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為形象、化未知為已知如：用“換元法”解方程、解方程中的 消元降次思想、把多邊性的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)研究、借助圖表分析應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系等）方法技巧： 1.分類討論解決圓的問(wèn)題，防止漏解。如一條弦所對(duì)的圓周角有兩種，所以同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)。圓內(nèi)兩條平行的弦與圓心的位置關(guān)系有兩種。 2.圓中常作的輔助線：作半徑、弦心距、直徑所對(duì)的圓周角、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作半徑、過(guò)圓心作切線的垂線、兩圓相交時(shí)的公共弦、連心線等。五、弧長(zhǎng)、扇形的面積和圓錐側(cè)面積 1.弧長(zhǎng)公式：(n為圓心角的度數(shù)上為圓半徑) 2.扇形的面積公式S=(n為圓心角的度數(shù),R為圓的半徑）注：后一個(gè)

20、公式可類比三角形公式，扇形的弧相當(dāng)于三角形的底，扇形的半徑相當(dāng)于三角形的高。 3.圓錐的側(cè)面積S=RL ,(L為母線長(zhǎng)，R為底面圓的半徑),圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積2R注意圓錐的高、底面半徑和母線構(gòu)成RtAOC圓錐及其側(cè)面展開(kāi)圖-扇形的關(guān)系圓錐展開(kāi)后的扇形母線半徑 底面周長(zhǎng)弧長(zhǎng)在弧長(zhǎng)和扇形公式中，知道某些量就可以求出相關(guān)的未知量，所以要靈活運(yùn)用公式。在求陰影部分的面積時(shí)，要善于把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（或其和差關(guān)系）。圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圍繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的重合 2頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角圓心到弦的距離叫做弦心距 圓冪定理（相交弦定理、切割

21、線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理） 切割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切線和 HYPERLINK /view/568876.htm t _blank 割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的 HYPERLINK /view/90132.htm t _blank 比例中項(xiàng)。是 HYPERLINK /view/378963.htm t _blank 圓冪定理的一種。 幾何語(yǔ)言： PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT的平方=PAPB（切割線定理） HYPERLINK /image/263e802f514285

22、101f3089d0 o 查看圖片 t _blank 推論： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 幾何語(yǔ)言： PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論）( HYPERLINK /view/639186.htm t _blank 割線定理） 由上可知:PT的平方=PAPB=PCPD相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等） 相交弦說(shuō)明幾何語(yǔ)言： 若弦AB、CD交于點(diǎn)P 則PAPB=PCPD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線

23、段的比例中項(xiàng) 幾何語(yǔ)言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P， 則PC2=PAPB（相交弦定理推論）切線長(zhǎng)定理 HYPERLINK /image/95afee1f04226ee6e0fe0b3b o 查看圖片 t _blank 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條 HYPERLINK /view/36416.htm t _blank 切線，它們的 HYPERLINK /view/378768.htm t _blank 切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。 如圖中，切線長(zhǎng)AC=AB。 ABO=ACO=90 BO=CO=半徑 AO=AO公共邊 RtABORtACO（HL） AB=AC AOB=AOC

24、 OAB=OAC 切線長(zhǎng)定理推論：圓的外接四邊形的兩組對(duì)邊的和相等 垂徑定理 HYPERLINK /view/919948.htm t _blank 垂直于弦的 HYPERLINK /view/79326.htm t _blank 直徑平分這條 HYPERLINK /view/457671.htm t _blank 弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧 推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧 推論二:弦的垂直平分線經(jīng)過(guò) HYPERLINK /view/297302.htm t _blank 圓心,并且平分這條弦所對(duì)的弧 推論三:平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦

25、,并且平分這條弦所對(duì)的另一條弧 推論四:在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等圓周角定理 定義頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 圓周角定理同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半. 證明已知在O中，BOC與圓周角BAC同對(duì)弧BC，求證：BOC=2BAC. 證明： 情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)： HYPERLINK /image/e8112b2a23b1767a5243c115 o 查看圖片 t _blank 圖1OA、OB是半徑 OA=OC BAC=ACO（等邊對(duì)等角） BOC是OAC的外角 BOC=BAC+ACO=2BAC 情況2：如圖2,，當(dāng)圓心

