曲線曲面基本理論課件

1、曲線曲面基本理論1圖形的計算機表示圖形的計算機表示是形狀信息計算機表示、分析和綜合的核心。即：要解決既適合計算機處理，且有效地滿足形狀表示與幾何設計的要求，又便于形狀信息傳遞和數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學方法。形狀數(shù)學描述應保留對象形狀的盡可能多的性質(zhì)。圖形表示問題 形狀描述要求參數(shù)化表示離散點表示2形狀數(shù)學描述的要求從計算機對形狀的處理、便于形狀信息傳遞與數(shù)據(jù)交換的角度來看應滿足如下要求：唯一性：由已給定的有限信息決定形狀應是唯一的。幾何不變性：形狀相對位置確定后，形狀應不隨所取的坐標系改變而改變。易于定界：容易界定參變量取值范圍。統(tǒng)一性：能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況，包括各種特殊情況。即：

2、既能表示自由型曲線曲面，又能表示初等解析曲線曲面。計算處理簡便易行。具有豐富的表達能力與靈活地響應的能力。易于實現(xiàn)連接，且在許多場合要求的光滑連接。易于實現(xiàn)對形狀的控制，既具有整體控制的能力，又具有局部控制的能力。具有較大的控制的靈活性。幾何直觀，幾何意義明顯。圖形表示問題 形狀描述要求參數(shù)化表示離散點表示3曲線曲面參數(shù)化表示問題曲線和曲面可由給定數(shù)學函數(shù)生成，曲線和曲面的函數(shù)方程能表示為參數(shù)形式或非參數(shù)形式。對計算機圖形應用而言，參數(shù)表示一般更方便些。 曲線曲面的參數(shù)化給定一個具體的單參數(shù)的矢函數(shù)，并據(jù)此給出一個具體的參數(shù)曲線曲面方程。既決定了所表示曲線曲面的形狀；也決定了該曲線曲面上的點與

3、其參數(shù)域內(nèi)的點(即參數(shù)值)之間的一種對應關系。在曲線曲面理論中，所要考察的在于兩個方面：曲線曲面的整體，而不是組成這個整體的各個分量；曲線曲面上點之間的相對位置關系，而不是它們與所取坐標系之間的相對位置關系。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示4曲線參數(shù)化概念空間曲線上一點P的每個坐標被表示為某個參數(shù)u的函數(shù)： x=x(u), y=y(u), z=z(u)，位置矢量：三個坐標分量就組成曲線上該點的位置矢量，曲線就可表示為參數(shù)u的矢函數(shù)： P(u)=(x(u),y(u),z(u)。參數(shù)區(qū)間：

4、描述形狀的參數(shù)曲線總是有界的，可以方便地用參數(shù)區(qū)間表示： uu1,u2，或u1uu2。參數(shù)曲線里的參數(shù)可能具有某種幾何意義，如：圓參數(shù)方程P()=(rcos,rsin)(0/2)中的參數(shù)；參數(shù)曲線里的參數(shù)也可能無任何幾何意義，如：三次多項式方程x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx(0u1)中的參數(shù)u。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示5曲線參數(shù)化方法對于標量顯函數(shù)方程如y=y(x)，只需：將其中變量換成參數(shù)u；將函數(shù)值y換成位置矢量P(u)；將標量系數(shù)相應換成為系數(shù)矢量；各階導數(shù)d

5、(k)y/dxk換成導數(shù)矢量d(k)P(u)/duk。由于在許多參數(shù)形式之前就存在相應的非參數(shù)形式(如：三次樣條曲線有三次樣條函數(shù)，Bzier曲線有Bernstein基函數(shù)等)，所以，這種對應關系與替換絕非是等價的。而對于非參數(shù)形式下的隱方程，則可轉(zhuǎn)換成等價的參數(shù)形式，只需把所含各坐標都分別表示成某一參數(shù)的函數(shù)，使它們適合于該隱式方程。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示6曲線參數(shù)化：對應關系曲線形狀確定后，曲線上的點與參數(shù)域內(nèi)的點的對應關系是指：曲線上點沿曲線弧長的分布情況與點的參數(shù)值在

