《熱的解析理論》

1、熱的解析理論郭敦仁孫小禮北京大學(xué)傅立葉(Jean Baptiste Joseph Fourier,17681830 )是法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理 學(xué)家，1768年3月21日生于法國(guó)歐塞爾(Auxerre),1830年5月16日卒于 巴黎。著名的傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉積分是19世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，它深刻地影 響了 19世紀(jì)乃至20世紀(jì)的數(shù)學(xué)物理學(xué)以及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展，同時(shí)，人 們也公認(rèn)傅立葉的成果是極優(yōu)美的數(shù)學(xué)作品，被稱頌為一首數(shù)學(xué)的詩(shī)”。生平簡(jiǎn)述傅立葉出身平民，父親是位裁縫。9歲時(shí)雙親亡故，之后由教會(huì)送入鎮(zhèn)上的 軍校就讀，表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的特殊愛好。他還有志于參加炮兵或工程兵，但因他家 庭地位低貧而遭到拒

2、絕。后轉(zhuǎn)至巴黎，希望在更優(yōu)越的環(huán)境下追求他有興趣的研 究。可是法國(guó)大革命中斷了他的計(jì)劃，于1789年回到家鄉(xiāng)歐塞爾的母校執(zhí)教。 在大革命期間，傅立葉以熱心地方事務(wù)而知名，并因替當(dāng)時(shí)恐怖行為的受害者申 辯被捕入獄。出獄后，他曾就讀于巴黎師范學(xué)校(Ecole Normale)，雖為期甚 短卻給人留下深刻印象。1794年當(dāng)巴黎綜合技術(shù)學(xué)院Ecole Polytechnique) 成立時(shí)，他被任命為助教，協(xié)助拉格朗日(J L.Lagrange, 17361813)和蒙日 (G.Monge, 17461818 )從事數(shù)學(xué)教學(xué)。1898年，蒙日選派他跟隨拿破侖 遠(yuǎn)征埃及。在開羅，他擔(dān)任埃及研究院的秘書，并

3、從事許多外交活動(dòng)，但是，同 時(shí)他仍不斷地進(jìn)行個(gè)人的業(yè)余研究。1801年回到法國(guó)后，因拿破侖賞識(shí)他的行政才能，任命他為伊澤爾(Isere ) 地區(qū)首府格勒諾布爾(Grenoble )的高級(jí)官員，由于政績(jī)卓著，1808年拿破侖 又授予他男爵稱號(hào)。1815年，傅立葉終于在拿破侖百日王朝的尾期辭去爵位和 官職，毅然返回巴黎以期全力投入學(xué)術(shù)研究。1816年，傅立葉被選去重組科學(xué)院(Academie des Sciences )。初時(shí)因 怒其與拿破侖的關(guān)系而為路易十八所拒。后來，事情澄清，于1817年重新被任 命，其聲譽(yù)又隨之迅速上升。1822年，他被選為科學(xué)院的終身秘書(secre taire perp

4、etuel)這是極有權(quán)力的職位。1827年，他又被選為法蘭西學(xué)隗Acad emie Fran aise )院士；還被英國(guó)皇家學(xué)會(huì)選為外國(guó)會(huì)員。傅立葉一生為人正直，他曾對(duì)許多年輕的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家給予無(wú)私的支持和 真摯的鼓勵(lì)從而得到他們的忠誠(chéng)愛戴并成為他們的至交好友。傅立葉去世后， 在他的家鄉(xiāng)為他樹立了一座青銅塑像。20世紀(jì)以后，還以他的名字命名了一所 學(xué)校，以示人們對(duì)他的敬重和紀(jì)念。杰出的科學(xué)成就傅立葉的科學(xué)成就主要在于他對(duì)熱傳導(dǎo)問題的研究，以及他為推進(jìn)這一方面 的研究所弓1入的數(shù)學(xué)方法。早在遠(yuǎn)征埃及時(shí)，他就對(duì)熱傳導(dǎo)問題產(chǎn)生了濃厚的興 趣，不過主要的研究工作是在格勒諾布爾任職期間進(jìn)行的。1807

5、年，他向科學(xué) 院呈交了一篇很長(zhǎng)的論文，題為關(guān)于熱傳導(dǎo)的研究報(bào)告(Memoire sur la propagation de la chaleur),內(nèi)容是關(guān)于不連續(xù)的物質(zhì)和特殊形 狀的連續(xù)體(矩形的、環(huán)狀的、球狀的、柱狀的、棱柱形的)中的熱擴(kuò)散問題。 在論文的審閱人中，拉普拉斯、蒙日和拉克瓦(S.F.Lacroix,17651843 )都是 贊成、接受這篇論文的。但是遭到了拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì)，因?yàn)槲闹兴萌缦碌?三角級(jí)數(shù)(后來被稱為傅立葉級(jí)數(shù))f(x) = 12njn-nf(t)dt+1ncosrxjn-n f(t)cosrtdt+sinrxjn-nf(t)sinrtdt(2)表示某些物體的初

