數(shù)值分析中南韓旭里126講課件第一章緒論1

1、1.2 誤差總結(jié)1.2.4 計算機中數(shù)的表示和舍入誤差1.2.3 函數(shù)求值的誤差估計1.2.2 誤差與有效數(shù)字 1.2.1 誤差的來源與分類1.2 誤差 /* Error */學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握誤差和有效數(shù)字、以及算法的數(shù)值穩(wěn)定性等概念；重點是有效數(shù)字與相對誤差的關(guān)系。1.2.1 誤差的來源與分類/* Source & Classification */ 誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有，如在做熱力學(xué)實驗中，從溫度計上讀出的溫度是23.4度，就不是一個精確的值，而是含有誤差的近似值。又如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都含有誤差。 從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差 /* Mod

2、eling Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差 /* Measurement Error */ 求近似解 方法誤差 (截斷誤差 Truncation Error） 機器字長有限 舍入誤差 /* Roundoff Error */用數(shù)學(xué)方法解決一個具體的實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實際問題進行抽象、簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實而建立起來的有關(guān)量的描述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實際問題的真解不同實際問題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實際條件有別(1). 模型誤差在數(shù)學(xué)模型中通常包含

3、各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差.數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得到的.由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差.根據(jù)實際情況可以得到誤差上下界.數(shù)值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng).(2). 觀測誤差數(shù)值運算的一個特點是： 參與運算的數(shù)必須是有限位的，而且位數(shù)往往是預(yù)先規(guī)定的（如在計算機高級語言中，單精度實數(shù)為67位有效數(shù)字）。如果運算的數(shù)是無限位的或超過規(guī)定，那么要用“四舍五入”規(guī)則或“截斷”規(guī)則，將它們處理成規(guī)定的位數(shù)。所謂“

4、截斷”規(guī)則就是：將超過規(guī)定位數(shù)的部分無條件地去掉。這樣 取4 位小數(shù)，就為3.1415。精確公式用近似公式代替時,所產(chǎn)生的誤差叫截斷誤差.例如, 函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項式 (3). 截斷誤差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是 截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算 工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差.例如，對函數(shù)當(dāng) |x| 較小時，我們?nèi)粲们叭椬鳛閟inx的近似值，則截斷誤差的絕對值不超過 . 有的計算機是采用“截斷”規(guī)則的, 但大多數(shù)計算機是采用“四舍五入”規(guī)則處理舍棄位數(shù)的。在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進行運算.需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果

5、作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理.用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差.(4). 舍入誤差“四舍五入”規(guī)則:四舍六入五成雙 所謂“四舍五入”規(guī)則就是：將超過規(guī)定位數(shù)的部分按下列原則去掉：(1)如果舍棄的部分小于保留數(shù)的最后一位的單位的1/2，那么保留的數(shù)不變。 例如=3.1415926 ，如果取兩位小數(shù)，那么保留數(shù)的最后一位單位是10-2 ，舍棄部分是0.1592610-2 ，小于0.5 10-2 ，因此取為3.14;(2)如果舍棄的部分大于所保留數(shù)的最后一位單位的1/2，那么將保留數(shù)最后一位數(shù)字加1。 例如限制取4位小數(shù)，最后一位單位為

6、10-4，但去掉的部分是0.926 10-4，大于0.5 10-4 ，因此取成3.1416;(3)如果舍棄的部分恰等于所保留數(shù)的最后一位單位的1/2，此時如果保留的數(shù)最后一位是奇數(shù)，那么加1成偶數(shù)；如果保留的數(shù)最后一位是偶數(shù)，則就不動了。例如：取2位小數(shù)，0.675成0.68，而0.605成0.60。 上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析.1.2.2 誤差與有效數(shù)字 (Error and Significant Digits)定義 1.1 設(shè) 是某實數(shù)的精確值， 是它的一個近似值，則稱 為近似值 的

7、絕對誤差.（xA有時也可記作x*） 絕對誤差 /* absolute error */ 絕對誤差界（限） 由于精確值一般是未知的,因而絕對誤差不能求出來, 但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設(shè)法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。 定義1.2 設(shè) 是某實值的精確值， 是它的一個近似值，并可對 的絕對誤差作估計 , 則稱 是 的絕對誤差界(限)。例1 設(shè)=3.1415926 近似值A(chǔ)=3.14,它的絕對誤差是0.0015926，有 - A =0.0015926 0.002=0.210-2可見，絕對誤差限A不是唯一的，但A越小越好,絕對誤差限都不超過末尾數(shù)字的半個單位。例2 又近似值A(chǔ)

8、 =3.1416，它的絕對誤差是0.0000074，有| - A |=0.0000074 0.000008=0.810-5例3 而近似值A(chǔ) =3.1415，它的絕對誤差是0.0000926，有 | - A |= =0.0000926 0.0001=0.110-3相對誤差 /* relative error */ 相對誤差界（限） 只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個錯一個,乙打字每1000個錯一個,他們的誤差都是錯一個,但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。稱為xA的相對誤差。當(dāng) 時，相對誤差沒有意義。在實際計算中，精確值 往往是不知道的，所

9、以通常把 作為 的相對誤差。稱R為 的相對誤差限。定義1.3 絕對誤差與精確值x的比值例4解但 是 的一個好的近似， 不是 的好的近似.結(jié)論?俗稱“好壞”、“多少”是相對的絕對誤差 是一個無量綱的數(shù) 近似數(shù)的相對誤差是近似數(shù)精確度的基本度量, 一個近似數(shù) 的相對誤差越小，則近似數(shù)越精確。結(jié)論 通常將 作為 的相對誤差。解 因為實際問題中所截取的近似數(shù)，其絕對誤差界一般不超過最小刻度的半個單位，所以當(dāng) 時，有 ，其相對誤差界為例5 測量一木板長是954cm，問測量的相對誤差界是是多大？有效數(shù)字（significant digits）1.定義：如果絕對誤差限 ，則稱近似數(shù)xA 準(zhǔn)確到了n位小數(shù)，該