6、參數(shù)域的分布情況之間對應。這種對應關系與參數(shù)選取有關：僅在曲線取自身弧長或弧長的線性函數(shù)為參數(shù)時，參數(shù)域內(nèi)線段長度之比才等于曲線上對應曲線段弧長之比。P(u2)P(u1)P(u)uuu1u2u在正常情況下，曲線上參數(shù)為u 的點P(u)與參數(shù)u軸上定義域內(nèi)的點一一對應。凡在曲線上這種映射關系不成立的點稱為奇點。曲線的自交點，即重點對應兩個參數(shù)值就是奇點。同一條曲線的參數(shù)化不是唯一的：差別：曲線上點與參數(shù)域內(nèi)的點之間的對應關系不同。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示7曲線的參數(shù)化：性質(zhì)曲線上

7、的點是參數(shù)u的矢函數(shù)。曲線對參數(shù)u求導數(shù)等于其各分量對參數(shù)u求導，其結(jié)果為一矢量，稱為導矢；一階導矢稱為切矢。切矢以及各階導矢都是相對矢量，可在空間內(nèi)任意平移。曲線上切矢為非零矢量的點稱為正則點。若曲線在其參數(shù)域內(nèi)處處切矢為非零矢量，則稱該參數(shù)化為正則的，所定義的曲線稱為正則曲線。曲線采用參數(shù)表示后，就有了方向。曲線的方向?qū)谇€上參數(shù)增加的方向。曲線在一點的方向就是曲線在該點的切矢方向。若曲線某點的切矢為零向量，則該點的方向可由在該點處的最低階的非零導矢的方向決定。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何

8、不變性離散點表示8給定一個具體的曲面的方程，稱之為給定了一個曲面的參數(shù)化。它既決定了所表示曲面的形狀，也決定了該曲面上的點與其參數(shù)域內(nèi)的點之間的一種對應關系。曲面的參數(shù)化：概念曲面可表示為參數(shù)u、v的矢函數(shù)P=P(u,v)描述。曲面的范圍常用兩個參數(shù)的變化區(qū)間所表示的uv參數(shù)平面上的一個矩形區(qū)域：u1uu2、v1vv2給出。 這樣就相應得到具有四條邊界的曲面即矩形曲面。也可定義在uv參數(shù)平面的某一區(qū)域上，用u,v給出。正常情況下，參數(shù)域內(nèi)的點與曲面上的點構(gòu)成一一對應的映射關系。曲面上這種映射關系不成立的點為曲面的奇點。u1uu2v2v1v(u,v)P(u,v)uv圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參

9、數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示9曲面的參數(shù)化：性質(zhì)曲面的參數(shù)化不是唯一的。參數(shù)曲面上存在兩簇等參數(shù)線：一簇u線和一簇v線：固定uv兩參數(shù)中的一個(u=u0或v=v0)而使曲面方程成為單參數(shù)P=P(u0,v)或P=P(u,v0)的矢函數(shù)，表示曲面上一條以v或u為參數(shù)的曲線(u線或v線)。曲面上任一點處總有一個u向切矢pu(u線關于u的偏導矢)和一個v向切矢pv(v線關于v的偏導矢)。若該點處兩個切矢不平行，即pupv0的點稱為曲面的正則點。曲面上pupv=0的點是曲面上的一種奇點。這種奇點與曲線上一階導矢為零矢量的

10、奇點不同：前者有可能因兩非零導矢平行或退化邊引起，就可由重新參數(shù)化(參數(shù)變換)消除；后者由曲線的重新參數(shù)化可能消除不了。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示10參數(shù)表示的優(yōu)點與非參數(shù)相比，參數(shù)方法具有優(yōu)點：幾何不變性：總是能選取那些具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式，且能通過某種變換處理使某些不具有幾何不變性的形式具有幾何不變性。易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。易于表示空間曲線。易執(zhí)行仿射變換和投影變換。易于計算曲線、曲面上的點及其它信息。易于處理多值問題。易于處理無窮大斜率。便于曲線的分段、