26、O在BAC的內(nèi)部時(shí)： 連接AO，并延長(zhǎng)AO交O于D HYPERLINK /image/2cb4fefe8470db735c6008bc o 查看圖片 t _blank 圖2OA、OB、OC是半徑 OA=OB=OC BAD=ABO，CAD=ACO（等邊對(duì)等角） BOD、COD分別是AOB、AOC的外角 BOD=BAD+ABO=2BAD COD=CAD+ACO=2CAD BOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC 情況3：如圖3，當(dāng)圓心O在BAC的外部時(shí)： HYPERLINK /image/62667cd046dbf6cda1ec9c38 o 查看圖片 t _blank 圖3連接AO，

27、并延長(zhǎng)AO交O于D OA、OB、OC、是半徑 BAD=ABO,CAD=ACO（等邊對(duì)等角） DOB、DOC分別是AOB、AOC的外角 DOB=BAD+ABO=2BAD DOC=CAD+ACO=2CAD BAC=CAD-BAD BOC=DOC-DOB=2(CAD-BAD)=2BAC 圓周角推論特殊圓周角1: 半圓(弧)和直徑所對(duì)圓周角是90. 90圓周角所對(duì)弦是直徑. 等弧所對(duì)圓周角相等圓周角推論2: 同(等)弧所對(duì)圓周角相等. 同(等)圓中,相等的圓周角所對(duì)弧相等. 命題2: 頂點(diǎn)在圓外的角(兩邊與圓相交)的度數(shù)等于其所截兩弧度數(shù)差的一半. 頂點(diǎn)在圓內(nèi)的角(兩邊與圓相交)的度數(shù)等于其及其對(duì)頂角

28、所截弧度數(shù)和的一半.弦切角定理 :1、弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另 HYPERLINK /image/cf5a8316ddc5f51df3de32a8 o 查看圖片 t _blank 圖示一邊和圓相切的角叫做 HYPERLINK /view/476788.htm t _blank 弦切角。 如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有PCA=PBC(PCA為弦切角）。 2、弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角） 弦切角定理證明： 證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,連接BA并延長(zhǎng)交直線T于點(diǎn)P。 TCB=

29、90-OCB BOC=180-2OCB HYPERLINK /image/9864a23134b52ae25fdf0e04 o 查看圖片 t _blank 此圖證明的是弦切角TCB,BOC=2TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半） BOC=2CAB（圓心角等于圓周角的兩倍） TCB=CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是O的弦，AB是O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角BAC所夾的弧. 求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況： HYPERLINK /image/99636c0e82874aea7bcbe1b2 o 查看圖片 t _blank （1

30、）圓心O在BAC的一邊AC上 AC為直徑，AB切O于A， 弧CmA=弧CA 為半圓, CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角 HYPERLINK /image/d1571724866d0a0bd40742b2 o 查看圖片 t _blank B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)（2）圓心O在BAC的內(nèi)部. 過(guò)A作直徑AD交O于D, 若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E 那么，連接EC、ED、EA 則有：CED=CAD、DEA=DAB CEA=CAB （弦切角定理） HYPERLINK /image/9f6e19084f4d8210e92488b3 o 查看圖片 t _blank （3）圓心O在BAC的外部, 過(guò)A作直徑AD交

31、O于D 那么 CDA+CAD=CAB+CAD=90 CDA=CAB （弦切角定理） 3、弦切角推論:若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等 應(yīng)用舉例 HYPERLINK /image/4e83cb62504078fde7113ab3 o 查看圖片 t _blank 例1：如圖，在中，C=90，以AB為弦的O與AC相切于點(diǎn)A，CBA=60 , AB=a 求BC長(zhǎng). 解：連結(jié)OA，OB. 在中, C=90 BAC=30 BC=1/2a(中30角所對(duì)邊等于斜邊的一半） HYPERLINK /image/faacb5644039e5d0f73654b3 o 查看圖片 t _blank 例2：如圖，AD是ABC中BAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EFBC. 證明：連DF. AD是BAC的平分線BAD=DAC EFD=BAD EFD=DAC O切BC于D FDC=DAC EFD=FDC EFBC HYPERLINK /image/86d5bac25d684f3b0ef477b3 o 查看圖片 t _blank 例3：如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O直徑，CDAB于D，MN切O于C， 求證：AC平分MCD，BC平分NCD. 證明：AB是O直