6、溫分布，這與拉格朗日自 己在18世紀(jì)50年代處理弦振動(dòng)問題時(shí)對(duì)三角級(jí)數(shù)的否定相矛盾。這篇文章因 此而未能發(fā)表。不過，在審查委員會(huì)給傅立葉的回信中，還是鼓勵(lì)他繼續(xù)鉆研， 并將研究結(jié)果嚴(yán)密化。為了推動(dòng)對(duì)熱擴(kuò)散問題的研究，科學(xué)院于1811年懸賞征求論文。傅立葉呈 交了一篇對(duì)其1807年的文章加以修改的論文，題目是固體中的熱運(yùn)動(dòng)理論 (Theorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides ),文中增加 了在無(wú)窮大物體中熱擴(kuò)散的新分析。但是在這一情形中，傅立葉原來所用的三角 級(jí)數(shù)因具有周期性而不能應(yīng)用，于是，傅立葉代之以如下的積分形式，后來被

7、稱 為傅立葉積分：nf(x) = j8-8f(t)dtj80cosq(x-t)dq.(3)這篇論文在競(jìng)爭(zhēng)中獲勝， 傅立葉獲得科學(xué)院于1812年頒發(fā)的獎(jiǎng)金。但是評(píng)委可能是由于拉格朗日的 堅(jiān)持仍從文章的嚴(yán)格性和普遍性上給予了批評(píng)，以致這篇論文又未能正式 發(fā)表。傅立葉認(rèn)為這是一種無(wú)理的非難，他決心將這篇論文的數(shù)學(xué)部分?jǐn)U充成為 本書。他終于完成了這部書：熱的解析理論(The orie analytique de la chaleur )o熱的解析理論是記載著傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉積分的誕生經(jīng)過的重要?dú)v史 文獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史，乃至科學(xué)史上被公認(rèn)為是一部劃時(shí)代的經(jīng)典性著作。傅立葉在 熱的解析理論這部著作中，寫進(jìn)了

8、他的差不多所有有關(guān)的工作，而且在此書 的各個(gè)版本中幾乎絲毫未加更動(dòng)。因此，把這些內(nèi)容聯(lián)系其他沒有發(fā)表的、為人 弓I述的、散見于各處的資料，貫串起來，就可以切實(shí)地概括他的全部研究成果， 以及他表述和處理問題的風(fēng)格。同時(shí)，通過這些材料，也可以看出，在某些關(guān)鍵 之處，傅立葉未能克服的困難和他失敗的原因。傅立葉成功建立的熱傳導(dǎo)方程可能是得益于畢奧(J.B.Biot, 17741862 ) 早先關(guān)于金屬條中的穩(wěn)定溫度的工作，畢奧區(qū)分了體內(nèi)傳導(dǎo)和體外輻射。但是畢 奧的分析，由于用了一個(gè)錯(cuò)誤的物理導(dǎo)熱模型而導(dǎo)出一不正確的方程。傅立葉的 三角級(jí)數(shù)展開的使人震驚之處在于，他表明一種似乎是矛盾的性質(zhì)：在一有限 區(qū)

9、間內(nèi)，完全不同的代數(shù)式之間的相等性。對(duì)于很廣泛的一類函數(shù)中的任何一個(gè) 函數(shù)，都可以相應(yīng)地造出一個(gè)三角級(jí)數(shù)，它在指定的區(qū)間內(nèi)具有與這函數(shù)相同的 值。作為一位數(shù)學(xué)家，傅立葉對(duì)于實(shí)際問題中的嚴(yán)格性的關(guān)心，不亞于除柯西和 阿貝爾以外的任何人，但他未能想到極限理論本身的重要意義。在對(duì)他1811年 獲獎(jiǎng)?wù)撐牡脑u(píng)議中，關(guān)于缺乏嚴(yán)格性和普遍性的批評(píng)，長(zhǎng)久以來是被誤解了。那 些批評(píng)，其動(dòng)機(jī)有許多是帶有政治成分的。傅立葉的機(jī)智在于分析力學(xué)方面。他 對(duì)分析技巧和符號(hào)表示極為精通，例如，定積分符號(hào)Jba就是他發(fā)明的。這種能 力，加上他的物理直觀力，使他的研究能夠獲得成功。在他之前，分析力學(xué)中出 現(xiàn)的主要方程常是非線性