11、分片描述。提供對曲線、曲面形狀控制的較多自由度。為向高維問題推廣提供了可能性。隱式方程在曲線和曲面上點相對位置的判斷和求交方面具有優(yōu)勢。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示11曲線曲面的基表示曲線曲面可由某一組基函數(shù)及其相聯(lián)系的系數(shù)矢量來給出：ai為系數(shù)矢量；p()與i()根據(jù)曲線和曲面而有所不同：對于曲線，p()與i()分別為單參數(shù)的矢函數(shù)及以該參數(shù)為變量的基函數(shù)；對于曲面，p()與i()分別為雙參數(shù)的矢函數(shù)及其以雙參數(shù)為變量的基函數(shù)；上式稱為曲線曲面的基表示。表示曲線、曲面的數(shù)學方法不

12、同就表現(xiàn)在所采用的基函數(shù)不同?；瘮?shù)一旦決定，系數(shù)矢量也就完全定義了曲線、曲面。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示12基表示的幾何不變性按照所采用基函數(shù)的規(guī)范程度，基表示可分為三種類型：規(guī)范基表示：曲線或曲面上的整體滿足柯西條件：例如：線性插值：P(u)=(1-u)P0+uP1。部分規(guī)范基表示：曲線或曲面上的部分段(片)滿足：例如：P(u)=a0+a1u。非規(guī)范基表示：除了上述兩種以外的情況。例如：P(u)=(1-u)2P0+u2P1。曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標系選擇，

13、或者說在旋轉(zhuǎn)與平移變換下不變的性質(zhì)。規(guī)范基和部分規(guī)范基表示具有幾何不變性；而非規(guī)范基表示不具有幾何不變性。圖形表示問題參數(shù)化表示 曲線參數(shù)化 參數(shù)化方法 對應關系 參數(shù)化性質(zhì) 曲面參數(shù)化 參數(shù)化性質(zhì) 參數(shù)化的優(yōu)點 參數(shù)化基表示 幾何不變性離散點表示13曲線曲面的離散點表示曲線和曲面可由給定數(shù)學函數(shù)生成，或由用戶給定一組數(shù)據(jù)點生成。數(shù)學函數(shù)：規(guī)則曲線和規(guī)則曲面：圓、拋物線、螺旋線等曲線和球、圓柱、圓錐等曲面都不難用數(shù)學方程式表示出來，這類曲線和曲面分別稱為規(guī)則曲線和規(guī)則曲面。數(shù)據(jù)點：自由曲線和自由曲面：曲線和曲面的形狀相當自由又不規(guī)則，如飛機機翼、汽車車身、人體外形、卡通形象等，很難用數(shù)學式表示

14、，這樣的曲線和曲面分別稱為自由曲線和自由曲面。當用離散坐標點來指定物體形狀時，則要根據(jù)應用要求得到最貼近這些點的函數(shù)式描述。樣條是這類曲線和曲面的范例。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型14離散點擬合曲線和曲面的方式自由曲線和自由曲面一般通過少數(shù)分散的點生成，這些點叫做“型值點”、“樣本點”或“控制點”。要根據(jù)應用要求得到最貼近這些點的函數(shù)式描述。這種情況稱為“曲線曲面的擬合”在進行曲線曲面擬合時，一般遇到以下三種情況：插值：利用一些數(shù)學方法是曲線曲面按要求通過已知的點，而且具有一定的光滑流暢程度。逼近：曲線曲面不