10、數(shù)位到第一個非零數(shù)字的所有數(shù)位叫做該近似數(shù)的有效數(shù)位，有效數(shù)位上的數(shù)字叫做有效數(shù)字。問： 有幾位有效數(shù)字？請證明你的結(jié)論。例6 精確到小數(shù)點后第 4 位, 有5位有效數(shù)字. 2.有效數(shù)字的等價定義用十進制科學(xué)計數(shù)法，記則稱 為 的具有 位有效數(shù)字的近似值。通常在 的準(zhǔn)確值已知的情況下，若要取有限位數(shù)的數(shù)字作為近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其絕對誤差界可以取被保留的最后數(shù)位上的半個單位。例7. 3.142作為的近似值時有幾位有效數(shù)字解： 3.141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 k = 1 |-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 | 0.000

11、041 0.0005= k n =1n = 3 所以 n =4，具有4位有效數(shù)字k-n=-2,即 n =3 , 3位有效數(shù)字，k-n=-4 , 即 n =5 , 5位有效數(shù)字練習(xí)有效數(shù)字的位數(shù)不能僅考慮1位有效數(shù)字，即n =15位有效數(shù)字，即n=5但例8最多有5位有效數(shù)字顯然，近似值的有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差越小，反之也對。下面，我們給出相對誤差界與有效數(shù)字的關(guān)系。 定理 設(shè) 的近似值 有（1.2.1）的表達式。（1）如果 有 位有效數(shù)字，則（1.2.2）則 至少具 位有效數(shù)字。（2）如果（1.2.3）有效數(shù)字的位數(shù)估計相對誤差限有效數(shù)字的位數(shù)越多，相對誤差限就越小相對誤差限估計有效數(shù)字的位

12、數(shù)相對誤差限越小，有效數(shù)字的位數(shù)就越多3. 有效數(shù)字與相對誤差之間的關(guān)系證 由（1.2.1）可得到（1.2.4）所以，當(dāng) 有 位有效數(shù)字時，即（1.2.2）得證。 定理 設(shè) 的近似值 有（1.2.1）的表達式。（1）如果 有 位有效數(shù)字，則（1.2.2）由（1.2.3）和（1.2.4）有 即說明 有 位有效數(shù)字，（2）得證。證 定理 設(shè) 的近似值 有（1.2.1）的表達式。則 至少具 位有效數(shù)字。（2）如果（1.2.3）例9 取3.14作為的四舍五入的近似值時，求其相對誤差。解：3.14=0.314 101 a1=3 k=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字 n=3 R=(1/2a1 )1

13、0-(n-1) =(1/2*3) 10-2=17%例10 已知近似數(shù)xA有兩位有效數(shù)字，試求其相 對誤差限.解：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字 n=3 R=(1/2a1 )10-(n-1) =(1/2*3) 10-2=17%xA的第一位有效數(shù)字a1沒有給出，可進行如下討論：當(dāng) a1=1 R=1/2a1 10-1=1/2*1 10-1=5% a1=9 R=1/2a1 10-1=1/2*9 10-1=0.56%取 a1=1 時相對誤差為最大，即 5% 例11 已知近似數(shù) 的相對誤差界為0.3%，問 至少有幾位有效數(shù)字？ 解 設(shè) 有 位有效數(shù)字，

14、由于 的第一個有效數(shù) 沒有具體給定，而我們知道 一定是1，2， ，9中的一個，由故由（1.2.3）式知 =2，即 至少有2位有效數(shù)字。Ax 注意: 已知有效數(shù)字,求相對誤差用公式 已知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式 1.2.3 函數(shù)求值的誤差估計 對一元函數(shù) , 自變量x的一個近似值為 ，以 近似 ，其誤差界記作 。若 具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由Taylor展開式其中 可以得到函數(shù)值的一個近似誤差界： 對n元函數(shù) ，自變量 的近似值分別為 ，則有特別地，對 有同樣，可以得到解 這里 并且有 于是有誤差界相對誤差界 例13 設(shè)有長為 ,寬為 的某場地?，F(xiàn)測得 的近似值 M,d 的近似值 =90M，并

15、已知它們的差界為 試估計該場地面積 的誤差界和相對誤差界。例14 設(shè)有三個近似數(shù)它們都有三位有效數(shù)字。試計算 的誤差界，并問 的計算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？ 解 于是有誤差界 相對誤差界因為 所以 能有兩位有效數(shù)字。1.2.4 計算機中數(shù)的表示和舍入誤差 任意一個非零實數(shù)用（1.2.1）表示，是規(guī)格化的十進制科學(xué)記數(shù)方法。在計算機中通常采用二進制的數(shù)系（或其變形的十六進制等），并且表示成與十進制類似的規(guī)格化形式，即浮點形式 這里整數(shù)m稱為階碼，用二進制表示為 或1 , S是階的位數(shù)。小數(shù) 稱為尾數(shù)，其中 或 t是尾數(shù)部位的位數(shù)。S和t與具體的機器有關(guān)。由于計算機的字長總是有限位的，所以計算機所能表示的數(shù)系是一個特殊的離散集合，此集合的數(shù)稱為機器數(shù)。十進制輸