10、的，所用解法都是專設(shè)的近似法。我國(guó)數(shù)學(xué)家、微分方 程方面的專家申又棖教授(19011978 )曾經(jīng)說：傅立葉的創(chuàng)造，是給各種 類型的偏微分方程(波動(dòng)方程、擴(kuò)散方程、拉普拉斯方程等)提供了一種統(tǒng)一的 求解方法，就好比從前在算術(shù)中解四則問題時(shí)各種難題有各種解法，而運(yùn)用 代數(shù)方程以后，就有了統(tǒng)一的簡(jiǎn)便的解法。”這個(gè)比喻，很好地形容出傅立葉的 方法在微分方程領(lǐng)域的重要意義和廣泛的實(shí)用價(jià)值。雖然傅立葉多年從事熱的物理理論的研究，但是他最初基于熱輻射現(xiàn)象方面 的貢獻(xiàn)卻未能長(zhǎng)久存在。他對(duì)他的理論的各種應(yīng)用都很關(guān)心，諸如對(duì)溫度計(jì)的作 用和房間供暖問題的分析，以及最重要的，對(duì)地球年齡下限首次作出的科學(xué)的 估算等

11、。傅立葉還把笛卡兒法則推廣到估計(jì)在一給定區(qū)間a,b內(nèi)f(x )的實(shí)根數(shù)， 并于1789年向科學(xué)院遞交了一篇文章，其中有他對(duì)自己的定理的證明，可惜文 章在巴黎那革命動(dòng)蕩的年代里丟失了。大約30年后這篇文章才得以發(fā)表。由于 傅立葉還有線性不等式的求解法和應(yīng)用方面的工作，以及他對(duì)這一問題的出眾的 理解，因而也被后人稱為線性規(guī)劃的先驅(qū)。對(duì)科學(xué)和哲學(xué)的深遠(yuǎn)影響綜觀傅立葉一生的學(xué)術(shù)成就，他最突出的貢獻(xiàn)就是他對(duì)熱傳導(dǎo)問題的研究和 新的普遍性數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造，這就為數(shù)學(xué)物理學(xué)的前進(jìn)開辟了廣闊的道路，極大 地推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，從而也有力地推動(dòng)了物理學(xué)的發(fā)展。傅立葉大膽地?cái)嘌裕喝我狻焙瘮?shù)(實(shí)際上是在有限區(qū)間上只

12、有有限個(gè)間斷點(diǎn) 的函數(shù))都可以展成三角級(jí)數(shù)，并且列舉大量函數(shù)和運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的三角 級(jí)數(shù)展開的普遍性，雖然他沒有給出明確的條件和嚴(yán)格的證明，但是畢竟由此開 創(chuàng)出傅立葉分析”這一重要的數(shù)學(xué)分支，拓廣了傳統(tǒng)的函數(shù)概念。傅立葉的工 作對(duì)純數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了如此深遠(yuǎn)的影響，這是傅立葉本人及其同時(shí)代人都難 以預(yù)料到的，而且，這種影響至今還在發(fā)展之中。傅立葉之所以能取得富有如此深刻內(nèi)容的成就，正如撰寫傅立葉傳記的兩位 作者所說，這只有賦有生動(dòng)的想象力和具有適合其工作的清醒的數(shù)學(xué)哲學(xué)頭腦的 數(shù)學(xué)大師才能達(dá)到。傅立葉有哲學(xué)頭腦，但他沒有寫出哲學(xué)著作。從傅立葉的著 作中，我們看到：他堅(jiān)信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的

13、最卓越的工具，并且認(rèn)為，“對(duì) 自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉”。這一見解已經(jīng)成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過 研究實(shí)際問題發(fā)展數(shù)學(xué)(包括應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué))的一派數(shù)學(xué)家的代表性格言。傅立葉的研究工作還弓|起了他的同時(shí)代的哲學(xué)家的重視，法國(guó)哲學(xué)家、實(shí)證 主義的創(chuàng)始人孔德(A.Comte,17981857 )在實(shí)證哲學(xué)教程(1842 )中， 把牛頓的力學(xué)理論和傅立葉的熱傳導(dǎo)理論都看做是實(shí)證主義基本觀點(diǎn)在科學(xué)中 的重要印證。而辯證唯物主義哲學(xué)家恩格斯(F.Engels,18201895 )則把傅立 葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾的辯證法相提并論，他曾寫道：“傅 立葉是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，黑格爾是一首辯證法的

14、詩(shī)。”參考文獻(xiàn)1. J.Fourier, The Analytical Theory of Heat, translated with notes by Alex ander Freeman, Dover Publication, Inc.1955.2. Fourier, Jean Baptiste Joseph,(written by J.R.Ravetz & I.GrattanGuinness), in C.C.Gillispie, Dictionary of Scientific Biography, vol. V, Princ eton University Press,1972.3.

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