15、一定通過給定的點，但是靠近各點，每個點對曲線曲面都有某種看不見的吸引力。設計：已知的點太少，需要根據(jù)實際情況增加一些控制點，然后用上述兩種方法之一生成曲線曲面。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型15參數(shù)樣條曲線參數(shù)樣條曲線可從“參數(shù)”和“樣條”這兩個意思上去理解。參數(shù)是指曲線方程中使用的自變量，當它在某個范圍內(nèi)改變時，對應坐標點在曲線上移動?！皡?shù)曲線”是指用參數(shù)作為自變量的函數(shù)曲線，有時使用參數(shù)曲線可簡化矢量表示形式。例如，直線段的矢量形式為： P(t)=(1-t)P0+tP1；其參數(shù)形式可抽象為： P(t)=0

16、(t)P0+1(t)P1，式中：1(t)為(1-t)，1(t)為t。1(t)和1(t)叫做“混合函數(shù)”、“權(quán)函數(shù)”或“基函數(shù)”， 它們表示隨著t從0到1變化，P0和P1對整個線段所作的貢獻。t0=1-t1=tt圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型16樣條曲線的概念在繪圖術(shù)語中，樣條是通過一組指定點集來生成平滑曲線的柔性帶。樣條原指一種繪圖工具，它用柔軟細長的彈性木條或金屬條構(gòu)成。繪圖員可使之彎曲變形，以便通過若干已知的數(shù)據(jù)點，然后用鉛筆

17、順著它將曲線繪出。實際上，曲線繪制時，幾個小的“權(quán)重”沿“柔性鋼條” 長度分配，并固定在繪圖位置上繪制的曲線。數(shù)學中的樣條含意是指模仿上述過程的一種的數(shù)學方法，用這種方法生成的曲線叫做“樣條曲線”：樣條曲線通常有多段低次曲線段構(gòu)成，用分段多項式函數(shù)來描述，其連接處有連續(xù)的一次和二次導數(shù) 。 其中三次樣條曲線段最為常見：所謂三次是指曲線用多項式表示時，多項式中冪的最高次數(shù)是3。參數(shù)樣條曲面通過用兩個參數(shù)對樣條曲線的推廣獲得。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次

18、插值樣條 插值樣條類型17樣條曲線的應用在計算機圖形學中，樣條曲線指由多項式曲線段連接而成的曲線。在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。樣條曲面可用兩組正交樣條曲線來描述。在圖形學應用中使用幾個不同的樣條描述每種描述是一個帶有某特定邊界條件多項式的特殊類型。用來設計曲線和曲面形狀；用來對圖形數(shù)字化以便存入計算機；用來標識場景中物體或攝影的動畫途徑。樣條曲線由控制點定義、建模和管理?？刂泣c給出曲線的大致形狀。通過交互選擇控制點空間位置，經(jīng)多項式擬合后可顯示初始曲線。設計者可重定位部分或全部控制點以重建曲線的形狀，通過對控制點進行變換，可平移、旋轉(zhuǎn)或縮放曲線。CAD軟件包可插入另外的控制點來調(diào)整曲線形狀

19、。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型18參數(shù)樣條分類：插值和逼近根據(jù)控制點選取分段連續(xù)多項式函數(shù)：若選取的多項式使所得曲線通過每個控制點，則所得曲線稱為這組控制點的插值樣條曲線；插值曲線常用于繪圖或動畫設計，若多項式選取使得曲線不一定通過每個控制點，所得曲線稱為這組控制點的逼近樣條曲線。逼近曲線一般用來構(gòu)造物體表面。插值與逼近樣條圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條

20、曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型19參數(shù)樣條性質(zhì)包圍一組控制點的凸多邊形邊界稱為凸包。凸包提供曲線或曲面與圍繞控制點區(qū)域間偏差的測量。凸包內(nèi)部的多邊形區(qū)域也可用于裁剪等算法。對于逼近樣條，連接有一定次序控制點的直線序列通常稱作曲線的控制圖或控制多邊形和特征多邊形。設計時，控制多邊形通常顯示以提醒設計者控制點的次序。樣條曲線凸包控制多邊形圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型20參數(shù)

21、樣條的統(tǒng)一表示方法假設沿樣條段路徑有下列關于x坐標的三次參數(shù)多項式表示：x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx，(0u1)(1)曲線的邊界條件可設為：端點坐標和端點處的一階導數(shù)。這四個邊界條件是決定系數(shù)ax、bx、cx和dx值的充分條件。根據(jù)邊界條件，將方程(1)寫為矩形乘積形式： x(u)=u3 u2 u 1ax bx cx dxT=UC(2)U是參數(shù)u冪次行矩陣，C是系數(shù)列矩陣。運用方程(2)可寫出矩陣形式的邊界條件，并求得系數(shù)矩陣： C=MsplineMgeom (3)Mgeom是包含樣條幾何約束值(邊界條件)的4元素列矩陣包含控制點的坐標值和其它已被指定的幾何約束。Mspline是

22、44矩陣，它將幾何約束值轉(zhuǎn)化成多項式系數(shù)且提供樣條曲線特征，有時稱基本矩陣，對樣條表示間的轉(zhuǎn)換特別有用。這樣，方程(2)可表示為： x(u)=UMsplineMgeom (4)圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型21參數(shù)樣條基函數(shù)表示方法擴展方程(4)可得到關于坐標x的幾何約束參數(shù)多項式表示： ai是約束參數(shù)，如控制點坐標和控制點處的曲線斜率；i(u)是多項式混合函數(shù)或基函數(shù)。有三個等價方法來計算特定樣條曲線路徑位置的混合函數(shù)或基函數(shù)：

23、列出一組加在樣條上的邊界條件；列出刻劃樣條特征的行列式；列出確定如何組合指定的曲線幾何約束。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條曲線概念 樣條曲線應用 樣條曲線分類 參數(shù)樣條性質(zhì) 樣條統(tǒng)一表示 樣條基函數(shù) 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條類型22參數(shù)樣條的連接性質(zhì)通常，曲線曲面都是由多個曲線段或曲面片構(gòu)成。為保證分段參數(shù)曲線從一段到另一段平滑過渡，可在連接點處要求各種連續(xù)性條件。曲線曲面連接的連續(xù)性類型參數(shù)連續(xù)性；幾何連續(xù)性。(a)(b)P3,0P0,3P0,1P0,0P0,2P1,3P1,1P1,0P1,2P2,3P2,1P2,0P2,2P3,3

24、P3,1P3,2圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型23參數(shù)連續(xù)性條件參數(shù)連續(xù)性是通過在曲線段公共部分匹配參數(shù)導數(shù)來建立的。0階參數(shù)連續(xù)性：記作C連續(xù)，是指曲線相連，即第一個曲線段在u2處的x、y、z值與第二個曲線段在u1處的x、y、z值相等；一階參數(shù)連續(xù)：即C1連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導數(shù)(切線)。二階參數(shù)連續(xù)性：即C2連續(xù)性，是指兩個曲線段在交點處有相同的一階和二階導數(shù)；高階參數(shù)連續(xù)性可類似定義。(a)(b)

25、(c)圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型24參數(shù)連續(xù)性應用連續(xù)性性質(zhì)與應用對二階連續(xù)性，交點處的切向量變化率相等，這樣，切線從一個曲線段平滑地變化到另一個曲線段。二階連續(xù)性對電影中的動畫途徑和很多精密CAD需求有用。但對一階連續(xù)性，兩段的切向量變化率可能會不同，因此兩個相連曲線段總的形狀會有突變。一階連續(xù)性對數(shù)字化繪畫及一些設計應用已經(jīng)足夠。(a)(b)(c)圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性

26、質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型25幾何連續(xù)性條件幾何連續(xù)性條件只需兩曲線段在相交處的參數(shù)導數(shù)成比例而不是相等。0階幾何連續(xù)性，記為G0，與0階參數(shù)連續(xù)性相同，即兩個曲線段必在公共點處有相同的坐標；一階幾何連續(xù)性，記為G1連續(xù)性，指一階導數(shù)在兩個相鄰段的交點處成比例。G1連續(xù)下，相鄰曲線段在交點處切向量的大小不一定相等。二階幾何連續(xù)性，記為G2，指兩個曲線段在相交處其一次和二次導數(shù)均成比例。簡稱曲率連續(xù)。G2連續(xù)性下，兩個曲線段在交點處的曲率相等。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣

27、條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型26幾何連續(xù)性和參數(shù)連續(xù)性比較生成帶有幾何連續(xù)條件的曲線與生成帶有參數(shù)連續(xù)條件的曲線有一些類似，但二者曲線形狀有點差別。對幾何連續(xù)性，曲線彎向較大的切向量。在函數(shù)曲線中，參數(shù)連續(xù)性(可微性)與幾何連續(xù)性(光滑度G2)是一致的；在參數(shù)曲線里，僅當曲線為正則時，這種一致性保持成立。三個控制點擬合成兩曲線段并帶有(a)參數(shù)連續(xù)性；(b)幾何連續(xù)性。其中曲線C3上P1點處的切向量值比曲線C1上P1點處的切向量值大。P1P0P2C1C2(a)P1c1= P1c2P1P0P2C1C3(b)P1c

28、1 P1c3圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型27曲線曲面的光順性準則光順性(smoothness或fairness)是曲線曲面中很普遍又很重要的概念。目前關于光順性的準則存在不同的提法，缺乏統(tǒng)一的判據(jù)。過同一數(shù)據(jù)點且具有相同邊界幾何約束的兩條平面插值曲線相對光順性的四項判據(jù)或準則：二階幾何連續(xù)(G2連續(xù))；不存在奇點與多余的拐點；曲率變化較??；應變能較小。邊界幾何約束是指邊界條件中與參數(shù)無關的幾何信息，如：切線方向與曲率，不包括與參數(shù)有關的

29、那些信息，如切矢模長。之所以要求幾何連續(xù)而不是參數(shù)連續(xù)參數(shù)連續(xù)不一定能保證切線方向與曲率連續(xù)。這是參數(shù)曲線與函數(shù)曲線的明顯不同之處。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型28曲線曲面的光順性應用目前曲線曲面的光順性大多是由相對曲率隨弧長變化的圖形即曲率圖來衡量的：一條曲線是光順的，如果它的曲率圖是連續(xù)的且僅由一些單調(diào)段組成。對于插值曲線，光順法通常是指通過修改數(shù)據(jù)點以使生成的插值曲線或曲面光順性得到改善的方法：這種方法是以參數(shù)連續(xù)性為基礎的，以犧

30、牲所謂“壞點”的位置精度，來換取曲線曲面的光順性的改善。幾何連續(xù)性將曲線的光順變成利用所提供的形狀參數(shù)對曲線進行形狀控制。除非特別需要，它無需調(diào)整數(shù)據(jù)點，這為光順性問題的解決提供了豁然洞開的境地。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 參數(shù)連續(xù)性 參數(shù)連續(xù)應用 幾何連續(xù)性 連續(xù)性比較 光順性準則 光順性應用 三次插值樣條 插值樣條類型29三次插值樣條曲線插值樣條大多用來建立物體運動路徑或提供實體表示和繪畫，有時也用來設計物體形狀。三次多項式在靈活性和計算速度之間提供了一個合理的折衷方案：與更高次多項式相比，三次樣條只需較少的計算和存儲且較穩(wěn)定；與

31、低次多項式相比，三次樣條在模擬任意曲線形狀時顯得更靈活。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型30三次插值樣條生成方法基本思想：給出一組控制點，可得到通過每個控制點的分段三次多項式曲線的三次插值樣條。假設有n+1個控制點，坐標分別為： Pk=(xk,yk,zk)，k=0,1,2,n。用下列方程組來描述擬合每

32、對控制點的參數(shù)三次多項式： x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx； y(u)=ayu3+byu2+cyu+dy； z(u)=azu3+bzu2+czu+dz。 這三個方程中的每一個都必須定出多項式中的四個系數(shù)a,b,c,d值，n+1個控制點產(chǎn)生n個曲線段，每一段都有上述問題，需確定4n個多項式系數(shù)。通過在二個曲線段交點處設置足夠的邊界條件(不同生成方法)，可得到所有系數(shù)值。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù)

33、Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型31自然三次插值樣條自然三次樣條具有C2連續(xù)性，用公式表示時需要兩個相鄰曲線段在公共邊界處有相同的一階和二階導數(shù)。每一個內(nèi)控制點(P0和Pn之外的n-1個)有四個邊界條件：在該控制點兩側(cè)的兩個曲線段在該點處有相同的一階和二階導數(shù)；(2n-2個方程)兩個曲線段都要通過該點。(2n-2個方程)這給出了由4n個多項式系數(shù)組成的4n-4個方程；再給出從控制點P0(曲線起點) 和從控制點Pn(曲線終點)所得的兩個方程；最后增加二個條件：設P0和Pn處的二階導數(shù)為0。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲

34、面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型32自然三次插值樣條另一方法是：在控制點序列的兩端增加二個“隱含”控制點，即：增加P-1和Pn+1控制點，使原來所有控制點都成了內(nèi)點，有所需的4n個邊界條件。盡管自然三次樣條是繪圖樣條的一個數(shù)學模型，但它有一個主要缺點：如果控制點中的任一個改動，會影響整個曲線。也就是說：自然三次樣條不允許“局部控

35、制”，不給出完整的新控制點集，不可能部分構(gòu)造曲線。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型33Hermite插值曲線：邊界條件Hermite樣條的每個曲線段僅依賴于端點約束，可局部調(diào)整。Hermite樣條是一個分段三次多項式，并在每個控制點有給定切線。在控制點Pk和Pk+1間的曲線段是參數(shù)三次函數(shù)為p(u)，

36、Hermite曲線段的邊界條件是：P(0)=Pk； P(0)=DPk；P(1)=Pk+1； P(1)=DPk+1。其中：DPk和DPk+1是在控制點Pk和Pk+1處相應的導數(shù)值(曲線的斜率)。Hermite曲線段的向量方程為：P(u)=au3+bu2+cu+d，0u1，其中P的分量x是： x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx，對分量y和z具有同樣形式。PkPk+1P(u)=(x(u),y(u),z(u)圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方

37、程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型34Hermite插值曲線：方程求解以0和1代入Hermite曲線段矩陣方程中的u，可把Hermite邊界條件表示為矩陣形式： 其中：MH是Hermite矩陣，是邊界約束矩陣的逆矩陣。該方程對多項式系數(shù)求解，有：使用邊界條件，矩陣方程可以寫成：圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函

38、數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型35Hermite插值曲線的基函數(shù)表示算出上述方程中的矩陣乘積且合并滿足邊界約束的函數(shù)，得到多項式形式。最后，可得到混合函數(shù)的表達式：P(u)=Pk(2u3-3u2+1)+Pk+1(-2u3+3u2)+Dpk(u3-u2+u)+Dpk+1(u3-u2) P(u)=PkH0(u)+Pk+1H1(u)+DpkH2(u)+Dpk+1H3(u)多項式Hk(u)(k=0,1,2,3)稱為混合函數(shù)它們混合了邊界約束值(終點坐標和斜率)來得到曲線上每個坐標點位置。Hermite多項式是通過估算

39、出曲線斜率來插值的。但對計算機圖形學的大部分問題而言，除了控制點坐標外，更好的做法是不輸入曲線斜率值或其它幾何信息就生成樣條曲線。Cardinal樣條和Kochanek-Bartels樣條這二種Hermite樣條上的變化形式就僅由控制點的坐標位置計算出導數(shù)。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型36Card

40、inal樣條Cardinal樣條也是插值分段三次曲線，且每曲線段終點處均指定切線。與Hermite樣條的區(qū)別是：不一定要給出終點的切線值。一個控制點處斜率值可由兩個相鄰控制點坐標來計算。Cardinal樣條由四個連續(xù)控制點給出(如右圖)：中間兩個控制點是曲線段端點，另二個點用來計算終點斜率。在控制點Pk和Pk+1間Cardinal樣條段的參數(shù)向量函數(shù)P(u)，其端點處的切向量正比于由相鄰控制點所形成的弦。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求

41、解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型37Cardinal樣條的邊界條件設P(u)是兩控制點Pk和Pk+1間的參數(shù)三次函數(shù)式，則從Pk-1到Pk+2間的四個控制點用于建立Cardinal樣條段的邊界條件： P(0)=Pk； P(0)=(1-t)(Pk+1 Pk-1)/2；P(1)=Pk+1； P(1)=(1-t)(Pk+2 Pk)/2 ?？刂泣cPk和Pk+1處的斜率分別與弦Pk-1Pk+1和PkPk+2成正比。參數(shù)t控制Cardinal樣條與輸入控制點間的松緊程度，稱為張量(tension)參數(shù)

42、。張力參數(shù)在Cardinal樣條段形狀中所起的作用t0(較緊曲線)P(u)Pk+1PkPk-1Pk+2圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型38Cardinal樣條基表示用類似Hermite樣條中的方法，可將邊界條件轉(zhuǎn)換成矩陣形式：將矩陣方程展開成多項式形式，可得到混合函數(shù)表達式：P(u)=Pk-1(-tu

43、3+2tu2-tu)+Pk(2-t)u3+(t-3)u2+1 +Pk+1(t-2)u3-(t-2)u2+tu+Pk+2(tu3-tu2)P(u)=Pk-1CAR0(u)+PkCAR1(u)+Pk+1CAR2(u) +Pk+1CAR3(u)這里多項式CARk(u)(k=0,1,2,3)稱為Cardinal混合函數(shù)，它們混合了邊界約束值(終點坐標和斜率)來得到曲線上每個坐標點位置。M是Cardinal矩陣，表示為：圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite

44、方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型39Kochanek-Bartels樣條這類插值三次多項式是Cardinal樣條的擴展。將二個附加參數(shù)引入到約束方程中而得到的Kochanel-Bartels樣條對調(diào)整曲線段形狀更加方便。給出四個連續(xù)控制點Pk-1、Pk、Pk+1和Pk+2，Pk和Pk+1間的Kochanek-Bartels曲線段中的邊界條件定義為: P(0)=Pk； P(1)=Pk+1； P(0)in=(1/2)(1-t)(1+b)(1-c)(pk-pk-1)+(1-b)(1+c)(

45、pk-1-pk)； P(1)out=(1/2(1-t)(1+b)(1+c)(pk+1-pk)+(1-b)(1-c)(pk+2-pk+1)其中：t是張量參數(shù)，b是偏離(bias)參數(shù)，c是連續(xù)參數(shù)。Kochanek-Bartels公式中導數(shù)在曲線段邊界處不一定連續(xù)。圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型40K

46、ochanek-Bartels樣條張量參數(shù)t象在Cardinal樣條中一樣有同樣的作用，即，它控制曲線段的松緊。偏離參量b用來調(diào)整曲線段在端點處彎曲的數(shù)值，曲線段可以偏向一個端點或另一個端點；參數(shù)c控制切向量在曲線段邊界處的連續(xù)性：若c取非零值，則曲線在曲線段邊界處的斜率不連續(xù)。Kochanek-Bartels樣條的設計是為了模擬動畫途徑的。特別當物體運動有突變時，可由參數(shù)c取非零值去模擬。偏離參數(shù)b在樣條段形狀中所起的作用b0 P3P2P1P0P4圖形表示問題參數(shù)化表示曲線曲面性質(zhì)離散點表示 離散生成方式 參數(shù)樣條表示 樣條表示性質(zhì) 三次插值樣條 插值樣條生成 自然插值樣條1 自然插值樣條2 Hermite邊界條件 Hermite方程求解 Hermite基函數(shù) Cardinal樣條 Cardinal邊界條件 Cardinal基函數(shù) K-B樣條 K-B樣條性質(zhì) 插值樣條類型41三次插值樣